第10讲 概率与统计（解析版）-2021年广东省2月~3月各地级市一模数学分类汇编

第 10 讲 概率与统计 一．选择题（共 16 小题） 1．（2021•湛江一模）中国数学奥林匹克由中国数学会主办，是全国中学生级别最高、规模最大、最具影响 力的数学竞赛．某重点高中为参加中国数学奥林匹克做准备，对该校数学集训队进行一次选拔赛，所得 分数的茎叶图如图所示，则该集训队考试成绩的众数与中位数分别为（ ） A．85，75 B．85，76 C．74，76 D．75，77 【解析】解：由茎叶图可知，集训队考试成绩为 71，72，73，74，74，75，75，77，83，84，85，85， 85，86， 故众数为 85，中位数为 妀䗓 h ． 故选：B． 2．（2021•濠江区校级模拟）某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了 2020 年 4 月 18 日﹣27 日（共 10 天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图． 根据组合图判断，下列结论正确的是（ ） A．这 10 天学生在线学习人数的增长比例在逐日减小 B．前 5 天在线学习人数的方差大于后 5 天在线学习人数的方差 C．这 10 天学生在线学习人数在逐日增加 D．前 5 天在线学习人数增长比例的极差大于后 5 天在线学习人数增长比例的极差 【解析】解：对于 A，由折线图很明显，23﹣24 的增长比例在下降，故 A 错误； 对于 B，由条形图可得前 5 天学习人数的变化幅度明显比后 5 天的小，故方差也小，故 B 错误； 对于 C，由条形图，可得学习人数在逐日增加，故 C 正确； 对于 D，前 5 天增长比例的极差大约为 15%﹣5%＝10%，后 5 天增长比例的极差大约为 40%﹣5%＝35%， 所以前五天在线学习人数增长比例的极差小于后五天在线学习人数增长比例的极差，故 D 错误． 故选：C． 3．（2021•深圳一模）2020 年 12 月 31 日，国务院联防联控机制发布，国药集团中国生物的新冠病毒灭活疫 苗已获药监局批准附条件上市，其保护效力达到世界卫生组织及药监局相关标准要求，现已对 18 至 59 岁的人提供．根据某地接种年龄样本的频率分布直方图（如图）估计该地接种年龄的中位数为（ ） A．40 B．39 C．38 D．37 【解析】解：由频率分布直方图得： [18，36）的频率为：（0.013+0.023+0.034）×6＝0.42， [36，42）的频率为：0.04×4＝0.16， ∴估计该地接种年龄的中位数为：36 䗓 Ǥ妀ͷǤ Ǥhh 38． 故选：C． 4．（2021•东莞市校级模拟）一块由 5 根灯管构成的广告宣传屏幕，每个时刻每根灯管分别可以发出红、黄、 蓝、绿、紫 5 种颜色的光，则在某一时刻恰好出现 2 根灯管发出红色光的概率为（ ） A． 妀 B． h C． h㘷 h妀 D． 妀h h妀【解析】解：首先从五根灯管中选出 2 根为红色， 五根灯管记为 a，b，c，d，e， 从五根灯管中选出两根有： （a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（b，c），（b，d），（b，e），（c，d），（c，e），（d，e），共 10 种情况， 其他三根不能是红色，则其他三根有 4 种颜色可选， ∴在某一时刻恰好出现 2 根灯管发出红色光的概率为： P h 妀妀妀妀妀 h㘷 h妀 ． 故选：C． 5．（2021•东莞市校级模拟）在一次实验中，测得（x，y）的四组值分别是 A（1，2），B（2，3），C（3，4）， D（4，5），则 x 与 y 之间的回归直线方程为（ ） A． x+1 B． x+2 C． 2x+1 D． x﹣1 【解析】解：计算 h （1+2+3+4）＝2.5， h （2+3+4+5）＝3.5， ∴这组数据的样本中心点是（2.5，3.5）； 把样本中心点代入四个选项中，只有 x+1 成立． 故选：A． 6．（2021•广州一模）如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其 甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四 角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取 3 个数，则选取的 3 个数之和为奇数的方法数为 （ ） A．30 B．40 C．44 D．70 【解析】解：根据题意，四个阴数即 4 个偶数：2、4、6、8，五个阳数即 5 即奇数：1、3、5、7、9， 从中任选 3 个，使选出的 3 个数和为奇数，有 2 种情况， ① 选出的 3 个数都是奇数，有 C53＝10 种选法， ② 选出的 3 个数是 2 个偶数和 1 个奇数，有 C42C51＝30 种选法， 一共有 30+10＝40 种选法， 故选：B． 7．（2020•河南模拟）某种商品的广告费支出 x 与销售额 y（单位：万元）之间有如下对应数据，根据表中 提供的全部数据，用最小二乘法得出 y 与 x 的线性回归方程为 6.5x+17.5，则表中的 m 的值为（ ） x 2 4 5 6 8 y 30 40 m 50 70 A．60 B．55 C．50 D．45 【解析】解：由题意， h 妀 䗓 䗓 妀 䗓 h 䗓 㘷 5， h 妀 ͵ 䗓 䗓 Ͷ 䗓 妀 䗓 38 䗓 Ͷ 妀 ， ∵y 关于 x 的线性回归方程为 hǤ妀䗓hǤ妀， ∴38 䗓 Ͷ 妀 6.5×5+17.5 ∴38 䗓 Ͷ 妀 50 ∴ Ͷ 妀 12， ∴m＝60 故选：A． 8．（2021•揭阳模拟）中医是中国传统文化的瑰宝．中医方剂不是药物的任意组合，而是根据中药配伍原则， 总结临床经验，用若干药物配制组成的药方，以达到取长补短、辨证论治的目的．中医传统名方“八珍 汤”是由补气名方“四君子汤”（由人参、白术、茯苓、炙甘草四味药组成）和补血名方“四物汤”（由 熟地黄、白芍、当归、川芎四味药组成）两个方共八味药组合而成的主治气血两虚证方剂．现从“八珍 汤”的八味药中任取四味，取到的四味药刚好组成“四君子汤”或“四物汤”的概率是（ ） A． h ͵妀 B． h C． h 㘷 D． h hh㘷【解析】解：记“取到的四味药刚好组成‘四君子汤’或‘四物汤’”为事件 M， 依题意得 P（M） 㘷 h ͵妀 ． 故选：A． 9．（2021•梅州一模）若干年前，某老师刚退休的月退休金为 4000 元，月退休金各种用途占比统计图如下 面的条形图．该老师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图．已 知目前的月就医费比刚退休时少 100 元，则目前该老师的月退休金为（ ） A．5000 元 B．5500 元 C．6000 元 D．6500 元 【解析】解：设目前该老师的月退休金为 a 元， 则原来该老师的月就医费为 4000×15%＝600（元）， 目前该老师的月就医费为 a×10%＝0.1a, ∵目前的月就医费比刚退休时少 100 元， ∴600﹣0.1a＝100, ∴a＝5000(元）， 故选：A． 10．（2021•韶关一模）假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响．