备考 2021 年高考高三数学复习之疯狂选择题 30 题
第 2 辑平面向量与复数
一、单选题
1．（2021·云南高三其他模拟（理））若 2 i 4 3iz ，则 z 的实部为（ ）
A．2 B． 2 C．1 D． 1
【答案】C
【详解】
由 2 i 4 3iz ，得
4 3i 2 i4 3i 5 10i 1 2i2 i 2 i 2 i 5z
，所以 z 的实部为 1.
故选：C．
2．（2021·吉林长春市·高三二模（文））复数 2cos sin3 3z i ，则复数 z 的虚部是（ ）
A． 1
2
B． 3
2
C． 1
2 D． 3
2
【答案】D
【分析】
化简复数 z ，即可得复数 z 的虚部.
【详解】
2 1 3cos sin3 3 2 2z i i
复数 z 的虚部为 3
2
，
故选：D.
3．（2021·广东深圳市·高三一模）已知复数
1
iz i
，则| |z （ ）
A． 2
2
B． 2 C． 1
2 D．1
【答案】A
【分析】
先化简复数 z ，再利用模长公式即可求解.
【详解】
1 1 1 1
1 1 1 2 2 2
i i iz ii i i
i ,
所以
2 21 1 2| | 2 2 2z
，
故选：A.
4．（2021·广东广州市·高三一模）复数 2
1
iz i
在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
先化简求出 z ，即可得出结论.
【详解】
2 1+2 3+ 3 1+1 1 1+ 2 2 2
i ii iz ii i i
，
其在复平面内对应的点 3 1,2 2
在第一象限.
故选：A.
5．（2020·海南枫叶国际学校高二期中）已知 11
zi ii
，则复数 z 在复平面上所对应的点位于（ ）
A．实轴上 B．虚轴上
C．第一象限 D．第二象限
【答案】B
【解析】
试题分析：由 11
zi ii
，则 ( 1)( 1) 2 2i iz ii i
，所以复数 z 在复平面上所对应的点位于虚轴上，
故选 B．
考点：复数的运算与表示．
6．（2021·全国高三其他模拟）已知复数 1z 与 2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且 1 3ii 42 z ，
则 2z （ ）
A． 2 i B． 2 i C． 2 i D． 2 i
【答案】C
【分析】
根据复数的乘法运算、复数模的运算以及复数的几何意义即可求解.
【详解】
1
4 3i 5 2 i 2 i2 i 2 i 2 iz
，
又复数 1z 与 2z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，所以 2 2z i .
故选：C.
7．（2021·河南新乡市·高三一模（理））设 ( 1 2 ) 1 6i x y i ， ,x y R ，则| |x yi （ ）
A． 6 B．5 C． 4 D．3
【答案】B
【分析】
根据复数实部等于实部，虚部等于虚部可得 3
4
x
y
，进而求模长即可.
【详解】
因为 1 2 1 6i x y i ，所以 2 6
1
x
x y
，解得 3
4
x
y
，
所以 3 3=| 3 4 | 3 4 5x yi i .
故选：B.
8．（2021·山东高三专题练习）已知 2 i 是关于 x 的方程 2 5 0x ax 的根，则实数 a （ ）
A． 2 i B． 4 C．2 D．4
【答案】B
【分析】
依题意知方程的根互为共轭复数，结合韦达定理可求得结果.
【详解】
因为 2 i 是关于 x 的方程 2 5 0x ax 的根，则另一根为 2 i
由韦达定理得 2 2i i a ，所以 4a
故选：B
9．（2020·全国高三专题练习（文））已知 i 为虚数单位，m∈R，若复数（2-i）（m+i）在复平面内对应的点
位于实轴上，则复数
1
mi
i
的虚部为（ ）
A．1 B．i C． 1 D． i
【答案】A
【分析】
根据复数的运算以及复数的几何意义，求出 m 的值结合复数虚部的定义进行求解即可．
【详解】
（2-i）（m+i）=2m+1+（2-m）i，
若复数在复平面内对应的点位于实轴上，
则 2-m=0 得 m=2，
复数 2 2 (1 ) 2 2 11 1 (1 )(1 ) 2
mi i i i i ii i i i
，
即复数的虚部是 1，
故选 A．
【点睛】
本题主要考查复数的计算，结合复数的几何意义是解决本题的关键．
10．（2021·安徽淮北市·高三一模（理））若 i 为虚数单位，复数 z 满足 3 3z i ，则 2z i 的最大
值为（ ）
A．2 B．3 C． 2 3 D．3 3
【答案】D
【分析】
先根据 3 3z i 分析出复数 z 对应的点在复平面内的轨迹，然后将 2z i 的最大值转化为圆外一点
到圆上一点的距离最大值问题并完成求解.
