第6讲 三角函数（解析版）-2021年广东省2月~3月各地级市一模数学分类汇编

第 6 讲 三角函数 一．选择题（共 8 小题） 1．（2021•新乡二模）将函数 f（x）＝sinx 图象上所有点的横坐标变为原来的 （ ω ＞0），纵坐标不变，得到 函数 g（x）的图象，若 g（x）的最小正周期为 6 π ，则 ω ＝（ ） A． B．6 C． D．3 【解析】解：将函数 f（x）＝sinx 图象上所有点的横坐标变为原来的 （ ω ＞0），纵坐标不变，得到函数 g（x）的图象， 即 g（x）＝sin ω x， 若 g（x）的最小正周期为 6 π ， 则 T 6 π ，得 ω ， 故选：A． 2．（2020•湖北模拟）若函数 f（x）＝2sin ω x 在区间 ， 上存在最小值﹣2，则非零实数 ω 的取值范围 是（ ） A．[3，+∞） B．（0，3] C． ， ， D． ， ， 【解析】解：当 ω ＞0 时，由 ， 得− ，题意知− 则 ω ≥3； 当 ω ＜0 时，由 ， 得 ，根据题意知 则 − ； ∴ ω ≥3 或 − ． 故选：D． 3．（2021•肇庆二模）已知角 α 的顶点与坐标原点 O 重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，它的终边与以 O 为 圆心的单位圆相交于 A 点．若 A 的横坐标为 ，则（ ） A．sin α B．cos2 − C．sin2 − D．tan2 α − 【解析】解：由三角函数的定义可知 cos α ，sin α ＝± ，故 A 错误； 则 cos2 α ＝2cos2 α ﹣1 − ，故 B 正确； sin2 α ＝2sin α cos α ＝± ，故 C 错误； tan2 α ㌳䁣 香 ± ．故 D 错误． 故选：B． 4．（2021•湛江校级模拟）已知直线 l 的倾斜角 α 满足方程 ㌳䁣 香 2，则直线 l 的斜率为（ ） A．− B． C． D．− 【解析】解：因为 ㌳䁣 香 2， 所以 ㌳䁣 香 香 tan 2， 所以 tan α ㌳䁣䁣 ㌳䁣䁣 ，即直线 l 的斜率为− ． 故选：A． 5．（2016•河北模拟）已知 θ （0， ），且 sin θ ﹣cos θ − ，则 香 香 等于（ ） A． B． C． D． 【解析】解：法 1：由 sin θ ﹣cos θ − ， ① ， 又 sin2 θ +cos2 θ ＝1 ② ，且 θ （0， ），联立 ①② 解得：sin θ ，cos θ ， ∴ 香 香 （sin θ +cos θ ） ． 故选：D． 法 2： θ （0， ），且 sin θ ﹣cos θ − ，可得 cos（ ） ，即：cos（ ） ， （ ， ）， 则 香 香 香 香 ㌳䁣 香 香 2sin（ ）＝2 − ． 故选：D． 6．（2021•梅州一模）已知直线 是函数 f（x） ㌳䁣 䁡䁡 ＜ 的图象的一条对称轴，为了得到 函数 y＝f（x）的图象，可把函数 y＝sin2x 的图象（ ） A．向左平行移动 个单位长度 B．向右平行移动 个单位长度 C．向左平行移动 个单位长度 D．向右平行移动 个单位长度 【解析】解：令 2x+ φ ＝k ， 由 x 是此方程的一个解，则 φ ＝k π ， 又| φ |＜ ， 所以 φ ， 即 y＝f（x）＝sin（2x ）＝sin[2（x ）]， 所以为了得到函数 y＝f（x）的图象，可把函数 y＝sin2x 的图象向左平移 个单位长度， 故选：C． 7．（2021•广东模拟）已知 α （﹣ ， ），则“2sin2 α ﹣3cos α ＝0”是“sin α ＝ ”的（ ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】解：由 2sin2 α ﹣3cos α ＝0，得 4sin α cos α ＝3cos α , ∵ α （﹣ ， ），∴cos α ≠0, ∴4sin α ＝3,则 sin α ,反之也成立， 故“2sin2 α ﹣3cos α ＝0”是“sin α ＝ ”的充要条件， 故选：A． 