第3辑不等式（解析版）-备考2021年高考数学三轮复习之疯狂选择题30题

备考 2021 年高考高三数学复习之疯狂选择题 30 题 第 3 辑 不等式 一、单选题 1．（2020·四川成都市）若 0a b  ，则下列不等式中不成立的是（ ） A．| | | |a b B． 2 2a b C． 1 1 a b  D． 1 1 a b a  【答案】D 【分析】 由 0a b  ，得到 0a b    ，然后逐项判断.A.根据绝对值的性质，有 a b   成立判断.B.由不等式 乘法性质，有    2 2a b   成立判断.C.由不等式乘法性质，有 1 1 a b   成立判断.D.取特殊值 2, 1a b    判断. 【详解】 因为 0a b  ， 所以 0a b    ， 所以 a b   ，即 a b ，故 A 正确， 所以    2 2a b   ，即 2 2a b ，故 B 正确 ， 所以 1 1 a b   ，即 1 1 a b  ，故 C 正确， 当 2, 1a b    时， 1 1 a b a  ，故 D 错误. 故选：D 【点睛】 本题主要考查不等式的基本性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题. 2．（2021·全国高三专题练习）设 0a b  ， 0c  ，则下列不等式中，恒成立的是（ ） A． 1 1 a b  B． 2 2ac bc C． ac bc D． c c a b  【答案】B 【分析】 利用不等式的基本性质可判断各选项的正误. 【详解】 对于 A 选项， 0a b  ，所以， 0a b ab ab   ，所以， 1 1 0b a   ，A 选项错误； 对于 B 选项， 0c  ，则 2 0c  ，由不等式的基本性质可得 2 2ac bc ，B 选项正确； 对于 C 选项，若 0c  ，由不等式的基本性质可得 ac bc ，C 选项错误； 对于 D 选项，若 0c  ，由 A 选项可知， 1 1 0b a   ，由不等式的基本性质可得 c c a b  ，D 选项错误. 故选：D. 3．（2021·宁夏大学附属中学高三一模（理））已知 a，b，c 满足 a b c  ，且 0ac  ，则下列选项中一定能 成立的是（ ） A． ab ac B．   0c b a  C．   0ab a c  D． 2 2cb ca 【答案】C 【分析】 用特殊值排除法和不等式的性质可得答案. 【详解】 取 1a   ， 2b   ， 3c   ， 则 2 3ab ac   ， 2 212 3cb ca     排除 A、D； 取 3a  ， 2b  ， 1c  ，则   1 0c b a    排除 B； 因为 a b c  ，且 0ac  ，所以 a b c、 、 同号，且 a c ， 所以   0ab a c  . 故选：C． 4．（2021·北京海淀区·首都师大二附高三开学考试）已知 0 1, 1c a b    ，下列不等式成立的是（ ） A． a bc c B． cca b C． a b a c b c   D． log loga bc c 【答案】D 【分析】 根据题意，依次分析选项，对于 A，构造函数 xy c ，由指数函数的性质分析即可；对于 B，构造函数 cy x ， 利用幂函数的性质分析即可；对于 C，D 作差分析 【详解】 解：对于 A，构造函数 xy c ，由于 0 1c  ，则函数 xy c 在 R 上为减函数，又由于 1a b  ，则有 a bc c ， 所以 A 错误； 对于 B，构造函数 cy x ，由于 0 1c  ，则函数 cy x 在 (0, ) 上为增函数，又由于 1a b  ，则 c ca b ， 所以 B 错误； 对于 C， ( ) ( )( ) ( )( ) a b ab ac ab bc c b a a c b c a c b c a c b c            ，由于 0 1, 1c a b    ，所以 0, 0, 0a c b c b a      ，所以 0a b a c b c    ，所以 a b a c b c   ，所以 C 错误； 对于 D， lg lg lg lglog log lglg lg lg lga b c c b ac c ca b a b       ，因为 0 1, 1c a b    ，所以 lg 0,lg lg 0c a b   ，所以 log log 0a bc c  ，所以 log loga bc c ，所以 D 正确， 故选：D 【点睛】 此题考查不等式比较大小，考查不等式性质的应用，属于基础题 5．（2021·陕西西安市西光中学高二期末（理））不等式 1 01 x x   的解集是（ ） A． (1, ) B． ( 1,1) C． ( , 1)  D． ( , 1)   (1, ) 【答案】B 【分析】 把分式不等式等价转换为与之等价的一元二次不等式，从而求出它的解集. 