【详解】
因为 3 3z i 表示以点 3, 1M 为圆心，半径 3R 的圆及其内部，
又 2z i 表示复平面内的点到 0,2N 的距离，据此作出如下示意图：
所以 2 2
max2 0 3 2 1 3 3 3z i MN R ，
故选：D.
【点睛】
结论点睛：常见的复数与轨迹的结论：
（1） 0 0z z r r ：表示以 0z 为圆心，半径为 r 的圆；
（2） 1 2 2 0z z z z a a 且 1 22a z z ：表示以 1 2,z z 为端点的线段；
（3） 1 2 2 0z z z z a a 且 1 22a z z ：表示以 1 2,z z 为焦点的椭圆；
（4） 1 2 2 0z z z z a a 且 1 20 2a z z ：表示以 1 2,z z 为焦点的双曲线.
11．（2021·山东青岛市·高三一模）18 世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，
使复数及其运算具有了几何意义，例如， z OZ ，也即复数 z 的模的几何意义为 z 对应的点 Z 到原点的
距离．在复平面内，复数 0
2
1
a iz i
（i 是虚数单位，aR ）是纯虚数，其对应的点为 0Z ，Z 为曲线 1z
上的动点，则 0Z 与 Z 之间的最小距离为（ ）
A． 1
2 B．1 C． 3
2 D．2
【答案】B
【分析】
因为 0z 为纯虚数，化简可得 2a ，则 0 2z i ，设 ,Z x y ，用两点距离公式求解 0ZZ 的最小值即可．
【详解】
由
0
2 1 2 22
1 1 1 2
a i i a a ia iz i i i
，
因为复数 0
2
1
a iz i
（i 是虚数单位， aR ）是纯虚数，所以 2 0a 得 2a
所以 0 2z i ，则 0 0,2Z
由于 1z ，故设 ,Z x y 且 2 2 1x y ， 1 1y
所以 22 2 2
0 2 4 4 5 4 1ZZ x y x y y y
故 0Z 与 Z 之间的最小距离为 1
故选：B．
12．（2021·全国高三专题练习）设 a
、b
是两个平面向量，则“ a b ”是“ a b
r r
”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
利用充分条件、必要条件的定义结合相等向量的定义判断即可得出结论.
【详解】
充分性：若 a b ，则 a
、b
方向相同且 a b
r r
，充分性成立；
必要性：若 a b
r r
，但 a
、b
的方向不一定相同，即 a
、b
不一定相等，必要性不成立.
因此，“ a b ”是“ a b
r r
”充分而不必要条件.
故选：A.
13．（2020·黑龙江大庆市·铁人中学高三二模（文））已知单位向量 a
、b
满足 a b ，则 a a b
（ ）
A．0 B． 1
2 C．1 D．2
【答案】C
【分析】
本题首先可以通过题意得出 1a b
r r
以及 0a b ，然后通过 2
a a b a a b 即可得出结果.
【详解】
因为单位向量 a
、b
满足 a b ，
所以 1a b
r r
， 0a b ，
所以 22
1a a b a a b a a b
，
故选：C.
【点睛】
本题考查单位向量以及向量垂直的相关性质，若向量 a b ，则 0a b ，考查计算能力，体现了基础性，
是简单题.
