第7辑直线与圆（解析版）-备考2021年高考数学三轮复习之疯狂选择题30题

备考 2021 年高考高三数学复习之疯狂选择题 30 题 第 7 辑 直线与圆 一、单选题 1．（2021·贵溪市实验中学高三一模）经过点  8, 2A  ，斜率为 1 2  的直线方程为（ ） A． 2 4 0x y   B． 2 12 0x y   C． 2 14 0x y   D． 2 4 0x y   【答案】A 【分析】 根据直线的点斜式方程，即可求得直线的方程. 【详解】 由题意，直线过点  8, 2A  ，且斜率为 1 2  ， 根据直线的点斜式方程，可得 1( 2) ( 8)2y x     ，即 2 4 0x y   . 故选：A. 2．（2019·全国）下列命题正确的是（ ）． A．若直线的倾斜角为 ，则此直线的斜率为 tan B．若直线的斜率为 tan ，则此直线的倾斜角为 C．若直线的倾斜角为 ，则sin 0  D．若直线的斜率为 0，则此直线的倾斜角为 0 或 【答案】C 【分析】 根据直线的斜率与倾斜角的关系逐项判断即可. 【详解】 倾斜角为 90 的直线，其斜率不存在，故 A 错误；若直线的斜率为 tan ，只有当  0,  时，其倾斜角 才为 ，故 B 错误；直线的斜率为 0，其倾斜角为 0 而不是 ，故 D 错误．故选 C． 所以本题答案为 C. 【点睛】 本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，掌握斜率的定义和倾斜角的范围是解题的关键，属基础题. 3．（2016·河北衡水市·高三）直线 2: 1 0l mx m y   经过点  2,1P ，则倾斜角与直线 l 的倾斜角互为补角 的一条直线方程是（ ） A． 1 0x y   B． 2 3 0x y   C． 3 0x y   D． 2 4 0x y   【答案】C 【解析】 试题分析：将点  2,1P 代入得 22 1 0, 1m m m    ，直线方程为 1 0x y   ，斜率为1，倾斜角为 4  . 故和其垂直的直线斜率为 1 ，故选 C. 考点：直线方程. 4．（2020·全国）经过点 ( 1,1) ，斜率是直线 22 2y x  的斜率的 2 倍的直线方程是（ ） A． 1 2( 1)y x   B． 1 2 2( 1)y x   C． 1x   D． 1y  【答案】A 【分析】 依题意可得所求直线的斜率是 2 ，再利用点斜式计算可得； 【详解】 解：因为 22 2y x  斜率为 2 2 所以所求直线的斜率是 2 ，则直线的点斜式方程为 1 2( 1)y x   ． 故选：A 【点睛】 本题考查直线的点斜式方程，属于基础题. 5．（2021·哈尔滨市·黑龙江实验中学高三月考（理））已知直线 1 : 7 0l x my   和  2 : 2 3 2 0l m x y m    互相平行，则实数 m 等于（ ） A． 1 或 3 B． 1 C． 3 D．1 或 3 【答案】A 【分析】 由两直线平行，得到  1 3 2 0m m    ，求出 m ，再验证，即可得出结果. 【详解】 ∵两条直线 1 : 7 0l x my   和  2 : 2 3 2 0l m x y m    互相平行， ∴  1 3 2 0m m    ，解得 1m   或 3m  ， 若 1m   ，则 1 : 7 0l x y   与 2 : 3 3 2 0l x y    平行，满足题意； 若 3m  ，则 1 : 3 7 0l x y   与 2 : 3 6 0l x y   平行，满足题意； 故选：A． 6．（2021·全国高三其他模拟）已知直线  1 : 2 1 2 3 0l x a y a     ， 2 2 : 3 4 0l ax y a    ，则“ 1 2//l l ” 是“ 3 2a  ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】 先根据 1 2//l l ，求出 a 的值，即可判断充分性；再判断当 3 2a  时直线 1l ， 2l 的位置关系，即可判断必要性， 即可得到结果. 【详解】 若 1 2//l l ，则  2 1 3a a   ，解得： 3 2a  或 1a   ， 当 1a   时， 1 : 3 5 0l x y   ， 2 : 3 5 0l x y    ，直线 1l ， 2l 重合， 3 2a  ； 充分性成立； 当 3 2a  时， 1 : 2 0l x y  ， 2 25: 2 06l x y   ，显然 1 2//l l ，必要性成立. 故“ 1 2//l l ”是“ 3 2a  ”的充要条件. 故选：C. 【点睛】 易错点点睛：根据 1 2//l l ，求出 3 2a  或 1a   后，易忽略了两直线重合的情况，从而错选 B 选项. 7．（2021·吉林长春市·高三二模（理））已知直线l 将圆 2 2: 2 1 0C x y x y     平分，且与直线 2 3 0x y   垂直，则 l 的方程为（ ） A． 