专题 15 圆锥曲线中的弦长问题
一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知抛物线 2 6y x 的焦点为 F ，过点 F 的直线交抛物线于 A ，B 两点，且 12FA FB ，则 AB
（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】由 2 6y x 得 3p ，所以 3( ,0)2F ，准线为 3
2x ，
设直线 3: 2AB x ty ，联立
2
3
2
6
x ty
y x
，消去 x 并整理得 2 6 9 0y ty ，
设 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，则 1 2 6y y t ， 1 2 9y y ，
所以 2
1 2 1 2( ) 3 6 3x x t y y t ，
2 2 2
1 2 1 2
1 2
( ) 9
6 6 36 4
y y y yx x ，
因为 1
3| | 2AF x ， 2
3| | 2BF x ， 12FA FB ，
所以 1 2
3 3( )( ) 122 2x x ，所以 1 2 1 2
3 9 122 4x x x x ，
所以 1 2
9 3 9 124 2 4x x ，所以 1 2 5x x ，
所以 1 2 1 2
3 3| | | | | | 3 82 2AB AF BF x x x x .故选：C
2．抛物线 2 2 0y px p 的焦点为 F ，已知点 A 、 B 为抛物线上的两个动点，且满足 120AFB ，
过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN ，垂足为 N ，则 MN
AB
的最大值为（ ）
A． 2 B． 15 C． 4 D． 3
3
【解析】分别作 AC 、 BD垂直于抛物线的准线，垂足分别为点 C 、 D ，
由抛物线的定义知 AC AF ， BD BF ，
已知 MN 是直角梯形 ABDC 的中位线，则 1 1
2 2MN AC BD AF BF ，
由于 120AFB ，由余弦定理得
2 2 2 2 22 cos120AB AF BF AF BF AF BF AF BF ，
2 2
2 22 2
21
22
MN AF BF AF BF AF BF
AB AF BF AF BFAF BF
2 2
1 1 31 12 2 2 3
AF BF AF BF
AF BF AF BFAF BF AF BF
，
当且仅当 AF BF 时，等号成立，即 MN
AB
的最大值为 3
3
，故选：D.
3．已知抛物线 2 8y x 的焦点为 F ，过点 F 的直线l 依次交抛物线及圆 2 22 1x y 于 A ，B ，C ，D
四点，则 3AC BD 的最小值为（ ）
A．20 B． 4 3 4 C．3 3 4 D． 4 3 12
【解析】由题意可知 (2,0)F ，圆心坐标为 (2,0) ，半径为 1，设 1(A x ， 1)y ， 2(D x ， 2 )y ，
则 1| | 2AF x ， 2| | 2DF x ， 1| | | | 1 1AB AF x ， 2| | | | 1 1CD DF x ，
所以 | | 2 3| | 6 | | 3| | 83 AB CDB AA CDC BD ；
所以要求 3AC BD 的最小值，即求| | 3| |AB CD 的最小值，
由题意可知直线l 的斜率不能为零，
当直线l 与 x 轴垂直时，直线l 的方程为： 2x ，即 1 2 2x x ，所以 1 2| | 3| | 1 3( 1) 12AB CD x x
当直线l 与 x 轴不垂直时，设直线l 的方程为： ( 2)y k x ，
联立方程得， 2
( 2)
8
y k x
y x
， 2 2 2 2(4 8) 4 0k x k x k ，
2
1 2 2 2
4 8 84kx x k k
， 1 2 4x x ，
1 2 1 2 1 2| | 3| | 1 3( 1) 3 4 2 3 4 4 3 4AB CD x x x x x x
，
当且仅当 1 23x x ，即 1 2 3x ， 2
2 3
3x 时，取等号成立，
所以| | 3| |AB CD 的最小值为 4 3 4 ，又因为 4 3 4 12 ，
所以| | 3| |AB CD 的最小值为 4 3 4 ．所以 min 4 3 123AC BD ，故选： D ．
4．已知 1F ， 2F 分别是椭圆
2 2
: 14 3
x yC 的左、右焦点，点 P 、Q 是椭圆上位于 x 轴上方的两点，且
1 2//PF QF ，则 1 2PF QF 的取值范围为（ ）
A． 2,4 B． 3,4 C． 1,4 D． 1.5,4
【解析】如图，延长射线 1PF 、 2QF 分别与椭圆C 相交于 M 、 N 两点，
由椭圆的对称性可知 1 2PF NF ， 1 2MF QF ，
设点 P 的坐标为 1 1,x y ，点 M 的坐标为 2 2,x y ，显然 1 22 2, 2 2x x ，
则点 Q 的坐标为 2 2,x y .
