第 11 讲 解析几何
一．选择题（共 11 小题）
1．（2021•湛江一模）已知抛物线 C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点为 F，点 M 是 C 上的一点，M 到直线 y＝2p
的距离是 M 到 C 的准线距离的 2 倍，且|MF|＝6，则 p＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解析】解：由抛物线的方程可得准线方程 y
，
设 P（x0，y0），由抛物线的性质可得|MF|＝6
y0，
①由 M 到直线 y＝2p 的距离是 M 到 C 的准线距离的 2 倍可得：2p﹣y0＝12
②
，
由
①②
可得 p＝4，
故选：A．
2．（2021•湛江一模）已知椭圆
1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 的直线交椭圆 C
于 A，B 两点，若
0，且|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，则 C 的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：因为|BF2|，|AB|，|AF2|成等差数列，
设|BF2|＝x，公差为 d，|AB|＝x+d，|AF2|＝x+2d，
因为
0，所以 AB⊥BF2，
由勾股定理可得：（（x+2d）2＝x2+（x+d）2，解得 x＝3d，
由椭圆的定义可得三角形 ABF2 的周长为 4a，
由 4a＝3d+4d+5d，即 a＝3d，|BF2|＝a＝|BF1|，
在直角三角形 BF2F1 中，a2+a2＝4c2，
所以离心率 e
，
故选：A．
3．（2021•濠江区校级模拟）已知抛物线 C：y2＝2x，过定点 M（a，0）的直线与抛物线 C 相交于点 P，Q，
若
㌳䁜
쳌䁜
为常数，则实数 a 的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】解：设 P（x1，y1），Q（x2，y2），直线 PQ：x＝ky+a，
联立方程
t
，
消掉 x 可得：y2﹣2ky﹣2a＝0，
y1+y2＝2k．y1y2＝﹣2a，
所以
㌳䁜
쳌䁜
t
（
）
t
t
t因为
㌳䁜
쳌䁜
为常数，
所以 a＝1，满足△＝4k2+8＞0．
故选：A．
4．（2021•肇庆二模）已知 F1，F2 分别为双曲线 C：
−
1（a＞0＞0）的左、右焦点，O 为坐标原点，
在双曲线 C 上存在点 M，使得 2|OM|＝|F1F2|．设△F1MF2 的面积为 S．若 16S＝（|MF1|+|MF2|）2，则该
双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：由 2|OM|＝|F1F2|可得∠F1AF2
，
设|MF1|＝m，|MF2|＝n，
由 16S＝（|MF1|+|MF2|）2 可得：8mn＝（m+n）2＝（m﹣n）2+4mn＝4a2+4mn，
所以 mn＝a2，
又因为 m2+n2＝4c2，即（m﹣n）2+2mn＝4c2，
所以 4a2+2a2＝4c2，
可得离心率 e
，
故选：A．
5．（2021•广州一模）已知 A（﹣1，0），B（0，2），直线 l：2x﹣2ay+3+a＝0 上存在点 P，满足|PA|+|PB|
，
则 l 的倾斜角的取值范围是（ ）
A．
，
B．
，
，
C．
，
D．
，
，
【解析】解：将点 A，B 代入直线 l 的方程，可知点 A，B 均不在直线 l 上，
设 P（x，y），则
−
，又|AB|
，且|PA|+|PB|
，
所以点 P 的轨迹为线段 AB，
因为线段 AB 的方程为
−
，即 y＝2x+2，x
∈
[﹣1，0]，
联立方程组
，解得
，
直线 l 的斜率为 k
，
设 l 的倾斜角为
α
，则
䁪
，
因为﹣1≤x≤0，所以−
−
，即﹣1≤tan
α
≤1，
α∈
（0，
π
），
解得
α∈
，
，
．
故选：D．
6．（2021•湛江校级模拟）抛物线 C1：y2＝8x，双曲线 C2：
1（a＞0，b＞0），设 F 是 C1 的焦点，
点 A 是抛物线与双曲线的一条渐近线的公共点，且 AF⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．2 C．
D．
【解析】解：由题意得 F（2，0），准线为 x＝﹣2，
设双曲线的一条渐近线为 y
x，则点 A（2，
），
由抛物线的定义得|PF|等于点 A 到准线的距离，即
2+2，
∴b2＝4a2，可得 c2＝5a2，e
，
则双曲线的离心率为
．
故选：C．
7．（2013•新课标Ⅰ）O 为坐标原点，F 为抛物线 C：y2＝4
x 的焦点，P 为 C 上一点，若|PF|＝4
，则△
POF 的面积为（ ）
A．2 B．2
C．2
D．4
【解析】解：∵抛物线 C 的方程为 y2＝4
x
∴2p＝4
，可得
，得焦点 F（
，
）
设 P（m，n）
根据抛物线的定义，得|PF|＝m
4
，
即 m
4
，解得 m＝3
∵点 P 在抛物线 C 上，得 n2＝4
3
24
∴n
±
±
∵|OF|
∴△POF 的面积为 S
|OF|×|n|
2
故选：C．
8．（2021•广东模拟）已知直线 l：x+y﹣3＝0 交圆 x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0 于 A、B 两点，则|AB|＝（ ）
A．2 B．1 C．2
D．
【解析】解：根据题意，圆 x2+y2+4x﹣2y﹣4＝0，即（x+2）2+（y﹣1）2＝9，其圆心为（﹣2，1），半
径 r＝3，
圆心到直线 l 的距离 d
2
，
则弦长|AB|＝2×
o
2，
故选：A．
9．（2021•惠州模拟）若双曲线 C：
1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4 所截得的
弦长为 2
，则 C 的离心率为（ ）
A．2 B．
C．
D．
【解析】解：双曲线 C：
1（a＞0，b＞0）的一条渐近线不妨为：bx+ay＝0，
圆（x﹣2）2+y2＝4 的圆心（2，0），半径为：2，
双曲线 C：
1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2＝4 所截得的弦长为 2，
可得圆心到直线的距离为：
，
解得：
1，e＞1，即 e
．
故选：D．
10．（2021•潮州一模）已知抛物线 x2＝4y 的准线与双曲线
＞
，
＞
的两条渐近线围成一个
等腰直角三角形，则该双曲线的离心率是（ ）
A．
B．2 C．
D．5
【解析】解：抛物线 x2＝4y 的准线方程为 y＝﹣1，平行坐标轴，
双曲线