【详解】 分式不等式1 01 x x   等价于   1 1 0x x   ，即  1 1 0x x   解一元二次不等式得： 1 1x   故不等式 1 01 x x   的解集是 ( 1,1) 故选：B. 6．（2021·山东德州市·高一期末）已知不等式 2 3 0ax bx a   的解集是 4,1 ，则 ba 的值为（ ） A．-64 B．-36 C．36 D．64 【答案】D 【分析】 先由不等式 2 3 0ax bx a   的解集是 4,1 求出 a、b，再求 ba 【详解】 ∵不等式 2 3 0ax bx a   的解集是 4,1 ， ∴ 2 3y ax bx a   图像开口向下，即 a 0x ，要使 ( ) 0f x  ，必有 2a b a  ，且 0b  ， 即  b a ，且 0b  ，所以 0b  ； 当 0a  时，则 2 3x x ， 1 0x  ，要使 ( ) 0f x  ，必有 0b  . 综上一定有 0b  . 故选：C 【点晴】 本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题. 11．（2011·重庆高考真题（文））（5 分）（2011•重庆）若函数 f（x）=x+ （x＞2），在 x=a 处取最小值， 则 a=（ ） A．1+ B．1+ C．3 D．4 【答案】C 【解析】 试题分析：把函数解析式整理成基本不等式的形式，求得函数的最小值和此时 x 的取值． 解：f（x）=x+ =x﹣2+ +2≥4 当 x﹣2=1 时，即 x=3 时等号成立． ∵x=a 处取最小值， ∴a=3 故选 C 点评：本题主要考查了基本不等式的应用．考查了分析问题和解决问题的能力． 12．（2008·重庆高考真题（文））函数 f(x)= 1 x x  的最大值为 （ ） A． 2 5 B． 1 2 C． 2  2 D．1 【答案】B 【解析】 本小题主要考查均值定理． 1 1( ) 11 2 xf x x x x     （当且仅 1x x  ，即 1x  时取等号．故选 B． 13．（2012·浙江高考真题（文））若正数 x，y 满足 x+3y=5xy，则 3x+4y 的最小值是( ) A． 24 5 B． 28 5 C．5 D．6 【答案】C 【详解】 由已知可得 3 1 15 5x y   ，则 3 1 9 4 12 3 13 123 4 ( )(3 4 ) 55 5 5 5 5 5 5 5 y xx y x yx y x y            ，所以 3 4x y 的最小值 5，应选答案 C． 14．（2015·福建高考真题（文））若直线 1( 0, 0)x y a ba b     过点 (1,1) ，则 a b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】 试题分析：∵直线 1x y a b   （ ， ）过点 ，∴ ．则   1 1a b a b a b        2 2 2 4b a b a a b a b        ，当且仅当 时取等号．故答案为 C． 考点：基本不等式. 15．（2011·上海高考真题（文））若 ,a bR ，且 0ab  ，则下列不等式中，恒成立的是 A． 2 2 2a b ab  B． 2a b ab  C． 1 1 2 a b ab   D． 2b a a b   【答案】D 【解析】 试题分析： ，所以 A 错； ，只能说明两实数同号，同为正数，或同为负数，所以当 时，B 错；同时 C 错； 或 都是正数，根据基本不等式求最值， ，故 D 正确． 考点：不等式的性质 16．（2008·浙江高考真题（文））已知 则且 ,2,0,0  baba (A) 2 1ab (B) 2 1ab (C) 222  ba (D) 322  ba 【答案】C 【 解 析 】 本 小 题 主 要 考 查 不 等 式 的 重 要 不 等 式 知 识 的 运 用 。 由 0, 0a b  , 且 2a b  ， ∴ 2 2 2 2 24 ( ) 2 2( )a b a b ab a b       ，∴ 2 2 2a b  。 17．（2012·福建高考真题（理））下列不等式一定成立的是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 试题分析：A 选项不成立，当 1 2x  时，不等式两边相等； B 选项不成立，这是因为正弦值可以是负的， 故不一定能得出 1sin 2sinx x   ； C 选项是正确的，这是因为 2 21 2 1 0x x x R x     （ ） （ ） ； D 选项不正确，令 0x  ，则不等式左右两边都为 1，不等式不成立．综上，C 选项是正确的．故选 C． 考点：不等式的性质. 18．（2021·山东滨州市·高三一模）已知 0a  ， 0b  ，向量  2 , 9m a b   ，  8,n ab ，若 m n  ， 则 2a b 的最小值为（ ） A．9 B．8 C． 5 4 D．5 【答案】B 【分析】 由向量垂直的坐标表示求得 ,a b 满足的关系，然后由基本不等式求得最小值． 