14．（2020·全国高三专题练习（文））已知复平面内点 M，N 分别对应复数 1 2 iz 和 2 1 iz ，则向量 MN
的模长为（ ）
A．1 B． 3 C． 5 D．3
【答案】C
【分析】
先由复数的代数形式，求得其对应的点的坐标，再由向量的模的公式，求得模长
【详解】
由 M，N 分别对应复数 1 2 iz 和 2 1 iz ，得 (2,1), (1, 1)M N ，则 ( 1, 2)MN ，
则 2 2( 1) ( 2) 5MN
.
故选：C.
【点睛】
本题考查了根据复数的代数形式，求其对应的点的坐标，还考查了向量的模的公式，属于容易题.
15．（2021·全国高三专题练习（文））已知 0AC BC ， 3BC AC
，点 M 满足 1CM tCA t CB ，
若 60ACM ° ，则t （ ）
A． 1
2 B． 3
2
C．1 D．2
【答案】A
【分析】
根据 0AC BC 可知 ABC 为直角三角形，结合所给点 M 满足的向量关系及向量减法运算可知
BM tBA ，结合所给线段关系即可求得t 的值.
【详解】
由 0AC BC ， 3BC AC ，可知 ABC 为直角三角形，设
,AC a 则 3BC a ，而 60ACM ° ，几何关系如下图所示：
因为 ,AC a
则 3BC a
， 90ACB ，
所以 2AB a ，
则 60CAB ，所以 AC AM CM BM a ，
即 M 为 AB 中点，
又因为点 M 满足 1CM tCA t CB ，
则CM tCA CB tCB ，所以 CM CB t CA CB
，
由向量减法运算可知 BM tBA ，因为 M 为 AB 中点，
所以 1
2t ，
故选：A.
【点睛】
本题考查了平面向量数量积的意义，向量共线的意义及向量的减法运算，属于基础题.
16．（2021·全国高三专题练习）已知向量 1 2 , 0 2 , 1,a b c , , ，若 2 / /a b c
，则实数 的
值为（ ）
A． 1
3
B．-3 C． 1
3 D．3
【答案】B
【分析】
按照向量平行的公式计算求解即可.
【详解】
解： 2 2,4a ， 2 2,6a b ， 2 / /a b c
，则有 2 6 0 ，
解得： 3 .
故选：B
17．（2021·福建漳州市·高三其他模拟）已知向量 2,3a
r ， ,5b k ，且 3a b ，则 2a b
r r
（ ）
A． 4 3 B．3 2 C．5 5 D． 6 2
【答案】C
【分析】
根据数量积公式，可得 2 3 5 3ka b ，可求得 k 值，代入可得 2a b 的坐标，代入求模公式，即可得
答案.
【详解】
∵ 2,3a
r ， ,5b k ，
∴ 2 3 5 3ka b ，解得 6k .
∴ ,5 6,5b k ，∴ 2 2 2,3 6,5 2,11a b ，
∴ 2 22 2 11 5 5a b ，
故选：C.
18．（2021·全国高三专题练习）若向量 a
，b
满足 2a ， 2 6a b a ，则b
在 a 方向上的投影为（ ）．
A．1 B． 1
2 C． 1
2
D． 1
【答案】B
【分析】
设 a
，b
的夹角为 ，利用 2a
， 2 6a b a
求解 cosb
的值即可.
【详解】
设 a
，b
的夹角为 ，则 2 22 2 2 cos 4 4 cos 6a b a a a b a a b b
，则 1cos 2b ，
即b
在 a
方向上的投影为 1cos 2b
.
故选：B.
19．（2021·黑龙江哈尔滨市·高三一模（文））如图所示的 ABC 中，点 D 是线段 BC 上靠近 B 的
三等分点，则 AD （ ）
A． 1 2
3 3AB AC
B． 1 4
3 3AB AC
C． 2 1
3 3AB AC
D． 4 1
3 3AB AC
【答案】C
【分析】
由向量的线性运算法则把 AD
用 ,AB AC
表示可得．
【详解】
由题意 1 1 2 1( )3 3 3 3AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC ．
故选：C．
20．（2021·全国高三专题练习）如图所示的 ABC 中，点 D 是线段 AC 上靠近 A 的三等分点，点 E 是线段
AB 的中点，则 DE
（ ）
A． 1 1
3 6BA BC
B． 1 1
6 3BA BC
C． 5 1
6 3BA BC
D． 5 1
6 3BA BC
【答案】B
【分析】
根据向量的加法减法运算即可求解.