＞
，
＞
的两条渐近线，关于 y 轴对称，抛物线的准线与双曲线的渐近线组成等
腰直角三角形，所以双曲线的渐近线的斜率为：±1，
可得 a＝b，∴c
a，
则 e
．
故选：A．
11．（2021•潮州一模）已知倾斜角为
α
的直线 l：y＝kx﹣2 与圆 x2+（y﹣1）2＝1 相切，则
ꀀ
ꀀ
的值为（ ）
A．−
B．
C．−
D．
【解析】解：因为 y＝kx﹣2 与圆 x2+（y﹣1）2＝1 相切，
所以
t
1，
解得，k
±
，即 tan
α
±
，
因为
α∈
（0，
π
），
所以 sin
α
，
则
ꀀ
ꀀ
ꀀ䁣䁪
ꀀ䁣䁪
2sin
α
−
．
故选：A．
二．多选题（共 11 小题）
12．（2021•濠江区校级模拟）黄金分割是一种数学上的比例，是自然的数美．黄金分割具有严格的比例性、
艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．应用时一般取 0.618．北京新机场，自然也留下了黄金数的足
迹．人们还发现，一些名画、雕塑、摄影作品的主题，大多在画面的 0.618 处．艺术家们认为弦乐器的
琴马放在琴弦的 0.618 处，能使琴声更加柔和甜美．设离心率为黄金比
的倒数
的双曲线
称为黄金双曲线．若 a，b，c 分别是实半轴、虚半轴、半焦距的长，则对黄金双曲线，有（ ）
A．当焦点在 x 轴时，其标准方程为：
B．若双曲线的弦 EF 的中点为 M，则 kEF•kOM＝﹣e0
C．双曲线中 a，b，c 成等比数列
D．双曲线的右顶点 A（a，0），点 B（0，b）和左焦点 F（﹣c，0）构成△ABF 是直角三角形
【解析】解：对于 A：若为黄金双曲线，则离心率为 e0
，
又因为 e02
1
，
所以 b2＝a2（e02﹣1）＝a2[（
）2﹣1]
a2，
所以黄金双曲线的方程为
1，故 A 正确；
对于 B：由上可知，黄金双曲线的方程为
1，
设 E（x1，y1），F（x2，y2），线段 EF 的中点 M（x0，y0）
则
1，
1，
两式相减得
0，
所以
•
•（x1﹣x2）−
•
•（y1﹣y2）＝0，
所以 x0•
y0•
•
0，
所以
•
•
0，
所以
kOM•
•kEF＝0，
所以 kOM•kEF＝e0，故 B 错误；
对于 C：由上可知 b2
a2，
ac＝a•ae0＝a2e0
a2，
所以 b2＝ac，
故双曲线中 a，b，c 成等比数列，故 C 正确；
对于 D：kAB
−
，kBF
，
所以 kAB•kBF
−
•
1，
故 AB⊥BF，故 D 正确．
故选：ACD．
13．（2021•深圳一模）设 F1、F2 分别是双曲线 C：
䁪
䁪
1 的左、右焦点，且|F1F2|＝4，则下列结
论正确的有（ ）
A．m＝2
B．当 n＝0 时，C 的离心率是 2
C．F1 到渐近线的距离随着 n 的增大而减小
D．当 n＝1 时，C 的实轴长是虚轴长的两倍
【解析】解：F1、F2 分别是双曲线 C：
䁪
䁪
1 的左、右焦点，且|F1F2|＝4，
可得 2
䁪 䁪
，解得 m＝2，所以 A 正确；
n＝0 时，a＝b
，c
，所以 e
，所以 B 不正确；
F1 到渐近线的距离：
−
䁪
，随着 n 的增大而减小，所以 C 正确；
当 n＝1 时，C 的实轴长：2
，虚轴长：2
−
，所以 D 不正确．
故选：AC．
14．（2021•广州一模）已知点 O 为坐标原点，直线 y＝x﹣1 与抛物线 C：y2＝4x 相交于 A，B 两点，则（ ）
A．|AB|＝8
B．OA⊥OB
C．△AOB 的面积为 2
D．线段 AB 的中点到直线 x＝0 的距离为 2
【解析】解：设 A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
−
，得 y2﹣4y﹣4＝0，
所以 y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，
x1+x2＝y1+1+y2+1＝6，
x1x2＝（y1+1）（y2+1）＝y1y2+（y1+y2）+1＝﹣4+4+1＝1，
对于 A：|AB|
8，故 A 正确；
对于 B：
•
（x1，y1）（x2，y2）＝x1x2+y1y2＝1+（﹣4）＝﹣3≠0，故 B 不正确；
对于 C：点 O 到直线 AB 的距离 d
，
所以 S△AOB
•|AB|•d
•8•
2
，故 C 正确；
对于 D：线段 AB 的中点坐标为（
，
），即（3，2），
所以线段 AB 的中点到直线 x＝0 的距离为 3，故 D 不正确．
故选：AC．
15．（2021•揭阳模拟）已知一组直线为 x±2y＝0，则以该组直线为渐近线的双曲线有（ ）
A．x2﹣4y2＝1 B．4y2﹣x2＝1 C．x2﹣
1 D．
y2＝1
【解析】解：双曲线 x2﹣4y2＝1 化为
，得 a＝1，b
，其渐近线方程为 y
±
，即 x±2y
＝0，故 A 正确；
双曲线 4y2﹣x2＝1 化为
，a
，b＝1，其渐近线方程为 y
±
，即 x±2y＝0，故 B 正确；
双曲线 x2﹣
1 中，a＝1，b＝2，其渐近线方程为 y＝±2x，即 2x±y＝0，故 C 错误；
双曲线
中，a＝2，b＝1，其渐近线方程为 y
±
，即 x±2y＝0，故 D 正确．
故选：ABD．
16．（2021•梅州一模）下列关于圆锥曲线的命题中，正确的是（ ）
A．设 A，B 为两个定点，k 为非零常数，
㌳
㌳
t
，则动点 P 的轨迹为双曲线
B．设定 C 上一定点 A 作圆的动弦 AB，O 为坐标原点，若
㌳
，则动点 P 的轨迹为椭圆
C．方程 2x2﹣5x+2＝0 的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率
D．双曲线
与椭圆
有相同的焦点
【解析】解：对于 A，动点 P 的轨迹仅为双曲线的一支或为一条射线，所以 A 错；
对于 B，由
㌳
知，点 P 弦 AB 中点，弦 AB 定长，
所以弦 AB 中点距圆心定长，所点 P 的轨迹是圆，所以 B 错；
对于 C，解方程 2x2﹣5x+2＝0，得两根为 2 和
，
所以
可作为椭圆离心率，2 可作双曲线的离心率，所以 C 对；
对于 D，设双曲线
与椭圆
的半焦距分别为
25+9＝34，
35﹣1＝34，
所以 c1＝c2，所以 D 对．
故选：CD．
17．（2021•韶关一模）设 P 是椭圆
＞
＞
上一点，F1，F2 是椭圆的左、右焦点，焦距为 2c
（c＞0），若∠F1PF2 是直角，则（ ）
A．|OP|＝c（O 为原点）
B．
㌳
C．△F1PF2 的内切圆半径 r＝a﹣c
D．|PF1|max＝a+c
【解析】解：设|PF1|＝m,|PF2|＝n,|F1F2|＝2c，
因为∠F1PF2＝90°,所以在直角三角形 PF1F2 中有 m2+n2＝4c2....
