备考 2021 年高考高三数学复习之疯狂选择题 30 题
第 4 辑三角函数与解三角形
一、单选题
1．（2021·全国高三其他模拟）已知角 的顶点与坐标原点O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边过点
2, 3 ，则 3πsin 2 2
（ ）
A． 6
13 B． 6
13
C． 5
13 D． 5
13
【答案】C
【分析】
由三角函数的定义得 3sin
13
，再利用诱导公式结合二倍角公式即可化简求出.
【详解】
角 的终边过点 2, 3 ， 3sin
13
，
2
23π 3 5sin 2 cos2 2sin 1 2 12 1313
．
故选：C．
2．（2021·全国高三专题练习）已知顶点在原点的锐角 绕原点逆时针转过 π
6
后，终边交单位圆于 1 ,3P y
，
则sin 的值为（ ）
A． 2 2 3
6
B． 2 2 3
6
C． 2 6 1
6
D． 2 6 1
6
【答案】D
【分析】
本题首先可根据终边交单位圆于 1 ,3P y
得出 1 2 2,3 3P
，然后根据 1 2 2,3 3P
得出
2 2sin 6 3
以及 1cos 6 3
，最后根据两角差的正弦公式即可得出结果.
【详解】
因为锐角 绕原点逆时针转过 π
6
后，终边交单位圆于 1 ,3P y
，
所以
2
21 13 y
骣琪- + =琪桫
， 2 2
3y 或 2 2
3
（舍去）， 1 2 2,3 3P
，
则 2 2sin 6 3
， 1cos 6 3
，
故sin sin sin cos cos sin6 6 6 6 6 6
2 2 3 1 1 2 6 1
3 2 3 2 6
，
故选：D.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据角的终边经过的点的坐标求角的正弦值和余弦值，考查两角差的正弦公式，求
出点 P 坐标、sin 6
以及 cos 6
的值是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题.
3．（2021·甘肃高三一模（理））已知 是第四象限角，且 5sin 5
，则 cos 2 4
（ ）
A． 2
10
B． 2
10
C． 7 2
10
D． 7 2
10
【答案】D
【分析】
由同角三角函数关系求出 cos ，利用二倍角公式求出 2 2cos ,sin ，代入两角和余弦公式求解即可.
【详解】
因为 是第四象限角，且 5sin 5
，
所以 2 5cos 5
，
所以 4sin 2 2sin cos 5
， 2 3cos2 2cos 1 5
所以 2 3 4 7 2cos 2 cos2 cos sin 2 sin ( )4 4 4 2 5 5 10
，
故选：D
4．（2021·安徽高三一模（文））已知 3sin 5
， 3,2 2
，则 tan2 （ ）
A． 24
7
B． 24
25
C． 24
25 D． 24
7
【答案】A
【分析】
首先利用同角三角函数基本关系求出 tan 得值，再利用正切的二倍角公式即可求解.
【详解】
因为 3sin 5
且 3
2 2
，
所以
2
2 3cos 1 sin 1 5
4
5
，
所以 sin 3tan cos 4
，
故 2
3 22tan 244tan2 91 tan 71 16
，
故选：A.
5．（2021·安徽安庆市·高三一模（文））已知3sin sin( ) 02
， ,0 ，则 sin （ ）
A． 3 10
10
B． 10
10
C． 3 10
10
D． 10
10
【答案】A
【分析】
利用诱导公式，可得3cos sin 0 ，进而可求得 tan 的值，根据同角三角函数的关系，结合 的范围，
即可求得答案.
【详解】
因为 3sin sin 02
，
所以3cos sin 0 ，所以 sintan 3cos
，
因为 ,0 ， 2 2sin cos 1
所以 3 10sin 10
.
故选：A.
6．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三一模（文））若 1sin cos 5
， 0, ，则
1 tan 2
1 tan 2
（ ）
A． 3 B． 1
3
C． 1
3 D．3
【答案】A
【分析】
先求出 4 3sin ,cos5 5
，
1 tan 2 0
1 tan 2
，再求出 2
1 tan 2( ) 9
1 tan 2
，即得解.
