备考 2021 年高考高三数学复习之疯狂选择题 30 题
第 9 辑 计数原理与二项式定理
一、单选题
1.(2021·浙江高三其他模拟)
53x
x
的展开式中 2x 的系数是( )
A.60 B.80 C.90 D.120
【答案】C
【分析】
利用通项公式 35 2
1 5C 3
rr r
rT x
,得 2r = ,可得系数
【详解】
53x
x
的展开式的通项公式为
355 2
1 5 5
3C C 3
r
rr r r r
rT x x
x
,
令 35 22 r ,得 2r = ,则 2x 的系数为 2 2
5C 3 90 .
故选:C
【点睛】
求二项式展开式指定项的系数,利用通项公式 1 Cr n r r
r nT a b
和 x 的幂指数相等可求.
2.(2021·四川遂宁市·高三二模(理))若
5ax x
的展开式中 x 的系数为 15,则 a ( )
A.2 B.3. C.4 D.5
【答案】B
【分析】
根据二项式展开式通项公式即可求得.
【详解】
5ax x
的展开式中 x 的项为 44
5 5aC x axx
,则 5 15a ,故 3a .
故选:B
3.(2021·内蒙古呼和浩特市·高三一模(理)) 6 4
1 1x x 的展开式中 2x 的系数为( )
A. 2 B.2 C. 10 D.10
【答案】B
【分析】
把已知式变形后再用二项式定理求解.
【详解】
6 4
1 1x x 4 2 4(1 ) (1 ) (1 ) (1 2 )x x x x x ,
4(1 )x 的展开式的通项为 1 4 4( ) ( 1)r r r r r
rT C x C x ,
因此所求 2x 的系数为 2 1
4 4( ) 2C C .
故选:B.
【点睛】
方法点睛:本题考查二项式定理,对于求两个多项式相乘的展开式中某一项的系数,可以把两个多项式分
别应用二项式定理求得相应项的系数,然后利用多项式乘法法则计算.
4.(2021·广东肇庆市·高三二模)二项式
6
2 1ax x
的展开式的常数项为 60,则 a 的值为( )
A.2 B. 2 C. 2 D. 3
【答案】C
【分析】
先求出二项式展开式的通项公式,再求出常数项,由常数项为 60,列方程可求出 a 的值
【详解】
62 r 6 12 3
1 6 6
1C C 1
r
r rr r r
rT ax a xx
,令12 3 0r ,所以 4r .
令 44 2
6C 1 a 60 ,解得 2a ,
故选:C.
5.(2021·浙江高三其他模拟) 611 a xx
的展开式中 4x 的系数为 3
5- ,则实数 a 的值为( )
A. 2
5
B. 4
5
C. 3
5- D. 1
5
【答案】D
【分析】
原式变形为 6 61a x a xx
,分两部分分别计算 4x 的系数,建立方程求解.
【详解】
6a x 的二项展开式的通项 6
1 6
r r r
rT C a x
, 611 a xx
的展开式中含 4x 的项包含两部分,即
4 2 4 2 4
6 15C a x a x , 5 5 4
6
1 6C ax axx
,故 611 a xx
的展开式中 4x 的系数为 2 315 6 5a a ,所以
1
5a .
故选:D.
6.(2021·全国高三专题练习)若 5(1 2) 2a b (a,b 为有理数),则 a=( )
A.-25 B.25 C.40 D.41
【答案】D
【分析】
先求得二项式 5(1 2) 的展开式的通项公式 1 5 1 2
rrr
rT C ,然后令 0,2,4r 求解.
【详解】
二项式 5(1 2) 的展开式的通项公式为: 1 5 1 2
rrr
rT C ,
则 0 2 40 2 40 2 4
5 5 51 2 1 2 1 2 41a C C C ,
故选:D
7.(2020·全国高三其他模拟(理))若 6 2 6
0 1 2 62 x a a x a x a x ,则 1 2 3 5a a a a ( )
A. 4 B.4 C. 64 D. 63
【答案】C
【分析】
由题知 66
6 0 1 1a C ,再令 0x ,得 0 64a ,令 1x ,得 1 2 3 5 664 1a a a a a ,进而
得 1 2 3 5 64a a a a .
【详解】
因为 6 2 6
0 1 2 62 x a a x a x a x ,
所以 66
6 0 1 1a C .