①
,
由椭圆的定义可得 m+n＝2a....
②
,
联立
①②
解得 mn＝2b2,
所以三角形 PF1F2 的面积为 S
䁪
,故 B 正确；
因为 OP 是斜边 F1F2 的中线，所以|OP|
c,故 A 正确；
设三角形 PF1F2 的内切圆半径为 r，则 S △
㌳
䁪
b2,
所以 r
a﹣c,故 C 正确；
P 为椭圆上的一点，当点 P 为椭圆的右顶点时，|PF1|max＝a+c,
但是此时∠F1PF2≠90°,所以点 P 不可能为椭圆的右顶点，故 D 错误，
故选：ABC．
18．（2021•清新区校级模拟）下列说法正确的是（ ）
A．双曲线
的渐近线方程是 y
±
B．双曲线 x2﹣y2＝1 的离心率 e
C．双曲线
（a＞0，b＞0）的焦点 F 到渐近线的距离是 b
D．双曲线
，直线 l 与双曲线交于 A，B 两点．若 AB 的中点坐标是（
，﹣1），则直线 l 的方
程为 2x+8y+7＝0
【解析】解：对于 A：双曲线
，令
，整理得
，整理得
±
，故 A
正确；
对于 B：双曲线 x2﹣y2＝1 中的 a＝1，b＝1，所以
，所以
，故离心率为
，
故 B 正确；
对于 C：双曲线
（a＞0，b＞0）的焦点 F（c，0）到渐近线
，即 bx+ay＝0 的距离
d
，故 C 正确；
对于 D：双曲线
，设直线 l 与双曲线交于 A（x1，y1），B（x2，y2）两点．
AB 的中点坐标是（
，﹣1），所以
，
，
则：x1+x2＝1，y1+y2＝﹣2．
所以
，两式相减整理得
t
，
进一步利用点斜式得到
−
，整理得 2x+8y+7＝0，故 D 正确．
故选：ABCD．
19．（2021•广东模拟）已知抛物线 C：y2＝12x 的焦点为 F，直线 l 过 F 交抛物线于 A、B 两点，交抛物线的
准线于点 P，（点 A 在 P、F 之间），若
㌳
，O 为坐标原点，则（ ）
A．点 A 的坐标为（1，2
）
B．|BF|＝12
C．直线 l 的方程为 y＝±
（x﹣3）
D．|AO|＝
【解析】解：由题意可知 F（3，0），准线方程为 x＝﹣3，
设 P（﹣3，yP），A（xA，yA），
∵
㌳
，
∴（6，﹣yP）＝3（3﹣xA，yA），
∴9﹣3xA＝6，
∴xA＝1，∴yA＝±2
，故选项 A 不正确；
直线 l 的斜率 k
±
，
∴l 的方程为：y
±
（x﹣3），∴C 正确；
|OA|
，∴D 正确．
联立
±
，得 x2﹣10x+9＝0，
∴xAxB＝9，∵xA＝1，
∴xB＝9，
∴|BF|
㌳
9+3＝12，∴B 正确；
故选：BCD．
20．（2021•广东模拟）设 A，B 是抛物线 C：y2＝4x 上两个不同的点，O 为坐标原点，若直线 OA 与 OB 的
斜率之积为﹣4，则下列结论正确的有（ ）
A．|AB|≥4
B．|OA|+|OB|＞8
C．直线 AB 过抛物线 C 的焦点
D．△OAB 面积的最小值是 2
【解析】解：取 A（1，﹣2），B（1，2），满足 kOA•kOB＝﹣2•2＝﹣4，
从而|OA|+|OB|＝2
＜8，故 B 错误；
由题意可知直线 AB 的斜率不为 0，设直线 AB 的方程为 x＝my+t，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程
，消去 x 整理可得：y2﹣4my﹣4t＝0，则 y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4t，
因为 k
t
，所以 t＝1，故直线 AB 过定点（1，0），C 正确；
因为抛物线的焦点 F（1，0），所以直线 AB 过焦点 F，则由抛物线的性质可得|AB|≥2p＝4，A 正确；
由以上可知直线 AB 的方程为 x＝my+1，
则|AB|
，
原点 O 到直线 AB 的距离为 d
，
则三角形 AOB 的面积为 S
2
，
当且仅当 m＝0 时取等号，此时三角形 AOB 的面积的最小值为 2，故 D 正确，
故选：ACD．
21．（2021•惠州模拟）已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点 F 到准线的距离为 2，过点 F 的直线与抛物
线交于 P，Q 两点，O 为坐标原点，则下列结论中成立的有（ ）
A．抛物线 C 的准线方程为 y＝﹣1
B．线段 PQ 长度的最小值为 4
C．S△OPQ≥2
D．
㌳
쳌
3
【解析】解：对于 A：焦点 F 到准线的距离 p＝2，
所以抛物线 C 的焦点为（1，0），
准线方程为 x＝﹣1，故 A 错误，
对于 B：当 PQ 垂直于 x 轴时长度最小，此时 P（1，2），Q（1，﹣2），
所以|PQ|＝4，故 B 正确，
对于 C：设 P（x1，y1），Q（x2，y2），直线 PQ 的方程为 x＝my+1，
联立抛物线 y2＝2px，
消去 y 可得 x2﹣（4m2+2）x+1＝0，消去 x 可得 y2﹣4my﹣4＝0，
所以 x1+x2＝4m2+2，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，
所以 S△OPQ
|OF||y1﹣y2|
1×
2，
当 m＝0 时成立，故 C 正确，
对于 D：又 x1x2＝1，y1y2＝﹣4，
所以
㌳
•
쳌
x1x2+y1y2＝﹣3，故 D 正确，
故选：BCD．
22．（2021•河源模拟）已知双曲线的方程为
，则下列说法正确的是（ ）
A．焦点为
±
，
B．渐近线方程为 3x±4y＝0
C．离心率
D．焦点到渐近线的距离为 4
【解析】解：双曲线的方程为
，焦点在 x 轴上，焦点坐标（±5，0），所以 A 不正确；
渐近线方程为 3x±4y＝0 所以 B 正确；
双曲线的离心率 e
，所以 C 正确；
焦点到渐近线的距离为：
3，所以 D 不正确；
故选：BC．
三．填空题（共 11 小题）
23．（2021•湛江一模）一条与直线 x﹣2y+3＝0 平行且距离大于
的直线方程为 x﹣2y+c＝0（c＜﹣2 或 c
＞8） ．
【解析】解：因为所求直线与 x﹣2y+3＝0 平行，故设所求直线方程为 x﹣2y+c＝0，
因为直线与 x﹣2y+3＝0 的距离大于
，
所以
＞
，解得 c＜﹣2 或 c＞8，
故与直线 x﹣2y+3＝0 平行且距离大于
的直线方程为 x﹣2y+c＝0（c＜﹣2 或 c＞8）．
故答案为：x﹣2y+c＝0（c＜﹣2 或 c＞8）．
24．（2021•濠江区校级模拟）今有