①若直线 1PF 的斜率不存在，则点 P 、Q 的坐标分别为 31, 2
、 31, 2
，有 1 2 3PF QF
②若直线 1PF 的斜率存在，设直线 1PF 的方程为 1 0y k x k ，
联立方程
2 2
14 3
1
x y
y k x
，消去 y 后整理为 2 2 2 24 3 8 4 12 0k x k x k ，
有
2
1 2 2
8
4 3
kx x k
，
2
1 2 2
4 12
4 3
kx x k
，
2 22 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
3 1 1 11 1 3 2 4 2 24 4 2 2PF x y x x x x x x ，
1 2
12 2MF x ，
2 22
1 2 1 2 2 2 2
12 1 3 4 3 31 44 42 4 3 4 3 4 3
k kkPF QF x x k k k
，
2
33 4 3k
，因为 24 3 3k ，所以 2
33 3 44 3k
，
则 1 2PF QF 的取值范围为 3,4 .故选：B
5．已知椭圆
2
2: 12
xC y ，直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F 且交椭圆于 A，B 两点， AB 的中垂线交 x 轴于 M
点，则 2
| |
| |
FM
AB
的取值范围为（ ）
A． 1 1,16 4
B． 1 1,8 4
C． 1 1,16 2
D． 1 1,8 2
【解析】椭圆
2
2: 12
xC y 的左焦点为 1,0F ,
当 l： 0y 时， 2,0 , 2,0 , 0,0A B M ， 1, 2 2FM AB ，所以 2
| | 1
| | 8
FM
AB
，
设 : 1 0l x my m 与椭圆联立 2
2
1
12
x my
x y
，可得： 2 22 2 1 0m y my ，
由韦达定理得：
1 2 2
1 2 2
2
2
1
2
my y m
y y m
，取 AB 中点为 2 2
2 ,2 2
mD m m
，
所以 AB 的中垂线方程为： 2 2
1 2: 2 2DM
ml x ym m m
，
令 0y ，得 2
1 ,02M m
，所以
2
2
1| | 2
mMF m
，
又
22
2
1 2 1 2 22
2
2
8 11| | (1 )
2
4
m
AB y y y yk m
，
所以
2
2 2 2
| | 1 2 1 1 1 1= 1 ( , )| | 8 1 8 1 8 4
FM m
AB m m
，综上所述 2
| | 1 1,| | 8 4
FM
AB
，故选：B.
6．如图，两条距离为 4 的直线都与 y 轴平行，它们与抛物线 2 2 0 14y px p 和圆 2 24 9x y
分别交于 A，B 和 C，D，且抛物线的准线与圆相切，则当 AB CD 取得最大值时，直线 AB 的方程为（ ）
A． 2x B． 3x C． 2x D． 1x
【解析】由抛物线的准线与圆相切得 12
p 或 7，
又 0 14p ，∴ 2p ，所以抛物线的方程为： 2 4y x
设直线 AB 的方程为 0 3x t t ，直线 CD 的方程为 4x t ，
由 2 4
x t
y x
，可得 2 4y t ，则 4AB t ，
2 2
4
4 9
x t
x y
，可得 2 29y t ，则 22 9CD t ，
则 2 24 2 9 8 9 0 3AB CD t t t t t .
设 29 0 3f t t t t ， 29 3f t t ，
令 0f t ，得 0 3t ；令 0f t ，得 3 3t .
所以 f t 在 0 3， 上单调递增，在 3 3， 上单调递减,
即当 3t 时， max 3f t f ，此时直线 AB 的方程为 3x .
所以当 AB CD 取得最大时，直线 AB 的方程为 3x .故选：B
7．已知 F 为抛物线 2: 2C y x 的焦点，过点 F 作两条互相垂直的直线 1l 和 2l ，直线 1l 与C 交于 A B， 两
点，直线 2l 与C 交于 DE 两点,则| | | |AB DE 的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【解析】以下为抛物线焦点弦的弦长结论推导：
抛物线的方程为 2 2 ( 0)y px p ，过焦点 F 的弦 AB 交抛物于 , A B 两点，且弦 AB 的倾斜角为 ，求弦
AB 的长．设直线 AB 的方程为
2 2
py k x
，
将其代入抛物线方程整理得： 2 2 2 2 24 4 8 0k x pk p x p k ，且 tanθk = ，
设 , A B 两点的坐标为 1 1 2 2, , ,x y x y ，
则：
2 2
1 2 1 22
2 , 4
pk p px x x xk
， 22
1 2 1 2 2
2| | 1 4 (sin )
pAB k x x x x ，
当
2
时，斜率不存在 sin 1,| | 2AB p ，即为通径，推导完毕
由 F 为抛物线 2: 2C y x 的焦点，过点 F 作两条互相垂直的直线 1l 和 2l ，直线 1l 与C 交于 A B， 两点，
设 AB 的倾斜角为 0
2
，则 CD 的倾斜角为
2
，
根据抛物线焦点弦的弦长结论：可得 2 2
2 2| | sin sin
pAB ， 2
2
2 2| | cossin 2
pCD
，
2 2 2
2 2 16 16| | | | 16sin cos sin 2 1AB DE ，等号当且仅当 2sin 2 1 ，
即
4
时成立.故选：D.
