专题16 圆锥曲线中的面积问题-2021年高考数学高分突破冲刺练（全国通用）(解析版)

专题 16 圆锥曲线中的面积问题 一．选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．过抛物线  2 2 0y px p  的焦点 F 作斜率为 3 4 的直线与抛物线相交于 A 、B 两点，线段 AB 的中点为 M ，垂直平分线与 x 轴相交于点 N ，则 ABN 与 FMN 的面积的比值为（ ） A． 4 3 B． 5 2 C． 4 2 3 D． 3 3 2 【解析】如图所示： ,AP BQ 垂直于准线于 ,P Q ，作 AH BQ 于 H . 直线斜率为 3 4 ，故 3tan 4BFN  ，故 3tan 4FBQ  ， 4cos 5 BHFBQ AB    ， 故 4 5 BH FB FA AB FB FA   ，故 9FB FA ，故 4MF FA ， 10 5 4 2 ABN FMN S AB AF S MF AF      .故选： B . 2． 1 2,F F 分别为椭圆 2 2 14 2 x y  的左右焦点，P 为椭圆上一动点， 2F 关于直线 1PF 的对称点为 1,M F 关于 直线 2PF 的对称点为 N，则当|MN|最大时， 1 2PF FS 为（ ） A．2 B． 2 C． 2 3 3 D． 3 3 【解析】由 2 2 14 2 x y  ，得 2 4a  ， 2 2b  ，则 2 2 2 2c a b   ，  1 2( 2,0), ( 2,0)F F ，连接 PM， PN ， 1 2| | | | | | | | 2PM PN PF PF a    ， 当 P ， M ， N 共线时，| |MN 最大，此时 1 1 2MPF F PF   ， 1 2 2F PF F PN   ， 由 1 1 2 2 180MPF F PF F PN      ，得 1 2 60F PF  ， 在△ 1 2F PF 中，由余弦定理可得： 2 2 2 1 2 1 24 | | | | 2| || | cos60c PF PF PF PF    ，  2 1 2 1 28 (| | | |) 3| || |PF PF PF PF   ，即 1 2 8| || | 3PF PF  ．  1 2 1 8 3 2 3 2 3 2 3PF FS     ．故选： C ． 3．坐标原点O 且斜率为  0k k  的直线l 与椭圆 2 2 14 x y  交于 M 、N 两点.若点 11, 2A     ，则 MAN△ 面积的最大值为（ ） A． 2 B． 2 2 C． 2 2 D．1 【解析】直线 l 方程为 y kx ，代入椭圆方程得 2 21( ) 14 k x  ， 2 2 1 4 x k    ， 设 ( , ), ( , )M M N NM x y N x y ，则 2 2| | ( ) ( )N M N MMN x x y y    2 2 2 22 2 2 2 11 1 4 1 41 4 1 4M N kk x x k kk k          ， 点 A 到直线 l 的距离为 2 1 2 1 k d k    ， 所以 2 121 2 2 1 4AMN k S d MN k    △ 2 1 2 1 4 k k   （ k 0 ）， 记 2 1 2( ) 1 4 kf k k   ，则 2 2 32 2 2 82 1 4 (1 2 ) 2(2 1)2 1 4( ) 1 4 (1 4 ) kk k kkf k k k           ， 当 1 2k   时 ( ) 0f k  ， ( )f k 递增，当 1 02 k   时， ( ) 0f k  ， ( )f k 递减， 所以 1 2k   时， ( )f k 取得唯一的极大值也是最大值 1( ) 22f   ．即△MAN 面积的最大值为 2 ． 故选：A． 4．已知平面内的一个动点 P 到直线 l：x＝ 4 3 3 的距离与到定点 F（ 3 ，0）的距离之比为 2 3 3 ，点 11, 2A     ， 设动点 P 的轨迹为曲线 C，过原点 O 且斜率为 k（k＜0）的直线 l 与曲线 C 交于 M、N 两点，则△MAN 面 积的最大值为（ ） A． 2 B．2 2 C． 2 2 D．1 【解析】设动点  ,P x y 到 l 的距离为 d, 由题意得 2 3 3 d PF  ，所以  2 2 4 3 3 2 3 33 x x y     ， 化简整理得曲线 C 的方程为 2 2 14 x y  ， 若直线 l 存在斜率，设其方程为 y kx ，设直线 l 与曲线 C 的交点    1 1 2 2, , ,M x y N x y ， 将 y kx 代入曲线 2 2 14 x y  中得  2 21 4 4 0k x   ， 1 2 1 2 2 40, 1 4x x x x k       ， 所以       2 22 2 1 2 1 2 1 2| | 1 1 4MN k x x k x x x x           2 2 2 2 16 4 11 1 4 1 4 kk k k      ， 又点 A 到直线 l 的距离 1 2 1 2 1 k d k    ，故 MAN△ 的面积 1 2 1 | 2 1|| |2 1 4 kS MN d k     ， 所以 2 2 2 2 (2 1) 411 4 1 4 k kS k k     ， （1）当 0k  时， 2 1S  ，则 1S  ； （2）当 >0k 时， 2 1S  ，则 1S  ； （3）当 0k  时， 2 4 41 1 21 2 4( 4 ) S kk            （当且仅当 1 4kk    ，即 1 2k   取等号），则 2S  ； 若直线 l 不存在斜率， MN=2. 