令 0x ,得 6
02 0 a ,即 0 64a .
令 1x ,可得 1 2 3 5 664 1a a a a a .
所以 1 2 3 5 64a a a a ,
故选:C.
【点睛】
本题考查二项式定理求值,考查运算求解能力,是中档题.解题的关键在于赋值 0x 和 1x 求解.
8.(2021·江苏泰州市·高二月考)若 2020 2 2021
0 1 2 2021(1 )(1 2 )x x a a x a x a x ,则
1 2 2021a a a ( )
A.0 B.2 C. 1 D.1
【答案】D
【分析】
分别令 0x 和 1x ,即可求得 1 2 2021a a a 的值.
【详解】
由 2020 2 2021
0 1 2 2021(1 )(1 2 )x x a a x a x a x ,
令 0x ,可得 0 1a ;
令 1x ,可得 0 1 2 2021 2a a a a
所以 1 2 2021 1a a a .
故选:D.
9.(2021·浙江高三其他模拟)已知 5 2 5
0 1 2 51 1 2 1 2 1 2x a a x a x a x ,则 1a ( )
A. 5
16 B. 5
32 C. 1
5 D.5
【答案】B
【分析】
令1 2x t ,得 11 2
tx ,然后利用二项式定理求 1a 即可.
【详解】
令1 2x t ,则 1 11 1 2 2
t tx ,所以
5
2 5
0 1 2 5
1
2
t a a t a t a t
,所以
5
4
1 5
1 5
2 32a C
,
故选:B.
10.(2021·江西高三其他模拟(理))设 0 61 2
6
2
0 1 2 6
172 m mm mx a x a x a x a xx
L ,则
0 1 2 6m m m m ( )
A.21 B.64 C.78 D.156
【答案】A
【分析】
先写出通项公式 6 12 3
1 6 2 17 kk k k
kT C x
,进而可得 0 1 2 6m m m m 的表达式,即可求得答案.
【详解】
6
2 172x x
的通项公式为 6 12 3
1 6 2 17 , 0,1,2, ,6kk k k
kT C x k
… ,
所以
0 1 2 6
1 6 612 7 3 1 2 +6 =84 3 212m m m m
…
故选:A
11.(2020·全国高三专题练习)设 a Z ,且 0 16a ,若 20204 a 能被 17 整除,则 a 的值为( )
A.1 B.4 C.13 D.16
【答案】D
【分析】
由 10102020 10104 16 17 1a a a ,按照二项式定理展开,根据它能被17 整除,结合所给的选项可
得 a 的值.
【详解】
∵ a Z ,且 0 16a ,
由 10102020 10104 16 17 1a a a
0 1 1009 10100 1010 1 1009 1009 1 1010 0
1010 1010 1010 101017 1 17 1 17 1 17 1C C C C a L
0 1009 10090 1010 1 1 1009 1
1010 1010 101017 1 17 1 17 1 1C C C a L
又 20204 a 能被 17 整除
1 a 能被 17 整除,结合 0 16a
16a
故选:D.
【点睛】
本题考查了根据表达式整除来求参数问题,解题关键是掌握二项式定理,考查了分析能力和计算能力,属
于基础题.
12.(2021·全国高三专题练习)杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书
中,画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵(如图所示),称做“开方做法本源”,现在简称为“杨
辉三角”,它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了 393 年.若用 i ja 表示三角形数阵的
第i 行第 j 个数,则 100 3a ( )
A.5050 B.4851 C.4950 D.5000
【答案】B
【分析】
依据二项展开式系数可知,得到第i 行第 j 个数应为 1
1
j
iC
,即可求得 100 3a 的值.
【详解】
依据二项展开式系数可知,第i 行第 j 个数应为 1
1
j
iC
,
故第 100 行第 3 个数为 2
99
99 98 48512C
故选: B .
【点睛】
本题考查二项展开式的应用,其中解答中得出第i 行第 j 个数应为 1
1
j
iC
是解答的关键,着重考查推理与运算
能力,属于基础题.
13.(2021·甘肃兰州市·高三其他模拟(理))2019 年 9 月 1 日兰州地铁一号线正式开通,两位同学同时去乘
坐地铁,一列地铁有6节车厢,两人进入车厢的方法数共有( )
A.15 种 B.30种 C.36种 D. 64 种
【答案】C
【分析】
根据分步乘法计数原理计算方法种数.