若在两次射击中 至多命中一次的概率是 hh 妀 ，则该射手每次射击的命中率为（ ） A． 妀 B． 妀 C． ͵ 妀 D． ͵ 【解析】解：假设某射手每次射击命中率相同，且每次射击之间相互没有影响． 设该射手每次射击的命中率为 p, ∵在两次射击中至多命中一次的概率是 hh 妀 ， ∴1﹣p2 hh 妀 ,解得 p ͵ 妀 ． ∴该射手每次射击的命中率为 ͵ 妀 ． 故选：C． 11．（2021•广东模拟）公元 960 年，北宋的建立结束了五代十国割据的局面．北宋的农业、手工业、商业 空前繁荣，科学技术突飞猛进，火药、指南针、印刷术三大发明在这种经济高涨的情况下得到广泛应 用．1084 年秘书省第一次印刷出版了《算经十书》，为数学的发展创造了良好的条件．11 至 14 世纪出现 了一批著名的数学家和数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆海镜》，杨辉的《详解九章算 法》，《日用算法》和《杨辉算法》，现从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参 考书目，则所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为（ ） A． ͵ 妀 B． h C． 妀 D． h【解析】解：由题设可得：从三位数学家的五部专著中任意选择两部作为学生课外兴趣拓展参考书目， 共有 C 妀 10 种选法，其中所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的选法有 C 䗓 C ͵ h C h 7 种， ∴所选的两部中至少有一部不是杨辉著作的概率为 h ， 故选：B． 12．（2021•广东模拟）已知数据 x1，x2，x3，x4，x5，x6 的平均数是 5，方差是 9，则 x12+x22+x32+x42+x52+x62 ＝（ ） A．159 B．204 C．231 D．636 【解析】解：根据题意，数据 x1，x2，x3，x4，x5，x6 中平均数 5，方差 S2＝9， 则 S2 h h （x12+x22+x32+x42+x52+x62）− 2＝9， 变形可得：则 x12+x22+x32+x42+x52+x62＝204， 故选：B． 13．（2021•广东模拟）某地市场调查发现， ͵ 妀 的人喜欢在网上购买家用小电器，其余的人则喜欢在实体店 购买家用小电器．经该地市场监管局抽样调查发现，在网上购买的家用小电器的合格率为 ͵ ，而在实体 店购买的家用小电器的合格率为 h ．现该地市场监管局接到一个关于家用小电器不合格的投诉电话， 则这台被投诉的家用小电器是在网上购买的概率是（ ） A． ͵ B． hh h妀 C． h妀 h D． ͵ 【解析】解：∵大约 ͵ 妀 的人喜欢在网上购买家用小电器， 网上购买的家用小电器合格率约为 ͵ ， 故网上购买的家用小电器被投诉的概率为 ͵ 妀 （1− ͵ ） ͵ ， 又∵实体店里的家用小电器的合格率约为 h ． ∴实体店里购买的家用小电器被投诉的概率为（1− ͵ 妀 ）×（1− h ） h 妀 ， 故工商局 12315 电话接到一个关于家用小电器不合格的投诉，则这台被投诉的家用小电器是在网上购买 的可能性 P ͵ ͵ 䗓 h 妀 h妀 h ． 故选：C． 14．（2021•南通模拟）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦 图”．如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形 ABCD 内部为“赵爽弦图”， 它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的．我们将图中阴影所在的四个三角形称为“风叶”， 若从该“数学风车”的八个顶点中任取两点，则该两点取自同一片“风叶”的概率为（ ） A． ͵ B． C． ͵ h D． hh h【解析】解：从该“数学风车”的八个顶点中任取两点的基本事件有∁ 㘷 28 种，其中两点取自同一片“风 叶”的 4∁ ͵ 12 种，故所求概率为： h 㘷 ͵ ． 故选：A． 15．（2021•潮州一模）为了研究某班学生的脚长 x（单位：厘米）和身高 y（单位：厘米）的关系，从该班 随机抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为 䗓 ，已知 h h ， h h hhh ， ，已知该班某学生的脚长为 24 厘米，据此估计 其身高为（ ）厘米． A．165 B．169 C．173 D．178 【解析】解：由题意可得： h ， hhh h hhh ， 回归方程经过样本中心点，则： hhh × 䗓 ，故 ͵ ， 回归方程为： 䗓 ͵ ， 据此可预测其身高为：4×24+73＝169 厘米． 故选：B． 16．（2021•河源模拟）2020 年，各国医疗科研机构都在积极研制“新冠”疫苗，现有 A、B 两个独立的医 疗科研机构，它们能研制出疫苗的概率均为 h ͵ ，则至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为（ ） A． h B． h ͵ C． 妀 D． 㘷 【解析】解：现有 A、B 两个独立的医疗科研机构，它们能研制出疫苗的概率均为 h ͵ ， 至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的对立事件是两家机构都研究不出这种“新冠”疫苗， ∴至少有一家机构能够研究出“新冠”疫苗的概率为： P＝1﹣（1− h ͵ ）（1− h ͵ ） 妀 ． 故选：C． 二．多选题（共 6 小题） 17．（2021•肇庆二模）某大学生暑假到工厂参加生产劳动，生产了 100 件产品，质检人员测量其长度（单 位：厘米），将所得数据分成 6 组：[90，91），[91，92），[92，93），[93，94），[94，95），[95，96]，得 到如图所示的频率分布直方图，则对这 100 件产品，下列说法中正确的是（ ） A．b＝0.25 B．长度落在区间[93，94）内的个数为 35 C．长度的众数一定落在区间[93，94）内 D．长度的中位数一定落在区间[93，94）内 【解析】解：对于 A：由频率之和为 1，得（0.35+b+0.15+0.1×2+0.05）×1＝1，解得 b＝0.25，所以选 项 A 正确， 对于选项 B：长度落在区间[93，94）内的个数为 100×0.35＝35，所以选项 B 正确， 对于选项 C：对这 100 件产品，长度的众数不一定落在区间[93，94）内，所以选项 C 错误， 对于选项 D：对这 100 件产品，因为 0.1+0.1+0.25＜0.5，而 0.1+0.1+0.25+0.35＞0.5，所以长度的中位数 一定落在区间[93，94）内，所以选项 D 正确， 故选：ABD． 18．（2021•肇庆二模）已知两种不同型号的电子元件（分别记为 X，Y）的使用寿命均服从正态分布，X～N （ μ 1，σ12），Y～N（ μ 2，σ22），这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） 参考数据：若 Z～N（ μ ，σ2），则 P（ μ ﹣σ≤Z≤ μ +σ）≈0.6827，P（ μ ﹣2σ≤Z≤ μ +2σ）≈0.9545 A．P（ μ 1﹣σ1＜X＜ μ 1+2σ1）≈0.8186 B．