8．已知抛物线 2 ( )2 0C x py p： ＝ ＞ 的焦点为 1(0 )F ， ，若抛物线C 上的点 A 关于直线 2 2l y x ： ＝ 对称的点
B 恰好在射线 ( )11 3y x ＝ 上，则直线 AF 被C 截得的弦长为（ ）
A． 91
9 B． 100
9 C． 118
9 D． 127
9
【解析】抛物线 2 ( )2 0C x py p： ＝ ＞ 的焦点为 1(0 )F ， ，则 12
p＝ ，即 2p＝ ，
设 A 点的坐标为 2( )1
4m m， ， B 点的坐标为 ( )11 3n n ， ， ，
如图：
∴
2
2
111 14
2
111 4 2 22 2
m
n m
m m n
，解得 6
2
m
n
，或
34
3
35
9
m
n
(舍去)，∴ 9(6 )A ，
∴直线 AF 的方程为 4 13y x ＝ ，设直线 AF 与抛物线的另一个交点为 D ，
由
2
4 13
4
y x
x y
，解得 6
9
x
y
或
2
3
1
9
x
y
，∴ 2 1,3 9D
，
∴
2 22 1 100| | 6 93 9 9AD
，故直线 AF 被C 截得的弦长为 100
9
．故选：B．
9．设抛物线 2 2 0y px p 的焦点为 F，过 F 的两条直线 1l ， 2l 分别交抛物线于点 A，B，C，D，且 1l ，
2l 的斜率 1k ， 2k 满足 1 2 1 21 0, 0k k k k ，若 AB CD 的最小值为 30，则抛物线的方程为( )
A． 2 6y x B． 2 3y x C． 2 3
2y x D． 2 2y x
【解析】由题意可得直线 1l 的方程为： 1( )2
py k x ，与 2 2y px 联立得
2 2
2 2 2 1
1 1( 2) 04
k pk x p k x .设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，
所以 2
1
1 2 2
1
2p k
x x k
，
2
1 2 4
px x ，
所以 22 2 2
2 1 12 2 2
1 1 2 1 2 1 2 2
1 1
2 2 1
1 4 1
p k p k
AB k x x x x k pk k
，
同理可得 2
2
2
2
2 1p k
CD k
，
所以
22 2 2
1 2 1 1
1 1 1 1=2p 2 2 2
1
AB CD pk k k k
.
令 22
1 1
1 1
1
t k k
， 1 0,1k ，则
2
1 1 1
3 33 3
1 1 1 1
2 2 1 12 2
1 1
k k k
t k k k k
，
当 1
10, 2k
时， 0t ，则 22
1 1
1 1
1
t k k
在 10, 2
上单调递减，
当 1 ,12k
时， 0t ，则 22
1 1
1 1
1
t k k
在 1 ,12
上单调递增.
所以当 1
2t 时， min 8t ，所以 min 20 30AB CD p ， 3
2p ，
所以抛物线的解析式为 2 3y x .故选：B.
10．已知抛物线C ： 2 2y px ( 0p )的焦点为 F ，准线为l ，过 F 的直线交抛物线于 A ，B 两点，作 AM l ，
BN l ，垂足分别为 M ， N ，若 4MF ， 4 3
3NF ，则 AB （ ）
A．10
3 B．4 C．5 D．16
3
【解析】如图所示，
由题意知：l ：
2
px ， ,02
pF
，设 1 1,A x y ， 2 2,B x y ，直线 AB ：
2
px my ，
则 1,2
pM y
， 2,2
pN y
，由
2 2
2
y px
px my
，得： 2 22 0y pmy p ，
1 2 2y y pm ， 2
1 2y y p ，
2 2 2
1 16MF p y ， 2 2 2
2
16
3NF p y ， 4 2 21616 3p p p
，
解得： 2p ，设抛物线准线 l 交 x 轴于 K ，
则 2KF p ，在 Rt MFK△ 中，可得 2 1cos 4 2MFK ，
3MFK ，
AMF△ 是等边三角形，
1 3
3tan 3
m ， 1 2
4 3
3y y ，
1 2 1 2
162 3AB x x p m y y p .故选：D.