【详解】
由已知得 1sin cos 5
， 0, ，联立 2 2sin cos 1 ，
得 4 3 2 3 3sin ,cos , , , tan 15 5 2 2 4 4 2 8 2
.
所以
1 tan 2 0
1 tan 2
.
sin 21+
1 tan cos cos sin2 2 2 2
1 tan sin cos sin2 2 2 21
cos 2
,
所以 2 2
1 tan cos sin 1 sin2 2 2( ) ( ) 91 sin1 tan cos sin2 2 2
,
所以
1 tan 2 3
1 tan 2
.
故选：A
【点睛】
关键点睛：解答本题的关键是通过已知分析出 3
2 4
，得到
1 tan 2 0
1 tan 2
. 解答三角函数求值时，如
果出现多解，经常要挖掘题目中的隐含范围解答.
7．（2021·全国高三其他模拟）已知
2 2,
，且 2cos2 15sin 2 0 ，则 tan （ ）
A． 15
15
B． 15
15
C． 15 D． 15
【答案】A
【分析】
由余弦的二倍角公式转化已知式为关于sin 的方程，解得sin 后再求得 cos ，从而可得 tan ．
【详解】
由 2cos2 15sin 2 0 得 22 1 2sin 15sin 2 0 ，
即 24sin 15sin 4 0 ，解得 1sin 4
或sin 4 （舍）．
因为 ,2 2
，
所以 2 15cos 1 sin 4
，所以 sin 15tan cos 15
．
故选：A．
8．（2021·江西上饶市·高三一模（理））已知 ， 均为锐角， 5cos 13
， 4sin 3 5
，则
cos 3
（ ）
A． 33
65 B． 33
65
C． 63
65 D． 33
65
或 63
65
【答案】C
【分析】
先根据已知求出 12sin 13
和 3cos 3 5
，再把
3
拆成 3
，利用两角差
的余弦公式求值.
【详解】
∵ ， 为锐角，∴ 0, ， 5,3 3 6
∴ sin 0 ， 3 1cos ,3 2 2
，
∵ 5cos 13
，∴ 12sin 13
又∵ 4sin 3 5
，∴ 3cos 3 5
（ 3
5
舍去）
∴ cos cos3 3
5 3 12 4 63cos cos sin sin3 3 13 5 13 5 65
故选：C
【点睛】
利用三角公式求三角函数值的关键：
(1)角的范围的判断；
(2)根据条件进行合理的拆角，如 2 ( ) ， 等．
9．（2021·全国高三其他模拟）若函数 sin 3cos2 2
x xf x 在 , 0a a a 上单调递增，则 a 的取值
范围是（ ）
A． π0, 3
B． 2π0, 3
C． 4π0, 3
D． 5π0, 3
【答案】A
【分析】
化简函数 π2sin 2 3
xf x
，通过整体代换求得函数在 5π π4 π3 3
k x 4 π k k Z 单调递增，所以
5π π, ,3 3
a a ，从而得解.
【详解】
πsin 3cos 2sin2 2 2 3
x x xf x ，
由 π π π2 π 2 π2 2 3 2
xk k k Z ，得 5π π4 π3 3
k x 4 π k k Z ，
所以 5π π, ,3 3
a a ， π0, 3
a ，
故选：A．
10．（2021·河南高三其他模拟（理））若函数 ( ) sin( ) 2cosf x x x 的最大值为 7 ，则常数 的一个
可能取值为（ ）
A．
6
B．
3
C．
3
D．
6
【答案】D
【分析】
利用两角和的正弦公式和辅助角公式，将函数转化为 22cos sin 2 sin( )f x x ，再根据函
数 ( )f x 的最大值为 7 ，由 22cos sin 2 7 求解.