P（Y≥ μ 2）＜P（Y≥ μ 1） C．P（X≤σ2）＜P（X≤σ1） D．对于任意的正数 t，有 P（X≤t）＞P（Y≤t） 【解析】解：对于 A，P（ μ 1﹣σ1＜X＜ μ 1+2σ1）≈（0.6827+0.9545）× h 0.8186，故 A 正确； 对于 B，由正态分布密度曲线，可知 μ 1＜ μ 2，则 P（Y≥ μ 2）＜P（Y≥ μ 1），故 B 正确； 对于 C，由正态分布密度曲线，可知σ1＜σ2，则 P（X≤σ2）＞P（X≤σ1），故 C 错误； 对于 D，对于任意的正数 t，直线 x＝t 左侧 X 的正态密度曲线所含面积大于 Y 的正态密度曲线所含面积， 故有 P（X≤t）＞P（Y≤t），故 D 正确． 故选：ABD． 19．（2021•湛江校级模拟）给出下列命题，其中正确命题为（ ） A．投掷一枚均匀的硬币和均匀的骰子（形状为正方体，六个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6）各一 次，记硬币正面向上为事件 A，骰子向上的点数是 2 为事件 B，则事件 A 和事件 B 同时发生的概率为 h hB．以模型 y＝cekx 去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设 z＝lny，将其变换后得到线性方程 z＝0.3x+4， 则 c，k 的值分别是 e4 和 0.3 C．随机变量 X 服从正态分布 N（1，σ2），P（X＞1.5）＝0.34，则 P（X＜0.5）＝0.16 D．某选手射击三次，每次击中目标的概率均为 h ，且每次射击都是相互独立的，则该选手至少击中 2 次 的概率为 h 【解析】解：对于 A，根据乘法原理，事件所以可能数为 2×6＝12， 事件 A 和事件 B 同时发生的概率为 h h ，所以 A 对； 对于 B，y＝cekx，lny＝kx+lnc，z＝lny，z＝0.3x+4， 所以 lnc＝4 ⇒ c＝e4，k＝0.3，则 c，k 的值分别是 e4 和 0.3，所以 B 对； 对于 C，X～N（1，σ2）， μ ＝1， P（X＜0.5）＝P（X＜1﹣0.5）＝P（X＞1+0.5）＝P（X＞1.5）＝0.34≠0.16，所以 C 错； 对于 D，选手射击三次，至少击中 2 次，即击中 2 次或 3 次， 其概率为 ͵ h ͷ h ͵ͷ h 䗓 ͵ ͵ h ͵ h ，所以 D 对． 故选：ABD． 20．（2021•珠海一模）已知由样本数据（x1，y1）（i＝1，2，3，…，8）组成的一个样本，得到回归直线方 程为 2x﹣0.4 且 2，去除两个歧义点（﹣2，7）和（2，﹣7）后，得到新的回归直线的斜率为 3．则 下列说法正确的是（ ） A．相关变量 x，y 具有正相关关系 B．去除歧义点后的回归直线方程为 3x﹣3.2 C．去除歧义点后，随 x 值增加相关变量 y 值增加速度变小 D．去除歧义点后，样本（4，8.9）的残差为 0.1（附： h y1− ） 【解析】解：由 2，代入 2x﹣0.4，得 ͷ Ǥ ͵Ǥh ， ∴去除两个歧义点（﹣2，7）和（2，﹣7）后， 得到新的 㘷 h 㘷 ͵ ， ͵Ǥh㘷 h Ǥ㘷 ， 又得到新的回归直线的斜率为 3， ∴新的线性回归方程的 Ǥ㘷 ͷ ͵ 㘷 ͵ ͷ ͵Ǥ ， 则去除两个歧义点后的线性回归方程为 ͵ ͷ ͵Ǥ ，故 B 正确； 又由斜率 3＞0，相关变量 x，y 具有正相关关系，故 A 正确； 且去除歧义点后，随 x 值增加相关变量 y 值增加速度变大，故 C 错误； 当 x＝4 时， ͵ ͷ ͵Ǥ 㘷Ǥ㘷 ，则去除歧义点后，样本（4，8.9）的残差为 8.9﹣8.8＝0.1，故 D 正 确． 故选：ABD． 21．（2021•梅州一模）某校实行选课走班制度，张毅同学选择的是地理、生物、政治这三科，且其所选的 生物课在 B 层上，该校周一上午选课走班的课程安排如表所示，张毅选择三个科目的课各上一节，另外 一节上自习，则下列说法正确的是（ ） 第 1 节 第 2 节 第 3 节 第 4 节 地理 1 班 化学 A 层 3 班 地理 2 班 化学 A 层 4 班 生物 A 层 1 班 化学 B 层 2 班 生物 B 层 2 班 历史 B 层 1 班 物理 A 层 1 班 生物 A 层 3 班 物理 A 层 2 班 生物 A 层 4 班 物理 B 层 2 班 生物 B 层 1 班 物理 B 层 1 班 物理 A 层 4 班 政治 1 班 物理 A 层 3 班 政治 2 班 政治 3 班 A．此人有 4 种选课方式 B．此人有 5 种选课方式 C．自习不可能安排在第 2 节 D．自习可安排在 4 节课中的任一节 【解析】解：由于生物在 B 层，只有第 2、3 节有课，故分两类进行讨论： 若生物选第 2 节，则地理可选第 1 节或第 3 节，有 2 种选法，其它两节政治、自习任意选，故有 2×2＝ 4 种（此种情况自习可安排在第 1、3、4 节中的某节）； 若生物选第 3 节，则地理只能选第 1 节，政治只能选第 4 节，自习只能选第 2 节，故有 1 种． 根据分类加法计数原理可得选课方式有 4+1＝5 种， 综上所述，自习可安排在 4 节课中的任意一节． 故选：BD． 22．（2021•潮州一模）下列判断正确的是（ ） A．“am2＞bm2”是“a＞b”的充分不必要条件 B．命题“ ∃ x ∈ R，使 x2+x﹣1＜0”的否定是：“ ∀ x ∈ R，均有 x2+x﹣1＞0” C．若随机变量 ξ 服从二项分布： ， h ，则 E（ ξ ）＝1 D．若随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，σ2），P（ ξ ≤4）＝0.79，则 P（ ξ ≤﹣2）＝0.21 【解析】解：对于 A：当“am2＞bm2”时，则“a＞b”成立， 当“a＞b”且 m＝0 时，“am2＞bm2”不成立， 故“am2＞bm2”是“a＞b”的充分不必要条件，故 A 正确； 对于 B：命题“ ∃ x ∈ R，使 x2+x﹣1＜0”的否定是：“ ∀ x ∈ R，均有 x2+x﹣1≥0”，故 B 错误； 对于 C：随机变量 ξ 服从二项分布： ， h ，则 E（ ξ ） × h 1，故 C 正确； 对于 D：随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，σ2），P（ ξ ≤4）＝0.79， 则 P（ ξ ≤﹣2）1﹣P（ ξ ＞4）＝1﹣0.79＝0.21，故 D 正确． 故选：ACD． 三．填空题（共 5 小题） 23．（2021•湛江一模）若某商品的广告费支出 x（单位：万元）与销售额 y（单位：万元）之间有如下对应 数据： x 2 4 5 6 8 y 20 40 60 70 80 根据如表，利用最小二乘法求得 y 关于 x 的回归直线方程为 x+1.5，据此预测，当投入 10 万元时， 销售额的估计值为 106.5 万元． 【解析】解： h 妀 （2+4+5+6+8）＝5， h 妀 （20+40+60+70+80）＝54， ∴样本中心为（5，54）， 将其代入回归直线方程 x+1.5 中，有 54＝5 䗓 1.5，解得 10.5， ∴回归直线方程为 10.5x+1.5， 当 x＝10 时， 10.5×10+1.5＝106.5， ∴当投入 10 万元时，销售额的估计值为 106.5 万元． 