11．斜率为 k 的直线 l 过抛物线 2 : 2 ( 0)C y px p 的焦点 F 且与抛物线C 相交于 ,A B 两点，线段 AB 的
垂直平分线交 x 轴于点 E ，若| | 8AB ，则| |EF （ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【解析】设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，依题意设直线 AB 的方程为 02
py k x k
，代入抛物线方程并化
简得 2 2
2 2 2 2 04
k pk x k p p x ，则
2
1 2 2 2
2 2k p p px x pk k
， 1 2 1 2y y k x x p ①.
由于| | 8AB ，即 1 2 8x x p ，即 2
22 8pp k
②.
设 AB 的中点为 0 0,x y ， 1 2 1 2
0 0,2 2
x x y yx y 则线段 AB 的垂直平分线方程为 0 0
1y y x xk
，
令 0y 得 0 0
1y x xk
，解得 0 0x ky x ，即 0 0 ,0E ky x .
所以 0 0| | 2
pkyE xF ③.
将①代入③得
0 0| | 2
pkyE xF 2
1 2 1 2
2 2 2
k x x p x x p 2 2
1 21
2
k x x k p p
2 2
2
21
2
pk p k p pk
2 2
2
22
2
pk p p p k p pk
2
22
2
pp k
，
将②代入上式得 8| | 42EF .故选：B
12．过椭圆 :T
2
2 12
x y 上的焦点 F 作两条相互垂直的直线 1 2l l、 ， 1l 交椭圆于 ,A B 两点， 2l 交椭圆于
,C D 两点，则 AB CD 的取值范围是（ ）
A． 8 3 ,3 33
B． 8 2 ,3 33
C． 8 2 ,3 23
D． 8 3 ,3 23
【解析】当直线 1 2l l、 有一条斜率不存在时，不妨设直线 1l 斜率不存在，则直线 2l 斜率为 0，
此时 2 2AB ，
22 2 2
2
bCD a
，所以 3 2AB CD ，
当直线 1 2l l、 的斜率都存在且不为 0 时，不妨设直线 1l 的斜率为 k，则直线 2l 的斜率为 1
k
，
不妨设直线 1 2l l、 都过椭圆的右焦点 (1,0)F ，
所以直线 1 : ( 1)l y k x ，直线 2
1: ( 1)l y xk
，
联立 1l 与椭圆 T 2
2
( 1)
12
y k x
x y
，可得 2 2 2 2)2 021 4 2( x k x kk ，
2 2 2 2 2( 4 ) 4(1 2 )(2 2) 8 8 0k k k k ，
2 2
1 2 1 22 2
4 2 2,1 2 1 2
k kx x x xk k
，
所以 2 2 2
1 2 1 2 1 21 1 ( ) 4AB k x x k x x x x
22 2 2
2
2 2 2
4 2 2 2 2(1 )1 41 2 1 2 1 2
k k kk k k k
，
同理
2
2
2 2
12 2(1 ) 2 2(1 )
211 2
kkCD k
k
，
所以
2 2
2 2
2 2(1 ) 2 2(1 )
1 2 2
k
kB kC kA D
，
令 21 k t ，因为 0k ，所以 1t ，
所以
2 2 2
2 2
2 2(1 ) 2 2(1 ) 2 2 2 2 6 2
1 2 2 2 1 1 (2 1)( 1)
k k t t tAB tD k k t t tC =
2
2
2
6 2 6 2
1 12 1 2
t
t t
t t
，
令
2
2
1 1 1 1 92 2 4y t t t
，因为 1t ，所以1 (0,1)t
，
所以 92, 4y
，所以 1 4 1,9 2y
，所以 1 8 26 2 ,3 23AB CD y
，
综上 AB CD 的取值范围是 8 2 ,3 23
.故选：C
二．填空题
13．已知O 为坐标原点，过椭圆
2
2 14
x y 上一点 0 0( , )P x y 的切线 0
0 14
x x y y 分别交 x y、 轴于 A B、 两
点，则当 AB 最小时， =OP __________ ；
【解析】由题意设切点为 2cos ,sin ，则椭圆在切点外的切线方程为 cos sin 12
x y ，
令 0x 则 1
siny ，令 0y 则 2
cosx .