2 0x y  B． 2 3 0x y   C． 2 4 0x y   D． 2 2 0x y   【答案】D 【分析】 根据题意得出直线过圆心，结合垂直关系求得斜率，即可得到直线方程. 【详解】 因为直线 l 将圆 2 2: 2 1 0C x y x y     平分， 所以直线 l 过圆心 1( ,1)2  ， 因为直线 l 与直线 2 3 0x y   垂直，所以斜率为 2 ， 所以直线 : 2 2 0l x y   ， 故选：D 8．（2021·广东广州市·高三一模）已知 ( 1,0), (0,2)A B ，直线 :2 2 3 0l x ay a    上存在点 P ，满足 | | | | 5PA PB  ，则 l 的倾斜角的取值范围是（ ） A． 2,3 3       B． 20, ,3 3            U C． 3,4 4       D． 30, ,4 4             【答案】D 【分析】 根据 5,AB  | | | | 5PA PB  上，得到点 p 在线段 AB 上，其方程为  2 2, 1,0y x x    上，又点在直 线 l 上，联立其方程，求得 2 3 4 3 xa x   ，然后由 1 4 3tan 2 3 x a x     求解. 【详解】 将 ( 1,0)A  代入 2 2 3 0x ay a    得 1a   ， 将 (0,2)B 代入 2 2 3 0x ay a    得 1a  ， 所以 A，B 不在直线 l 上， 又 5,AB  | | | | 5PA PB  上， 所以点 p 在线段 AB 上， 直线 AB 的方程为：  2 2, 1,0y x x    ， 由 2 2 2 2 3 0 1 0 y x x ay a x           ，解得   2 3 2 3 2 3 2 1 2 2 2 1 4 3 x x xa y x x         ， 直线方程 2 2 3 0x ay a    ，即为 1 3 2 ay xa a   ， 设直线l 的倾斜角为 ， 则 1 4 3 3tan 22 3 2 3 x a x x       ， 因为 1 0x ≤ ≤ ， 所以1 2 3 3x   ， 则 31 32 3x   ， 所以 31 2 12 3x     ， 即 ta1 1n   ， 因为 (0, )  ， 所以 3(0, ] [ , )4 4     ， 故选：D 【点睛】 关键点点睛：本题关键是得到点 P 在线段 AB 上，再根据点 P 的直线 l 上，联立求得   2 3 2 3 2 3 2 1 2 2 2 1 4 3 x x xa y x x         ，再利用斜率与倾斜角的关系而得解. 9．（2021·全国高三专题练习）已知 M 经过坐标原点，半径 2r  ，且与直线 2y x  相切，则 M 的 方程为（ ）． A． 2 2( 1) ( 1) 2x y    或 2 2( 1) ( 1) 2x y    B． 2 2( 1) ( 1) 2x y    或 2 2( 1) ( 1) 2x y    C． 2 2( 1) ( 1) 2x y    或 2 2( 2) 2x y   D． 2 2( 1) ( 1) 2x y    或 2 2( 2) 2x y   【答案】A 【分析】 设圆心坐标为 ( , )a b ，利用圆 M 过坐标原点，且与直线 2y x  相切，求出 ,a b ，即可求出圆 M 的方程. 【详解】 设圆心坐标为 ( , )a b ，半径 2r  ， 因为圆 M 过坐标原点，且与直线 2y x  相切， 所以 2 2 2 2 2 a ba b     ， 所以 1a b   ，即圆心为 1,1 或  1, 1  ， 圆 M 的方程为： 2 2( 1) ( 1) 2x y    或 2 2( 1) ( 1) 2x y    ， 故选：A. 【点睛】 处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数， 或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法． 10．（2020·陕西汉中市·高三一模（理））过三点 (3,1), ( 7,1), (2,4)A B C 的圆交 y 轴于 ,M N 两点，则 MN  （ ） A．8 B．10 C． 4 6 D． 2 21 【答案】D 【分析】 设圆的圆心为 ( , )a b ，半径为 r ，方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r    ，将 , ,A B C 三点代入，解得圆的方程，再利 用垂径定理求得弦长. 