【详解】 由题意 8( 2 ) 9 0m n a b ab      ，即 8( 2 ) 19 a b ab   ， 又 0, 0a b  ， 所以 2 28( 2 )(2 ) 8(2 5 2 )2 9 9 a b a b a ab ba b ab ab       16 40 16 40( ) 2 89 9 9 9 a b a b b a b a         ，当且 仅当 b a a b  ，即 8 3a b  时等号成立． 所以 2a b 的最小值为 8． 故选：B． 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成 积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所 求的最值，这也是最容易发生错误的地方 19．（2021·甘肃高三一模（理））在 ABC 中， 120A   ， 6BC  ，则 ABC 的面积的最大值为（ ） A． 1 2 B．1 C． 3 3 2 D．3 3 【答案】D 【分析】 由余弦定理得到 2 2b c 36 bc  ，应用不等式求 bc 范围，即可求出面积的最值. 【详解】 由余弦定理， 2 2 26cos120 2 b c bc    ， 即 2 2 36 2b c bc bc    ，当且仅当 b c 时，等号成立， 所以 max( ) 12bc  ， 所以 max 1 1 3sin 12 3 32 2 2S bc A     ， 故选：D 【点睛】 关键点点睛：由余弦定理得到 2 2 36b c bc   ，应用重要不等式求出bc 的最大值是解题的关键，属于中 档题. 20．（2012·陕西高考真题（理））在 ABC 中，角 , ,A B C 所对边长分别为 , ,a b c ，若 2 2 22a b c  ，则 cosC 的最小值为（ ） A． 3 2 B． 2 2 C． 1 2 D． 1 2  【答案】C 【解析】 2 2 21 ( )2c a b  ，由余弦定理得, 2 2 2 2 2 1cos 2 4 2 a b c a bC ab ab      当且仅当 a b 时取“ = ”， cosC 的最小值为 1 2 ，选 C. 21．（2021·全国高三专题练习）已知实数 1a  ， 1b  ，则 4a b  是 2 2log log 1a b  的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】 先利用基本不等式判断 2 24 log log 1a b a b     是否成立，再取特殊值判断 2log 0a  ， 2log 0 4b a b    是否成立即可． 【详解】 解：因为 1a  ， 1b  ，所以 2log 0a  ， 2log 0b  ， 由 2a b ab  ， 4a b  ，得 4ab  ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 log log log log 4log log 12 2 2 a b aba b                     ． 反之，若 2 2log log 1a b  ，取 16a  ， 1 52b  ，则 1 5 2 22 2 4log log log 16 log 2 15a b     ，但是 4a b  ． 故选：A． 22．（2021·江西高三其他模拟（文））若 a ，b 为正实数，且 1 1 12 2a b a b    ，则 a b的最小值为（ ）． A． 2 3 B． 4 3 C．2 D．4 【答案】B 【分析】 由已知可得    1 2 23a b a b a b       ，再利用基本不等式计算可得； 【详解】 解：由已知可得      1 13 3 2 23 3a b a b a b a b            1 1 12 23 2 2a b a b a b a b               1 2 223 2 2 a b a b a b a b         1 2 2 42 23 2 2 3 a b a b a b a b           ， 当且仅当 2 2 2 2 a b a b a b a b    ，即 2 3b  时取等号， 所以 a b的最小值为 4 3 ． 故选：B 【点睛】 本题考查基本不等式及其应用，属于中档题． 23．（2020·浙江高三其他模拟）已知正实数 a ， b 满足 1a b  ，则 1 1 a ab  的最小值是（ ） A．13 2 B．6 C．3 2 2 D．3 2 【答案】C 【分析】 利用基本不等式即可求解. 【详解】  2 2 21 1 21a ba b b a b ab a ab a ab a ab         2 3 2 2 3 3 2 2b a b a a b a b         ， 当且仅当 2 2a   ， 2 1b   时取等号． 故选：C 【点睛】 本题考查了基本不等式求最值，注意验证等号成立的条件，属于基础题. 