2 2 2
2 2
1 4
sin cosAB x y 2 2
2 2
1 4 sin cossin cos
2 2
2 2
cos 4sin1 4 5 2 4 9sin cos
，
当且仅当 2 22sin cos ，即 2tan 2
，此时
2
2
2 2 2
cos 1 2cos sin cos tan 1 3
，
2
min 9AB ， min 3AB ，此时 23cos 1OP 3
14．设抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，过 F 的直线 l 与抛物线交于不同的两点 A ， B ， M 为抛物线C 的
准线与 x 轴的交点，若 tan 2 6AMB ，则 AB ______.
【解析】抛物线 2: 4C y x 的焦点为 (1,0)F ，设直线 l 方程为 1x my ，
联立 2
1
4
x my
y x
，消去 x ，得 2 4 4 0y my ， 2=16 16 0m ， 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y ，
不妨设 1 20, 0y y ， 1 2 1 24 , 4y y m y y ，
1 2 2 1 1 2 1 2
1 2 1 21 1 ( 1)( 1)MA MN
y y x y x y y yk k x x x x
1 2
1 2
1 2
( )( 1)4= 0,( 1)( 1)
y yy y
AMF BMFx x
，
设直线 AM 的倾斜角为 2
2tan,tan 2 2 6 1 tan
，
整理得 26 tan tan 6 0 ，解得 6tan 3
或 6tan 2
（舍去）
直线 AM 方程为 6 ( 1)3y x ，根据对称性，直线 MA 与抛物线的另一个交点与 B 关于 x 轴对称，
联立
2 4
6 ( 1)3
y x
y x
消去 y 得， 2 4 1 0x x ， 1 2 4x x ，由抛物线的定义得 1 2| | 1 1 6AB x x .
15．已知抛物线 C： 2 2x py （ 0p ）的焦点 F 与
2 2
18 4
y x 的一个焦点重合，过焦点 F 的直线与 C
交于 A，B 两不同点，抛物线 C 在 A，B 两点处的切线相交于点 M，且 M 的横坐标为 4，则弦长 AB ______．
【解析】因为抛物线 C： 2 2x py （ 0p ）的焦点 F 与
2 2
18 4
y x 的一个焦点重合，
所以 0, 2F ，则 4P ，抛物线方程为 2 8x y= - ，
设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，直线 AB 的方程为 2y kx ，则
2 2
1 2
1 2,8 8
x xy y ，
由
2
8
xy ，得
4
xy ，则在点 A 处的切线方程为 1
1 14
xy y x x ，即
2
1 1
4 8
x xy x ，
同理在点 B 处的切线方程为：
2
2 2
4 8
x xy x ，
两切线方程联立解得： 1 2 42M
x xx ，即 1 2 8x x ，
由 2
2
8
y kx
x y
，得 2 8 16 0x kx ，所以 1 2 8 8x x k ，解得 1k ，
所以 1 2 1 2 4 12y y k x x ，所以 1 2 16AB p y y .
16．已知圆 2 2: 1 1 2C x y ,椭圆
2
2: 12
x y ,过原点 O 的射线 l 分别与圆 C、椭圆 交于 M,N
两点,点 M 不同于点 O,则 OM ON 的最大值是________.
【解析】设射线 l 的方程为 y kx ,联立 2 22 2
y kx
x y
得 2
2
1 2Nx k
,
联立 2 2
,
1 1 2
y kx
x y
,得 2
2 2
1M
kx k
,
所以 2
2 2
2
2 11 1 2 1 2M N
kOM ON k x k x k
,令 1t k ,
则
22 2
2 2 2
1 2 2 4 3 3 2 3 1 2 112 2 2 3 32 1
k t t
t t t tk
,所以
2
2
1 2 1
32 1
k
k
,即 2
2
2 12 2 31 2
k
k
,
当 3
2t ,即 1
2k 时取等号,所以 OM ON 的最大值为 2 3 .
三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．F 是抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点，M 是抛物线C 上位于第一象限内的任意一点，过 , ,M F O 三
点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线C 的准线的距离为 3
4 .
（1）求抛物线C 的方程；
（2）若点 M 的横坐标为 2 ，直线 1: 4l y mx 与抛物线C 有两个不同的交点 , ,A B l 与圆Q 有两个不同
的交点 ,D E ，求当 1 22 m 时， 2 2AB DE 的最小值.
【解析】（1） F 抛物线 2: 2 ( 0)C x py p 的焦点 0, 2
pF
，设
2
0
0 0, ( 0), ,2
xM x x Q a bp
由题意知：圆心纵坐标值为 OF 的一半，即
4
pb ，则点 Q 到抛物线 C 的准线的距离为
3 3
2 4 2 4 4
p p pb p ，解得 1p ，∴抛物线 C 的方程为 2 2x y .