于是 MAN△ 的面积 1 2 1 12S     ， 综上得： MAN△ 的面积的最大值为 2 .故选：A. 5．已知斜率为 ( 0k k  的直线 l 与椭圆 2 2 14 x y  交于  1 1,A x y ，  2 2,B x y 两点，O 为坐标原点，设直 线 OA ， OB 的斜率分别为 1k ， 2k ，且满足 2 1 2k k k ，设 OAB 的面积为S ，以 OA ， OB 为直径的圆的 面积分别为 1S ， 2S ，则 1 2S S S  的最小值为（ ） A． 5 2  B． 5 6  C． 5 4  D． 5 8  【解析】设直线l 的方程为 y kx m  ，根据题意可知 0m  ， 联立直线 l 和椭圆方程 2 2 14 y kx m x y     消去 y ，可得：   2 2 21 4 8 4 1 0k x kmx m     ，    2 2 2 264 4 1 4 4 1 0k m k m       ，可得 2 21 4m k  ， 根据韦达定理：  2 1 2 1 22 2 4 18 ,1 4 1 4 mkmx x x xk k       ， 由   1 22 1 2 1 2 kx m kx mk k k x x    ，化简可得   2 1 2 0km x x m   ， 可得 2 1 4k  ， 0k  ， 1 2k  ，m2＜2， ( 2,0) (0, 2)m   设O 到直线 l 距离为 d ，根据点到直线距离公式可得： 2 | | 1 md k   则 2 2 1 2 2 1 1 | || | 1 2 | |2 2 1 mS AB d k x x m m k            ， 由 2 2 2 21 2 1 2 14 4 x xy y    ，     22 2 2 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 3 524 16 2 4S S x y x y x x x x                  1 2 2 22 5 1 5 1 5 4 4 42 1 1 S S S m m m              ， 当且仅当 1m   时取等号，这时 1 2S S S  的最小值为 5 4  ；故选：C． 6．已知双曲线 E 的方程为 2 2 14 yx   ，其左右焦点分别为 1F ， 2F ，已知点Q 的坐标为 1 1， ，双曲线 E 上 的点 P 满足 1 2 1 2 PF PQ PF PQ PF PF         ，则三角形 1PQF 与三角形 2PQF 面积之差为（ ） A．2 B．1 C． 5 D．4 【解析】如图所示：  1 5,0F  ，  2 5,0F ，故 2 1 7 2 5QF   ， 2 2 7 2 5QF   . 1 2 1 2 PF PQ PF PQ PF PF         ，则 1 2F PQ F PQ   ，故 2F 关于 PQ 对称的点在 1PF 上，设为 M . 1 1 1 2 2MF PF PM PF PF     . 在 1MQF 中，根据余弦定理： 2 2 2 1 1 1 12 cosQF MF MQ MF MQ F MQ     ， 得到： 1 1 5cos 7 2 5 F MQ    ，故 1 1sin 7 2 5 F MQ   . 1 1 1 1 sin 12MF QS MF MQ F MQ      .故选： B . 7．已知双曲线   2 2 2 2 1 0, 0x y a ba b     的左、右顶点分别是 ,A B ，双曲线的右焦点 F 为 2,0 ，点 P 在 过 F 且垂直于 x 轴的直线 l 上，当 ABP 的外接圆面积达到最小时，点 P 恰好在双曲线上，则该双曲线的 方程为（ ） A． 2 2 12 2 x y  B． 2 2 13 yx   C． 2 2 13 x y  D． 2 2 14 4 x y  【解析】不妨设点 P 的坐标为 2,m  0m  ，由于 AB 为定值，由正弦定理可知当sin APB 取得最大 值时， APB 的外接圆面积取得最小值，也等价于 tan APB 取得最大值， 因为 2tan aAPF m   ， 2tan aBPF m   ， 所以   2 2 2 2 2 2tan tan 2 21 2 a a a a am mAPB APF BPF a a b bbm mm m m m                ， 当且仅当 2bm m   0m  ，即当 m b 时，等号成立， 此时 APB 最大，此时 APB 的外接圆面积取最小值， 点 P 的坐标为 2,b ，代入 2 2 2 2 1x y a b   可得 2a  ， 2 2 2b c a   ． 