【详解】 由题意，设圆的圆心为 ( , )a b ，半径为 r ，方程为 2 2 2( ) ( )x a y b r    ， 又 (3,1), ( 7,1), (2,4)A B C 在圆上，             2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 { 7 1 2 4 a b r a b r a b r              ， 解得 2, 1, 5a b r    ， 故圆的方程为 2 2( 2) ( 1) 25x y    ，圆心为 ( 2,1) ，半径 = 5r ， 故圆心到 y 轴的距离 2d  ， 弦长 2 22 2 21MN r d   ， 故选：D. 【点睛】 圆的弦长的常用求法： (1)几何法：求圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则 2 22l r d  ； (2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 2 1 21AB k x x   . 11．（2021·广西玉林市·高三其他模拟（理））过点  2,2P 的直线 1l 与圆 2 21 1x y   相切，则直线 1l 的 方程为（ ） A．3 4 2 0x y+ = B． 4 3 2 0x y   C．3 4 2 0x y+ = 或 2x  D． 4 3 2 0x y   或 2x  【答案】C 【分析】 当 1l 斜率不存在时可知满足题意；当 1l 斜率存在时，设其方程为  2 2y k x   ，利用圆心到直线距离等 于半径可构造方程求得 k ，由此可得切线方程. 【详解】 当过  2,2P 的直线 1l 斜率不存在时，方程为 2x  ，与圆 2 21 1x y   相切，满足题意； 当过  2,2P 的直线 1l 斜率存在时，设方程为  2 2y k x   ，即 2 2 0kx y k    ， 圆 2 21 1x y   的圆心到 1l 的距离 2 0 2 2 1 1 k kd k      ，解得： 3 4k  ， 1 3 1: 04 2l x y    ，即3 4 2 0x y+ = ； 直线 1l 的方程为3 4 2 0x y+ = 或 2x  . 故选：C. 【点睛】 易错点点睛：本题考查过圆外一点的圆的切线方程的求解，解决此类问题采用待定系数法，利用圆心到直 线距离等于半径来进行求解；易错点是忽略切线斜率不存在的情况，造成丢根的情况出现. 12．（2021·黑龙江哈尔滨市·高二其他模拟（理））若过点  4,3A 的直线 l 与曲线 ( ) ( )2 22 3 1x y- + - = 有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围为（ ） A． 3, 3   B．  3, 3 C． 3 3,3 3      D． 3 3,3 3      【答案】C 【分析】 先由题意，设直线 l 的方程为  3 4y k x   ，根据直线与圆位置关系，列出不等式求解，即可得出结果. 【详解】 由题意，易知，直线l 的斜率存在，设直线 l 的方程为  3 4y k x   ，即 3 4 0kx y k    曲线( ) ( )2 22 3 1x y- + - = 表示圆心 2,3 ，半径为 1 的圆， 圆心 2,3 到直线 3 4 0kx y k    的距离应小于等于半径1， 2 2 3 3 4 1 1 k k k      ，即 22 1k k   ，解得 3 3 3 3k   . 故选：C. 【点睛】 方法点睛：本题主要考查由直线与圆的位置关系求参数，判断直线与圆的位置关系用几何法—圆心到直线 的距离 d 与圆的半径 r 比较， d r 相切； d r> 相离； d r 相交，考查学生的运算求解能力，属于一般 题. 13．（2021·内蒙古包头市·高三一模（文））若圆心在直线 3 0x y  上，与 x 轴相切的圆，被直线 0x y  截 得的弦长为 2 7 ，则圆心到直线 y x 的距离为（ ） A． 4 B． 2 2 C． 2 D．2 【答案】C 【分析】 设圆心为  ,3t t ，利用垂径定理可构造方程求得 t ，由点到直线距离公式可求得结果. 【详解】 设圆的圆心为  ,3t t ，则圆的半径 3r t ， 圆心到直线 0x y  的距离 3 2 2 t td t   ， 2 2 2 22 2 9 2 2 7r d t t     ， 解得： 1t   ，圆心为 1,3 或  1, 3  ， 则 1,3 到直线 y x 的距离为 1 3 2 1 1    ； 1, 3  到直线 y x 的距离为 1 3 2 1 1     ； 综上所述：圆心到直线 y x 的距离为 2 . 故选：C. 14．（2020·全国高三专题练习）已知圆 2 2: 2 3 0C x y x    ，直线 : 1l y kx  与圆 C 交于 A，B 两点， 当弦长 AB 最短时 k 的值为（ ） A．1 B． 2 C． 1 D． 2 【答案】A 【分析】 根据直线的方程，判定直线过定点  0,1E ,根据圆的方程求得圆心坐标  1,0C ，利用圆的弦的性质判定直 线 l 与 CE 垂直时弦长 AB 最短，利用两点间距离公式求得 CE 的斜率，进而利用两直线垂直的条件求得 k 的值. 