【详解】
( ) sin( ) 2cosf x x x ，
sin cos cos sin 2cosx x x ，
sin cos sin 2 cosx x ，
22cos sin 2 sin( )x ，
因为函数 ( ) sin( ) 2cosf x x x 的最大值为 7 ，且 xR
所以 22cos sin 2 7 ，
化简得 1sin 2
，
故选：D
11．（2021·黑龙江大庆市·高三一模（文））已知函数 ( ) sin( )f x x （ 0 ，| | ）的图象过点 2( ,1)3
，
且相邻两个零点的距离为 2 .若将函数 ( )f x 的图象向左平移
4
个单位得到函数 ( )g x 的图象，则函数 ( )g x
的解析式为（ ）
A． ( ) sin 2 3g x x B． 7( ) sin 2 12g x x
C． 1 7( ) sin 2 24g x x D． 1 5( ) sin 2 12g x x
【答案】C
【分析】
根据题设条件，求得函数 1( ) sin( )2 6f x x ，再结合三角函数的图象变换，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ( ) sin( )f x x 的图象相邻两个零点的距离为 2 ，
可得 2 4T w
，可得 1
2w ，即 1( ) sin( )2f x x
又由函数 f x 过点 2( ,1)3
，可得 1 2sin( ) 12 3
，解得 2 ,3 2 k k Z ，
即 2 ,6 k k Z ，又因为| | ，可得
6
π ，即 1( ) sin( )2 6f x x ，
将函数 ( )f x 的图象向左平移
4
个单位，可得 1 1 7sin[ ( ) ] sin( )2 4( ) 6 2 24xg xx ，
即函数 ( )g x 的解析式为 1 7si 4) n( )( 2 2g x x .
故选：C.
12．（2021·山东日照市·高三一模）将函数 siny x 的图象向左平移
2
个单位，得到函数 y f x 的图象，
则下列说法正确的是（ ）
A． y f x 是奇函数 B． y f x 的周期为π
C． y f x 的图象关于点 ,02
对称 D． y f x 的图象关于直线
2x 对称
【答案】C
【分析】
先求出 y f x 的解析式，再根据余弦函数的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
siny x 的图象向左平移
2
个单位，得到函数 sin cos2y f x x x
，
cosy f x x ， cos cosf x x x f x ，所以 cosy f x x 是偶函数，故选项 A 不正
确；
cosy f x x 的周期为 2 21T ，故选项 B 不正确；
cosy f x x 的图象对称中心为 ,02 k k Z
，所以关于点 ,02
对称，故选项 C 正确；
cosy f x x 对称轴为 x k k Z ，直线
2x 不是 y f x 的图象的对称轴，故选项 D 不正确；
故选：C.
13．（2021·山东高三专题练习）将函数 ( ) sin2 3cos2f x x x 的图像向左平移
12
个单位长度后，得到
( )y g x 的图像，则下列关于函数 ( )g x 的说法中正确的是（ ）
A． ( )g x 的最小正周期为 2 B． ( )g x 的图像关于直线
12x 对称
C． ( )g x 的最大值为 3 1 D． ( )g x 在 7,3 12
上为单调减函数
【答案】D
【分析】
由题可得 2sin 2 3f x x
，则 2sin 2 6g x x
，所以可得 ( )g x 的最小正周期为 ；令
2 6 2x k ，可得其对称轴；最大值为 2；而当 7,3 12x
时， 2 ,6 2x
，故可判断出正
确答案.
【详解】
2sin 2 3f x x
， 2sin 2 6g x x
，
所以 ( )g x 的最小正周期为 ，故 A 错；
令 2 6 2x k ，可得其对称轴为 ,2 3
kx k Z ，故 B 错；
( )g x 最大值为 2，故 C 错；
当 7,3 12x
时， 2 ,6 2x
，故答案 D 正确.
故选：D
14．（2021·河南高三其他模拟（文））已知曲线 1 : sinC y x ，曲线 2 cos 2 3:C y x
，则下列结论正
确的是（ ）
A．将曲线 1C 上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
6
个单位，得到曲
线 2C
B．将曲线 1C 上各点的横坐标变为原来的 2 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
12
个单位，得到曲
线 2C
C．将曲线 1C 上各点的横坐标变为原来的 1
2
，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
6
个单位，得到曲线
2C
D．将曲线 1C 上各点的横坐标变为原来的 1
2
，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移
12
个单位，得到曲线
2C
【答案】D
【分析】
利用三角函数的图象变换求出每一个选项的函数的解析式即得解.