所以双曲线的方程为 2 2 12 2 x y  ．故选： A 8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 2: 4C x y ，点 P 是C 的准线 l 上的动点，过点 P 作C 的两 条切线，切点分别为 ,A B ，则 AOB 面积的最小值为（ ） A． 2 B． 2 C． 2 2 D． 4 【解析】设 0 1 1 2 2( , 1), ( , ), ( , )P x A x y B x y ,因为 2 xy  ， 则过点 ,A B 的切线 2 2 1 1 2 2 1 2( ), ( )4 2 4 2 x x x xy x x y x x      均过点 0( , 1)P x  ，则 2 2 1 1 2 2 0 1 0 21 ( ), 1 ( )4 2 4 2 x x x xx x x x        ，即 1 2,x x 是方程 2 01 ( )4 2 x x x x    的两根， 则 1 2 0 1 22 , 4x x x x x    ，设直线 AB 的方程为 y kx b  ，联立 2 4{x y y kx b    ， 得 2 4 4 0x kx b   ，则 1 2 4 4x x b    ，即 1b  ，则 2 2 2 1 2 1 2 02 1 1(1 )[( ) 4 ] 4 22 1AOBS k x x x x x k           ， 即 AOB 的面积的最小值为 2；故选 B. 9．设 1 2,F F 是双曲线 2 2 : 14 8 x yC   的两个焦点，O 为坐标原点，点 P 在 C 的左支上，且 1 1 2 3 | | | | OF OP F P OP OP OP          ，则 1 2PF F△ 的面积为（ ） A．8 B．8 3 C．4 D． 4 3 【解析】由  1 11 1 2 3 | | | | | | | | OF F P OPOF OP F P OP OP OP OP OP OP OP OP                      ， 不妨设  1 2 3,0F  ，  2 2 3,0F ， 所以 1 2 1| | 2OP F F ，所以点 P 在以 1 2F F 为直径的圆上， 即 1 2PF F△ 是以 P 为直角顶点的直角三角形， 故 2 2 2 1 2 1 2PF PF F F  ，即 2 2 1 2 48PF PF  ．又 1 2 2 4PF PF a   ， 所以   2 22 1 2 1 2 1 2 1 216 | | | | 2 48 2PF PF PF PF PF PF PF PF       ， 解得： 1 2 16PF PF  ，所以 1 2 1 2 1 82PF FS PF PF  ．故选：A 10．在平面直角坐标系 xOy 中，有定点  1,1M  ，  1,0F ，动点 P 满足 PF PM OF    ，记动点 P 的 轨迹为C ，过  1,0F 且斜率为 k 的直线与C 交于 A ， B 两点，若 0MA MB   ，则 ABM 面积S 的值为 （ ） A． 5 B． 5 5 2 C． 15 5 4 D． 5 2 【解析】设点  ,P x y ，则  1,PF x y  ，  1, 1PM x y   ，  1,0OF  ， 故根据 PF PM OF    得：  2 21 1x y x    ，整理得： 2 4y x 故过  1,0F 且斜率为 k 的直线方程为：  1y k x  ， 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y ，    1 1 2 21, 1 , 1, 1MA x y MB x y       曲线 C 与直线联立方程：   2 4 1 y x y k x     得：  2 2 2 22 4 0k x k x k    ， 2 4 4 0ky y k   ， 故 2 1 2 1 22 2 4 , 1kx x x x k    ， 1 2 1 2 4 , 4y y y yk     ， 所以      1 2 1 21 1 1 1 0MA MB x x y y         即：  1 2 1 2 1 2 1 21 1 0x x x x y y y y        ， 所以 2 4 4 1 0k k    ，即： 2 4 4 0k k   ，解得： 2k  所以 1 2 2 5AB x x    ， 故过  1,0F 且斜率为 k 的直线方程为：  2 1y x  ， 所以点 M 到直线  2 1y x  的距离为： 2 1 2 5 5 d     ， 所以 ABM 面积为 1 5 55 52 2S     .故选：B. 11．已知抛物线 2: 2C y px 的焦点为 F ，过抛物线上两点 A ， B 分别向抛物线C 的准线作垂线，垂足为 M ，N ，且  9 5OBN OAM ABNMS S S  梯形△ △ ，当直线 AB 经过点 F 且点 F 到抛物线C 准线的距离为 4 时， 直线 l 的斜率为（ ） A． 