【详解】
每位同学都可以进入地铁中的任何一节车厢,每个人都有 6 种方法,所以两人进入车厢的方法数共有
6 6 36 种方法.
故选:C
14.(2021·河北张家口市·高三一模)小明同学从 9 种有氧运动和 3 种无氧运动中选 4 种运动进行体育锻炼,
则他至少选中 1 种无氧运动的选法有( )
A.261 种 B.360 种 C.369 种 D.372 种
【答案】C
【分析】
由题意可知分三种情况求解,一是有 1 种无氧运动选中,二是有 2 种无氧运动选中,三是有 3 种无氧运动
选中,再由分类加法计数原理可求得结果
【详解】
解:从 9 种有氧运动和 3 种无氧运动中选 4 种运动进行体育锻炼,则他至少选中 1 种无氧运动的选法有
1 3 2 2 3 1
3 9 3 9 3 9 369C C C C C C (种).
故选:C.
15.(2021·广东揭阳市·高三一模)某学校有东、南、西、北四个校门,受新冠肺炎疫情的影响,学校对进
入四个校门做出如下规定:学生只能从东门或西门进入校园,教师只能从南门或北门进入校园.现有 2 名教
师和 3 名学生要进入校园(不分先后顺序),请问进入校园的方式共有( )
A.6 种 B.12 种 C.24 种 D.32 种
【答案】D
【分析】
先分别确定学生进入校园的方式和教师进入校园的方式;再用分步乘法原理求得答案.
【详解】
因为学生只能从东门或西门进入校园,
所以 3 名学生进入校园的方式共 32 8 种.
因为教师只可以从南门或北门进入校园,
所以 2 名教师进入校园的方式共有 22 4 种.
所以 2 名教师和 3 名学生要进入校园的方式共有8 4 32 种情况.
故选:D
16.(2021·全国高三专题练习)当前,新冠肺炎疫情进入常态化防控新阶段,防止疫情输入的任务依然繁重,
疫情防控工作形势依然严峻、复杂.某地区安排 , , , ,A B C D E 五名同志到三个地区开展防疫宣传活动,每个
地区至少安排一人,且 ,A B 两人安排在同一个地区, ,C D 两人不安排在同一个地区,则不同的分配方法总
数为( )
A.86 种 B.64 种 C.42 种 D.30 种
【答案】D
【分析】
分两类①当两个地区各分 2 人另一个地区分 1 人,②当两个地区各分 1 人另一个地区分 3 人结合排列组合
知识得出答案.
【详解】
①当两个地区各分 2 人另一个地区分 1 人时,总数有 1 3
2 3 12C A 种;
②当两个地区各分 1 人另一个地区分 3 人时,总数有 1 3
3 3 18C A 种.
故满足条件的分法共有12 18 30 种.
故选:D
【点睛】
关键点睛:解决本题的关键在于在分类的基础上,先选后排,最后由分类加法计数原理得出不同的分配方
法总数.
17.(2020·全国高三其他模拟(理))某医院派出了 6 名医生和 3 名护士共 9 人前往某地参加救治工作.现将
这人分成两组分配到 A , B 两所医院,若要求每个医院都至少安排 2 名医生及 1 名护士,并且医生甲由于
工作原因只能派往 A 医院,则不同的分配方案种数为( )
A.30 B.60 C.90 D.150
【答案】D
【分析】
由题意,第一步分配医生:将医生甲派往 A 医院,再往 A 医院安排 1 名医生,则 B 医院 4 名,再往 A 医院
安排 2 名医生,则 B 医院 3 名,再往 A 医院安排 3 名医生,则 B 医院 2 名,按照分类相加原理可知分配医
生有 1 2 3
5 5 5C C C 25 种方法;第二步分配护士有 1
3C 3 种方法;第三步将护士分配到医院有 2
2A 2 种
方法,按照分步相乘原理即可得解.
【详解】
第一步:按题意 6 名医生有 3 种分配情况, A 医院 2 名, B 医院 4 名, A 医院 3 名, B 医院 3 名, A 医院
4 名, B 医院 2 名,共有 1 2 3
5 5 5C C C 25 种分配方案;
第二步:按题意将 3 名护士分成一组 1 名,一组 2 名,有 1
3C 3 种分配方案,
第三步:两组护士分别分配给两个医院有 2
2A 2 种分配方案
故不同的分配方案种数为 25 3 2 150 ,
故选:D.