故答案为：106.5． 24．（2021•广州一模）某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了 5 次试验， 这 5 次试验的数据如表： 零件数 x（个） 10 20 30 40 50 加工时间 y （min） 62 a 75 81 89 若用最小二乘法求得回归直线方程为 0.67x+54.9，则 a 的值为 68 ． 【解析】解：由题意可知： h䗓䗓͵䗓䗓妀 妀 30， h䗓䗓妀䗓㘷h䗓㘷 妀 ͵䗓 妀 ， 回归直线方程为 0.67x+54.9 经过样本中心，所以 ͵䗓 妀 0.67×30+54.9，解得 a＝68． 故答案为：68． 25．（2020•河南模拟）2020 年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足，医疗物资紧 缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援．若某医疗团队从甲，乙，丙，丁 4 名医生志愿者 中，随机选取 2 名医生赴湖北支援，则甲被选中的概率为 h ． 【解析】解：某医疗团队从甲，乙，丙，丁 4 名医生志愿者中，随机选取 2 名医生赴湖北支援， 基本事件总数 n h ， 甲被选中包含的基本事件有 m h h ͵ h ͵ ， ∴甲被选中的概率为 p ͵ h h ． 故答案为： h ． 26．（2021•惠州模拟）设随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，σ2），若 P（ ξ ＜2）＝0.8，则 P（0＜ ξ ＜2）＝ 0.6 ． 【解析】解：∵随机变量 ξ 服从正态分布 N（1，σ2）， ∴正态分布曲线的对称轴为 x＝1， 又 P（ ξ ＜2）＝0.8，∴P（ ξ ≥2）＝0.2， 则 P（ ξ ≤0）＝P（ ξ ≥2）＝0.2， ∴P（0＜ ξ ＜2）＝1﹣2×0.2＝0.6． 故答案为：0.6． 27．（2021•潮州一模）新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市， 每市随机分配 2 名医生，则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为 ͵ ． 【解析】解：新冠肺炎疫情期间，某市紧急抽调甲、乙、丙、丁四名医生支援武汉和黄冈两市， 每市随机分配 2 名医生，基本事件总数 n 6， 甲、乙两人被分配在不同城市包含的基本事件个数 m h 4， 则甲、乙两人被分配在不同城市的概率为 P Ͷ h ͵ ． 故答案为： ͵ ． 四．解答题（共 16 小题） 28．（2021•湛江一模）某校针对高一学生安排社团活动，周一至周五每天安排一项活动，活动安排表如下： 时间 周一 周二 周三 周四 周五 活动项目 篮球 国画 排球 声乐 书法 要求每位学生选择其中的三项，学生甲决定选择篮球，不选择书法；乙和丙无特殊情况，任选三项． （1）求甲选排球且乙未选排球的概率； （2）用 X 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，求 X 的分布列和数学期望． 【解析】解：（1）甲选排球的概率 h ͵ ͵ ，乙未选排球的概率 ͵ 妀 ͵ 妀 ， ∴甲选排球且乙未选排球的概率 ͵ 妀 h妀 ． （2）用 X 表示甲、乙、丙三人选择排球的人数之和，则 X＝0，1，2，3． 乙，丙选排球的概率都为 妀 ͵ ͵ 妀 ， 选排球 不选排球 甲 ͵ h ͵乙 ͵ 妀 妀丙 ͵ 妀 妀P（X＝0） h ͵ 妀 妀 妀 ，P（X＝1） ͵ 妀 䗓 h ͵ h ͵ 妀 妀 妀 ， P（X＝2） ͵ 2× ͵ 妀 妀 䗓 h ͵ ͵ 妀 ͵ 妀 ͵͵ 妀 ， P（X＝3） ͵ ͵ 妀 ͵ 妀 h㘷 妀 ， ∴X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 妀 妀 ͵͵ 妀 h㘷 妀数学期望 E（X）＝0× 妀 䗓 1× 妀 䗓 2× ͵͵ 妀 䗓 3× h㘷 妀 㘷 h妀 ． 29．（2020•全国模拟）某客户准备在家中安装一套净水系统，该系统为二级过滤，使用寿命为十年．如图 1 所示，两个二级过滤器采用并联安装，再与一级过滤器串联安装． 其中每一级过滤都由核心部件滤芯来实现．在使用过程中，一级滤芯和二级滤芯都需要不定期更换（每 个滤芯是否需要更换相互独立）．若客户在安装净水系统的同时购买滤芯，则一级滤芯每个 160 元，二级 滤芯每个 80 元．若客户在使用过程中单独购买滤芯，则一级滤芯每个 400 元，二级滤芯每个 200 元．现 需决策安装净水系统的同时购买滤芯的数量，为此参考了根据 100 套该款净水系统在十年使用期内更换 滤芯的相关数据制成的图表，其中如表是根据 100 个一级过滤器更换的滤芯个数制成的频数分布表，图 2 是根据 200 个二级过滤器更换的滤芯个数制成的条形图． 一级滤芯更换频数分布表 一级滤芯更换的个数 8 9 频数 60 40 以 100 个一级过滤器更换滤芯的频率代替 1 个一级过滤器更换滤芯发生的概率，以 200 个二级过滤器更 换滤芯的频率代替 1 个二级过滤器更换滤芯发生的概率． （1）求一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 16 的概率； （2）记 X 表示该客户的净水系统在使用期内需要更换的二级滤芯总数，求 X 的分布列及数学期望； （3）记 m，n 分别表示该客户在安装净水系统的同时购买的一级滤芯和二级滤芯的个数．若 m+n＝19， 且 m ∈ {8，9}，以该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需总费用的期望值为决策依据，试确定 m， n 的值． 【解析】解：（1）由题意知，若一套净水系统在使用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 16，则该套 系统中一个一级过滤器需要更换 8 个滤芯，两个二级过滤器均需要更换 4 个滤芯，设一套净水系统在使 用期内需要更换的各级滤芯总个数恰好为 16 为事件 A， 因为一个一级过滤器需要更换 8 个滤芯的概率为 0.6，二级过滤器需要更换 4 个滤芯的概率为 0.2， 所以 P（A）＝0.6×0.2×0.2＝0.024； （2）由题可知，一个二级过滤器需要更换滤芯的个数为 4，5，6 的概率分别为 0.2，0.4，0.4， X 的可能取值为 8，9，10，11，12， 从而 P（X＝8）＝0.2×0.2＝0.04，P（X＝9）＝2×0.2×0.4＝0.16，P（X＝10）＝2×0.2×0.4+0.4×0.4 ﹣0.32，P（X＝11）＝2×0.4×0.4＝0.32，P（X＝12）＝0.4×0.4＝0.16， ∴X 的分布列为 X 8 9 10 11 12 P 0.04 0.16 0.32 0.32 0.16 ∴E（X）＝8×0.04+9×0.16+10×0.32+11×0.32+12×0.16＝10.4； （3）记 Y 表示该客户的净水系统在使用期内购买各级滤芯所需费用，因为 m+n＝19，且 m ∈ {8，9}， （i）若 m＝8，则 n＝11， E（Y1）＝160×8+400×0.4+80×11+200×0.16＝2352， （ii）若 m＝9，则 n＝10， E（Y2）＝160×9+80×10+200×0.32+400×0.16＝2368， 因为 E（Y1）＜E（Y2），故选择方案 m＝8，n＝11． 