【详解】 据题意直线 : 1l y kx  恒过定点  0,1E ，圆心  1,0C ， 当直线l 与 CE 垂直时，弦长 AB 最短， 此时 1CEk   ，∴ 1k  ． 故选 A． 【点睛】 本题考查圆的弦长最值问题，涉及直线过定点，两直线的垂直关系，属基础题. 15．（2020·浙江高三其他模拟）已知直线 l 过圆 2 2( 1) ( 2) 1x y    的圆心，当原点到直线 l 距离最大时， 直线 l 的方程为（ ） A． 2y  B． 2 5 0x y   C． 2 3 0x y   D． 2 5 0x y   【答案】D 【分析】 由题意结合圆的方程、直线斜率的知识可得原点到直线 l 的距离最大时，直线l 的斜率，再利用点斜式即可 得解. 【详解】 由题意，圆 2 2( 1) ( 2) 1x y    的圆心为 (1,2)A ，设原点为 O ， 则当直线 l 与直线 AO 垂直时，原点到直线 l 的距离最大， 此时直线 AO 的斜率为 2 0 21 0AOk   ， 所以直线 l 的斜率为 1 2lk   ， 则直线l 的方程为 12 ( 1)2y x- = - - ，即 2 5 0x y   . 故选：D． 【点睛】 本题考查了直线与圆的方程的应用，确定原点到直线的距离最大时直线的斜率是解题的关键，属于基础题. 16．（2021·全国高三专题练习）直线 1 0ax y   被圆 2 2 2 8 13 0    x y x y 所截得的弦长为 2 3 ， 则 a （ ） A． 4 3  B． 3 4  C． 3 D． 2 【答案】A 【分析】 可将圆的一般方程化为标准方程，得出圆心坐标和半径.再根据垂径定理算得圆心到直线的距离，用点到直 线距离公式建立方程求解即可. 【详解】 2 2 2 8 13 0    x y x y ，即   2 21 4 4   x y ，该圆圆心为  1,4 ，半径为 2r = 直线 1 0ax y   截圆所得的弦长为 2 3 ，则圆心  1,4 到直线 1 0ax y   的距离为  2 23 1d r   2 4 1 1 1 a a     ，解得 4 3a   故选：A 【点睛】 本题主要考查圆的方程及圆的弦长问题，属于中档题. 求圆的弦长有两种方法：一是利用弦长公式 2 1 21l k x x    ，结合韦达定理求解；二是利用半弦长，弦心距，圆半径构成直角三角形，利用勾股 定理求解.优先采用几何法. 17．（2021·全国高三专题练习）已知点 P 是圆    2 2: 3 1C x a y a     上一动点，点 P 关于 y 轴的对 称点为 M ，点 P 关于直线 1y x  的对称点为 N ，则 MN 的最小值是（ ） A．4 B． 2 2 C． 4 2 D．8 2 2 【答案】C 【分析】 先设  P m n, ，则  ,M m n ，  1, 1N n m  ，由两点间距离公式，得到  222 1MN m n    ， 根据  22 1m n  的几何意义，由圆的性质，求出其最小值，即可得出结果. 【详解】 设  P m n, ，则  ,M m n ，  1, 1N n m  ，      2 2 221 1 2 1MN m n m n m n          ， 则  22 1m n  表示圆 C 上的点  P m n, 到定点  0,1A 的距离， 由题得，圆心  , 3C a a  ，半径 1r  ， 根据圆的性质可得，  22 24 1 2 8 16 1AP AC r a a a a           22 2 8 1 2 2 1a      ，当且仅当 2a  时，等号成立； 所以  2 2 2 2 1 4 2MN AP      . 所以 MN 的最小值是 4 2 . 故选：C. 【点睛】 关键点点睛： 求解本题的关键在于，通过设点  P m n, ，得到 M ， N 坐标，根据两点间距离公式，得到  222 1MN m n    ，由圆的性质，结合所求式子的几何意义，即可求解. 18．（2020·四川省宜宾市第四中学校（理））已知直线 : 2 1 0l x y a    与圆   2 21 2 9x y    相交 所得弦长为 4，则 a （ ） A．-9 B．1 C．1 或-2 D．1 或-9 【答案】D 【分析】 根据圆的性质，利用点到直线的距离公式和勾股定理列方程即可解得结果. 【详解】 由条件得圆的半径为 3，圆心坐标为 1, 2 ， 因为直线 : 2 1 0l x y a    与圆   2 21 2 9x y    相交所得弦长为 4， 所以 224 |1 4 1|9 2 5 a            ，所以 2 8 9 0a a   ， 解得 1a  或 9a   ． 故选：D. 【点睛】 本题考查了直线与圆的位置关系、点到直线的距离、圆的标准方程、圆的性质，属于基础题. 19．（2020·江西高三其他模拟（文））已知点 ,M N 分别在圆    2 2 1 : 1 2 9C x y    与圆    2 2 2 : 2 8 64C x y    上，则 MN 的最大值为（ ） A． 