24．（2020·山东）某单位为节约成本，进行了技术更新，可以把细颗粒物进行处理.已知该单位每月的处理 量最少为 300 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y （元）与月处理量 x （吨）之间的函数关系可近似地表示 为 21 100 800002y x x   ，则每吨细颗粒物的平均处理成本最低为（ ） A．100 元 B．200 元 C．300 元 D．400 元 【答案】C 【分析】 求得每吨细颗粒物的平均处理成本为 1 + 100, [300,600]2 80000y x xx x    ，利用基本不等式，即可求得答 案. 【详解】 由题意得每吨细颗粒物的平均处理成本为 2 1 100, [300,600]2 1 100 80000 800002y x x x x x x x        ， 所以 1 1100 2 100 38000 000 0 2 0 2 0 8 0y x xx x x        （元）， 当且仅当 1 80000 2 x x  ，即 400x  时，等号成立， 故选：C 二、多选题 25．（2021·江苏盐城市·高三一模）下列选项中，关于 x 的不等式  2 1 2 0ax a x    有实数解的充分不 必要条件的有（ ） A． 0a  B． 3 2 2a    C． 0a  D． 3 22a    【答案】AC 【分析】 先找其充要条件，然后取它的子集. 【详解】 0a  时必有解，当 0a  时，  21 8 0 3 2 2a a a         或 3 2 2 0a    ， 故 AC 符合题意. 故选：AC 26．（2020·江苏南京市·南京一中高一月考）已知关于 x 的不等式 2 3 0ax bx   ，关于此不等式的解集有 下列结论，其中正确的是（ ） A．不等式 2 3 0ax bx   的解集可以是 3x x  B．不等式 2 3 0ax bx   的解集可以是 R C．不等式 2 3 0ax bx   的解集可以是 D．不等式 2 3 0ax bx   的解集可以是 1 3x x   【答案】BD 【分析】 选项 A 先假设结论成立，再得到不等式为 3 0x   并求解，最后与解集产生矛盾判断选项 A 错误；选项 B 当 1a  ， 0b  时，不等式 2 3 0x   恒成立，判断选项 B 正确；选项 C 当 0x  时不等式成立，判断选项 C 错误；选项 D 先假设结论成立，再求解得 1 2 a b     ，符合题意，判断选项 D 正确； 【详解】 解：选项 A：假设结论成立，则 0 3 3 0 a b     ，解得 0 1 a b     ，则不等式为 3 0x   ，解得 3x  ，与解集 是 3x x  矛盾，故选项 A 错误； 选项 B：当 1a  ， 0b  时，不等式 2 3 0x   恒成立，则解集是 R ，故选项 B 正确； 选项 C：当 0x  时，不等式 2 3 3 0ax bx    ，则解集不可能为，故选项 C 错误； 选项 D：假设结论成立，则 0 3 0 9 3 3 0 a a b a b          ，解得 1 2 a b     ，符合题意，故选项 D 正确； 故选：BD 【点睛】 本题考查一元二次不等式的解集问题，是基础题. 27．（2021·山东济宁市·高三一模）下列说法正确的是（ ） A．命题“ 0x  ，使得 2 2 0x x   ”的否定是“ 0x  ，使得 2 2 0x x   ” B．设随机变量  21,N : ，若    3 1 2P a P a      ，则 1 4a  C．正实数 a ， b 满足 1a b  ，则 2 1 a b  的最小值为 5 D． na 是等比数列，则“ 1 3 22a a a  ”是“ 1 0a  ”的充分不必要条件 【答案】ABD 【分析】 根据含存在性量词的命题的否定判断 A，由正态分布的均值求出 a 判断 B，由均值不等式可判断 C，根据等 比数列的性质可判断 D. 【详解】 由存在性量词命题的否定知“ 0x  ，使得 2 2 0x x   ”的否定是“ 0x  ，使得 2 2 0x x   ”，故 A 正确； 因为随机变量  21,N : ，且    3 1 2P a P a      ，所以 3 1 2 12 a a    ，即 1 4a  ，故 B 正确； 因为 2 1 2 1 2( )( =3+ 3 2 2b aa ba b a b a b       ） ，当且仅当 2b a a b  ，即 2 2, 2 1a b    等号成 立，故 C 不正确； 等比数列中，由 1 3 22a a a  可得 2 2 1 1( 2 1) (1 ) 0a q q a q     ，解得 1 0a  ， 当 1 0a  时，若 1q  ，则 1 3 22a a a  ，故“ 1 3 22a a a  ”是“ 1 0a  ”的充分不必要条件，故 D 正确. 故选：ABD 28．