30．（2021•深圳一模）某校将进行篮球定点投篮测试，规则为：每人至多投 3 次，先在 M 处投一次三分球， 投进得 3 分，未投进不得分，以后均在 N 处投两分球，每投进一次得 2 分，未投进不得分．测试者累计 得分高于 3 分即通过测试，并终止投篮． 甲、乙两位同学为了通过测试，进行了五轮投篮训练，每人每轮在 M 处和 N 处各投 10 次，根据他们每 轮两分球和三分球的命中次数情况分别得到如下图表： 若以每人五轮投篮训练命中频率的平均值作为其测试时每次投篮命中的概率． （1）求甲同学通过测试的概率； （2）在甲、乙两位同学均通过测试的条件下，求甲得分比乙得分高的概率． 【解析】解：（1）甲同学两分球投篮命中的概率为： P 妀 h䗓 h䗓 ͵ h䗓 h h䗓 h 妀 0.5， 甲同学三分球投篮命中的概率为： P h h䗓䗓 h h䗓 h䗓 h h 妀 0.1， 设甲同学累计得分为 X， 则 P（X≥4）＝P（X＝4）+P（X＝5） ＝0.9×0.5×0.5+0.1×0.5+0.1×0.5×0.5＝0.3， ∴甲同学通过测试的概率为 0.3． （2）同（1）可求，乙同学两分球投篮命中的概率为 0.4，三分球投篮命中的概率为 0.2， 设乙同学累计得分为 Y， 则 P（Y＝4）＝0.8×0.4×0.4＝0.128， P（Y＝5）＝0.2×0.4+0.2×0.6×0.4＝0.128， 设“甲得分比乙得到高”为事件 A，“甲、乙两位同学均通过了测试”为事件 B， 则 P（AB）＝P（X＝5）•P（X＝4）＝0.075×0.128＝0.0096， P（B）＝[P（X＝4）+P（X＝5）]•[P（Y＝4）+P（Y＝5）]＝0.0768， 由条件概率得： P（A|B） Ǥh Ǥh㘷 h 㘷 ． 31．（2021•西安二模）某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的，已 知每名男射手每次的命中率为 ͵ ，女射手每次的命中率为 h ͵ ． （1）当每人射击 2 次时，求该射击小组共射中目标 4 次的概率； （2）当每人射击 1 次时，规定两名男射手先射击，如果两名男射手都没有射中，那么女射手失去射击资 格．一个小组共射中目标 3 次得 100 分，射中目标 2 次得 60 分，射中目标 1 次得 10 分，没有射中目标 得﹣50 分．用随机变量 X 表示这个射击小组的总得分，求 X 的分布列及数学期望． 【解析】解：（1）某射击小组由两名男射手与一名女射手组成，射手的每次射击都是相互独立的， 每名男射手每次的命中率为 ͵ ，女射手每次的命中率为 h ͵ ． 当每人射击 2 次时，该射击小组共射中目标 4 次的概率为： P ͵ ͵ 䗓 ͵ ͵ ͵ h ͵ h h ͵ ͵ 䗓 ͵ h ͵ h ͵ 㘷 ． （2）随机变量 X 表示这个射击小组的总得分，则 X 的可能取值为﹣50，10，60，100， P（X＝﹣50） h ͵ h ͵ h ， P（X＝10） h ͵ h ͵ ͵ 㘷 ， P（X＝60） h ͵ h ͵ h ͵ 䗓 ͵ ͵ h ， P（X＝100）＝（ ͵ ）2（ h ͵ ） ， ∴X 的分布列为： X ﹣50 10 60 100 P h 㘷 h 数学期望 E（X） − 妀 × h 䗓 h 㘷 䗓 h h 䗓 h ͵妀 ． 32．（2021•肇庆二模）为落实中央“坚持五育并举，全面发展素质教育，强化体育锻炼”的指示精神，小 明和小亮两名同学每天利用课余时间进行羽毛球比赛．规定每一局比赛中获胜方记 2 分，失败方记 0 分， 没有平局，谁先获得 10 分就获胜，比赛结束．假设每局比赛小明获胜的概率都是 ͵ ． （1）求比赛结束时恰好打了 7 局的概率； （2）若现在是小明以 6：2 的比分领先，记 X 表示结束比赛还需打的局数，求 X 的分布列及期望． 【解析】解：（1）恰好打了 7 局小明获胜的概率是 P1 h ͵ 妀 h ͵ h妀妀 ͵ ， 恰好打了 7 局小亮获胜的概率为 P2 h ͵ h ͵ 妀 h妀 ͵ ， ∴比赛结束时恰好打了 7 局的概率为 P＝P1+P2 h妀妀䗓h妀 ͵ 㘷h ， （2）X 的可能取值为 2，3，4，5， P（X＝2） ͵ ， P（X＝3） h ͵ h ͵ 㘷 ， P（X＝4） ͵ h ͵ h ͵ 䗓 h ͵ h͵ 㘷h ， P（X＝5） ͵ ͵ h ͵ ͵ 㘷 㘷h ， ∴X 的分布列如下： X 2 3 4 5 P 㘷 h͵ 㘷h 㘷 㘷hE（X）＝2× 䗓 ͵ 㘷 䗓 4× h͵ 㘷h 䗓 5× 㘷 㘷h ͵h 㘷h ． 33．（2021•广州一模）某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投 5 个球，每一个球可 以选择在 A 区投篮也可以选择在 B 区投篮，在 A 区每投进一球得 2 分，投不进球得 0 分；在 B 区每投进 一球得 3 分，投不进球得 0 分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在 A 区和 B 区每次投篮进球的概率 分别为 ͵ 和 h ，且各次投篮的结果互不影响． （1）若甲投篮得分的期望值不低于 7 分，则甲选择在 A 区投篮的球数最多是多少个？ （2）若甲在 A 区投 3 个球且在 B 区投 2 个球，求甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率． 【解析】解：（1）甲在 A 区每次投篮得分的期望为 2× ͵ ͵ ， 在 B 区每次投篮得分的期望为 3× h ͵ ， 设甲选择在 A 区投篮的球数为 x 个， 则 ͵ x 䗓 ͵ （5﹣x）≥7， 解得 x≤3， 所以甲选择在 A 区投篮的球数最多是 3 个． （2）甲在 B 区投中 0 个，在 A 区投中 1，2，3 个的概率为[1− h ͵ ͵ ]× h h͵ 妀 ， 甲在 B 区投中 1 个，在 A 区投中 2 个或 3 个的概率（ ͵ ͵ ͵ h ͵ 䗓 ͵ ͵ ͵ ）× h h h ， 甲在 B 区投中 2 个得 6 分，此时在 A 区投篮得分不可能高于 B 区， 故甲在 A 区投篮得分高于在 B 区投篮得分的概率为 h͵ 妀 䗓 h hh h㘷 ． 34．（2014•河南二模）衡水市为“市中学生知识竞赛”进行选拔性测试，且规定：成绩大于或等于 90 分的 有参赛资格，90 分以下（不包括 90 分）的则被淘汰．若现有 500 人参加测试，学生成绩的频率分布直 方图如图： （Ⅰ）求获得参赛资格的人数； （Ⅱ）根据频率直方图，估算这 500 名学生测试的平均成绩； （Ⅲ）若知识竞赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有 5 次选题答题的机会，累计答对 3 题或答错 3 题 即终止，答对 3 题者方可参加复赛，已知参赛者甲答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影 响，已知他连续两次答错的概率为 h ，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望． 