8．（2021•惠州模拟）若函数 f（x）＝Asin（2x+ φ ）（A＞0，0＜ φ ＜ ）的部分图象如图所示，则下列叙述 正确的是（ ） A．函数 f（x） 的图象可由 y＝Asin2x 的图象向左平移 个单位得到 B．函数 f（x）的图象关于直线 x 对称 C．（− ，0）是函数 f（x）图象的一个对称中心 D．函数 f（x）在区间[− ， ]上单调递增 【解析】解：由图可知，A＝2， ∵函数 f（x）经过点（ ，0），∴2sin（2× φ ）＝0， ∴ φ ＝k π ，k Z，即 φ ＝k π − ，k Z， ∵0＜ φ ＜ ，∴ φ ． ∴函数 f（x）＝2sin（2x ）． 函数 y＝2sin2x 的图象向左平移 个单位得到 y＝2sin2（x ）＝2sin（2x ）≠f（x），故 A 错误； 令 2x k π ，k Z，则 x ，k Z，不存在 k 使其对称轴为 x ，即 B 错误； 令 2x k π ，k Z，则 x − ，k Z， 当 k＝0 时，对称中心为（− ，0），即 C 正确； 令 2x [− 2k π ， 2k π ]，k Z， 则 x [− k π ， k π ]，k Z，当 k＝0 时，单调递增区间为[− ， ]，故 D 错误； 故选：C． 二．多选题（共 11 小题） 9．（2021•深圳一模）已知函数 香 − ㌳䁣 香 ，则（ ） A．f（x）的最大值为 3 B．f（x）的最小正周期为 πC．f（x）的图象关于直线 对称 D．f（x）在区间 ， 上单调递减 【解析】解：f（x）＝cos2x+2cosxsinx＝cos2x+sin2x （ sin2x cos2x） sin（2x ）， A：∵sin（2x ） [﹣1，1]， ∴f（x）的最大值为 ，∴A 不正确． B：f（x）的最小正周期为 T 䁡䁡 π ， ∴f（x）的最小正周期为 π ，∴B 正确． C：当 x 时，f（ ） sin（2× ） sin ， ∴f（x）的图象关于直线 x 对称，∴C 正确 D：当 x [− ， ]时，2x [− ， ]， ∴f（x）在区间[− ， ]上单调递增，∴D 不正确． 故选：BC． 10．（2021•肇庆二模）函数 f（x）＝Asin（ ω x+ φ ）（A＞0）的部分图象如图所示，则 f（x）＝（ ） A．2sin（2x ） B．2sin（2x− ） C．2cos（2x− ） D．2cos（x− ） 【解析】解：由函数 f（x）＝Asin（ ω x+ φ ）（A＞0）的部分图象知，A＝2， 设 f（x）的最小正周期为 T，则 T （− ） ，解得 T＝ π ，所以 ω 2， 将最低点的坐标（ ，﹣2）代入 f（x）＝2sin（2x+ φ ）中，得 2sin（2× φ ）＝﹣2， 所以 φ ＝2k π − ，k Z，解得 φ ＝2k π − ，k Z， 所以 f（x）＝2sin（2x+2k π − ），k＝0， 即 f（x）＝2sin（2x− ） ＝2sin（2x− ） ＝﹣2cos（2x− ） ＝2cos（2x− ）． 故选：BC． 11．（2021•广州一模）已知函数 f（x）＝sin2x+2cos2x，则（ ） A．f（x）的最大值为 3 B．f（x）的图像关于直线 x 对称 C．f（x）的图像关于点（− ，1）对称 D．f（x）在[− ， ]上单调递增 【解析】解：f（x）＝sin2x+2× 香 sin2x+cos2x+1 （ sin2x cos2x）+1 sin（2x ）+1， A：∵sin（2x ） [﹣1，1]，∴f（x） 的最大值为 1，∴A 不正确． B：当 x 时，f（ ） sin 1 1， ∴f（x）的图象关于直线 x 对称，∴B 正确． C：当 x − 时，f（− ） sin0+1＝1， ∴f（x）的图象关于点（− ，1）对称，∴C 正确． D：∵x [− ， ]，∴2x [− ， ]， ∴f（x）在区间[− ， ]上先增后减，∴D 不正确． 