【点睛】
思路点睛:本题考查排列组合与分步乘法计数原理,解决排列组合问题的一般过程:
(1)认真审题弄清楚要做什么事情;
(2)要做的事情是需要分步还是分类,还是分步分类同时进行,确定分多少步及多少类;
(3)确定每一步或每一类是排列(有序)问题还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少元素.
18.(2021·浙江高三专题练习)由 0,1,2,3,4,5 共 6 个不同数字组成的 6 位数,要求 0 不能在个位数,
奇数恰好有 2 个相邻,则组成这样不同的 6 位数的个数是( )
A.144 B.216 C.288 D.432
【答案】 C
【分析】
先从 3 个奇数中选 2 个奇数捆绑看成一个整体,然后将它们分别安置在 5 个位置上,其中根据这个整体与
剩下的一个奇数不相邻,以及 0 不在首位,也不在最后一个位置,利用分类加法计数原理和分步乘法计数
原理即可求解.
【详解】
先从 3 个奇数中选 2 个奇数捆绑看成一个整体,然后将它们分别安置在 5 个位置上,分别记为①②③④⑤,
其中这个整体与剩下的一个奇数不相邻,以及 0 不在①号位置,也不在⑤号位置.
(1)若奇数排在①③号位置,则排法总数为 2 2 1 2
3 2 2 2 48A A C A ;
(2)若奇数排在①④号位置,则排法总数为 2 2 1 2
3 2 2 2 48A A C A ;
(3)若奇数排在①⑤号位置,则排法总数为 2 2 3
3 2 3 72A A A ;
(4)若奇数排在②④号位置,则排法总数为 2 2 2
3 2 2 24A A A ;
(5)若奇数排在②⑤号位置,则排法总数为 2 2 1 2
3 2 2 2 48A A C A ;
(6)若奇数排在③⑤号位置,则排法总数为 2 2 1 2
3 2 2 2 48A A C A ;
根据分类加法计数原理可知,排法总数为 48+48+72+24+48+48=288 .
故选:C.
【点睛】
方法点睛:(1)对于有限制条件的排列问题,分析问题时有位置分析法、元素分析法,在实际进行排列时
一般采用特殊元素优先原则,即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置,对于分类过多的问题可以
采用间接法.
(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题
的常用方法.
19.(2020·安徽省六安中学高三开学考试(文))洛书,古称龟书,是阴阳五行术数之源,在古代传说中有
神龟出于洛水,其甲壳上有此图象,结构是戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,以五居中,五方
白圈皆阳数,四角黑点为阴数.如图,若从四个阴数和五个阳数中各随机选取 1 个数,则选取的两数之和能
被 5 整除的概率( )
A. 1
10 B. 3
20 C. 1
5 D. 3
10
【答案】C
【分析】
由题意可知,阴数为 2,4,6,8,阳数为 1,3,5,7,9. 各选一个数,求出所有的选法,求出其和能被 5
整除的选法种数,根据古典概型的概率计算公式,即得答案.
【详解】
由题意可知,阴数为 2,4,6,8,阳数为 1,3,5,7,9.
各选一个数,共有 4 5 20 种选法.
其和能被 5 整除的分别为:2,3;4,1;6,9;8,7,共 4 种选法,
选取的两数之和能被 5 整除的概率 4 1
20 5P .
故选:C.
【点睛】
本题考查古典概型和计数原理,属于基础题.
20.(2020·全国(理))为了纪念高中三年舍友之间留下的深厚情感,某宿舍的 7 位同学决定站成一排合照
留念,其中中间位置只能站甲或乙,且甲、乙、丙三人不站在两侧,则不同的安排方法有( ).
A.232 种 B.464 种 C.288 种 D.576 种
【答案】D
【分析】
先为中间位置选人,再为甲、乙、丙中剩余的两个人选位置排序,最后剩余的同学进行全排列,利用乘法
原理进行相乘即得结果.
【详解】
依题意,分三步进行:
(1)先为中间位置选人,从甲乙中选,有 1
2C 种选法,
(2)为甲、乙、丙中剩余的两个人选位置,不占两侧,去掉中间位置,还有 4 个位置可选,故有 2
4A 种排
法,
(3)剩余的同学进行全排列,有 4
4A 种排法,
故利用乘法原理即得,不同的安排方法有 1 2 4
2 4 4 576C A A 种.