【解析】解：（I）获得参赛资格的人数 m＝（0.005+0.0043+0.032）×20×500＝125（2 分） （ II ） 平 均 成 绩 ： Ǥh妀 䗓 h Ǥh 䗓 㘷 Ǥh 䗓 h Ǥ妀 䗓 h Ǥ͵ 䗓 h Ǥ͵ ＝（0.26+0.84+1.36+0.5+0.516+0.448）×20＝78.48（5 分） （III）设甲答对每一道题的概率为．P 则（1﹣p）2 h ，∴p ͵ ， ∴ ξ 可能取得值为 3，4，5， P（ ξ ＝3）＝P3+（1﹣P）3 h ͵ ， P（ ξ ＝4） ͵ h ͷ െ 䗓 ͵ h ͷ െെh ͷ െ h ， P（ ξ ＝5）＝1− h ͵ ͷ h 㘷 ， ∴ ξ 的分布列为 ξ 3 4 5 P h ͵ h 㘷 ξ ͵ × h ͵ 䗓 h 䗓 妀 㘷 h ．（12 分） 35．（2021•珠海一模）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师 对新入学的 180 名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于 12 小时的有 76 人，统计 成绩后，得到如下的 2×2 列联表： 学生本学期检测数学标 准分数大于等于 120 分 学生本学期检测数 学标准分数不足 120 分 合 计 周做题时间不少于 12 小时 60 76 周做题时间不足 12 小时 64 合 计 180 （1）请完成上面的 2×2 列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“高中生的数 学成绩与学生自主学习时间有关”； （2））（ⅰ）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于 120 分的学生中随机抽取 12 人，求这些人中周自主做数学题时间不少于 12 小时的人数的期望． （ⅱ）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于 120 分的学生中随机抽取 12 人，这 12 人周自主做数学题时间的情况分三类，A 类：周自主做数学题时间大于等于 16 小时的有 4 人：B 类： 周自主做数学题时间大于等于 12 小时小于 16 小时的有 5 人：C 类：周自主做数学题时间不足 12 小时的 有 3 人．若从这随机抽出的 12 人中再随机抽取 3 人进一步了解情况，记 X 为抽取的这 3 名同学中 A 类 人数和 C 类人数差的绝对值，求 X 的数学期望． 附：参考公式和数据：K2 ܽͷ 䗓䗓ܽ䗓䗓䗓ܽ ，n＝a+b+c+d． 附表： P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】解：（1）由题中的数据可以直接填表， 学生本学期检测数学标 准分数大于等于 120 分 学生本学期检测数 学标准分数不足 120 分 合 计 周做题时间不少于 12 小时 60 16 76 周做题时间不足 12 小时 40 64 104 合 计 100 80 180 ∴ h㘷hhͷhh hh㘷h 29.15＞10.828， ∴能在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”； （2）（i）从全校本学期检测数学标准分数大于等于 120 分的学生中随机抽取一人，自主做数学题时间不 少于 12 小时的概率为 h h 0.6， 设从 120 名学生中抽取 12 人，这些人周做题不少于 12 小时的人数为随机变量 Y， ∴Y～B（12，0.6）， ∴E（Y）＝12×0.6＝7.2， 即数学期望为 7.2． （ii）X 可能取值为 0，1，2，3， P（X＝0） ͵ h h妀 h䗓妀 ͵ h ͵ ， P（X＝1） ͵ h䗓͵ h䗓妀 h䗓妀 ͵ h h ͵ h 妀 hh ， P（X＝2） 妀 h 䗓妀 h͵ h ͵ ， P（X＝3） ͵䗓͵ ͵ h ͵ h ， ∴E（X）＝0× 䗓 1× 妀 hh 䗓 2× 䗓 3× h h ． 36．（2021•揭阳模拟）太阳能热水器因节能环保而深受广大消费者的青睐，但它也有缺点﹣﹣持续阴天或 雨天便无法正常使用．为了解决这一缺陷，现在的太阳能热水器水箱上都安装了辅助电加热器，如果天 气不好或冬季水温无法满足需要时，就可以通过辅助电加热器把水温升高，方便用户使用．某工厂响应 “节能减排”的号召，决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器．电辅式太阳能热 水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响，假设每天的日照情况和日均气温相互独立，该电辅 式太阳能热水器每日耗电情况如表所示． 日照情况 日均气温不低 于 15℃ 日均气温低于 15℃ 日照充足 耗电 0 千瓦时 耗电 5 千瓦时 日照不足 耗电 5 千瓦时 耗电 10 千瓦 时 日照严重不 足 耗电 15 千瓦 时 耗电 20 千瓦 时 根据调查，当地每天日照充足的概率为 妀 ，日照不足的概率为 妀 ，日照严重不足的概率为 h 妀 .2020 年 这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示，区间分组为[5，10），[10，15），[15，20），[20，25）， [25，30），[30，35]． （1）求图中 a 的值，并求一年中日均气温不低于 15℃的频率； （2）用频率估计概率，已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电 20 千瓦时，试估计更换电辅式太阳能 热水器后这一年能省多少电？（一年以 365 天计算） 【解析】解：（1）依题意得 a h 妀 （1﹣0.02×5﹣0.03×5﹣0.04×5﹣0.03×5）＝0.05， 一年中日均气温不低于 15℃的频率为 0.03×5+0.04×5+0.05×5+0.03×5＝0.75 ͵ ． （2）这一年中日均气温不低于 15℃的概率的估计值为 ͵ ，一年中日均气温低于 15℃的概率的估计值为 h ， 设使用电铺式太阳能热水器日均耗电量为 X，X 的所有可能取值为 0，5，10，15，20， P（X＝0） 妀 ͵ ͵ h ，P（X＝5） 妀 ͵ 䗓 妀 h 妀 ， P（X＝10） 妀 h h h ，P（X＝15） h 妀 ͵ ͵ ，P（X＝20） h 妀 h h ， 所以 X 的分布列为： X 0 5 10 15 20 P ͵ h 妀 h h ͵ h X 的数学期望 E（X）＝0× ͵ h 䗓 5× 妀 䗓 10× h h 䗓 15× ͵ 䗓 20× h 妀 6.25， 所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为 20﹣6.25＝13.75（千瓦时）， 所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为 13.75×365＝5018.75（千瓦时）． 37．（2021•梅州一模）某电子产品加工厂购买配件 M 并进行甲、乙两道工序处理，若这两道工序均处理成 功，则该配件加工成型，可以直接进入市场销售；若这两道工序均处理不成功，则该配件报废；若这两 道工序只有一道工序处理成功，则该配件需要拿到丙部门检修，若检修合格，则该配件可以进入市场销 售，若检修不合格，则该配件报废．