⊙
O：x2+y2＝24，点
，
，又点 E 是 l：x+2y﹣12＝0 上动点，
过 E 作
⊙
O 的切线，切点分别是 A，B，直线 AB 与 EO 交于点 M，则|MF|的最大值是
．
【解析】解：设 M（x，y），由△AOE∽△MOA，可得
得
䁜
，
故
得
䁜
䁜
，
所以点
得
，
，
将点 E 的坐标代入直线 l：x+2y﹣12＝0，
化简可得（x﹣1）2+（y﹣2）2＝5（x，y 不同时为 0），
故点 M 的轨迹是以（1，2）为圆心，
为直径的圆（去掉 O 点），
所以|MF|的最大值即为点到圆心的距离加上半径，
故|MF|的最大值为
．
故答案为：
．
25．（2021•深圳一模）设 F 为抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过 F 作倾斜角为 60°的直线交 C 于 A，
B 两点，若|AF|﹣|BF|＝4，则|AB|＝ 8 ．
【解析】解：由抛物线的方程可得焦点 F（
，0），
设直线 AB 的方程为：y
（x−
），设 A（x1，y1），B（x2，y2），
联立
整理可得：12x2﹣20px+3p2＝0，
所以 x1
p，x2
由抛物线的性质可得|AF|﹣|BF|＝x1﹣x2
p＝4，解得 p＝3，
所以|AB|＝x1+x2+p
3
3＝8，
故答案为：8．
26．（2013•福建）椭圆Γ：
1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，焦距为 2c，若直线 y
与椭圆Γ的一个交点 M 满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于
．
【解析】解：如图所示，
由直线
可知倾斜角
α
与斜率
有关系
tan
α
，∴
α
＝60°．
又椭圆Γ的一个交点满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，∴∠MF2F1＝30°，∴∠F1MF2＝90°．
设|MF2|＝m，|MF1|＝n，则
䁪
䁪
䁪
，解得
．
∴该椭圆的离心率 e
．
故答案为
．
27．（2021•肇庆二模）已知点 P 是抛物线 x2＝8y 上的一个动点，则点 P 到点 A（2，0）的距离与到抛物线
的准线的距离之和的最小值为 2
．
【解析】解：设点 P 在抛物线的准线的投影为点 M，
抛物线的焦点 F 的坐标为（0，2），
由抛物线的定义可知点 P 到抛物线的准线的距离为|PM|＝|PF|，
则点 P 到点 A（2，0）的距离与到准线的距离之和为 d＝|PA|+|PF|≥|AF|
，
当且仅当点 P，A，F 三点共线时取等号，
故答案为：2
．
28．（2021•广州一模）已知圆（x﹣1）2+y2＝4 与双曲线 C：
1 的两条渐近线相交于四个点，按顺
时针排列依次记为 M，N，P，Q，且|MN|＝2|PQ|，则 C 的离心率为
．
【解析】解：双曲线 C 的渐近线的方程为 y＝±
x，
由题意可知 MN⊥x 轴，PQ⊥x 轴，
设 M（x1，y1），P（x2，y2），则 N（x1，﹣y1），Q（x2，﹣y2），
联立
−
t
，k
，
得（1+k2）x2﹣2x﹣3＝0，
所以 x1+x2
t
，x1x2
t
，
又因为|MN|＝2|PQ|，
所以△MON∽△POQ，相似比为 2：1，
所以|x1|＝2|x2|，即 x1＝﹣2x2，
所以 x1+x2＝﹣x2
t
，x1x2＝﹣2x22
t
，
所以﹣2（
t
）2
t
，解得 k2
，
所以 e
t
．
故答案为：
．
29．（2021•珠海一模）若方程 x2+y2+
λ
xy+2kx+4y+5k+
λ
＝0 表示圆，则 k 的取值范围为 （﹣∞，1）∪（4，
+∞） ．
【解析】解：根据题意，若方程 x2+y2+
λ
xy+2kx+4y+5k+
λ
＝0 表示圆，
则
λ
＝0，方程为 x2+y2+2kx+4y+5k＝0，即（x+k）2+（y+2）2＝k2﹣5k+4，
必有 k2﹣5k+4＞0，解可得 k＜1 或 k＞4，
即 k 的取值范围为（﹣∞，1）∪（4，+∞），
故答案为：（﹣∞，1）∪（4，+∞）．
30．（2021•揭阳模拟）抛物线 y＝2x2 的焦点坐标是 （0，
o
） ．
【解析】解：抛物线 y＝2x2 的方程即 x2
y，∴p
，故焦点坐标为 （0，
o
），
故答案为：（0，
o
）．
31．（2021•广东模拟）已知 F1，F2 是双曲线
1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点 M 为双曲线的
左支上一点，满足|MF1|＝2|F1F2|，且 cos∠MF1F2＝﹣
，则该双曲线的离心率 e＝ 2 ．
【解析】解：由已知可设|F1F2|＝2c，
又点 M 为双曲线的左支上一点，满足|MF1|＝2|F1F2|，则|MF2|﹣|MF1|＝2a，
且|MF1|＝4c，所以|MF2|＝2a+4c，
在三角形 MF1F2 中，由余弦定理可得：cos∠MF1F2
䁜䁜
䁜
，整理可得 9c2﹣16ac﹣4a2＝0，
即 9e2﹣16e﹣4＝0，解得 e＝2 或−
（舍去），
所以双曲线的离心率为 2，
故答案为：2．
32．（2021•广东模拟）双曲线 C：
1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 是 C 上
一点，使得|F1F2|，|F2P|，|F1P|依次构成一个公差为 2 的等差数列，则双曲线 C 的实轴长为 2 ，若∠
F1F2P＝120°，则双曲线 C 的离心率为
．
【解析】解：由|F1F2|，|F2P|，|F1P|依次构成一个公差为 2 的等差数列，
可得|F2P|﹣|F1F2|＝|F1P|﹣|F2P|＝2，即 2a＝2，得 a＝1，
又|F1F2|＝2c，∴|F2P|＝2c+2，|F1P|＝4c+2，
又∠F1F2P＝120°，
∴由余弦定理可得，cos∠F1F2P
，
解得 c
，故 e
．
故答案为：2；
．
33．（2021•河源模拟）已知直线 4x﹣y＝b 被圆 x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0 截得的弦长为 2，则 b 的值为 3 ．
【解析】解：圆 x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0 的圆心为（1，1），半径 r＝1，