【详解】
依题意， 1 1 1 1 1 1 1
3 2 3 3 2 6 3DA AE AC BA BDE C BA BA BA BC
，
故选：B
21．（2021·上海金山区·高三一模）已知 ABC 的外接圆圆心为O ， 120A ，若 AO xAB yAC
( x ，
y R )，则 x y 的最小值为（ ）
A． 1
2 B． 2
3 C． 3
2 D．2
【答案】D
【分析】
设 OA 与 BC 交点为 E ，则 AE AB AC 其中 1 ，由于
RAO xAB yAC AB ACR OE
，得 R Rx y R OE R OE
，因为
2
R OE R 故 x y 的最小值可得.
【详解】
设 OA 与 BC 交点为 E ，设 OE m ，圆的半径为 R ， D 为 BC 中点，如图所示：
则 RAO AER m
，设 AE AB AC ，因为 , ,B C E 三点共线，则 1
所以 RAO xAB yAC AB ACR m
，故 R Rx y R m R m
因为 120A ，则 60COD 所以 1cos60 2OD R R
则
2
R m R ，故 2
2
R R
RR m R
所以 x y 的最小值为 2
故选：D
【点睛】
设 AE AB AC ，因为 , ,B C E 三点共线，则 1 ，得 R Rx y R m R m
是解题的
关键.
22．（2021·江苏高一单元测试）在矩形 ABCD 中， 4AB ， 3AD ， M ， N 分别是 AB ， AD 上的动
点，且满足 2 1AM AN ，设 AC xAM y AN ，则 2 3x y 的最小值为（ ）
A．48 B．49 C．50 D．51
【答案】B
【分析】
建立平面直角坐标系，假设点 ,M N 坐标，然后得到 ,x y ，然后代入 2 3x y 并结合基本不等式进行计算即
可.
【详解】
如图，建立平面直角坐标系，
则 0,0A ， 4,0B ， 4,3C ， 0,3D ，
设 ,0M m ， 0,N n ，因为 2 1AM AN ，
所以 2 1m n ， 10 2m ， 0 1n .
因为 AC xAM y AN ，所以 4x m
， 3y n
，
所以 8 9 8 9 8 182 3 2 25 25 24 49n mx y m nm n m n m n
.
当且仅当 8 18n m
m n
，即 2
7m ， 3
7n 时取等号.
故选: B.
23．（2020·全国高三专题练习）如图，在平行四边形 ABCD 中， π
3BAD ， 2AB ， 1AD ，若 M 、
N 分别是边 BC 、CD 上的点，且满足 BM NC
BC DC
，其中 0,1 ，则 AM AN 的取值范围是
A． 0,3 B． 1,4
C． 2,5 D． 1,7
【答案】C
【解析】
因为 BM NC
BC DC
,所以 BM BC , NC DC ，
所以 AM AN = AB BC AD DN
= AB BC AD AB DC
= 1AB AD AD AB
= 4 1 1AB AD AB AD
= 1 4 1 1 = 2 2 5 .
当 0 时, AM AN 取得最大值 5;
当 1 时, AM AN 取得最小值 2,
AM AN 的取值范围是 2,5 .
本题选择 C 选项.
24．（2020·浙江湖州市·高三其他模拟）已知C ，D 是半径为1的圆O 上的动点，线段 AB 是圆O 的
直径，则 AC BD 的取值范围是（ ）
A． 12, 2
B． 2,0 C． 14, 2
D． 4,0
【答案】C
【分析】
建立直角坐标系，设出 ,C D 坐标，求出 ,AC BD
，然后化简，利用三角函数知识即可求解出它的范围.
【详解】
解：如图建立平面直角坐标系.
设 cos ,sin ,D ， , , , 2 2CAB AC a b ，则 tan b
a
，
22cos , 2cos sina b .
2 2, cos 1,sin cos sin sinAC BD a b a b a a b a
uuur uuur ，其中
1tan tan
a
b
， ,2 2 2
，从而 3 3
2 2
.