7 11 B．17 C． 37 11 D．15 【答案】C 【分析】 由题可得 MN 的最大值为圆心距加上半径之和. 【详解】 依题意，圆    2 2 1 : 1 2 9C x y    ，圆心  1 1,2C ，半径 1 3r  ； 圆    2 2 2 : 2 8 64C x y    ，圆心  2 2,8C ，半径 2 8r  ， 故 1 1 2m x 2a 37 11MN C C r r     . 故选：C. 20．（2021·全国高三专题练习）过圆 2 2 16x y  上的动点作圆 2 2: 4C x y  的两条切线，两个切点之间 的线段称为切点弦，则圆C 内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（ ） A． B． 3 2  C． 2 D．3 【答案】A 【分析】 作出图形，过圆 2 2 16x y  上一动点 P 作圆C 的两条切线 PA 、PB ，切点分别为 A 、B ，计算出圆C 的 圆心到直线 AB 的距离为1，可知圆C 内不在任何切点弦上的点形成以原点为圆心，半径为1的圆的内部， 利用圆的面积公式可求得结果. 【详解】 如下图所示，过圆 2 2 16x y  上一动点 P 作圆 C 的两条切线 PA 、 PB ，切点分别为 A 、 B ， 则 4OP  ， 2OA OB  ， 2 2 2 3PB PA OP OA    ， 则 1sin 2 OAOPA OP    ，且 OPA 为锐角，所以 30OPA   ，同理可得 30OPB   ， 所以， 60APB  o ，则 APB△ 为等边三角形，连接 OP 交 AB 于点 M ， OP 为 APB 的角平分线，则 M 为 AB 的中点， OM AB  ， 且 90 30OAB PAB     ， 1 12OM OA   ， 若圆 C 内的点不在任何切点弦上，则该点到圆C 的圆心的距离应小于 OM ， 即圆 C 内的这些点构成了以原点为圆心，半径为1的圆的内部， 因此，圆 C 内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为 21   . 故选：A. 【点睛】 关键点点睛：解本题的关键在于确定圆C 内不切点弦上的点所构成的区域，为此需要计算出圆 C 的圆心到 切点弦的距离，找出临界位置进行分析. 21．（2021·全国高三专题练习）已知圆 2 2: 2O x y  ，过直线 : 2 4l x y  在第一象限内一动点 P 作圆 O 的两条切线，切点分别是 A，B，直线 AB 与两坐标轴分别交于 M，N 两点，则 OMN 面积的最小值为（ ） A． 1 2 B．1 C． 2 D．2 【答案】B 【分析】 根据圆的切线方程可以求出直线 AB 的方程，最后利用基本不等式进行求解即可. 【详解】 设  0 0,P x y ，则  0 0 0 02 4 0, 0x y x y    ， 设  1 1 ,A x y ，  2 2,B x y ， 当 1 1,0 0x y  时， 1 1 1 1 1 1OA PA PA PA y xk k k kx y           ，所以切线 PA 方程为： 1 1 1 1 ( )( )xy y x xy     ，而 2 2 1 1 2x y  ，化简为： 1 1 2x x y y  ，显然当 1 0x  或 1 0y  时也适合，所以 切线 PA 方程为 1 1 2x x y y  ，同理 2 2: 2PB x x y y  ， 将 P 的坐标代入上述直线方程，则有 1 0 1 0 2 0 2 0 2 2 x x y y x x y y      ， 于是直线 AB 的方程为 0 0 2x x y y  ， 因此 0 2 ,0M x       ， 0 20,N y       ， OMN 的面积为 2 2 0 0 0 0 0 0 1 2 2 4 4 4 12 2 2 4 22 S x y x y x y                 ， 当且仅当 0 02x y ，即 0 0 1 2 x y    时取等号.所以 OMN 面积的最小值为 1. 故选：B 22．（2020·全国高二课时练习）过点 P(3,﹣4)作圆(x﹣1)2+y2＝2 的切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方 程为（ ） A．x+2y﹣2＝0 B．x﹣2y﹣1＝0 C．x﹣2y﹣2＝0 D．x+2y+2＝0 【答案】C 【分析】 画出图象，以 P 为圆心，以 PB 长度为半径可得到圆 P，则圆(x﹣1)2+y2＝2 与圆 P 的公共弦所在直线即为直 线 AB，利用两点间的距离公式和勾股定理可求出圆 P 的方程，然后两个方程相减即可得到直线 AB 的方程. 