故选:D.
21.(2020·宁夏银川市·银川九中高三月考(理))某校高一开设 4 门选修课,有 4 名同学选修,每人只选 1
门,恰有 2 门课程没有同学选修,则不同的选课方案有( )
A.96 种 B.84 种 C.78 种 D.16 种
【答案】B
【解析】
先确定选的两门: 2
4 6C ,再确定学生选: 24 2 14 ,所以不同的选课方案有 6 14 84, 选 B.
22.(2020·高三其他模拟(理))学校计划在周一至周四的艺术节上展演《雷雨》、《茶馆》、
《天籁》、《马蹄声碎》四部话剧,每天一部,受多种因素影响,话剧《雷雨》不能在周一、周四上演;《茶
馆》不能在周一、周三上演;《天籁》不能在周三、周四上演;《马蹄声碎》不能在周一、周四上演,则所
有的可能情况有( )种.
A.0 B.1 C.2 D.3
【答案】C
【分析】
根据话剧《雷雨》不能在周一、周四上演;《茶馆》不能在周一、周三上演;《天籁》不能在周三、周四上
演;《马蹄声碎》不能在周一、周四上演,列表分析即可.
【详解】
周一 周二 周三 周四
雷雨 0 0
茶馆 0 0
天籁 0 0
马蹄声碎 0 0
根据以上图表,可知周四只能是《茶馆》,周一只能是《天籁》,周二周三《雷雨》和《马蹄声碎》可以交
换.
故选:C
【点睛】
本题主要考查逻辑推理和简单的计数问题,属于基础题.
23.(2020·全国高三其他模拟(理))某企业召开优秀员工表彰大会,准备从含有甲、乙的 6 名优秀员工中
选取 4 人作为代表发言.若甲、乙同时被选作代表发言时,甲在乙的前面发言,且甲、乙发言的顺序不相
邻.则不同的发言顺序种数为( ).
A.252 B.254 C.256 D.258
【答案】A
【分析】
分四名代表中没有甲、乙,只有甲,只有乙,同时有甲、乙四种情况讨论求解,然后求和即可.
【详解】
①四名代表中没有甲、乙时,不同的发言顺序种数为 4
4 4 3 2 24A ;
②四名代表中只有甲时,不同的发言顺序种数为 3 4
4 4 4 4 3 2 96C A ;
③四名代表中只有乙时,不同的发言顺序种数为 3 4
4 4 4 4 3 2 96C A ;
④四名代表中同时有甲、乙时,不同的发言顺序种数为 2 2 2
4 2 22 6 4 2 36C A A .
故不同的发言顺序种数为 24 96 96 36 252 .
故选:A
【点睛】
本题主要考查排列与组合实际问题以及分类加法计数原理,还考查了分类讨论的思想,属于中档题.
24.(2021·浙江高三其他模拟)在第九个“全国交通安全日”当天,某交警大队派出 4 名男交警和 3 名女交警
到 3 所学校进行交通安全教育宣传,要求每所学校至少安排 2 人,且每所学校必须有 1 名女交警,则不同
的安排方法有( )
A.216 种 B.108 种 C.72 种 D.36 种
【答案】A
【分析】
先安排 4 名男交警到三个学校,再安排 3 名女交警到三个学校,由乘法原理可得.
【详解】
由题,先安排 4 名男交警,有 2 3
4 3 36C A 种方法,再将 3 名女交警安排到这 3 所学校,有 3
3 6A 种方法,
故共有36 6 216 种不同的安排方法.
【点睛】
方法点睛:求解排列组合问题的常用方法有:优先法(位置优先法和元素优先法)、插空法、捆绑法等,要
遵循先选后排的解题原则,对于复杂问题,可先分类,再分步.
25.(2021·辽宁沈阳市·高三一模)2020 年我国进行了第七次全国人口普查,“大国点名,没你不行”.在此次
活动中,某学校有 2 女、4 男 6名教师报名成为志愿者,现在有3个不同的社区需要进行普查工作,从这 6名
志愿者中选派 3名,每人去1个小区,每个小区去1名教师,其中至少要有1名女教师,则不同的选派方案有
多少种( )
A.16 种 B. 20 种 C.96种 D.120 种
【答案】C
【分析】
分只有一名女教师和两名女教师两种情况讨论得解.