根据以往经验，对于任一配件 M，甲、乙两道工序处理的结果相互 独立，且处理成功的概率分别为 ͵ ， ͵ ，丙部门检修合格的概率为 h ． （1）求该工厂购买的任一配件 M 可以进入市场销售的概率； （2）已知配件 M 的购买价格为 80 元/个，甲、乙两道工序的处理成本均为 8 元/个，丙部门的检修成本 为 16 元个，若配件 M 加工成型进入市场销售，售价可达 200 元/个；若配件 M 报废，则亏损购买成本以 及加工成本．若市场大量需求配件 M 的成型产品，试估计该工厂加工 5000 个配件 M 的利润．（利润＝ 售价﹣购买价格﹣加工成本） 【解析】解：（1）记任一配件 M 加工成型可进入市场销售为事件 A，甲、乙两道工序分别处理成功为事 件 B，C，丙部门检修合格为事件 D， P（A）＝P（BC）+P（ CD）+P（B D） ͵ ͵ 䗓 h ͷ ͵ ͵ h 䗓 ͵ h ͷ ͵ h h ； （2）设加工 5000 个配件 M 的利润为 Y，加工一个配件 M 的利润为 X，则 Y＝5000X， 由题意可知 X 的取值为 104，8，﹣96，﹣112， P（X＝104） ͵ ͵ h ， P（X＝88） h ͷ P（X＝104） 妀 ， P（X＝﹣96） h − ͵ h ͷ ͵ h h ， P（X＝﹣112） h − ͵ ͵ h 䗓 ͵ h ͷ ͵ h 妀 ， 所以 X 的分布列为： X 104 88 ﹣96 ﹣112 P h 妀 h h 妀 E（X）＝104× h 䗓 88× 妀 ͷ 96× h h ͷ 112× 妀 39， E（Y）＝E（5000X）＝5000E（X）＝195000． 估计该工厂加工 5000 个配件 M 的利润为 195000 元． 38．（2021•韶关一模）在一次大范围的随机知识问卷调查中，通过随机抽样，得到参加问卷调查的 100 人 的得分统计结果如表所示： 得分 [30，40） [40，50） [50，60） [60，70） [70，80） [80，90） [90，100] 频数 2 13 21 25 24 11 4 （1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分 ξ ~N（ μ ，196）， μ 近似为这 100 人得分的平均值 （同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表）． ① 求 μ 的值； ② 若 P（ ξ ＞2a﹣5）＝P（ ξ ＜a+3），求 a 的值； （2）在（1）的条件下，为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： ① 得分不低于 μ 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 μ 的可以获赠 1 次随机话费； ② 每次获赠的随机话费和对应的概率为： 赠送话费的金额（单位：元） 20 50 概率 ͵ h 现有市民甲参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求 X 的分布列与 数学期望． 【解析】解（1） ① 由题意得 ͵䗓h͵䗓妀h䗓h妀䗓䗓㘷hh䗓 h 60.5， ∴ μ ＝60.5． ∵ ② 若 P（ ξ ＞2a﹣5）＝P（ ξ ＜a+3）， 则 2a﹣5+a+3＝2×60.5， 解得 a＝41． （2）由题意知 P（ ξ ＜ μ )＝P( ξ ≥ μ ) h ， 获赠话费 X 的可能取值为 20，40，50，70，100， P（X＝20） h ͵ ͵ 㘷 ， P（X＝40） h ͵ ͵ ͵ ， P（X＝50） h h h 㘷 ， P（X＝70） h ͵ h 䗓 h h ͵ ͵ hh ， P（X＝100） h h h h ͵ ， ∴X 的分布列为： X 20 40 50 70 100 P ͵ 㘷 ͵ h 㘷 ͵ hh h ͵∴E（X）＝20× ͵ 㘷 䗓 40× ͵ 䗓 50× h 㘷 䗓 70× ͵ hh 䗓 100× h ͵ hh妀 ． 39．（2021•广东模拟）某大型小区物业公司为增强居民对消防安全的认识，特对小区居民举办了一次消防 安全知识测试．并从中随机抽取了参加测试的 1000 人的成绩（满分：100 分），经统计得到如图频率分 布直方图： （1）（ⅰ）求 m； （ⅱ）由直方图可知，此次测试分数 X 近似服从正态分布 N（65，121），请用正态分布知识求 P（54＜X ≤87）； （2）在（1）的条件下，为鼓励该小区居民多学习消防安全知识，本次测试制定如下奖励方案： 测试成绩低于 65 的居民获得 1 次随机红包奖励，成绩不低于 65 的居民获得 2 次随机红包奖励．每次随 机红包钱数（单位：元）对应的概率如表： 随机红包 30 50 概率 妀 h 妀该小区王大爷参加此次测试，记 ξ 为王大爷获得的红包奖励钱数（单位：元），求 ξ 的分布列及数学期望． 参考数据：若 X～N（ μ ，σ2），则 P（ μ ﹣σ＜X≤ μ +σ）≈0.6827；P（ μ ﹣2σ＜X≤ μ +2σ）≈0.9545； P（ μ ﹣3σ＜X≤ μ +3σ）≈0.9974． 【解析】解：（1）（ⅰ）由 10（0.0025+m+0.02+0.025+0.0225+0.01+0.005）＝1， 解得 m＝0.015； （ⅱ）∵测试分数 X 近似服从正态分布 N（65，121）， ∴ μ ＝65，σ＝11， 则 P（54＜X≤87）＝P（ μ ﹣σ＜X≤ μ +2σ） h [P（ μ ﹣2σ＜X≤ μ +2σ）+P（ μ ﹣σ＜X≤ μ +σ）] h （0.9545+0.6827）＝0.8186； （2）由题意可知， ξ 的可能取值为：30，50，60，80，100， 由频率分布直方图可知，测试成绩低于 65 的频率为 h ，以频率作为概率， 可得：P（ ξ ＝30） h 妀 妀 ，P（ ξ ＝50） h h 妀 h h ， P（ ξ ＝60） h 妀 㘷 妀 ，P（ ξ ＝80） × h 妀 h 妀 妀 ，P（ ξ ＝100） h h 妀 h 妀 ． ∴ ξ 的分布列为 ξ 30 50 60 80 100 P 妀 h h 㘷 妀 妀 h 妀E ξ ͵ × 妀 䗓 妀 h h 䗓 h 㘷 妀 䗓 㘷 妀 䗓 h h 妀 51． 40．（2021•广东模拟）科技是国家强盛之基，创新是民族进步之魂．当今世界，科学技术日益渗透到经济 发展、社会和人类生活的方方面面，成为生产力中最活跃的因素，科学技术的重要性也逐渐突显出来．某 企业为提高产品质量，引进了一套先进的生产线．为了解该生产线输出的产品质量情况，从中随机抽取 200 件产品，测量某项质量指数，根据所得数据分成[17.5，18.0），[18.0，18.5），[18.5，19.0），[19.0， 19.5），[19.5，20.0]这 5 组，得到的频率分布直方图如图所示，若这项质量指数在[18.0，19.5）内，则称 该产品为优等品，其他的称为非优等品． （1）估计该生产线生产的产品该项质量指数的中位数（结果精确到 0.01）； （2）按优等品和非优等品用分层抽样的方法从这 200 件产品中抽取 10 件产品，再从这 10 件产品中随机 抽取 3 件，记优等品的数量为 X，求 X 的分布列与期望． 