（2021·山东高三专题练习）已知 , ,a b cR ，则下列命题正确的是（ ） A．若 0ab  且 a b ，则 1 1 a b  B．若 0 1a  ，则 2a a C．若 0a b  ，则 1 1 b b a a   D．若 c b a  且 0ac  ，则 2 2bc ac 【答案】BCD 【分析】 举出反例可判断 A；由不等式的基本性质可判断 B、D；通过作差法可得    1 1a b b a   ，再由不等式的 基本性质即可判断 C. 【详解】 对于 A，当 1a   ， 1b  时，满足 0ab  且 a b ，此时 1 1 a b  ，故 A 错误； 对于 B，若 0 1a  ，则 2a a ，故 B 正确； 对于 C，若 0a b  ，则    1 1 0a b b a a b      ， 所以    1 1a b b a   ，所以 1 1 b b a a   ，故 C 正确； 对于 D，若 c b a  且 0ac  ，则 0c a  ，所以 2 0c  ， 2 2bc ac ，故 D 正确. 故选：BCD. 【点睛】 本题考查了不等式基本性质的应用及不等关系的判断，属于基础题. 29．（2021·河北张家口市·高三一模）已知 0, 0a b  ，且 2 8 1a b  ，则（ ） A． 4 33 3 a b  B． 2 1a b „ C． 2 2log log 6a b „ D． 2 2 116 8a b  【答案】ABC 【分析】 对于 A，由已知条件可得 2 8 1a b   ，再由指数函数的性质可得 2 8 1 13 3 3 a b   ，然后给不等式两边开 平方可得结果；对于 B，对 2( 2 8 )a b 化简可得 2( 2 8 ) 2a b  ，两边开方可得结果；对于 C，由于 2 2 2 2 2 2 8log 2 ) log 8 ) log 16 ) log 22( ( ( a ba b ab       „ ，化简后可得结果；对于 D，由基本不等式可得 2 2 2(2 8 ) 2(2 ) 2(8 )a b a b „ ，再结合已知条件可得 2 2 116 8a b … ，从而可判断 D， 【详解】 对于 A，因为 0, 0a b  ，且 2 8 1a b  ，所以 2 8 2 (1 2 ) 4 1 1a b a a a        ，所以 2 8 1 13 3 3 a b   ， 所以 4 33 3 a b  ，故 A 正确； 对于 B， 2( 2 8 ) 2 8 2 2 8 1 2 2 8 1 (2 8 ) 2a b a b a b a b a b          „ ，所以 2 8 2a b „ ， 当且仅当 2 8a b ，即 1 1,4 16a b  时取等号，故 2 1a b „ ，故 B 正确； 对于 C， 2 2 2 2 2 2 8log 2 ) log 8 ) log 16 ) log 22( ( ( a ba b ab       „ ，当且仅当 2 8a b ，即 1 1,4 16a b  时取等号，故    2 2 2 2log 2 log 8 1 log 3 log 2a b a b     „ ，得 2 2log log 6a b „ ，故 C 正确； 对于 D，已知 0, 0a b  ，且 2 8 1a b  ，所以 2 2 2(2 8 ) 2(2 ) 2(8 )a b a b „ ，即 2 21 8 128a b„ ，则 2 2 116 8a b … ，当且仅当 2 8a b ，即 1 1,4 16a b  时取等号，故 D 错误． 故选：ABC． 30．（2021·全国高三专题练习）设 a ，b 为正数，若直线 1 0ax by   被圆 2 2 4 2 1 0x y x y     截得 弦长为 4，则（ ） A． 1a b  B． 2 1a b  C． 1 8ab  D． 2 9a b ab   【答案】BCD 【分析】 根据直线与圆的位置关系可得 2 1a b  排除 A，再由均值不等式判断 CD 即可. 【详解】 由 2 2 4 2 1 0x y x y     可得 2 2( 2) ( 1) 4x y    ， 故圆的直径是 4， 所以直线过圆心 2,1 ，即 2 1a b  ，故 B 正确； 又 a ， b 均为正数，所以由均值不等式 1 8ab  ，当且仅当 1 1,4 2a b= = 时等号成立；故 C 正确； 又 2 2 1 2a b a b ab ab ab b a       1 2 2 22 1 4a ba b b a b a          2 25 2 9a b b a     ， 当且仅当 2 2a b b a  ，即 a b ，即 1 3a b  时，等号成立，故 D 正确. 故选：BCD 【点睛】 易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成 积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所 求的最值，这也是最容易发生错误的地方.