【详解】
A.得到曲线 2C ： 1 1sin[ ( )] sin( )2 6 2 12y x x ，所以该选项错误；
B.得到曲线 2C ： 1 1sin[ ( )] sin( )2 12 2 24y x x ，所以该选项错误；
C.得到曲线 2C ： sin 2 sin 2 cos 26 3 6y x x x
，所以该选项错误；
D.得到曲线 2C ： sin 2 sin 2 sin 2 cos 212 6 2 3 3y x x x x
，所以该选项正
确.
故选：D
15．（2021·新疆高三其他模拟（理））若函数 ( ) sin2 cos2f x x a x 的一条对称轴为
8x ，则下列四个命
题
（1）函数 ( )f x 的一个对称中心为 ,08
；
（2）函数 ( )f x 在 5,8 8
上单调递减；
（3）将函数 ( )f x 图象向右平移
8
个单位，得到的函数为奇函数；
（4）若函数 ( )f x m 在区间 0, 上有两个不同的实根 1x ， 2x ，则 1 2
5
4x x .
其中正确的命题有（ ）
A．1个 B． 2 个 C．3个 D． 4 个
【答案】B
【分析】
由 2( ) sin2 cos2 1 sin(2 )f x x a x a x ，根据一条对称轴为
8
，由 2 8 2k k Z ， ，
求得 ( ) 2 sin 2 4f x x
，再逐项判断.
【详解】
2( ) sin2 cos2 1 sin(2 )f x x a x a x ，其中 tan 2 2a
，因为一条对称轴为
8
，则
2 8 2k k Z ， ，解得
4
， 1a ，所以 ( ) 2 sin 2 4f x x
，
则 ( ) 2 sin 2 08 8 4f
，所以函数 ( )f x 的一个对称中心为 ,08
，故（1）正确：
5,8 8x
，则 32 0,4 2x
，而 siny x 在 0, 3
2
上不单调，故（2）错误：
函数 ( )f x 图象向右平移
8
个单位，得到的函数为 2 sin 2y x ，是奇函数，故（3）正确：
令 2 4 2x k k Z ， ，则
2 8
kx k Z ， ，所以函数 ( )f x 在区间 0, 上有两个不同的对称轴
8x 和 5
8x ，若 f x m 有两个不同的实根 1x ， 2x ，则 1 2 4x x 或 5
4
，故（4）错误.
故选：B.
16．（2021·广东广州市·高三一模）函数 3( ) sinf x x x 在[ 1,1] 上的图像大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】
根据解析式和图象，结合特殊值，判断选项.
【详解】
因为函数 3( ) sinf x x x ， 1 1 sin1 0f ，故排除 AD，
3 3 1sin 06 6 6 6 2f
，故排除 B，只有 C 满足条件.
故选： C
17．（2021·江苏南通市·高三月考）函数 sin
| 2 1|
xy x
的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
确定函数图象关于直线 1
2x 对称，排除 AC，再结合特殊的函数值的正负或函数零点个数排除 B，得出正
确结论．
【详解】
函数定义域是 1| 2x x
，由于 2 1y x 的图象关于直线 1
2x 对称， siny x 的图象也关于直线
1
2x 对称，因此 ( )f x 的图象关于直线 1
2x 对称，排除 AC，
siny x 有无数个零点，因此 ( )f x 也有无数个零点，且当 x 时， ( ) 0f x ，排除 B．
故选：D．
【点睛】
思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
18．（2021·贵溪市实验中学高三一模）在 ABC 中，若 3 sin cosa B c b A ，则 B （ ）
A．
12
B．
6
C．
4
D．
3
【答案】B
【分析】
根据正弦定理，边角互化后得 3sin sin sin sin cosA B C B A ，再利用三角恒等变形计算角 B .
【详解】
根据正弦定理，可知 2 sina R A ， 2 sinb R B ， 2 sinc R C ，
代入原式可得 3sin sin sin sin cosA B C B A ,
又 A B C ， sin sin sin cos cos sinC A B A B A B ，
则 3sin sin sin cosA B A B ， sin 0A ，
sin 3tancos 3
B BB
，得
6B .