（2）由
2 2
1
4
x y
y mx
，得： 22 4 1 0x mx ，设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ，
∵ 216 8 0m ，∴ 1 2 1 2
12 , 2x x m x x ，则 2 2 21 4 2AB m m ，
由题意知： 2,1M ，可得 5 2 1 3 6, , | |8 4 8Q r OQ
，
∴由
2 25 2 1 27
8 4 32{
1
4
x y
y mx
，得 2 2 5 2 1(1 ) 04 16m x x ，
设 3 3 4 4, , ,D x y E x y ，而
227 08 4
m ，
∴ 3 4 3 42 2
5 2 1,4(1 ) 16(1 )x x x xm m
，则
2
2
25 1
48 1
DE
m
，
∴
2 2 2 2
2
25 11 4 2 48 1
AB DE m m
m
，令 2 11 , 22t m m ，则 5 ,54t
，
则 2 2 2 25 14 2 8 4AB DE t t t
，
令 2 25 1 54 2 , ,58 4 4g t t t tt
，则 2
25 58 2 6 08 4g t t gt
∴ ( )g t 在 5 ,54t
上为增函数，故 5
4t 时， 2 2AB DE 的最小值为 13
2 .
18．已知椭圆 C ：
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F ， 2F ，短轴长为 2 3 ，点 P 在椭圆上，
1PF x 轴，且 1
3
2PF ．
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）将椭圆C 按照坐标变换
1
2
3
3
x x
y y
得到曲线 1C ，若直线 l 与曲线 1C 相切且与椭圆C 相交于 M ， N
两点，求 MN 的取值范围．
【解析】（1）由已知可得， 2 2 3 3b b ，
2
1
3 22
bPF aa
，
则椭圆C 的标准方程为：
2 2
14 3
x y ,
（2）由 22
2 2
1
32 22 1 14 33 3
3
x x yx x x x y
y yy y
，则曲线 1C ： 2 2 1x y ，
当直线l 斜率存在且为 k 时，设 l ： y kx m ，由直线 l 与圆 1C 相切，
则 2 2
2
1 1
1
md m k
k
，
由 2 2 22 2 3 4 8 4 12 0
14 3
y kx m
k x kmx mx y
，设 1 1,M x y ， 2 2,N x y ，
则
1 2 2
2
1 2 2
8
3 4
4 12
3 4
kmx x k
mx x k
，且 0 恒成立
由
2 2 2
22 2
1 2 1 2 2 22
64 16 481 4 1 3 43 4
k m mMN k x x x x k kk
2 2
2
2
144 192 481 3 4
k mk k
由 2 2 1m k ，则
2 2
2 2
2 2
144 96 3 21 4 3 13 4 3 4
k kMN k kk k
,
令 23 4t k ，则 24 3k t ，
22
2 2
1 3 1 3 2 1 1 13 3 3 2 33 4
t t t tMN k t t t
，
令 1 10, 3s t
，则 2 2 3y s s ， 10, 3s
，则 323, 9y
， 4 63, 3MN
当直线l 斜率不存在时， l ： 1x ，
22 3bMN a
，
综上： 4 63, 3MN
19．如图所示，已知点 1F 、 2F 是椭圆
2
2
1 : 12
xC y 的两个焦点，椭圆
2
2
2 : 2
xC y 经过点 1F 、 2F ，
点 P 是椭圆 2C 上异于 1F 、 2F 的任意一点，直线 1PF 和 2PF 与椭圆 1C 的交点分别是 A 、B 和C 、D .设 AB 、
CD 的斜率分别为 1k 、 2k .
（1）求证： 1 2k k 为定值；
（2）求 AB CD 的最大值.
【解析】（1）点 1F 、 2F 是椭圆 1C 的两个焦点，故 1F 、 2F 的坐标是 1 1,0F 、 2 1,0F ，
而点 1F 、 2F 是椭圆 2C 上的点，将 1F 、 2F 的坐标代入 2C 的方程，得 1
2
，
设 0 0,P x y ，直线 1PF 和 2PF 的斜率分别是 1k 、 2 1 20, 0k k k ，
2
0 0 0
1 2 2
0 0 01 1 1
y y yk k x x x
，
又点 P 是椭圆 2C 上的点，故
2
20
0
1
2 2
x y ，则
2
2 0
0
1
2
xy ，
所以
2
02
0
1 2 2 2
0 0
1
12
1 1 2
x
yk k x x
（定值）；
（2）直线 1PF 的方程可表示为 1 0y k x k ，
联立方程组
2
2
1
12
y k x
x y
，得 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k ，
4 2 2 216 4 1 2 2 2 8 1 0k k k k 恒成立，
设 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，则
2
1 2 2
4
1 2
kx x k
，
2
1 2 2
2 2
1 2
kx x k
，
2
22 2
1 2 1 2 1 2 2
2 2 1
1 1 4 1 2
k
AB k x x k x x x x k
，
同理可求得 2
2
2 1 4
1 2
k
CD k
，
4 2 4 2 2
2 4 2 4 22 2
2
4 4 5 1 4 4 5 1 14 1 4 1 14 4 1 4 4 11 2 4 4
k k k k kAB CD k k k kk kk
2
2
1 94 1 212 4 4kk
，当且仅当 2
2k 时等号成立，故 AB CD 的最大值等于 9
2 .