因为直线 4x﹣y＝b 被圆 x2+y2﹣2x﹣2y+1＝0 截得的弦长为 2，
所以直线 4x﹣y﹣b＝0 经过圆心（1，1），
∴4﹣1﹣b＝0，解得 b＝3．
故答案为 3
四．解答题（共 17 小题）
34．（2021•湛江一模）已知双曲线 C：
1（a，b＞0）的左、右焦点分别为 F1（﹣c，0），F2（c，
0），其中 c＞0，M（c，3）在 C 上，且 C 的离心率为 2．
（1）求 C 的标准方程；
（2）若 O 为坐标原点，∠F1MF2 的角平分线 l 与曲线 D：
1 的交点为 P，Q，试判断 OP 与 OQ
是否垂直，并说明理由．
【解析】解：（1）由题意可得 e
2，即 c＝2a，b
a，
又 M（c，3）在 C 上，可得
1，
解得 b
，a＝1，
则双曲线的方程为 x2−
1；
（2）由（1）可得 M（2，3），曲线 D 的方程为
1，
在直角三角形 MF1F2 中，MF2⊥F1F2，
|MF2|＝3，|F1F2|＝4，|MF1|＝5，
设∠F1MF2 的角平分线 l 与 x 轴交于 N，
由角平分线的性质定理可得
䁜
䁜
，
又|NF1|+|NF2|＝|F1F2|＝4，
解得|NF2|
，
所以 tan∠MNF2
䁜
2，
可得直线 l 的方程为 y﹣3＝2（x﹣2），即 y＝2x﹣1，
联立
−
，可得 19x2﹣16x﹣8＝0，
设 P（x1，y1），Q（x2，y2），可得△＝162﹣4×19×（﹣8）＞0，
x1+x2
，x1x2
−
o
，
y1y2＝（2x1﹣1）（2x2﹣1）＝4x1x2﹣2（x1+x2）+1
−
1
−
，
所以 x1x2+y1y2
−
o
0，
所以 OP 与 OQ 不垂直．
35．（2021•濠江区校级模拟）已知
，
，
，
，
为坐标原点，动点 M 满足：
䁜
䁜
．
（1）求动点 M 的轨迹Γ的方程；
（2）直线 l 过点
，
且与轨迹Γ交于点 D，E，若△BDE 是等腰三角形，求直线 l 的方程．
【解析】解：（1）设
−
，
，
则
䁜
䁜
䁜
䁜
䁜
䁜
＞
，
∴动点 M 的轨迹为以 A、A'为焦点，长轴长为 4 的椭圆，
由
，2a＝4
⇒
a＝2
∴
∴动点 M 的轨迹 C 的方程为
．
（2）设 DE 为：
t
−
，D（x1，y1），E（x2，y2），
由
t
，得
t
，
∴
t
t
，
∴
t
t
，
t
，
t
，
t
t
，
tt
t
o
t
t
t
o
t
t
t
t
ttt
，
∴BD⊥BE，∴∠DBE＝90°，
∴
得
，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝（y2﹣y1）（y1+y2﹣2），
∴
，
∴
t
t
t t
，
∴
t
t
t t
t
t
，
∴k＝0 或
t
±
，
综上，直线 l 的方程为
−
或
±
．
36．（2021•深圳一模）设 O 是坐标原点，以 F1，F2 为焦点的椭圆 C：
1（a＞b＞0）的长轴长为
2
，以|F1F2|为直径的圆和 C 恰好有两个交点．
（1）求 C 的方程；
（2）P 是 C 外的一点，过 P 的直线 l1，l2 均与 C 相切，且 l1，l2 的斜率之积为
，记 u
为|PO|的最小值，求 u 的取值范围．
【解析】解：（1）由题意，2a＝2
，即 a
，
又以|F1F2|为直径的圆和 C 恰好有两个交点，即 b＝c，
又∵b2+c2＝a2＝2，
∴b＝c＝1，
∴椭圆 C 的方程为
；
（2）由题意，l1，l2 的斜率存在且不为零，设过点 P（x0，y0）的切线 l：y﹣y0＝k（x﹣x0），
联立
−
t
，消去 y 并整理得，
t
t t t
，
∵l 与 C 相切，∴△
t
t
o t
t
，
化简并整理，得
t
t
，
整理成关于 k 的一元二次方程得
t
t
，
，
设 l1，l2 的斜率分别为 k1，k2，
易知 k1，k2 为方程
t
t
的两根，
∴
t t
，
∴
，
∴
，
∴
㌳
，
易知当 x0＝0 时，有
㌳䁣䁪
，
又∵−
−
，
∴
，
即
μ
的取值范围为[
，
]．
37．（2021•东莞市校级模拟）已知双曲线
−
1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是 F1，F2，P 是双
曲线右支上一点，PF2⊥F1F2，OH⊥PF1，垂足为点 H，OH＝
λ
OF1，
λ∈
[
，
]．
（1）当
λ
时，求双曲线的渐近线方程；
（2）求双曲线的离心率 e 的取值范围．
【解析】解：当 x＝c 时，代入双曲线可得
±
，
由相似三角形可知，
体
㌳
㌳
，得
λ
，
∴2a2
λ
+b2
λ
＝b2，整理得
λ
λ
．
（1）当
λ
时，
，则 a＝b，双曲线的渐近线方程为 y＝±x；
（2）∵
㌳
，∴
λ
λ
λ
，
在
λ∈
[
，
]上是单调增函数，
∴
λ
时，e2 的最大值为 3，当
λ
时，e2 的最小值为
．
∴
，即
．
38．（2021•肇庆二模）已知椭圆 C1：
1（a＞b＞0）的离心率为
，C1 的长轴是圆 C2：x2+y2＝2
的直径．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆 C1 的左焦点 F 作两条相互垂直的直线 l1，l2，其中 l1 交椭圆 C1 于 P，Q 两点，l2 交圆 C2 于
M，N 两点，求四边形 PMQN 面积的最小值．
【解析】解：（1）由 2a＝2
，得 a
，
由 e
，得 c＝1，所以 b＝1，
所以椭圆的方程为
y2＝1．
（2）由（1）可得 F（﹣1，0），
①
当过点 F 的直线 l1 的斜率不存在时，|MN|＝2
，|PQ|
，
所以 S 四边形 PMQN
|MN||PQ|
2
2，
②
当过点 F 的直线 l1 的斜率为 0 时，|MN|＝2，|PQ|＝2
，
这是 S 四边形 PMQN
|MN||PQ|
2×2
2
，
③
当过点 F 的直线 l1 的斜率存在且不为 0 时，设直线 l1 的方程为 x＝my﹣1，P（x1，y1），Q（x2，y2），
由
−
，得（2+m2）y2﹣2my﹣1＝0，
所以 y1+y2
，y1y2
，
|PQ|
，
所以 S 四边形 PMQN
|MN||PQ|
2
2，
直线 l2 的方程为 mx+y+m＝0，
坐标原点 O 到直线 l2 的距离 d
，
则|MN|＝2
−
2
，
所以 S 四边形 PMQN
|MN||PQ|＝2
2
−
，
由 2+m2＞2，得 2
−