故选：BC． 12．（2021•湛江校级模拟）将函数 ሻ㌳䁣 − ሻ 的图象向左平移 个单位得到 g（x）的图象， 以下结论中正确的是（ ） A．g（x）最大值为 A B．g（x）有一条对称轴是 C．g（x）有一个对称中心是 ， D．g（x）是奇函数 【解析】解：当 A＜0 时，g（x）最大值为﹣A；故 A 错误， 将函数 ሻ㌳䁣 − ሻ 的图象向左平移 个单位，得到函数 ሻ㌳䁣 ሻ㌳䁣 ，则 g（x）是非奇非偶函数；故 D 错误， 因为 ሻ㌳䁣 ሻ㌳䁣 ሻ ，所以 是 g（x）的一条对称轴；故 B 正确， 因为 ሻ㌳䁣 ሻ㌳䁣 ，所以 ， 是 g（x）的一个对称中心．故 C 正确， 故选：BC． 13．（2021•福田区校级二模）将函数 f（x）＝sin2x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g（x）的图象，则 函数 g（x）具有性质（ ） A．在 ， 上单调递增，为偶函数 B．最大值为 1，图象关于直线 − 对称 C．在 ， 上单调递增，为奇函数 D．周期为 π ，图象关于点 ， 对称 【解析】解：将函数 f（x）＝sin2x 的图象向右平移 个单位后得到函数 g（x）的图象， 则 g（x）＝sin2（x− ）＝sin（2x− ）＝﹣cos2x， 则函数 g（x）为偶函数，当 0＜x＜ 时，0＜2x＜ ，此时 g（x）为增函数，故 A 正确， 函数的最大值为 1，当 − 时，g（x）＝﹣cos（﹣3 π ）＝﹣cos π ＝1，为最大值，则函数图象关于直 线 − 对称，故 B 正确， 函数为偶函数，故 C 错误， 函数的周期 T ，g（ ）＝﹣cos（ 2）＝﹣cos 0，即图象关于点 ， 对称，故 D 正 确 故正确的是 ABD， 故选：ABD． 14．（2021•珠海一模）已知函数 f（x）＝3|sinx|+4|cosx|，则（ ） A．﹣ π 是函数 f（x）的一个周期 B．直线 x （k Z）为函数 f（x）的对称轴方程 C．函数 f（x）的最大值是 5 D．f（x）＝4 在[0， π ]有三个解 【解析】解：函数 f（x）＝3|sinx|+4|cosx|， 对于选项 A，f（x﹣ π ）＝3|sin（x﹣ π ）|+4|cos（x﹣ π ）|＝3|﹣sinx|+4|﹣cosx|＝3|sinx|+4|cosx|＝f（x）， 所以﹣ π 是函数 f（x）的一个周期，故选项 A 正确； 对于选项 B，因为 f（﹣x）＝3|sin（﹣x）|+4|cos（﹣x）|＝3|sinx|+4|cosx|＝f（x）， 又 f（x）的周期为 π ，所以 f（x）＝f（x+k π ）＝f（k π ﹣x），即 f（x）＝f（k π ﹣x）， 故直线 x （k Z）为函数 f（x）的对称轴方程，故选项 B 正确； 对于选项 C，因为 f（x）的周期为 π ，不妨取一个周期[0, π ]进行分析， 则 f（x）＝3|sinx|+4|cosx| ㌳䁣 香Ͷ ㌳䁣 香Ͷ ＜ ， 当 时，f(x)＝3sinx+4cosx＝5sin(x+ θ )，其中 ㌳䁣䁣 ， 故当 x+ θ 时，f（x）取得最大值为 5， 当 ＜ 时，f（x）＝3sinx﹣4cosx＝5sin（x﹣ θ ），其中 ㌳䁣䁣 ， 故当 x+ θ 时，f（x）取得最大值为 5， 综上所述，函数 f（x）的最大值为 5，故选项 C 正确； 当 x＝0 时，f（x）＝3sin0+4cos0＝4， 当 x 时，f（x）＝3sin 4cos 3， 当 x＝ π 时，f（x）＝3sin π ﹣4cos π ＝4， 所以函数一个周期中有两个最大值 5，且关于直线 x 对称， 又 f（0）＝4，f（ ）＝3，f（ π ）＝4，作出图象如图所示， 所以 f（x）＝4 在[0， π ]有四个解，故选项 D 错误． 故选：ABC． 15．