【详解】 如图，圆 P 为以 P 为圆心，以 PB 长度为半径的圆，则圆(x﹣1)2+y2＝2 与圆 P 的公共弦所在直线即为直线 AB， 在 Rt PBC 中， 2 2(1 3) (0 4) 2 5PC      ，则 20 2 3 2PB    ， 所以圆 P 的方程为： 2 2( 3) ( 4) 18x y    ，又圆 C 的方程为：(x﹣1)2+y2＝2， 以上两个等式相减可得， 4 8 8 0x y   ，化简得， 2 2 0x y   . 故选：C. 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系以及两圆的公共弦问题，着重考查学生数形结合的思想和转化问题的能力， 属中档题. 23．（2021·全国高二课时练习）过点  2,2C 作圆 2 2: 1O x y  的切线，切点分别为 ,A B ，点  2,0M  ，  0, 1N  ，点 P 在直线 AB 上运动，则 PM PN 的最小值为（ ） A． 5 2 2 B．3 C． 5 D． 10 【答案】A 【分析】 根据题意可知点 , , ,A O B C 四点共圆，可求得圆的方程，再由直线 AB 即为两圆的公共弦，由两圆方程相减 即可得到直线 AB 的方程，易知 M，N 在直线 AB 的同侧，然后求得点 N 关于直线 AB 的对称点为 N，则 PM PN 的最小值即为 MN . 【详解】 由题意可知点 , , ,A O B C 四点共圆，且 CO 的中点坐标为 1,1 ， 2 2CO  ， 所以以 CO 为直径的圆的方程为   2 21 1 2x y    ， 所以直线 AB 的方程即为两圆的公共弦所在直线的方程， 由     2 2 2 2 1, 1 1 2 x y x y        ，整理得 2 2 1 0x y   ， 所以直线 AB 的方程为 2 2 1 0x y   ． 设点  0, 1N  关于直线 AB 的对称点为  ,N x y   ， 所以   12 2 1 0,2 2 1 1 1, x y y x                ， 解得 3 ,2 1 ,2 x y        ，即 3 1,2 2N     ， 要使 PM PN 最小，只需 , ,M P N三点共线， 此时 PM PN 的最小值即为 2 23 1 5 22 02 2 2MN                 ． 故选：A． 【点睛】 本题主要考查直线与圆，两线段之和最小问题，还考查了数形结合的思想和转化求解问题的能力，属于中 档题. 二、多选题 24．（2021·全国）已知直线 1 2: 1 0, :( 2) 3 3 0l x my l m x y       ，则下列说法正确的是（ ） A．若 1 2l l// ，则 m=-1 或 m=3 B．若 1 2l l// ，则 m=3 C．若 1 2l l ，则 1 2m   D．若 1 2l l ，则 1 2m  【答案】BD 【分析】 根据两直线平行或垂直求出参数值然后判断． 【详解】 直线 1 2l l// ，则 3 ( 2) 0m m   ，解得 3m  或 1m   ，但 1m   时，两直线方程分别为 1 0x y   ， 3 3 3 0x y    即 3 0x y   ，两直线重合，只有 3m  时两直线平行，A 错，B 正确； 1 2l l ，则 2 3 0m m   ， 1 2m  ，C 错，D 正确． 故选：BD． 【点睛】 本题考查两直线平行与垂直的条件，在由两直线平行求参数时要注意检验，排除两直线重合的情形．如果 用斜率求解还需讨论斜率不存在的情形． 25．（2020·全国）（多选）已知直线 l 过点 ( 1,1)P  ，且与直线 1 : 2 3 0l x y   以及 x 轴围成一个底边在 x 轴 上的等腰三角形，则下列结论中正确的是（ ） A．直线 l 与直线 1l 的斜率互为相反数 B．直线 l 与直线 1l 的倾斜角互补 C．直线在 y 轴上的截距为 1 D．这样的直线 l 有两条 【答案】ABC 【分析】 根据题意，得到 l 与 1l 的倾斜角互补，斜率互为相反数，故选项，A，B 均正确；由直线的点斜式方程，可 得 C 选项正确；结合图象，可判定 D 选项错误． 【详解】 如图所示，因为直线 l 与 1l 及 x 轴围成一个底边在 x 轴上的等腰三角形，所以 l 与 1l 的倾斜角互补，斜率互 为相反数，故选项，A，B 均正确； 由直线 2 3 0x y   的斜率为 2 ，所以直线 l 的斜率为 2k   ， 可得直线 l 的方程为 1 2( 1)y x    ，因此其在 y 轴上的截距为 1 ，故 C 选项正确； 结合图象，可得这样的直线 l 只有一条，故 D 选项错误． 故选：ABC. 【点睛】 本题主要考查了直线的倾斜角与斜率，以及直线的点斜式方程的应用，其中解答中熟记直线的倾斜角和斜 率的关系，以及直线方程的形式是解答的关键，属于基础题. 26．（2021·山东青岛市·高三一模）已知圆C ： 2 2 212 1 04x y kx y k k       ，下列说法正确的是（ ） A． k 的取值范围是 0k  B．若 4k  ，过  3,4M 的直线与圆C 相交所得弦长为 2 3 ，方程为12 5 16 0x y   C．