＞2，
即 S 四边形 PMQN
∈
（2，2
），
综上所述，四边形 PMQN 的面积的最小值为 2．
39．（2021•广州一模）已知点 A（1，0），点 B 是圆 O1：（x+1）2+y2＝16 上的动点，线段 AB 的垂直平分线
与 BO1 相交于点 C，点 C 的轨迹为曲线 E．
（1）求 E 的方程；
（2）过点 O1 作倾斜角互补的两条直线 l1，l2，若直线 l1 与曲线 E 交于 M，N 两点，直线 l2 与圆 O1 交于
P，Q 两点，当 M，N，P，Q 四点构成四边形，且四边形 MPNQ 的面积为 8
时，求直线 l1 的方程．
【解析】解：（1）由已知得，圆 O1 的圆心为 O1（﹣1，0），半径 r＝|BO1|＝4，点 A（1，0），
因为线段 AB 的垂直平分线与 BO1 相交于点 C，所以|CA|＝|CB|，
所以|CA|+|CO1|＝|CB|+|CO1|＝|BO1|＝4＞|O1A|，
所以点 C 的轨迹是以 O1，A 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，
设曲线 E 的方程为
1（a＞b＞0），
则 2a＝4，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，
所以椭圆 E 的方程为
1．
（2）由题意可得直线 l1，l2 的斜率都存在且不为 0，
设直线 l1 的方程为 y＝k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），
由
t
得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，
△＝（8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝144（1+k2）＞0，
所以 x1+x2
−
ot
t
，x1x2
t
t
，
所以|MN|
t
|x1﹣x2|
t
t
−
ot
t
t
t t
•
t
t
t
t
，
由于直线 l2 过圆 O1 的圆心，则|PO1|＝|QO1|＝4，且 P，Q 两点到直线 MN 的距离相等，
设直线 l2 的倾斜角为
θ
，则 tan（
π
﹣
θ
）＝k，即 tan
θ
＝﹣k，
又点 P 到直线 MN 的距离 d＝|PO1||sin2
θ
|＝4|
ꀀ䁣䁪ꀀ
ꀀ䁣䁪
ꀀ
|＝4×
䁪
䁪 ot
t
，
则四边形 MPNQ 的面积 S＝2S△PMN＝d×|MN|
t
t
，
由于四边形 MPNQ 的面积为 8
，
则
t
t
8
，解得 k＝±
，
所以直线 l1 的方程为 y＝±
（x+1）．
40．（2021•湛江校级模拟）已知椭圆 C：
1（a＞b＞0），过 C 上一点
，
的切线 l 的方程为
x+2y﹣4
0．
（1）求椭圆 C 的方程．
（2）设过点M（0，1）且斜率不为0的直线交椭圆于A，B两点，试问y轴上是否存在点P，使得
㌳䁜
λ ㌳
㌳
㌳
㌳
？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在说明理由．
【解析】解：（1）由
，消去 x 并整理得
，
∵椭圆 C 与直线 l 相切，
∴△
，
化简得 4b2+a2﹣32＝0，
①
，
又点（2
，
）在椭圆 C 上，∴
o
1，
②
，
由
①②
得 a2＝1，b2＝4，
∴椭圆 C 的方程为
．
（2）y 轴上存在点 P，使得
㌳䁜
λ ㌳
㌳
㌳
㌳
．
理由如下：
设直线的方程为 y＝kx+1（k≠0），
联立
t
消去 y 并整理得（4k2+1）x2+8kx﹣12＝0．
△＝（8k）2+4（4k2+1）×12＝256k2+48＞0．
设
，
，
，
，则
ot
t
，
t
．
假设存在点 P（0，t）满足条件，
由于
㌳䁜
λ ㌳
㌳
㌳
㌳
，
∴PM 平分∠APB．
由题意知直线 PA 与直线 PB 的倾斜角互补，
∴kPA+kPB＝0，
即
，即
（*），
y1＝kx1+1，y2＝kx2+1
代入（*）并整理得 2kx1x2+（1﹣t）（x1+x2）＝0，
∴−
t
⋅
t ot
t
，
整理得 3k+k（1﹣t）＝0，即 k（4﹣t）＝0，
∴当 t＝4 时，无论 k 取何值均成立．
∴存在点 P（0，4）使得
㌳䁜
λ ㌳
㌳
㌳
㌳
．
41．（2021•珠海一模）已知椭圆 C：
1（a＞b＞0），F1，F2 为其左、右焦点，离心率为
，F1（
，
0）．
（1）求椭圆 C 的标准方程；
（2）设点 P（x0，y0）（x0y0≠0），点 P 在椭圆 C 上，过点 P 作椭圆 C 的切线 l，斜率为 k0，PF1，PF2
的斜率分别为 k1，k2，则
tt
ttt
是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
（3）设点 P（x0，y0）（y0≠0），点 P 在椭圆 C 上，点 Q（t，0）在∠F1PF2 的角分线上，求 t 的取值范
围．
【解析】解：（1）有题设知
，解得
，
∴椭圆
：
；
（2）
tt
ttt
是定值﹣8，下面证明之．
因为点 P（x0，y0）（x0y0≠0），过点 P 作椭圆 C 的切线 l，斜率为 k0
∴l：y＝k0（x﹣x0）+y0 且 k0≠0，
l 与
：
联立消 y 得
t
ot t
t t
（*），
由题设得 △
t t
t
t t
，
即
t
t
，
因为点 P 在椭圆 C 上，
∴
，代入上式得
t
，
t
，
t
，
∴
tt
ttt
t
t
t
o
定值），
∴
tt
ttt
是定值﹣8；
（3）由题设知
，
，
，
，∵点 P（x0，y0）（y0≠0），
∴
㌳
：
即
，
㌳
：
即
，
∵点 Q（t，0）在∠F1PF2 的角分线上，
∴点 Q 到直线 PF1 和直线 PF2 的距离相等，
∴
，
∵点 P 在椭圆 C 上，
∴
故得
，
∵
＜
＜
，
＜
＜
，
∴
，
得
∈
，
，
∴t 的取值范围是
，
．
42．（2021•揭阳模拟）已知椭圆 C：
1（a＞b＞0）的离心率为
，且经过点 A（
，
）．设
椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1，F2，P 是椭圆 C 上的一个动点（异于椭圆 C 的左、右端点）．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）过点 P 作椭圆 C 的切线 l，过点 F1 作 l 的垂线，垂足为 Q，求△QF1F2 面积的最大值．