故选：B
19．（2021·全国高三专题练习）在 ABC 中， a ， b ， c 分别是 A ， BÐ ， C 的对边，且
2 cos 2sin sin
sin
a B C B
b B
，则 A （ ）
A．
3
B． 2
3
C．
4
D．
6
【答案】A
【分析】
由正弦定理将 2 cos 2sin sin
sin
a B C B
b B
，化为 2sin cos 2sin sin
sin sin
A B C B
B B
，化简得
2cos sin sinA B B ，从而得 1cos 2A ，进而可求出角 A 的值
【详解】
解：由 2 cos 2sin sin
sin
a B C B
b B
可得： 2sin cos 2sin sin
sin sin
A B C B
B B
则化简整理可知，
2cos sin sinA B B ，
因为 sin 0B ，所以 1cos 2A ，由 0,A ，故
3A .
故选：A.
20．（2020·青海海东市·高三一模（文））在 ABC 中，角 A 、 B 、C 的对边分别为 a 、b 、c .已知 2a ，
3b ， 5c ，则sinC （ ）
A． 5
9
B． 5
3
C． 2
3 D． 4
9
【答案】B
【分析】
利用余弦定理求出 cosC 的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得sinC 的值.
【详解】
由余弦定理可得
2 2 2 4 9 5 2cos 2 2 2 3 3
a b cC ab
，则角 C 为锐角，
因此， 2 4 5sin 1 cos 1 9 3C C .
故选：B.
21．（2020·全国高三专题练习）在 ABC 中，角 A ， B ，C 的对边为 a ，b ，c 着 4a ， 5b ， 6c ，
则 sin2
sin
A
C
（ ）
A． 1
2 B． 2
3 C． 3
4 D．1
【答案】D
【分析】
根据二倍角的正弦公式、正弦定理角化边和余弦定理可求得结果.
【详解】
∵
2 2 2sin 2 2sin cos 2 4 5 6 4 4 3cos 1sin sin 3 2 5 6 3 4
A A A a AC C c
，
故选：D.
【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理，考查了二倍角的正弦公式，属于基础题.
22．（2021·全国（理））在 ABC 中，内角 A，B，C 所对边分别为 a，b，c，若
3A ， 4b ， ABC
的面积为3 3 ，则sin B （ ）
A． 2 39
13
B． 39
13
C． 5 2
13
D． 3 13
13
【答案】A
【分析】
由面积公式可得 3c ，由余弦定理可得： 2 2 2 2 cos 13,a b c bc A 得 13a ，再由正弦定理可得答
案
【详解】
1 sin 3 3 32
S bc A c ，所以 3c ，
由余弦定理可得： 2 2 2 2 cos 13,a b c bc A 得 13a
又由正弦定理可得：
sin sin
a b
A B
，所以 sin 2 39sin 13
b AB a
，
故选：A.
23．（2021·甘肃高三一模（理））在 ABC 中， 120A ， 6BC ，则 ABC 的面积的最大值为（ ）
A． 1
2 B．1 C． 3 3
2
D．3 3
【答案】D
【分析】
由余弦定理得到 2 2b c 36 bc ，应用不等式求 bc 范围，即可求出面积的最值.
【详解】
由余弦定理，
2 2 26cos120 2
b c
bc
，
即 2 2 36 2b c bc bc ，当且仅当 b c 时，等号成立，
所以 max( ) 12bc ，
所以 max
1 1 3sin 12 3 32 2 2S bc A ，
故选：D
【点睛】
关键点点睛：由余弦定理得到 2 2 36b c bc ，应用重要不等式求出bc 的最大值是解题的关键，属于中
档题.
24．（2021·全国高三专题练习（理））在 ABC 中， 2, 6AB C ，则 3AC BC 的最大值为（ ）
A．5 7 B． 4 7 C．3 7 D． 2 7
【答案】B
【分析】
将 3AC BC 表示为角的形式，结合三角函数最值的求法，求得 3AC BC 的最大值.