20．已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，M 为椭圆C 上一点，且 1 2 60F MF ，
1 2F MF△ 的面积为 3
3
，过 2F 且与长轴垂直的弦的长为 2 ．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）在 x 轴上是否存在点 ,0P m ，使得过点 P 的直线交椭圆C 于G 、 H 两点，且满足
22 2 3GP HP GP HP 恒成立？若存在，求 2m 的值；若不存在，说明理由．
【解析】（1）设 1 1MF r ， 2 2MF r ，由椭圆的定义可得 1 2 2r r a ，①
在 1 2F MF△ 中，
1 2 1 2 1 2
1 3 3sin 602 4 3F MFS rr rr
△ ，即 1 2
4
3rr ，②
由余弦定理得 2 2 2
1 2 1 22 cos60 4r r rr c ，即 2 2
1 2 1 23 4r r rr c ，
将①②代入 2 2
1 2 1 23 4r r rr c 得 2 2 2 1a c b ，
将点 2, 2c
的坐标代入椭圆方程得
22
2
2 12
c
a
，可得 2 2 22 2 1a c a ，
所以， 2 2a ，因此，椭圆C 的方程为
2
2 12
x y ；
（2）由条件可得 2 2
1 1 3
GP HP
恒成立．
当直线GH 的斜率为零时，点G 、 H 为椭圆长轴的端点，
则
2 2
2 2 2 2 22
2 21 1 1 1 3
22 2
m m
GP HP mm m
，
即
2
22
2 2
3
2
m
m
，整理可得 4 23 14 8 0m m ，解得 2 4m 或 2 2
3m ；
当直线GH 不与 x 轴重合时，设直线GH 的方程为 x ty m ，设点 1 1,G x y 、 2 2,H x y ，
联立 2
2 12
x ty m
x y
，消去 x 得 2 2 22 2 2 0t y mty m ，
2 2 2 24 4 2 2 0m t t m ，可得 2 2 2m t ，
由根与系数的关系得 1 2 2
2
2
mty y t
，
2
1 2 2
2
2
my y t
．
所以
22 2
1 2 1 21 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
21 1 1 1
1 1 1 1
y y y yy y
t y t y t y y t y yGP HP
22
2 2
22
2
2
2 22
2 2 3
21 2
mmt
t t
mt t
，
整理可得 2 2 2 2 23 2 4 2 0m m m t t ，所以， 2 2
3m .
综上可得存在满足条件的点 P ，且 2 2
3m ．
21．已知椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的离心率为 2
2
，且过点 141, 2
， O 为坐标原点.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）圆 2 2 8
3x y 的一条切线 l 与椭圆C 相交于 A 、 B 两点，求：
① AOB 的值；
② AB 的取值范围.
【解析】（1）因为椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的离心率为 2
2
，且过点 141, 2
，
则 2 2
2 2 2
2
2
1 7 12
c
a
a b
a b c
，解得
2
2
8
4
a
b
，故椭圆 C 的方程为
2 2
18 4
x y ；
（2）①设 1 1,A x y 、 2 2,B x y ，
当切线斜率存在时，可设该圆的切线方程为 y kx m ，
则
2
| | 8
31
m
k
，即 2 23 8 8 0m k ，
联立 2 2
18 4
y kx m
x y
，得 22 2 8x kx m ，即 2 2 21 2 4 2 8 0k x kmx m ，
则 2 2 2 2 2 216 4 1 2 2 8 8 8 4 0k m k m k m ，
即 2 28 4 0k m ，由韦达定理可得
1 2 2
2
1 2 2
4
1 2
2 8
1 2
kmx x k
mx x k
，
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x km x x m 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2
2 8 4 8
1 2 1 2 1 2
k m k m m kmk k k
，
则
2 2 2 2 2
1 2 1 2 2 2 2
2 8 8 3 8 8 01 2 1 2 1 2
m m k m kOA OB x x y y k k k
，所以
2AOB ；
而当切线的斜率不存在时，切线方程为 2 6
3x ，
切线与椭圆
2 2
18 4
x y 的两个交点为 2 6 2 6,3 3A
、 2 6 2 6,3 3B
或 2 6 2 6,3 3A
、
2 6 2 6,3 3B
，满足 0OA OB ，此时
2AOB .