若 4k  ，圆C 与圆 2 2 1x y  相交 D．若 4k  ， 0m  ， 0n  ，直线 1 0mx ny   恒过圆C 的圆心，则 1 2 8m n   恒成立 【答案】ACD 【分析】 根据圆的一般方程 2 2 4 0D E F   可判断 A；利用点到直线的距离为1可判断 B；利用两圆心的距离与两 圆半径之间的关系可判断 C；利用基本不等式可判断 D. 【详解】 对于 A，方程表示圆可得 2 214 4 1 04k k k         ， 解得 0k  ，故 A 正确； 对于 B，若 4k  ，可得圆方程：   2 22 1 4x y    ， 过  3,4M 的直线与圆 C 相交所得弦长为 2 3 ， 则圆心 2, 1 到直线的距离为1，当直线的斜率不存在时， 3x  ，满足条件，故 B 不正确； 对于 C，   2 22 1 4x y    ，圆心 2, 1 ，半径 1 2r  ， 圆 2 2 1x y  ，圆心为 0,0 ，半径 2 1r  ， 两圆心的距离为  22 1 2 1 21 2 1 5 3r r r r         ，两圆相交，故 C 正确； 对于 D，直线 1 0mx ny   恒过圆 C 的圆心， 可得 2 1 0 2 1m n m n      .  1 2 1 2 4 42 4 4 2 8n m n mm nm n m n m n m n               ， 当且仅当 1 1,4 2m n  时取等号，故 D 正确. 故选：ACD. 27．（2021·全国）圆 2 2 1 : 2 0x y xO    和圆 2 2 2 : 2 4 0O x y x y    的交点为 A，B，则有（ ） A．公共弦 AB 所在直线方程为 0x y  B．线段 AB 中垂线方程为 1 0x y   C．公共弦 AB 的长为 2 2 D．P 为圆 1O 上一动点，则 P 到直线 AB 距离的最大值为 2 12  【答案】ABD 【分析】 两圆作差即可求解公共弦 AB 所在直线方程，可判断 A；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆 1O 的圆心即 可线段 AB 中垂线方程，可判断 B；求出圆心 1O 到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦 长，可判断 C；求出圆心 1O 到公共弦 AB 所在直线方程的距离，加上半径即可判断 D. 【详解】 对于 A，由圆 2 2 1 : 2 0x y xO    与圆 2 2 2 : 2 4 0O x y x y    的交点为 A，B， 两式作差可得 4 4 0x y  ， 即公共弦 AB 所在直线方程为 0x y  ，故 A 正确； 对于 B，圆 2 2 1 : 2 0x y xO    的圆心为  1,0 ， 1ABk  ， 则线段 AB 中垂线斜率为 1 ， 即线段 AB 中垂线方程为：  0 1 1y x     ，整理可得 1 0x y   ，故 B 正确； 对于 C，圆 2 2 1 : 2 0x y xO    ，圆心 1O  1,0 到 0x y  的距离为  22 1 0 2 21 1 d     ，半径 1r  所以 2 22 1 22AB        ，故 C 不正确； 对于 D，P 为圆 1O 上一动点，圆心 1O  1,0 到 0x y  的距离为 2 2d  ，半径 1r  ，即 P 到直线 AB 距离的最大值为 2 12  ， 故 D 正确. 故选：ABD 【点睛】 本题考查了圆与圆的位置关系、求公共弦所在的直线方程、求公共弦、点到直线的距离公式，圆上的点到 直线距离的最值，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 28．（2020·全国高二课时练习）已知直线 l ： (2 ) 1 0mx m y m     ，圆C ： 2 2( 1) 1x y   ，则下列 结论中正确的是（ ） A．存在 m 的一个值，使直线 l 经过圆心 C B．无论 m 为何值时，直线l 与圆C 一定有两个公共点 C．圆心C 到直线l 的最大距离是 2 2 D．当 1m  时，圆C 关于直线 l 对称的圆的方程为 22 ( 1) 1yx    . 【答案】BCD 【分析】 代入圆心坐标求 m 值判断 A，确定直线所过定点可判断 B，由定点到圆心距离可判断 C，求出圆心的对称 点坐标可判断 D． 【详解】 圆心坐标为 (1,0)C ，代入直线 l 得： 1 0m m   ，无解，∴不论 m 为何值，圆心都不在直线 l 上，A 错； 直线 l 方程整理为 ( 1) 2 1 0m x y y     ，由 1 0 2 1 0 x y y       得 1 2 1 2 x y     ，即直线 l 过定点 1 1,2 2M      ，又 2 21 1 21 12 2 2MC               ， M 在圆C 内部，∴直线与圆相交，B 正确； 设直线l 与圆相交于 ,A B 两点，弦 AB 中点为 N ，则CN AB ， CN 为C 到直线 AB 的距离，显然 CN CM ， ,N M 重合时取等号． 