【详解】
只有一名女教师: 1 2 3
1 2 4 3 72n C C A ;
选派两名女教师: 2 1 3
2 2 4 3 24n C C A ;
所以共有 72+24=96 种方法.
故选:C
【点睛】
方法点睛:排列组合常用的方法有:一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优
先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.要根据已知条件灵活选择
方法求解.
26.(2020·湖南邵阳市·高三三模(理))2020 年 5 月 22 日,国务院总理李克强在发布的 2020 年国务院政府
工作报告中提出,2020 年要优先稳就业保民生,坚决打赢脱贫攻坚战,努力实现全面建成小康社会目标任
务.为响应党中央号召,某单位决定再加派五名工作人员甲、乙、丙、丁、戊去所负责的 A,B,C,D 四个
村小组帮助指导贫困户脱贫,每个村小组至少派一人,为工作方便,甲不去 A 小组,乙去 B 小组,则不同
的安排方法有( )
A.24 B.42 C.120 D.240
【答案】B
【分析】
根据甲、乙是否在同一个小组进行分类讨论求解即可.
【详解】
当甲、乙在同一小组时,即都在 B 小组时,则不同的安排方法有: 3
3 3 2 1 6A ;
当甲、乙不在同一小组时,根据题意可以分成 2
5 1 9C 组,乙所在的小组去 B 小组,甲有 2 种方法,剩下
的两人有 2 种方法,因此有不同的安排方法有:9 2 2 36 ,
因此符合题意的不同的安排方法有 6 436 2 种方法.
故选:B
【点睛】
本题考查了排列组合的应用,考查了数学分析问题能力,属于中档题.
二、多选题
27.(2021·湖南永州市·高三二模)关于多项式
62 xx
的展开式,下列结论正确的是( )
A.各项系数之和为 1 B.二项式系数之和为 62
C.存在常数项 D. 4x 的系数为 12
【答案】ABC
【分析】
对 A,令 1x 可得;对 B,由 0 1 2 6 6
6 6 6 6 2C C C C 可判断;对 C,求出通项公式,令 x 的指数为 0,
求解可判断;对 D,令 x 的指数为 4 可求出.
【详解】
对于 A,令 1x ,则可得各项系数之和为
62 1 11
,故 A 正确;
对于 B,二项式系数之和为 0 1 2 6 6
6 6 6 6 2C C C C ,故 B 正确;
对于 C,
62 xx
的展开式的通项公式为
6
6 2 6
1 6 6
2 1 2
r
r rr r r r
rT C x C xx
,令 2 6 0r ,
解得 3r ,即常数项为第四项,故 C 正确;
对于 D, 6 2 6
1 61 2r r r r
rT C x
,令 2 6 4r ,解得 = 5r ,则 4x 的系数为 5 6 5 5
61 2 12C ,
故 D 错误.
故选:ABC.
【点睛】
本题考查二项展开式的应用,解题的关键是正确求出二项展开式的通项公式.
28.(2021·广东湛江市·高三一模)已知(1-2x)2021=ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021.( )
A.展开式中所有项的二项式系数和为 22021 B.展开式中所有奇次项系数和为
20213 1
2
C.展开式中所有偶次项系数和为
20213 1
2
D. 3 20211 2
2 3 2021 12 2 2 2
a aa a
【答案】ABD
【分析】
由二项式系数之和,当 1x , 2021
0 1 2 3 20213 La a a a a ①
当 1x , 2021
0 1 2 3 2021( 1) La a a a a ②,由①+②,①-②;令 0x ,则 0 =1a ,令 1
2x ,则
20211 2
0 2 20210 2 2 2
L aa aa ,即可得结果.