【解析】解：（1）∵（0.16+0.64）×0.5＝0.4＜0.5，（0.16+0.64+0.72）×0.5＝0.76＞0.5， ∴该生产线生产的产品该项质量指数的中位数在[18.5，19.0）内， 设其中位数为 m，则（m﹣18.5）×0.72+0.4＝0.5，解得 m≈18.64． 即该生产线生产的产品该项质量指数的中位数约为 18.64； （2）由题意可知样本中非优等品有 200×（0.16+0.24）×0.5＝40 件，优等品有 200﹣40＝160 件， 则优等品应抽取 hh h 㘷 件，非优等品应抽取 h 件， 故 X 的取值可能是 1，2，3， P（X＝1） 㘷 h h ͵ h h妀 ，P（X＝2） 㘷 h h ͵ h妀 ，P（X＝3） 㘷 ͵ h ͵ h妀 ． 则 X 的分布列为 X 1 2 3 p h h妀 h妀 h妀则 E（X）＝1× h h妀 䗓 h妀 䗓 ͵ h妀 h 妀 ． 41．（2021•惠州模拟）华为手机作为全球手机销量第二位，一直深受消费者喜欢．惠州某学校学习小组为 了研究手机用户购买新手机时选择华为品牌是否与年龄有关系，于是随机调查 100 个 2020 年购买新手机 的人，得到如下不完整的列联表．定义用户年龄 30 岁以下为“年轻用户”，30 岁以上为“非年轻用户”． 购买华为 购买其他品牌 总计 年轻用户 28 非年轻用户 24 60 总计 100 （1）请将列联表填充完整，并判断是否至少有 90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关？ （2）若从购买华为手机用户中采取分层抽样的方法抽出 9 人，再从中随机抽取 3 人，其中年轻用户的人 数记为 X，求 X 的分布列和数学期望． 附：K2 ܽͷ 䗓䗓ܽ䗓䗓ܽ ． P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 【解析】解：（1）根据题目所给数据得到如下 2×2 的列联表： 购买华为 购买其他品牌 总计 年轻用户 12 28 40 非年轻用户 24 36 60 总计 36 64 100 由列表可得 K2 h͵hhͷ㘷 h͵hh 1.042＜2.706， 故没有 90%的把握认为购买手机时选择华为与年龄有关． （2）利用分层抽样抽取 9 个购买华为手机的用户， 其中年轻用户抽 h ͵h 3（人），非年轻用户抽 ͵h 6（人）， 现在其中随机抽取 3 人，设抽到的年轻用户人数为 X， 则 X 可能的取值为 0，1，2，3， 所以 P（X＝i） ͵ h ͵ͷ ͵ （i＝0，1，2，3）， 故 X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 妀 h h妀 㘷 ͵ h h 㘷∴E（X）＝0× 妀 h 䗓 1× h妀 㘷 䗓 × ͵ h 䗓 ͵ × h 㘷 1． 42．（2021•潮州一模）某芯片公司对今年新开发的一批 5G 手机芯片进行测评，该公司随机调查了 100 颗芯 片，并将所得统计数据分为[9，10），[10，11），[11，12），[12，13），[13，14），五个小组（所调查的芯 片得分均在[9，14]内），得到如图所示的频率分布直方图，其中 a﹣b＝0.18． （1）求这 100 颗芯片评测分数的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替）． （2）芯片公司另选 100 颗芯片交付给某手机公司进行测试，该手机公司将每颗芯片分别装在 3 个工程手 机中进行初测．若 3 个工程手机的评分都达到 11 万分，则认定该芯片合格；若 3 个工程手机中只要有 2 个评分没达到 11 万分，则认定该芯片不合格；若 3 个工程手机中仅 1 个评分没有达到 11 万分，则将该 芯片再分别置于另外 2 个工程手机中进行二测，二测时，2 个工程手机的评分都达到 11 万分，则认定该 芯片合格；2 个工程手机中只要有 1 个评分没达到 11 万分，手机公司将认定该芯片不合格．已知每颗芯 片在各次置于工程手机中的得分相互独立，并且芯片公司对芯片的评分方法及标准与手机公司对芯片的 评分方法及标准都一致（以频率作为概率）．每颗芯片置于一个工程手机中的测试费用均为 300 元，每颗 芯片若被认定为合格或不合格，将不再进行后续测试，现手机公司测试部门预算的测试经费为 10 万元， 试问预算经费是否足够测试完这 100 颗芯片？请说明理由． 【解析】解：（1）依题意，（0.05+a+b+0.35+0.28）×1＝1， 故 a+b＝0.32． 又因为 a﹣b＝0.18．所以 a＝0.25，b＝0.07， 所求平均数为 9.5×0.05+10.5×0.25+11.5×0.35+12.5×0.28+13.5×0.07＝11.57（万分）； （2）由题意可知，手机公司抽取一颗芯片置于一个工程机中进行检测评分达到 11 万分的概率 p＝1﹣0.05 ﹣0.25＝0.7． 设每颗芯片的测试费用为 X 元，则 X 的可能取值为 600，900，1200，1500， P（X＝600）＝0.32＝0.09， P（X＝900）＝0.73+0.7×0.32+0.3×0.7×0.3＝0.469， P（X＝1200） ͵ h Ǥ͵ ． Ǥ͵ 0.1323， P（X＝1500） ͵ h Ǥ͵ ． Ǥ 0.3087， 故每颗芯片的测试费用的数学期望为 E（X）＝600×0.09+900×0.469+1200×0.1323+1500×0.3087＝1097.91（元）， 因为 100×1097.91＞100000， 所以预算经费不够测试完这 100 颗芯片． 43．（2021•河源模拟）某篮球职业联赛分为常规赛和季后赛两个阶段．常规赛采用循环赛，分主场比赛和 客场比赛两种，积分高的球队进入季后赛；季后赛采用五局三胜制进行淘汰赛，最终决出总冠军．（“5 局 3 胜”制是指先胜 3 局者获得比赛胜利，比赛结束）．如表是甲队在常规赛 80 场比赛中的比赛结果记 录表． 季度 比赛次数 主场次数 获胜次数 主场获胜次数 1 季度 23 13 16 11 2 季度 27 11 21 8 3 季度 30 16 23 13 （Ⅰ）根据表中信息，能否在犯错误概率不超过 0.100 的前提下认为“主客场”与“胜负”之间有关？ （Ⅱ）已知甲队和乙队在季后赛首轮比赛中相遇，假设每局比赛结果相互独立，以甲队常规赛 80 场比赛 获胜的频率估计甲队在季后赛每局比赛获胜的概率，记 X 为本轮比赛结束时甲队和乙队所进行的比赛的 局数，求 X 的分布列及甲队获得这轮比赛胜利的概率． 附： ܽͷ 䗓䗓ܽ䗓䗓ܽ ． P（K2≥k） 0.100 0.050 0.025 k 2.706 3.841 5.024 【解析】解：（1）根据表格信息列出 2×2 列联表如下 甲队胜 甲队负 合计 主场 32 8 40 客场 28 12 40 合计 60 20 80 ܽͷ 䗓 䗓ܽ䗓 䗓 ܽ 㘷͵ hͷ 㘷 㘷 h hh h妀 hǤh ＜ Ǥh所以不能在犯错误概率不超过 0.100 的前提下认为“主客场”与“比赛胜负”之间有关． （2）依题意得甲队每局比赛获胜的概率估计值为 h 㘷 ͵ X 的所有可能取值为 3，4，5， ͵ ͵ ͵ 䗓 h ͵ 㘷 h hh ， ͵ ͵ ͵ h 䗓 ͵ h ͵ ͵ 妀h 妀 h㘷 ， 妀 ͵ h 妀 妀h h㘷 ， 所以 X 的分布列为： X 3 4 5 P hh 妀 h㘷 h㘷“甲队获得这轮比赛胜利”的概率为： ͵ ͵ 䗓 ͵ ͵ ͵ h 䗓 ͵ ͵ h 妀 妀h ．