（2021•揭阳模拟）设函数 f（x）＝sin（2x+ φ ），已知 f（x）在（0，2 π ）上有且仅有 1 个极大值点，则 下列四个结论中正确的有（ ） A．f（x）在（0，2 π ）内有 5 个零点 B．f（x）在（0，2 π ）有 2 个极小值点 C．f（x）在（0， ）上单调递增 D． φ 可以取 【解析】解：∵函数 f（x）＝sin（2x+ φ ）的最小正周期为 ， 又函数 f（x）在（0，2 π ）上有且仅有 1 个极大值点， 所以函数 f（x）的图象如图所示， 所以函数 f（x）在（0.2 π ）内有 4 个零点，故选项 A 错误； f（x）在（0，2 π ）内有 2 个极小值点，故选项 B 正确； f（x）在 ， 上单调递减，故选项 C 错误； 由 f（0）＝sin φ ＝1，解得 ， ，故 φ 可以取 ，故选项 D 正确． 故选：BD． 16．（2021•韶关一模）如图所示，点 P 是函数 f（x） ㌳䁣 （x R， ω ＞0）图象的最高点，M、N 是图象与 x 轴的交点，若 ， ，且 0，则（ ） A． ， B． ω ＝1 C． ， D． 【解析】解：∵ , ∴ , ∴△PMN 是等腰直角三角形，PM＝PN, ∵ ㌳䁣 , ∴MN＝ π , ∴f(x)的周期为 2 π ，且 ω ＞0， ∴ ω ＝1， 又 − Ͷ ,∴ Ͷ Ͷ Ͷ , ． 故选：BC． 17．（2021•广东模拟）将函数 f（x）＝sin（ ω x+ ）（ ω N*）的图象向右平移 个单位后得到函数 y＝g（x） 的图象，若 f（x）的所有对称中心与 g（x）的所有对称中心重合，则 ω 可以为（ ） A．3 B．6 C．9 D．12 【解析】解：将函数 f（x）＝sin（ ω x+ ）（ ω N*）的图象向右平移 个单位后得到函数 y＝g（x）＝sin （ ω x− ）的图象， 若 f（x）的所有对称中心与 g（x）的所有对称中心重合， 故 f（x）的图象和 g（x）的图象相差半个周期的整数倍，即 g（x）＝±f（x）， ∴ k• • k• ，即 ω ＝6k，k N*， 则 ω 可等于 6，12， 故选：BD． 18．（2021•潮州一模）将函数 f（x）＝sin2x 的图象向左平移 个单位，得到函数 g（x）的图象，则（ ） A．函数 f（x）+g（x）的图象的一个对称中心为 ， B．函数 f（x）•g（x）是奇函数 C．函数 f（x）+g（x）在（0， π ）上的单调递减区间是 ， D．函数 f（x）•g（x）的图象的一个对称轴方程为 − 【解析】解：g（x）＝sin2（x ）＝cos2x， 选项 A，f（x）+g（x）＝sin2x+cos2x sin（2x ）， 令 2x k π ，k Z，则 x ，k Z， ∴函数 f（x）+g（x）的对称中心为（ ，0），k Z，不包含点 ， ，即选项 A 错误； 选项 B，f（x）•g（x）＝sin2x•cos2x sin4x，为奇函数，即选项 B 正确； 选项 C，令 2x [ 2k π ， 2k π ]，k Z，则 x [ k π ， k π ]，k Z， ∴函数 f（x）+g（x）的单调递减区间为[ k π ， k π ]，k Z， ∵x （0， π ）， ∴x [ ， ]，即选项 C 正确； 选项 D，令 4x k π ，k Z，则 x ，k Z， 当 k＝﹣1 时，函数 f（x）•g（x）的图象的一个对称轴方程为 − ，即选项 D 正确． 故选：BCD． 19．（2021•河源模拟）函数 f（x）＝Asin（ ω x+ φ ）（ ω ＞0，A＞0）的部分图象如图所示，则（ ） A． B． ሻ C． − D． − 【解析】解：由已知， ，所以 ，解得 ， 所以 ሻ㌳䁣 ． 又 f（8.5）＝f（0.5）＝0，所以 ሻ㌳䁣 ， 则 ，k Z，即 − ，k Z ① ． 又 ，即 ሻ㌳䁣 ，所以 ሻ香 ② ． 由 ①② 可得 ሻ ，所以 ㌳䁣 ． 故 ㌳䁣 ． 故选：ABD． 三．填空题（共 9 小题） 20．