2 2MC  ，C 正确； 1m  时直线l 方程为 0x y  ， (1,0)C 关于 l 的对称点为 (0,1) ，因此对称圆方程为 22 ( 1) 1yx    ，D 正确． 故选：BCD． 【点睛】 关键点点睛：本题考查直线与圆的位置关系．求解方法有：利用动直线过定点与圆的位置关系判断直线是 否与圆相交，利用圆心到弦中点连线与弦垂直，判断圆心到弦所在直线的距离的最大值，这也是求弦长的 方法，由圆心到弦所在直线距离通过勾股定理计算弦长． 29．（2020·全国高二课时练习）已知圆 2 2: ( cos ) ( sin ) 1M x y     ，直线 :l y kx ．下列命题中， 正确的命题是（ ） A．对任意实数 k 和 ，直线 l 和圆 M 有公共点 B．对任意实数 ，必存在实数 k，使得直线 l 与圆 M 相切 C．对任意实数 k，必存在实数 ，使得直线 l 与圆 M 相切 D．存在实数 k 与 ，使得圆 M 上有一点到直线 l 的距离为 3 【答案】AC 【分析】 由已知可得圆心 ( cos ,sin )M   ，半径 1r  ，且圆过原点，求出圆心到直线的距离，逐项判断，即可得 出结论. 【详解】 选项 A ，圆 2 2: ( cos ) ( sin ) 1M x y     恒过原点 (0,0)O ， 所以 A 正确； 圆心 ( cos ,sin )M   到直线l 的距离为 d ， 2 | cos sin | | sin( ) | 1 1 kd k         对于任意实数 k ，直线l 与圆相交或相切， 所以选项 C 正确，选项 B 不正确； 圆上的点到直线l 距离最大值为 1 2d   ， 所以选项 D 不正确. 故选:AC. 【点睛】 本题考查直线与圆的位置关系，注意点到直线距离公式的合理应用，属于中档题. 30．（2020·苏州市苏州高新区第一中学高二开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德 齐名.他发现:“平面内到两个定点 ,A B 的距离之比为定值  1   的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以 他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆在平面直角坐标系 xOy 中,    2,0 , 4,0 ,A B 点 1 2 PAP PB 满足 .设点 P 的轨迹为C ,下列结论正确的是（ ） A．C 的方程为  2 24 9x y   B．在 x 轴上存在异于 ,A B 的两定点 ,D E ,使得 1 2 PD PE  C．当 , ,A B P 三点不共线时,射线 PO 是 APB 的平分线 D．在C 上存在点 M ,使得 2| |MO MA 【答案】BC 【分析】 通过设出点 P 坐标，利用 1 2 PA PB  即可得到轨迹方程，找出两点 ,D E 即可判断 B 的正误，设出 M 点坐标， 利用 2| |MO MA 与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在. 【详解】 设点  ,P x y ，则     2 2 2 2 21 =2 4 x yPA PB x y      ，化简整理得 2 2 8 0x y x   ，即  2 24 16x y   ，故 A 错误；根据对称性可知，当    6,0 , 12,0 ,D E  时， 1 2 PD PE  ，故 B 正确；对于 C 选项， 2 2 2 cos = 2 AP PO AOAPO AP PO    ， 2 2 2 cos = 2 BP PO BOBPO BP PO    ,要证 PO 为角平分线，只需证明 cos =cosAPO BPO  ，即证 2 2 2 2 2 2 2 2 AP PO AO BP PO BO AP PO BP PO      ，化简整理即证 2 22 8PO AP  ， 设  ,P x y ，则 2 2 2PO x y  ，    2 2 2 2 2 2 2 2 22 8 2 8 2 8AP x x y x x y x y x y           ，则证 cos =cosAPO BPO  ，故 C 正确；对于 D 选项，设  0 0,M x y ,由 2| |MO MA 可得  22 2 2 0 0 0 0= 2x y x y   ，整理得 2 2 0 0 03 3 16 +16 0x y x   ，而点 M 在圆上，故满足 2 2 8 0x y x   ， 联立解得 0 =2x ， 0y 无实数解，于是 D 错误.故答案为 BC. 【点睛】 本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.