2 2 sinAC BD a b a
uuur uuur 的最大值为： 2 2a b a ，最小值为： 2 2a b a .
2
2 22 2 2 2 2 1 12cos 2cos sin 2cos 2cos 2cos 2 cos 2 2a b a
当
3
时，取最大值 1
2 .
2
2 2 2 1 12cos 2cos 2 cos 2 2a b a
，当 0 时，取最小值 4 .
故 AC BD 的取值范围是为 14, 2
.
故选：C .
【点睛】
本题考查向量数量积的应用，考查转化思想和运算能力，建立直角坐标系，利用坐标运算时解答本题的关
键，属于中档题.
25．（2021·广东深圳市·高三一模）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，
如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A（前轮），圆 D（后轮）的半径均为 3 ， ABE△ ，
BEC△ ， ECD 均是边长为4的等边三角形.设点P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，AC BP
的最大值为（ ）
A．18 B．24 C．36 D．48
【答案】C
【分析】
以 AD 为 x 轴，E 为坐标原点建立平面直角坐标系，由圆 D 方程设 (4 3 cos , 3sin )P ，写出向量的
坐标，由数量积的坐标表示求出数量积，利用三角函数知识得最大值．
【详解】
骑行过程中， ABCDE 相对不动，只有 P 点绕 D 点作圆周运动．
如图，以 AD 为 x 轴， E 为坐标原点建立平面直角坐标系，由题意 ( 4,0)A ， ( 2,2 3)B ， (2,2 3)C ，
圆 D 方程为 2 2( 4) 3x y ，设 (4 3 cos , 3sin )P ，
则 (6,2 3)AC ， (6 3 cos , 3sin 2 3)BP ，
6(6 3 cos ) 2 3( 3sin 2 3)AC BP
1 36 3 cos 6sin 24 12 sin cos 24 12sin( ) 242 2 3
，
易知当sin( ) 13
时， AC BP 取得最大值 36．
故选：C．
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的数量积，解题关键是建立平面直角坐标系，用坐标运算计算向量的数量
积，结合三角函数的性质求得最大值．
二、多选题
26．（2021·广东湛江市·高三一模）若复数 3z i ，则（ ）
A．|z|=2 B．|z|=4
C．z 的共轭复数 z = 3 +i D． 2 4 2 3z i
【答案】AC
【分析】
根据复数的知识对选项进行分析，由此确定正确选项.
【详解】
依题意 2 23 1 2z ，故 A 选项正确，B 选项错误.
3z i ，C 选项正确.
22 23 3 2 3 2 2 3z i i i i ，D 选项错误.
故选：AC
27．（2020·全国高三专题练习）已知复数 π π1 cos2 sin 2 2 2z i
（其中 i 为虚数单位）下列
说法正确的是（ ）
A．复数 z 在复平面上对应的点可能落在第二象限
B．z 可能为实数
C． 2cosz
D． 1
z
的实部为 1
2
【答案】BCD
【分析】
由 π π
2 2
，得 π 2 π ，得 0 1+cos2 2 ，可判断 A 选项；当虚部sin 2 0, 0 2 2
，
时，可判断 B 选项；由复数的模的计算和余弦的二倍角公式可判断 C 选项；由复数的除法运算得
1 1 cos2 sin 2
2 2cos2
i
z
1
z
的实部是 1 cos2 1
2 2cos2 2
，可判断 D 选项；
【详解】
因为 π π
2 2
，所以 π 2 π ，所以 1 cos2 1 ，所以 0 1+cos2 2 ，所以 A 选项错误；
当sin 2 0, 0 2 2
， 时，复数 z 是实数，故 B 选项正确；
2 21+cos2 sin 2 2+2cos2 2cosz ，故 C 选项正确；
1 1 1 cos2 sin 2 1 cos2 sin 2
1 cos2 sin 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 sin 2 2 2cos2
i i
z i i i
， 1
z
的实部
是 1 cos2 1
2 2cos2 2
，故 D 选项正确；
故选：BCD.
【点睛】
本题考查复数的概念，复数的模的计算，复数的运算，以及三角函数的恒等变换公式的应用，属于中档题.