（2021•濠江区校级模拟）已知 ㌳䁣 香 ，则 香 − ． 【解析】解：∵ ㌳䁣 香 ，∴平方可得 1+2sinxcosx＝1+sin2x ， ∴sin2x − ， 则 香 sin2x − ， 故答案为：− ． 21．（2021•东莞市校级模拟）已知函数 f（x） 䁣 sin[（1﹣a）x]+cos[（1﹣a）x]的最大值为 2，则 f（x） 的最小正周期为 π【解析】解： 䁣㌳䁣 䁣 香 䁣 䁣 sin[（1﹣a）x 䁣 arctan1] 最大值为 2，就是 䁣 2，得 a＝3 所以最小正周期是 T 䁡䁣䁡 π故答案为 π22．（2021•珠海一模）△ABC 中，内角 A，B，C 对的边长分别为 a，b，c，且满足 2cosBcosC（tanB+tanC） ＝cosBtanB+cosCtanC，则 cosA 的最小值是 ． 【解析】解：2cosBcosC（tanB+tanC）＝2cosBcosC（ ㌳䁣⸹ 香⸹ ㌳䁣⸱ 香⸱ ）， ＝2sinBcosC+2sinCcosB＝2sin（B+C）＝2sinA， cosBtanB+cosCtanC＝sinB+sinC， 所以 sinB+sinC＝2sinA， 由正弦定理得，b+c＝2a， 由余弦定理得，cosA 䁣 ， 当且仅当 b＝c＝a 时取等号，此时 A ． 故答案为： ． 23．（2021•揭阳模拟）已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足 a＝2，a2＝2b2+c2， 则△ABC 的面积的最大值为 ． 【解析】解：因为 a2＝2b2+c2， 由余弦定理可得 b²+c²﹣2bccosA＝2b2+c2， 化简得 cosA − ， 则 sinA ， 则△ABC 的面积 S bcsinA 䁣 ， 当且仅当 3b 时等号成立， 故△ABC 的面积的最大值为 ． 故答案为： ． 24．（2017•新课标Ⅰ）已知 α （0， ），tan α ＝2，则 cos（ α − ）＝ ． 【解析】解：∵ α （0， ），tan α ＝2， ∴sin α ＝2cos α ， ∵sin2 α +cos2 α ＝1， 解得 sin α ，cos α ， ∴cos（ α − ）＝cos α cos sin α sin ， 故答案为： 25．（2021•梅州一模）《九章算术》中《方田》章有弧田面积计算问题，术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之， 二而一．其大意是弧田面积计算公式为：弧田面积 （弦×矢+矢×矢）．弧田是由圆弧（弧田弧）和以 圆弧的端点为端点的线段（弧田弦）围成的平面图形，公式中的“弦”指的是弧田弦的长，“矢”指的是 弧田所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弧田弦 AB 等于 6 米，其弧田弧所在圆 为圆 O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为 平方米，则 sin∠AOB＝ ． 【解析】解：如图，由题意可得 AB＝6，弧田的面积 (弦×矢+矢 2) 平方米，解得矢＝1 或矢＝ ﹣7（舍）， 设半径为 r，圆心到弧田弦的距离为 d，则有 − ，解得 d＝4，r＝5， 所以 cos∠AOD ， 所以 cos∠AOB＝2cos2∠AOD﹣1 , 所以 sin∠AOB 香 ሻᦙ⸹ ． 故答案为： ． 26．（2021•清新区校级模拟）如图，现有一个∠AOB 为圆心角、湖岸 OA 与 OB 为半径的扇形湖面 AOB．现 欲在弧 AB 上取不同于 A，B 的点 C，用渔网沿着弧 ሻ⸱ （弧 ሻ⸱ 在扇形 AOB 的弧 AB 上）、半径 OC 和线段 CD（其中 CD∥OA），在扇形湖面内各处连个养殖区域﹣﹣养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若 OA＝1cm， ∠ ሻᦙ⸹ ，∠AOC＝ θ ．