综上，
2AOB ；
②由①知
2 22 2
2 2
1 2 1 2 1 2 22 2 2
8 8 44 2 84 41 2 1 2 1 2
k mkm mx x x x x x k k k
，
2 2
2 2 22 2
1 2 1 2 1 2 22
8 8 4
| | 1 1
1 2
k m
AB x x y y k x x k
k
4 2 2
4 2 4 2
32 4 5 1 32 13 4 4 1 3 4 4 1
k k k
k k k k
，
①当 0k 时，
2
2
32 11 13 4 4
AB
k k
，
因为 2 2
2 2
1 14 4 2 4 4 8k kk k
，所以 2
2
1 10 1 84 4k k
，
所以
2
2
32 32 11 1213 3 4 4k k
，
所以 4 6 2 33 AB ，当且仅当 2
2k 时，等号成立；
当 0k 时， 4 6
3AB .
当直线l 的斜率不存在时，可得 2 6 2 6,3 3A
、 2 6 2 6,3 3B
或 2 6 2 6,3 3A
、
2 6 2 6,3 3B
，所以此时 4 6
3AB .
综上， AB 的取值范围为 4 6,2 33
.
22．如图，过椭圆
2
2 12
x y 的左右焦点 1 2,F F 分别做直线 ,AB CD ，交椭圆于 , , ,A B C D 四点，设直线 AB
的斜率为 ( 0)k k
（1）求| |AB （用 k 表示）；
（2）若直线 ,AB CD 的斜率之积为 1
2
，求四边形 ACBD 面积的取值范围．
【解析】（1）由
2
2 12
x y 可得： 2 2a ， 2 1b ，所以 1c ，所以 1 1,0F ， 2 1,0F
设 1 1,A x y ， 1 1,B x y ．由已知得：直线 AB 的方程为 ( 1)y k x ，
由 2
2
( 1)
12
y k x
x y
得 2 2 22 ( 1) 2 0x k x ，即 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k ，
所以
2
1 2 2
4
1 2
kx x k
，
2
1 2 2
2 2
1 2
kx x k
．
故 2
22 2
1 2 1 2 1 2 2
2 2 1
| | 1 1 4 2 1
k
AB k x x k x x x x k
．
（2）设 3 3,C x y ， 3 3,D x y ．由已知得， 1
2CDk k
，
故直线 CD 的方程为 1 ( 1)2y xk
，即 2 1x ky ．
设 1 2,d d 分别为点 ,C D 到直线 AB 的距离，
则 1 2
1
2ACBD CAB DABS S S AB d d ．
又 ,C D 到直线 AB 在异侧，则
2
3 43 3 4 4 3 4 3 4
1 2 2 2 2 2
1 21 1
1 1 1 1
k y yk x y k x y k x x y y
d d
k k k k
由 2
2
2 1
12
x ky
x y
得， 2 2(1 2 ) 2 2 0ky y ，即 2 24 2 4 1 0k y ky ，
故 3 4 3 42 2
4 1,4 2 4 2
ky y y yk k
．
所以 22 2
3 4 3 4
1 2 2 2
1 2 4 2 4 1
1 1
k y y y y kd d
k k
，
从而 2 2 2 2
2 22
2 2 11 2 4 1 2 1 4 1
2 2 1 2 11ACBD
k k k kS k kk
，
因为 1
2AB CDk k ，不妨令 0k ，令 22 1 1k t ，可得 2 1 12k t ，
2
2
2
2
2 2
4
22
1 1 1 14 1 5 1 14 2 24 5 1 1 12 2 2 2 12
2 22 1
ACBD
k kS t t t t
t
k
t t t
令
1
2m t
，因为 1,t ，所以 10, 2m
，
所以 2
2
1 12 1 2 2 12 2ACBDS m mt t
，
二次函数 22 1y m m 对称轴为
1 1
2 2 4m ，开口向下，
当 10, 4m
时， 22 1y m m 单调递增， 1 1,4 2m
时， 22 1y m m 单调递减，
所以 0m 时， 1y ；当 1
4m 时，
21 1 92 14 4 8y
；
当 1
2m 时，
21 12 1 12 2y
，所以 2 92 1 1, 8y m m
，
所以 2 3 22 1 1, 4m m
， 2 3 22 2 1 2, 2m m
，
因此， 32, 22ACBDS
．
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