2 B． 2 2 C． 8 D． 2 3 【解析】因为点 F 到抛物线C 准线的距离为 4，所以 4p  ，所以 2 8y x ， 设抛物线 C 的准线与 x 轴交于点 H ，因为  9 5OBN OAM ABNMS S S  梯形△ △ ， 所以     1 1 42 2 1 9 2 M N A B OMN OAB ABMN M N OH y y OF y yS S S AM BN y y          梯形 △ △ ， 因为 2OH OF  ， M N A By y y y   ， AM BN AB  ， 所以 4 4 9 OMN OAB ABMN S S S AB    梯形 △ △ ，则 9AB  ， 显然直线 AB 的斜率存在，不妨设为 k ，则  : 2AB y k x  ， 与抛物线联立可得：  2 2 2 24 8 4 0k x k x k    ，从而 2 84A Bx x k    ， 所以 2 84 8 9A BA kB x x      ，解得 2 2k   .故选：B 12．过抛物线  2 2 0y px p  的焦点 F 作抛物线的弦，与抛物线交于 A ， B 两点，分别过 A ， B 两点作 抛物线的切线 1l ， 2l 相交于点 P ， PAB△ 又常被称作阿基米德三角形． PAB△ 的面积 S 的最小值为（ ） A． 2 3 p B． 2 2 p C． 2p D． 22p 【解析】设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，由题意可得直线 AB 的斜率不为 0, 因为直线 AB 过焦点 ,02 p     ，所以设直线 AB 的方程 2 px my  ； 联立 2 4 2 y x px my     得 2 22 0y mpy p   ，所以 2 1 2 1 22 ,y y mp y y p    ，    22 2 1 2 1 21 4 2 1AB m y y y y p m      由抛物线的性质可得过点  1 1,A x y ，  2 2,B x y 的抛物线的切线方程为：    1 1 2 2,yy p x x yy p x x    ， 联立     1 1 2 2 yy p x x yy p x x      得 1 2 2 2x p y y p   ， 1 2 2 y yy mp  ，即 ,2 pP mp    . 点 P 到直线的距离  2 2 1 1 p m d m    ，  3 2 2 221 12PABS AB d p m p   △ ，当且仅当 0m  时取到最小值.故选：C. 二．填空题 13．已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F ，过点 F 的直线与抛物线C 交于点  1 1,M x y ，  2 2,N x y ，若点  2 2,P x y ，且 10MPFS △ ，则直线 MN 的斜率为__________． 【解析】设直线 MN 的斜率为 k ，则直线  : 1MN y k x  ；联立   2 1 , 4 , y k x y x      ，消去 y 得，  2 2 2 22 2 0k x k x k    ，则 1 2 2 42x x k    ， 1 2 1x x ，故 1 1MF x  ， 2 1PF x  ； 设直线 MN 的倾斜角为 ，则 tan k  ，故   2 2 22tansin sin 2 sin 2 1 tan 1 kMFP k           ， 故     1 2 1 2 1 2 2 21 1 41 1 sin 2 12 2 1MPF kS x x x x x x k k            △ ；令 4 10k  ， 解得 2 5k   ． 14．已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的短轴长为 8，上顶点为 A，左顶点为 B ， 1 2,F F 分别是椭圆的左､右 焦点，且 1F AB 的面积为 4，点 P 为椭圆上的任意一点，则 1 2 1 1 PF PF  的取值范围为___________. 【解析】由已知得 2 8b  ，故 4b  ， ∵ 1F AB 的面积为 4 ，∴  1 42 a c b  ，∴ 2a c  ， 又   2 2 2 16a c a c a c b      ，故 8a c  ， ∴ 5a  ， 3c  ， ∴ 1 2 1 2 1 2 1 1 PF PF PF PF PF PF        2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 10 10 10 2 10 10 5 25 a PF a PF PF PF PF PF PF           ， 又而 1a c PF a c    ，即 12 8PF  ， ∴当 1 5PF  时，  2 1 5 25PF   最大，为 25 ； 当 1 2PF 或8 时，  2 1 5 25PF   最小，为16 ，即  2 116 5 25 25PF     ， ∴ 1 2 10 1 1 10 25 16PF PF    ，即 1 2 2 1 1 5 5 8PF PF    . 