【详解】
有正弦定理得
2 4sin sin sin sin 6
a b c
A B C ，
所以 4sin , 4sina A b B ，
所以 3AC BC 3 4sin 4 3sinb a B A
4sin 4 3sin 4sin 4 3sin 6B B C B B
4sin 4 3 sin cos cos sin6 6B B B
3 14sin 4 3 sin cos2 2B B B
10sin 2 3 cos 100 12 sin 4 7 sinB B B B .
其中 2 3 3 3tan 010 5 3 6
，
由于 5
6 6B ，所以
3 B ，
故当
2B 时， 3AC BC 的最大值为 4 7 .
故选：B
【点睛】
要求与三角形边长有关的最值问题，可以利用正弦定理将边转化为角，然后利用三角函数的最值的求法来
求最值.
25．（2021·江西高三其他模拟（文））“欲穷千里目，更上一层楼”出自唐朝诗人王之涣的《登鹳雀楼》，鹳雀
楼位于今山西永济市，该楼有三层，前对中条山，下临黄河，传说常有鹳雀在此停留，故有此名．下面是
复建的鹳雀楼的示意图，某位游客（身高忽略不计）从地面 D 点看楼顶点 A 的仰角为 30°，沿直线前进 79
米到达 E 点，此时看点C 的仰角为 45°，若 2BC AC ，则楼高 AB 约为（ ）．
A．65 米 B．74 米 C．83 米 D．92 米
【答案】B
【分析】
设 AC 的高度为 x ，在直角三角形中用 x 表示出 ,BE BD ，由 79ED 可求得 x 得楼高．
【详解】
设 AC 的高度为 x ，
则由已知可得 3AB x ， 2BC BE x ， 3 3tan
ABBD xADB
，
所以 3 3 2 79DE BD BE x x ，解得 79 24.7
3 3 2
x
，
所以楼高 3 24.7 74.1 74AB （米）．
故选：B．
【点睛】
本题考查解三角形的实际应用．属于基础题．
二、多选题
26．（2020·全国高一课时练习）在 ABC 中,内角 , ,A B C 的对边分别为 , , ,a b c 若 , 2, 2 36A a c ,则
角C 的大小是( )
A．
6
B．
3
C． 5
6
D． 2
3
【答案】BD
【分析】
由正弦定理可得
sin sin
a c
A C
,所以 3sin sin 2
cC Aa
,而 a c ,可得 A C ,即可求得答案.
【详解】
由正弦定理可得
sin sin
a c
A C
,
3sin sin 2
cC Aa
,而 a c ,
A C ,
5
6 6C ,
故
3C 或 2
3
.
故选:BD.
【点睛】
本题考查了根据正弦定理求解三角形内角,解题关键是掌握正弦定理和使用正弦定理多解的判断,考查了分
析能力和计算能力,属于中等题.
27．（2021·全国高一课时练习）在 ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，已知 cos
cos 2
B b
C a c
，
3 3
4ABCS △ ，且 3b ，则（ ）
A． 1cos 2B B． 3cos 2B C． 3a c D． a c 3 2
【答案】AD
【分析】
利用正弦定理边化角，再结合余弦定理即可求解.
【详解】
cos sin
cos 2 2sin sin
B b B
C a c A C
.
整理可得: sin cos 2sin cos sin cosB C A B C B
可得 sin cos sin cos sin( ) sin 2sin cosB C C B B C A A B
A 为三角形内角, sin 0A
1cos ,2B 故 A 正确，B 错误.
(0, )B
3B
3 3 , 34ABCS b
3 3 1 1 3 3sin4 2 2 2 4ac B a c ac
解得 3ac ,
由余弦定理得 2 2 2 29 ( ) 3 ( ) 9a c ac a c ac a c
解得 a c 3 2 , 故 C 错误，D 正确.
故选: AD.
【点睛】
解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边”.
28．（2021·广东肇庆市·高三二模）函数 sinAf x x （ 0A ）的部分图象如图所示，则 f x （ ）
A． 22sin 2 3x B． 52sin 2 3x
C． 2cos 2 6x D． 72cos 6x
【答案】BC
【分析】
先求出 A ，再根据图像得出周期，进而算出 ，最后代入点算出 .