【详解】
A .二项式系数之和为 0 1 2021 2021
2021 2021 2021 =2 LC C C ,故 A 正确;
B. 2021 2 2021
0 1 2 2021(1 2 )x a a x a x a x
当 1x , 2021
0 1 2 3 20213 La a a a a ①
当 1x , 2021
0 1 2 3 2021( 1) La a a a a ②
①+②,可得当
2021
2021
0 2 2020 0 2 2020
3 13 1 2( ) 2
L La a a a a a ,故 B 正确;
C.①-②
2021
2021
1 3 2021 1 3 2021
3 +13 +1 2( ) 2
L La a a a a a ,故 C 错误;
D. 2021 2 2021
0 1 2 2021(1 2 )x a a x a x a x
令 0x ,则 0 =1a
令 1
2x ,则 20211 2
0 2 20210 2 2 2
L aa aa
20211 2
2 2021 =-12 2 2
L aa a ,故 D 正确
故答案为:ABD
29.(2021·全国高三专题练习)某校高二年级进行选课走班,已知语文、数学、英语是必选学科,另外需从
物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科中任选 3 门进行学习. 现有甲、乙、丙三人,若同学甲必选
物理,则下列结论正确的是( )
A.甲的不同的选法种数为 10
B.甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件
C.乙同学在选物理的条件下选化学的概率是 1
5
D.乙、丙两名同学都选物理的概率是 1
4
【答案】AD
【分析】
本题首先可以根据从剩下 5 门课中选两门判断出 A 正确,然后根据甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不
选化学是对立事件判断出 B 错误,再然后根据条件概率的计算判断出 C 错误,最后根据乙、丙两名同学各
自选物理的概率判断出 D 正确.
【详解】
A 项:由于甲必选物理,故只需从剩下 5 门课中选两门即可,即 2
5 10C 种选法,故 A 正确;
B 项:甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件,故 B 错误;
C 项:由于乙同学选了物理,乙同学选化学的概率是
1
4
2
5
2
5
C
C
,故 C 错误;
D 项:因为乙、丙两名同学各自选物理的概率
2
5
3
6
1
2
C
C
,
所以乙、丙两名同学都选物理的概率是 1 1 1
2 2 4
,D 正确,
故选:AD.
【点睛】
本题考查古典概型的概率的相关计算,考查组合的应用以及组合数的运算,考查对立事件的判定以及条件
概率的计算,考查运算求解能力,考查推理能力,是中档题.
30.(2021·江苏徐州市·高三二模)“杨辉三角”是中国古代数学杰出的研究成果之一.如图所示,由杨辉三角
的左腰上的各数出发,引一组平行线,从上往下每条线上各数之和依次为:1,1,2,3,5,8,13,…,
则( )
A.在第 9 条斜线上,各数之和为 55
B.在第 ( 5)n n
条斜线上,各数自左往右先增大后减小
C.在第 n 条斜线上,共有 2 1 ( 1)
4
nn 个数
D.在第 11 条斜线上,最大的数是 3
7C
【答案】BCD
【分析】
根据从上往下每条线上各数之和依次为:1,1,2,3,5,8,13,…,得到数列规律为 1 2n n na a a 判断
A 选项,再根据杨辉三角得到第 n 条斜线上的数为:
20 1 3 1
1 2 43 1, , ,..., ,..., , kk
n n n n kn n kC CC C C C
判断 BCD 选
项;
【详解】
从上往下每条线上各数之和依次为:1,1,2,3,5,8,13,…,
其规律是 1 2n n na a a ,
所以第 9 条斜线上各数之和为 13+21=34,故 A 错误;
第 1 条斜线上的数: 0
0C ,
第 2 条斜线上的数: 1
1C ;
第 3 条斜线上的数: 10
2 1,CC ,
第 4 条斜线上的数: 10
3 2,CC ,
第 5 条斜线上的数: 0 1 2
4 3 2, ,C C C ,
第 6 条斜线的数: 20 1
5 4 3, ,CC C ,
……,
依此规律,第 n 条斜线上的数为:
20 1 3 1
1 2 43 1, , ,..., ,..., , kk
n n n n kn n kC CC C C C
,
在第 11 条斜线上的数为 2 50 1 3 4
10 9 7 68 5, , ,, ,C CC C C C ,最大的数是 3
7C ,
由上面的规律可知:n 为奇数时,第 n 条斜线上共有 1 2 2
2 4
n n 个数;
n 为偶数时,第 n 条斜线上共有共有 2
2 4
n n 个数,
所以第 n 条斜线上共 2 1 1
4
nn ,故 C 正确;
由上述每条斜线的变化规律可知:在第 ( 5)n n
条斜线上,各数自左往右先增大后减小,故 B 正确;
故选:BCD
【点睛】
关键点点睛:本题关键是找到第 n 条斜线上的数为
20 1 3 1
1 2 43 1, , ,..., ,..., , kk
n n n n kn n kC CC C C C
.