即 1 2 1 1 PF PF  的取值范围为 2 5,5 8      . 15．在抛物线 2 4y x 上任取一点 A (不为原点)，F 为抛物线的焦点，连接 AF 并延长交抛物线于另一点 ,B 过 ,A B 分别作准线的垂线，垂足分别为 , .C D 记线段 CD 的中点为 ,T 则 ATB 面积的最小值为______． 【解析】焦点为 (1,0)F ，设直线 AB 方程为 1x my  ， 由 2 4 1 y x x my      2 4 4 0 4,A By my y y       取 AB 的中点为 M ，连接 MT ，则 AC AF ， BD BF ， 1 1( )2 2MT AC BD AB   ， 1 1 2 4ATB A B A BS TM y y AB y y     2 2 2 21 1 1 24 4 4 A B A B A B y y y y y y         1 2 2 2 44 2 A B A B A B y y y y y y        ，故 2A By y  时面积最小为 4 . 16．已知双曲线C ： 2 2 13 yx   的左、右焦点分别为 1F ， 2F ， M 是双曲线C 左支上的点， 1 2MF F△ 的 周长是 9，动点 P 在双曲线 C 的右支上，则 1MF P△ 面积的取值范围是________. 【解析】∵ M 是双曲线C 左支上的点，∴ 2 1 2MF MF  . ∵ 1 2MF F△ 的周长是 9，∴ 2 1 1 2 9MF MF F F   . ∵ 1 2 4F F  ，∴ 1 3 2MF  ， 2 7 2MF  . 设  0 0,M x y ，则    2 22 2 1 0 0 0 0 32 2 3 3 2MF x y x x        ， 解得 0 5 4x   ， 0 3 3 4y   . 根据双曲线的对称性，不妨取 0 3 3 4y  ，则 5 3 3,4 4M      ， ∴ 1 3MFk  ，∴直线 1MF 的方程为  3 2y x  . ∵直线 1MF 与渐近线 3y x 平行， ∴双曲线 C 的右支上任意一点到直线 1MF 的距离都大于两平行线间的距离，即都大于 3 ， ∴ 1 1 1 3 332 4MF PS MF   . 三．解答题(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．已知抛物线C ：  2 2 0y px p  的焦点为 F ，过点 F 且垂直于 x 轴的直线交抛物线C 于 D ､ E 两点， 且 4DE  . （1）求抛物线C 的方程； （2）设直线 l 过点  2,0A 且与抛物线C 交于 ,P Q 两点，点 R 在抛物线 C 上，点 N 在 x 轴上， 0NP NQ NR      ，直线 PR 交 x 轴于点 B ，且点 B 在点 A 的右侧，记 APN 的面积为 1S ， RNB 的面 积为 2S ，求 1 2 S S 的最小值. 【解析】（1）由已知可得：焦点 ,02 pF      ， 将 2 px  代入抛物线的方程，可得： 2 2y p ，则 2 4DE p  ，解得： 2p  ， 抛物线C 的方程为 2 4y x ； （2）设  ,P PP x y ，  ,Q QQ x y ，  ,R RR x y ，  ,0NN x ， 令  2 0Py t t  ，则 2 Px t ，直线 l 过点  2,0A ，直线 l 的方程为 2 2 22 tx yt   ， 将其与 2 4y x 联立并消去 x 得：  2 2 2 2 8 0 t y yt     ， 由根与系数的关系得： 2 8Qty   ，即 4 Qy t   ， 2 4 4Q t t      ， ， 0NP NQ NR        ， N 为 PQR 的重心， 3 P Q R N x x xx    ， 0 3 P Q Ry y y  ， 42R P Qy y y t t        ，则 22 Rx t t       ， 4 2 2 2 4 8 3 3 P Q R N x x x t tx t       ， 2 ,2 42R t tt t             ， 4 2 2 2 4 8 ,03 t tN t       ， 则直线 PR 的方程为  22y t t x t   ，令 0y  得： 2 2x t  ，即  2 2,0B t  ， 点 B 在点 A 的右侧， 2 2 2t   ，即 2 4t  ，    4 2 24 2 2 1 2 4 44 2 2 1 2 2 42 10 82 21 2 4 42 8 2 P R NA y t t tt tS t S t t tt tNB y               ， 令 2 4m t  ，则 0m  ， 1 2 2 2 2 2 1 2 32 2 2 2128 12 212 2 3 48 2 8 S m S m m m mm m                ，（当且仅当 12m m  ，即 2 3m  时取等号）， 1 2 S S  的最小值为 2 2 3 . 