【解析】解：（1）由已知可得，
，解得 a2＝4，b2＝3，
∴椭圆 C 的方程为
；
（2）设直线 l：y＝kx+b，联立直线方程与椭圆方程，
得(4k2+3)x2+8kbx+4b2﹣12＝0．
∵直线 l 与椭圆相切，∴上述方程只有一个解，
即有△＝（8kb）2﹣4(4k2+3)(4b2﹣12)＝0，化简可得，b2＝4k2+3，
①设点 Q 的坐标为（x，y），过点 F1 作 l 的垂线 l1：
t
，
联立 l1 与 l 求得，
t
t
，y
t
t
，
可得
tt
t tt
t
，
将
①
式代入上式可得，x2+y2＝4，故可知 Q 的轨迹是以原点为圆心，以 2 为半径的圆．
∵P 是椭圆上异于端点的动点，故该轨迹应去掉（±2，0），
△QF1F2 的面积
쳌
쳌 쳌
，
∴△QF1F2 面积的最大值为 2．
43．（2021•梅州一模）给定椭圆 C：
1（a＞b＞0），称圆心在原点 O，半径为
的圆是椭圆
C 的“卫星圆”．若椭圆 C 的一个焦点为 F（﹣2，0），点 Q（2，
）在椭圆 C 上．
（1）求椭圆 C 的方程和其“卫星圆”方程；
（2）点 P 是椭圆 C 的“卫星圆”上的一个动点，过点 P 的直线 l1，l2 与椭圆 C 都只有一个交点，且 l1，
l2 分别交其“卫星圆”于点 M，N．试探究：|MN|的长是否为定值？若为定值，写出证明过程；若不是，
说明理由．
【解析】解：（1）由题知
，
解得
，
，
所以椭圆的方程为
o
，
其“卫星圆”的方程为 x2+y2＝12．
（2）
①
若直线 l1，l2 中有一条直线的斜率不存在，
不妨设直线 l1 的斜率不存在，
因为直线 l1 与椭圆只有一个公共点，
所以直线 l 的方程为
或
，
当直线 l1 的方程为
时，l1 与“卫星圆”交于点
，
和
，
，
此时经过点
，
，
，
且与椭圆只有一个公共点的直线是 y＝2 或 y＝﹣2，
即直线 l2 的方程为 y＝2 或 y＝﹣2，
所以 l1⊥l2，所以线段 MN 应为“卫星圆”的直径，
所以
䁜
．
②
若直线 l1，l2 的斜率都存在，
设点 P（x0，y0），则
，
设经过点 P（x0，y0） 与椭圆只有一个公共点的直线为 y＝t（x﹣x0）+y0，
联立
o
，
整理得
o
，
所以 △
o
o
，
所以
o
o
o
o
，
所以满足条件的直线 l1 与 l2 垂直，所以线段 MN 应为“卫星圆”的直径，所以
䁜
，
综上所述，弦长|MN|为定值
．
44．（2021•韶关一模）已知抛物线 C：y2＝2px（p＞0）的焦点是 F，若过焦点的直线与 C 相交于 P，Q 两
点，所得弦长|PQ|的最小值为 4．
（1）求抛物线 C 的方程；
（2）设 A，B 是抛物线 C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，若 OA⊥OB，OM⊥AB，M 为垂足，证明：
存在定点 N，使得|MN|为定值．
【解析】解：（1）设直线 PQ 的方程为 x＝my
,P(x1,y1),Q(x2,y2),
联立
得 y2﹣2pmy+p2＝0,
所以 y1+y2＝2pm,y1y2＝p2,
x1+x2＝my1
my2
m(y1+y2)+p＝2pm2+p
所以|PQ|＝|PF|+|FQ|＝x1
x2
x1+x2+p＝2pm2+2p＝2p(1+m2),
当 m＝0 时，|PQ|min＝2p＝4,解得 p＝2,
所以抛物线的方程为 y2＝4x．
(2)设直线 AB 的方程为 x＝ty+s,A(x3,y3),B(x4,y4),
因为 OA⊥OB，则
•
0，即 x3x4+y3y4＝0,
又 x3
,x4
,
所以
•
y1y2＝0,解得 y3y4＝﹣16,
联立
ꀀ
,得 y2﹣4ty﹣4m＝0,
所以 y3y4＝﹣4m＝﹣16,m＝4,
则直线 AB 的方程为 x＝ty+4,
所以直线过定点(4,0),记作 K 点，
当 K 点与 M 点不重合时，△OMK 为直角三角形，
∠OMK＝90°，|OK|＝4，
当 N 为 OK 的中点时，|MN|
|OK|＝2，
当点 K 与点 M 重合，N 为 OK 中点时，|MN|＝2，
所以存在点 N(2,0),使得|MN|为定值 2．
45．（2020•江西一模）已知椭圆 C：
1（a＞b＞0）过点（
，
），且它的焦距是短轴长的
倍．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）若 A，B 是椭圆 C 上的两个动点（A，B 两点不关于 x 轴对称），O 为坐标原点，OA，OB 的斜率分
别为 k1，k2，问是否存在非零常数
λ
，使 k1•k2＝
λ
时，△AOB 的面积 S 为定值？若存在，求
λ
的值；若不
存在，请说明理由．
【解析】解：（1）因为椭圆 C：
1 （a＞b＞0）过点（
，
），
所以
1，
又因为该椭圆的焦距是短轴长的
倍，所以 c
，从而 a2＝b2+c2＝4b2．
联立方程组
，解得 a2＝4，b2＝1，
所以椭圆 C 的方程为
．
（2）设存在这样的常数
λ
，使 k1k2＝
λ
，△AOB 的面积 S 为定值．
设直线 AB 的方程为 y＝kx+m，点 A（x，y），B（x'，y'），
则由 k1k2＝
λ
知 yy'﹣
λ
xx'＝0，（kx+m）（kx'+m）﹣
λ
xx'＝0，
所以（k2﹣
λ
）xx'+km（x+x'）+m2＝0
①
．
联立方程组
t
，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
所以 x+x'
ot
t
，xx'
t
，
又点 O 到直线 AB 的距离 d
t
，
则△AOB 的面积 S
|AB|•d
•|x﹣x'|
t
t ④
．
代入
①
得（k2﹣
λ
）（4m2﹣4）﹣8k2m2+m2（1+4k2）＝0，化简得 m2
tλ
λ ⑤
，
将
⑤
代入
④
得
（
）2
ttλλtλ
λt λtλtλ
tot
λ
，
要使上式为定值，只需
λ
λ
o
λ
，即需（4
λ
+1）2＝0，从而
λ
，
此时（
）2
，S＝1，
所以存在这样的常数
λ
，此时 S△AOB＝1．
46．（2021•广东模拟）已知椭圆
1（a＞b＞0）的焦距为 4
，且过点（
，
）设点 P
为圆 O：x2+y2＝3 上任意一点，过点 P 作圆的切线交椭圆 C 于点 E、F．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）试判断