【详解】
根据图象，可得 2A ，设 f x 的最小正周期为T
则 3 7 3
4 12 6 4T
，解得T ，所以 2 2T
.
将最低点的坐标 7 , 212
代入 2sin 2f x x 中
得 72sin 2 212
，则 7 26 2k （ k Z ）
解得 52 3k （ k Z ），所以 52sin 2 2 3x kf x .
令 0k ，则 5 7 72sin 2 2sin 2 2cos 2 2cos 23 6 2 6 6xx xf x x
故选：BC.
29．（2021·全国高三其他模拟）已知函数 ( ) 2sin( ) 0 5,| | 2f x x
，且对任意 xR ，
( ) 12f x f
恒成立，
3y f x
为奇函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数 ( )f x 的图象关于原点对称
B．函数 ( )f x 的最小正周期为
C．函数 ( )f x 的图象关于直线
2x 对称
D．函数 ( )f x 的单调递增区间为 5 , ( )12 12k k k
Z
【答案】BD
【分析】
由 ( ) 12f x f
恒成立可得 212f
，即 ( )12 2k k Z ，由
3y f x
为奇函数可得
3 k k Z ，即可求出 2 n 2) 3( sif x x
，再根据正弦函数的性质分别判断即可.
【详解】
因为对任意 xR ， ( ) 12f x f
恒成立，所以 2sin 212 12f
，
即sin 112
，得 ( )12 2k k Z ①.
2sin 2sin3 3 3f x x x
，因为
3y f x
为奇函数，
所以 3 k k Z ②.
由①②可得 ,3 12 2k k k k Z ，
即 4 2 , )k k k k Z .又 0 5 ，所以 1k k ， 2 ，
则 2 , )3 3k k k k Z ，得
3
，
所以 2 n 2) 3( sif x x
，
由于 (0) 3 0f ，故 ( )f x 的图象不关于原点对称，所以 A 不正确；
( )f x 的最小正周期 2
2T ，所以 B 正确；
2sin 2 2sin 2sin 3 22 2 3 3 3f
，所以 C 不正确；
令 2 2 22 3 2k x k ， k Z ，得 5
12 12k x k ， k Z ，
故函数 ( ) f x 的单调递增区间为 5 , ( )12 12k k k
Z ，所以 D 正确.
故选：BD.
【点睛】
关键点睛：本题考查正弦型函数的性质，解题的关键是：（1）根据“对任意 xR ， ( ) 12f x f
恒成立”
得到“ 212f ”；（2）得到“ 2sin3 3f x x ”后，能根据“ 3y f x
为奇函数”得到
“ 3 k k Z ”.
30．（2021·全国高三其他模拟）已知向量 2sin , 3m x ， (cos ,cos2 )n x x ，设函数 ( )f x m n ，则（ ）
A．函数 ( )f x 的图象关于直线
3x 对称
B．对任意的 xR ，都有 06 6f x f x
C． ( )f x 在 5,12 12
上单调递增
D．将 ( )f x 的图象向左平移 5
12
个单位长度后得到的图象对应的函数为奇函数
【答案】BC
【分析】
由平面向量数量积的坐标公式求出 ( )f x ，代入
3x 求值，可判断选项 A；代入
6x ，可判断选项 B；
由正弦函数的单调性可判断选项 C；利用平移计算可判断选项 D．
【详解】
由题意得 ( ) sin 2 3cos2 2sin 2 3f x m n x x x
，
因为 2sin 2 3 23 3 3f
，所以 A 选项不正确；
因为 2sin 2 06 6 3f
，所以函数 ( )f x 的图象关于点 ,06
对称，
故对任意的 xR ，都有 06 6f x f x
，故 B 选项正确；
当 5,12 12x
时， 2 ,3 2 2x
，所以 ( )f x 在 5,12 12
上单调递增，故 C 选项正确；
将 ( )f x 的图象向左平移个单位长度后，得到 52sin 2 2cos212 3y x x
的图象，
故 D 选项不正确.
故选：BC
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