18．如图所示， 1F ､ 2F 分别是椭圆 C ： 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的左､右焦点，点 P 在椭圆C 上.当 1 2F PF 最大时， 1 2 3cos 5F PF  且 2 1 2 2PF F F   . （1）求椭圆C 的标准方程； （2）直线 2PF 与椭圆C 的另一交点为Q ，过 1F 作直线 PQ 的垂线 l ， l 与圆 2 2 2x y b  交于 A ､ B 两点， 求四边形 APBQ 面积的最大值. 【解析】（1）当 1 2F PF 最大时，点 P 与椭圆C 的上顶点或下顶点重合， 设 (0 )P b， ，则 2 2 2 1 2 (2 ) 3cos 2 5 a a cF PF a a     ①， 2 2 1 2 ( ) (2 0) 2 2PF F F c b c c       ， ， ②， 由①②得 2 1c  ， 2 5a  ，于是 2 2 2 4b a c   ， ∴椭圆C 的标准方程是 2 2 15 4 x y  ； （2）当直线 PQ 的斜率不存在时，| | 4AB  ， 8 5 5PQ  ， 则四边形 APBQ 的面积是 16 5 5 ， 当直线 PQ 的斜率存在时，设直线 PQ 的方程为 ( 1)y k x  ， 1 1( )P x y， ､ 2 2( )Q x y， ， 将 ( 1)y k x  与 2 2 15 4 x y  联立并消去 y ，整理得 2 2 2 2(5 4) 10 5 20 0k x k x k     ， 0  恒成立，则 2 1 2 2 10 5 4 kx x k    ， 2 1 2 2 5 20 5 4 kx x k    ， 则 2 2 2 1 2 1 2 2 8 5( 1)1 ( ) 4 5 4 kPQ k x x x x k        ， 由于直线 l 与直线 PQ 垂直，且经过点 1F ，∴直线 l 的方程为 1 0x ky   ， ∴点 O 到直线l 的距离为 2 1 1k  ，∴ 2 2 2 2 2 1 4 32 ( ) 2 1 1 kAB b k k       ， 则四边形 APBQ 的面积： 2 2 2 2 2 2 2 1 8 5 1 4 3 8 5 2 5 4 4 3 1 1 4 3 k kS AB PQ k k k k k           ， 由于 2 2 2 4 3 14 [ 3 2)1 1 k k k      ， ，∴ 2 2 2 2 4 3 1 4 3 5[ )1 4 3 3 2 k k k k     ， ， 于是 16 5( 2 15]5S  ， (当 0k  时取得最大值)， 综上可知，四边形 APBQ 面积的最大值为 2 15 . 19．如图，已知椭圆 2 2 14 x y  的左、右顶点分别为 A ， B ，  2,2P ，线段OP （O 为坐标原点）交椭 圆于点C ，D 在线段OC 上（不包括端点），连接 AD 并延长，交椭圆于另一点 E ，连接 PE 并延长，交椭 圆于另一点 F ，连接 BF ， DF ．记 1S ， 2S 分别为 BCD△ 和 BDF 的面积． （1）求 OC 的值； （2）求 1 2S S 的最大值． 【解析】（1）因为  2,2P ，所以直线OP 的方程为 y x ， 将直线OP 的方程与椭圆的方程联立，可得 2 2 1,4 x y y x      解得 2 , 5 2 5 x y     或 2 , 5 2 5 x y       又由题意得点 C 位于第一象限，所以 2 2, 5 5 C      ． 因此 2 22 2 2 10 55 5 OC             ． （2）由题意易知直线 PF 的斜率一定存在且大于 1，故设直线 PF 的方程为  2 2y k x   （ 1k  ）， 即 2 2y kx k   ， 联立方程，得 2 2 1,4 2 2 , x y y kx k        化简得     2 2 21 4 16 1 4 4 8 3 0k x k k x k k       ， 由 0  得      2 2 216 1 4 1 4 4 4 8 3 0k k k k k         ， 即8 3 0k   ，得 3 8k  ，故 1k  ． 设  1 1,E x y ，  2 2,F x y ，则     1 2 2 2 1 2 2 16 1 ,1 4 4 4 8 3 .1 4 k kx x k k k x x k         易知  2,0A  ，连接 AF ，所以直线 AE 的斜率 1 1 2AE yk x   ，直线 AF 的斜率 2 2 2AF yk x   ， 所以 1 2 1 2 2 21 1 AE AF x x k k y y              1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x kx k x kx k kx k kx k                   1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2 4 2 2 2 2 (2 2 ) kx x x x k k x x k k x x k                          2 2 22 2 2 2 8 4 8 3 16 2 2 4 2 2 1 4 4 4 8 3 8 2 2 2 2 2 2 1 4 k k k k k k k k k k k k k k k                 8 16 4 8 k k   2 ．