㌳得
㌳
是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
【解析】解：（1）由题可得
，解得 a＝2
，b＝2．
∴椭圆的方程为
；
（2）
①
当过点 P 且与圆 x2+y2＝3 相切的切线斜率不存在时，
由对称性，不妨设切线方程为 x
，
则 P（
，0），E（
，
），F（
，
），
∴
㌳得
㌳
．
②
当过点 P 且与圆 x2+y2＝3 相切的切线斜率存在时，
不妨设切线的方程为 y＝kx+m，
设点 E（x1，y1），F（x2，y2），P（x0，y0）．
将直线方程与圆的方程联立并整理，
得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣3＝0，
由直线与圆相切易得 m2＝3（1+k2），
t
t
，
联立直线和椭圆的方程并整理，
得（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣12＝0，
则△＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣12）＞0，
∴
t
t
，
t
，
∴
㌳得
㌳
（x1﹣x0，y1﹣y0）•（x2﹣x0，y2﹣y0）
＝（x1﹣x0）（x2﹣x0）+（y1﹣y0）（y2﹣y0）
＝（k2+1）（x1﹣x0）（x2﹣x0）
＝（1+k2）[x1x2﹣x0（x1+x2）
]
＝（1+k2）[
t
t
t
t
t
t
t
t
t
．
综上可知，
㌳得
㌳
为定值﹣3．
47．（2021•广东模拟）已知椭圆 C：
1（a＞b＞0）的离心率为
，且椭圆 C 上的点到右焦点 F 的
距离最长为 3．
（1）求椭圆 C 的标准方程．
（2）过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于 A，B 两点，AB 的中垂线 l1 与 x 轴交于点 G，试问
䁪
是否为定值？
若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【解析】解：（1）由题意可设椭圆的半焦距为 c，
则
，
解得
，
．
故椭圆 C 的标准方程为
．
（2）当直线 l 的斜率不为 0 时，设直线 l 的方程为 x＝my+1，A（x1，y1），B（x2，y2），
AB 的中点为 H（x0，y0），
联立
，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0．
由题意可知 m≠0，则
，
，
从而
，
因为 H 为 AB 的中点，所以
，
，即
体
，
．
直线 l1 的方程可设为
，
令 y＝0，得
，则
䁪
．
故
䁪
．
当直线斜率 l 的斜率为 0 时，|AB|＝2a＝4，|FG|＝c＝1，则
䁪
．
综上，
䁪
为定值，且定值为 4．
48．（2021•惠州模拟）已知椭圆 C：
＞
＞
的离心率为
，左右顶点分别为 A，B，右焦点
为 F2，P 为椭圆上异于 A，B 的动点，且△APF2 面积的最大值为
．
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）设直线 AP 与 y 轴交于 M 点，过点 A 作 BP 的平行线交 y 轴与点 N，试探究是否存在定点 Q，使得
以 MN 为直径的圆恒过定点 Q．
【解析】解：（1）由题意知，当P在y轴时，△APF2面积最大，所以
①
，又
②
，
联立
①②
，得 a＝2，b＝1，
，
所以椭圆 C 的方程为
．
（2）设 P（x0，y0），其中 y0≠0，则
t㌳
，
t㌳
，
所以直线 AP 的方程为
，
令 x＝0，得
，即
䁜
，
，
又 AN∥BP，所以直线 AN 的方程为
，
令 x＝0，得
，即
，
，
所以，以 MN 为直径的圆的方程为：
，
又
，
且 P（x0，y0）在椭圆上，所以
，代入方程整理得圆的方程为
，令 y＝
0，则 x＝±1，
所以存在点 Q（±1，0），使得以 MN 为直径的圆恒过点 Q．
49．（2021•潮州一模）已知椭圆 C：
1（a＞b＞0），P（2
，0）、Q（1，
）是椭圆 C 上的两点．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）是否存在直线与椭圆 C 交于 A、B 两点，交 y 轴于点 M（0，m），使|
2
|＝|
2
|成立？
若存在，求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由．
【解析】解：（Ⅰ）根据题意可得
，
解得 b2＝2，c2＝6，
所以椭圆的方程为
o
1．
（Ⅱ）假设存在这样的直线，
由已知可得直线的斜率存在，设直线方程为 y＝kx+m，
由
t
o
，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣8＝0，
△＝16（8k2﹣m2+2）＞0，（*）
设 A（x1，y1），B（x2，y2），
则 x1+x2
ot
t
，x1x2
o
t
，
y1y2＝（kx1+m）（kx2+m）＝k2x1x2+km（x1+x2）+m2
ot
t
，
由|
2
|＝|
2
|，得
⊥
，即
•
0，即 x1x2+y1y2＝0，
故 8k2＝5m2﹣8≥0，
代入（*）解得 m＞
或 m＜
．
所以 m 的取值范围为（﹣∞，
）∪（
，+∞）．
50．（2021•河源模拟）已知椭圆
：
＞
＞
的离心率为
，且过点 P（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过点 P 作两直线 l1 与 l2 分别交椭圆 C 于 A，B 两点，若直线 l1 与 l2 的斜率互为相反数，求|AB|的
最大值．
【解析】解：（Ⅰ）由题意有：
，解得
，
∴椭圆 C 的方程为：
；
（Ⅱ）设直线 AP 为 y＝k（x﹣2）+1，则直线 BP 为 y＝﹣k（x﹣2）+1，
联立方程有：
t
⇒
（2k2+k）x2+（4k﹣8k2）x+（8k2﹣8k﹣4）＝0，
⇒ ㌳ otot
t ⇒
tt
t
，
则
t tt
t
，
同理可得：
tt
t
，
tt
t
．
所以
o
t
t o
⇒
．
声
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