28．（2021·河北张家口市·高三一模）如果平面向量 (2, 4) ( 6,12)a b ， ，那么下列结论中正确的是
（ ）
A．| | 3| |b a B． / /a b
C． a 与b
的夹角为 30° D． a 在b
方向上的投影为 2 5
【答案】AB
【分析】
根据向量坐标运算及向量共线的意义可得解.
【详解】
因为 (2, 4) ( 6,12)a b ， ，所以 3ab ．
在 A 中，由 3ab ，可得| | 3| |b a ，故 A 正确；
在 B 中，由 3ab ，可得 / /a b
，故 B 正确；
在 C 中，由 3ab ，可得 a 与 b
的夹角为180 ，故 C 错误；
在 D 中， a 在b
方向上的投影为 2 2
(2, 4) ( 6,12) 2 5
| | ( 6) 12
a b
b
，故 D 错误．
故选:AB．
29．（2021·江苏盐城市·高三一模）下列关于向量 a
，b
， c
的运算，一定成立的有（ ）
A． ( ) c
a b c a c b B． ( ) ( )
a b c a b c
C． a b a b
D． a b a b
【答案】ACD
【分析】
根据数量积的运算律和定义可判断 ABC 的正确，从而可判断 D 的正误.
【详解】
选项 B 中左边为 c
的共线向量，右边为 a
的共线向量不正确，
根据数量积的分配律可知 A 正确，
根据数量积的定义可知 cos ,a b a b a b a b ，关于 C 正确；
而 22
2 2a b a b a b a b ，根据 C 判断可知 2 2 0a b a b
，
故 22
a b a b ，故 D 正确.
故选：ACD.
30．（2021·江苏高三专题练习）如图，已知长方形 ABCD 中， 3AB ， 2AD ， 0 1DE DC
，
则下列结论正确的是（ ）
A．当 1
3
时， 1 2
3 3EA A ED B
B．当 2
3
时， 10cos , 10AE BE
C．对任意 0,1 ， AE BE
不成立
D． AE BE
的最小值为 4
【答案】BCD
【分析】
根据题意，建立平面直角坐标系，由 DE DC
，根据向量坐标的运算可得 3 ,2E ，当 1
3
时，得出
1,2E ，根据向量的线性运算即向量的坐标运算，可求出 2 1
3 3AD AE BE
，即可判断 A 选项；当 2
3
时， 2,2E ，根据平面向量的夹角公式、向量的数量积运算和模的运算，求出 10cos , 10AE BE
，即
可判断 B 选项；若 AE BE
，根据向量垂直的数量积运算，即可判断 C 选项；根据向量坐标加法运算求
得 6 3,4AE BE
，再根据向量模的运算即可判断 D 选项.
【详解】
解：如图，以 A 为坐标原点， ,AB AD 所在直线分别为 x 轴､ y 轴建立平面直角坐标系，
则 0,0A ， 3,0B ， 3,2C ， 0,2D ，由 DE DC
，可得 3 ,2E ，
A 项，当 1
3
时， 1,2E ，则 1,2AE
， 2,2BE
，
设 AD m AE n BE
，又 0,2AD
，所以 0 2
2 2 2
m n
m n
，得
2
3
1
3
m
n
，
故 2 1
3 3AD AE BE
，A 错误；
B 项，当 2
3
时， 2,2E ，则 2,2AE
， 1,2BE
，
故
2 4 10cos 10,
2 2 5
AE BE AE BE
AE BE
，B 正确；
C 项， 3 ,2AE
， 3 3,2BE
，
若 AE BE
，则 23 3 3 2 2 9 9 4 0AE BE
，
对于方程 29 9 4 0 ， 2Δ 9 4 9 4 0 ，
故不存在 0,1 ，使得 AE BE
，C 正确；
D 项， 6 3,4AE BE
，所以 2 26 3 4 4AE BE
，
当且仅当 1
2
时等号成立，D 正确.
故选：BCD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查平面向量的坐标运算，数量积运算和线性运算，考查运用数量积表示两个向量的夹
角以及会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，熟练运用平面向量的数量积运算是解题的关键.
微信/支付宝扫码支付