① 因为点 D 在直线 y x 上，所以 D Dx y ，又  2,0B ， 所以直线 AD 的斜率 2 D AD D yk x   ，直线 BD的斜率 2 D BD D yk x   ， 所以 2 21 1 2D D AD BD D D x x k k y y      ．② 又 1 1 AE ADk k  ，③ 则由①②③可得 1 1 AF BDk k  ，即 AF BDk k ． 设  ,D m m （ 20 5 m  ），则 2 1 22BDF BDAS S S BA m m      ． 又 2 2, 5 5 C      ，所以 2 22 2 2 22 2 5 5 5 5 CD m m m m                        又点 B 到直线CD 的距离 2 2 2 d   ， 所以 1 1 1 2 22 22 2 5 5BDCS S CD d m m             ． 因此 2 1 2 2 2 252 2 2 55 m m S S m m                      ， 当且仅当 2 5 m m  ，即 5 5m  时等号成立， 所以 1 2S S 的最大值是 2 5 ． 20．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的上顶点到右顶点的距离为 7 ，离心率为 1 2 ，过椭圆C 的左焦 点 1F 作不与 x 轴重合的直线 MN 与椭圆C 相交于 ,M N 两点，过点 M 作直线 : 2m x a  的垂线 ME ， E 为垂足． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）①已知直线 EN 过定点 P ，求定点 P 的坐标；②点O 为坐标原点，求 OEN 面积的最大值． 【解析】（1）由题意得： 2 2 2 2 2 7 1 2 a b ce a a b c          ，解得： 2a  ， 3b  ， 1c  . 故椭圆的标准方程为 2 2 14 3 x y  . （2）①由（1）知：  1,0F  ， 设直线 MN 方程： 1x my  ，  1 1,M x y ，  2 2,N x y ，  14,E y ，， 联立方程 2 2 1 14 3 x my x y     得：  2 23 4 6 9 0m y my    ， 2 21 6 3 4y y m m    ， 1 2 2 9 3 4y y m   ，  1 2 1 22 3my y y y   ， 又 2 1 2 4EN y yk x   ，直线 EN 方程为：  2 1 1 2 44 y yy y xx    ， 令 0y  ，则    1 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 4 3 3 524 4 4 4 2 2 y yy x my y yx y y y y y y                  ， 直线 EN 过定点 5 ,02P    . ②由①中  2144 1 0m    知： m R ， 又   2 2 1 2 1 2 1 2 2 12 14 3 4 my y y y y y m       ， 所以 2 2 1 2 2 2 1 5 12 1 15 1 2 4 3 4 3 4OEN m mS OP y y m m          ， 令 2 1t m  ， 1t  ，则 2 15 15 13 1 3 OEN tS t t t     令    15 113 f t t t t    ，  f t 在 1, 单调递减，当 1t  时，    max 151 4f t f  ， 即 OEN 面积的最大值为 15 4 . 21．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yE a ba b     的左、右焦点分别为 1F 、 2F ，椭圆上的点到焦点 1F 的距离的最小 值为 5 1 ，以椭圆 E 的短轴为直径的圆过点  2,0 ． （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）若过 2F 的直线交椭圆 E 于 A 、 B 两点，过 1F 的直线交椭圆 E 于C ， D 两点，且 AB CD ，求四边 形 ACBD 面积的取值范围． 【解析】（1）由题意知， 2b  ， 5 1a c   ，又 2 2 2a b c  ，解得 5a  ， 1c  ， 所以椭圆的标准方程为 2 2 15 4 x y  ． （2）设四边形 ACBD 面积为S ，则 1 2S AB CD  ， ①当 AB x 轴时， 22bAB a  ， 2CD a ，所以 2 21 2 2 2 82 bS a ba      ， ②当 CD x 轴时， 22bCD a  ， 2AB a ，所以 2 21 22 2 82 bS a ba      ， ③当 AB 和CD 都不与 x 轴垂直时，直线 AB 斜率存在且不为 0， 设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，直线 AB 斜率为 k ，则直线 CD 斜率为 1 k  ，  : 1ABl y k x  ，联立方程   2 2 1 15 4 y k x x y      ，消去 y 得：  2 2 2 25 4 10 5 20 0k x k x k     ，       2 2 2 22 10 4 5 54 20 320 01k k k k     ， 2 1 2 2 10 5 4 kx x k    ， 21 2 2 20 4 5 5 kx x k   ， 所以    2 2 2 2 1 2 2 2 320 81 15 5 41 5 41 k AB k k kx k kx        ，（*） 过 2F 做直线 CD 的平行线和椭圆 E 交于点 1C ， 1D ， 由对称性知 1 1C D CD ， 在（*）中把 k 换成 1 k  ，得  22 1 1 2 2 18 5 1 8 5 1 5 4 54 kkC D k k        ， 所以  2 2 8 5 1 4 5 k CD k    ， 所以          2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 8 5 8 5 1601 1 2 2 5 4 5 45 4 5 S k k k k k D kAB C k             ， 令 2 1k t  ，则 1t  ，所以    2 2 22 160 160 160 5 1 4 1 20 1 1 1 20 t tS t t t t t t             ， 令1 ut  ，则  0,1u ，所以 22 160 160 20 1 81 2 4 S u u u           ， 因为 21 81 8120,2 4 4u             ，所以 640,881S     ． 综上所述：四边形 ACBD 面积取值范围是 640 ,881      ． 22．已知椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的一个焦点和抛物线 2 12y x 的焦点相同，且椭圆过点  2, 2 . （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线 y kx m  与椭圆C 交于 A ， B 两点，以 OA ，OB 为邻边作平行四边形 OACB ，点C 在椭圆 上，问平行四边形 OACB 的面积是否为定值？若是定值，求出结果，若不是，说明理由. 【解析】（1）抛物线 2 12y x 的焦点坐标为 3,0 . 由题意：椭圆的一个焦点坐标为  3,0 ，所以另一个焦点是 3,0 ， 3c  . 根据椭圆的定义有        2 22 22 3 2 0 2 3 2 0 2 4 3a           所以 2 3a  ， 所以 2 2 2 3b a c   所以椭圆 2 2 : 112 3 x yC   . （2）设  1 1,A x y ，  2 2,B x y ，  0 0,C x y ， 2 2 1     12 3          x y y kx m       ① ② ， ②代入①整理得，  2 2 21 4 8 4 12 0k x kmx m     ，     2 2 2 2 2 264 16 1 4 3 16 3 12 0k m k m m k         ， 1 2 2 8 1 4 kmx x k    ， 2 1 2 2 4 12 1 4 mx x k   ， 因为 OACB 是平行四边形所以 OC OA OB    ，，所以 0 1 2 2 8 1 4 kmx x x k     ，  0 1 2 1 2 2 22 1 4 my y y k x x m k        ， 因为  0 0,x y 在椭圆上，代入得 2 2 2 2 8 24 121 4 1 4 km m k k             ， 整理得：  2 23 1 44m k  ， O 到 AB 距离为 21 md k   ， 所以 2 1 22 1 1OACB OAB mS S AB d k x x k         △ ，   2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2 4 3 12 3 4 34 4 3 31 4 1 4 1 4 k m m mm x x x x m mk k k               ， 所以平行四边形OACB 的面积为定值3 3 .