求所需渔网长度（即图中弧 ሻ⸱ 、半径 OC 和线段 CD 长度之和）的最大值为 ． 【解析】解：由 CD∥OA，∠AOB ，∠AOC＝ θ ，得∠OCD＝ θ ，∠ODC ，∠COD θ ． 在△OCD 中，由正弦定理，得 CD sin（ θ ）， θ （0， ），…（6 分） 设渔网的长度为 f（ θ ）． 可得，f（ θ ）＝ θ +1 sin（ θ ），…（8 分） 所以 f′（ θ ）＝1− cos（ θ ），因为 θ （0， ），所以 θ （0， ）， 令 f′（ θ ）＝0，得 cos（ θ ） ，所以 θ ，所以 θ ． θ （0， ） （ ， ） f′（ θ ） + 0 ﹣ f（ θ ） 极大值 所以 f（ θ ） （2， ]． 故所需渔网长度的最大值为 （14 分） 27．（2021•惠州模拟）已知 cos（ α ） ，则 cos（ α ）＝ − ． 【解析】解：∵cos（ α ） ， ∴cos（ α ）＝cos[ π ﹣（ α ）]＝﹣cos（ α ） − ． 故答案为：− 28．（2021•河源模拟）已知角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，将角 α 的终边绕原点逆时针 旋转 后与单位圆 x2+y2＝1 交于点 ， ，则 sin2 α ＝ − ． 【解析】解：由题意设 ，sin ，cos ， 则 − ， sin α ＝sin（ − ）＝sin β cos cos β sin ， cos α ＝cos（ − ）＝cos β cos sin β sin ． ∴sin2 α ＝2sin α cos α ＝2× − − ． 故答案为：− ． 四．解答题（共 18 小题） 29．（2021•湛江一模）如图，在平面四边形 ABCD 中，AD⊥CD，∠BAD ，2AB＝BD＝4． （1）求 cos∠ADB； （2）若 BC ，求 CD ． 【解析】解：（1）△ABD 中，由余弦定理得，cos∠DAB ሻሻ⸹⸹ ሻሻ⸹ ， cos∠ADB ሻ⸹ሻ⸹ ሻ⸹ ， 因为∠BAD ，AB＝2，BD＝4， 故 AD ，cos∠ADB ， （2）由（1）得 sin∠ADB ， 因为 AD⊥CD，即∠ADC＝90°， 所以 cos∠ADC＝cos（∠ADB+∠BDC）＝0， 解得，cos∠BDC ， 根据余弦定理得，cos∠BDC ⸹ ⸱⸹⸱ ⸹⸱ ， 所以 ⸱ ⸱ ， 故 CD＝3 或 CD − （舍）， 故 CD＝3 ． 30．（2021•濠江区校级模拟）在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边， ㌳䁣⸹ 香⸹ ㌳䁣ሻ 香ሻ ． （1）若 ㌳䁣䁣ሻ ，求 香⸹ ㌳䁣⸹ 的值； （2）若 b＝2，求△ABC 的面积的最大值． 【解析】解：（1）在△ABC 中， ㌳䁣䁣ሻ ＞ ，∴ ＜ ሻ ＜ ， ∴ ㌳䁣ሻ 香ሻ ，4sinA＝3cosA，∴16sin2A＝9（1﹣sin2A）， ∴ ㌳䁣ሻ ， 香ሻ ， ∴由已知得 ㌳䁣⸹ 香⸹ ㌳䁣ሻ 香ሻ ， ∴ 香⸹ ㌳䁣⸹ 香⸹香⸹ ㌳䁣⸹香⸹ 香 ⸹ ㌳䁣⸹香⸹ ㌳䁣⸹ 香⸹ ； （2）在△ABC 中，A+B＝ π ﹣C′， 原等式变为（2﹣cosA）×sinB＝sinA（1+cosB）， ∴2sinB﹣cosAsinB＝sinA+cosBsinA， ∴2sinB＝sinA+sinAcosB+cosAsinB， ∴2sinB＝sinA+sin（A+B）＝sinA+sinC， 由正弦定理 䁣 ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸹ ㌳䁣⸱ ，得 2b＝a+c，∵b＝2， ∴a+c＝4＞2， ∴△ABC 中的 B 点在以点 A，C 为焦点的椭圆上变动（去掉椭圆的左右顶点）， 三角形底长 AC＝2，当 B 在椭圆短轴顶点时，高最大，这时面积最大， 椭圆中 䁣 ，c'＝1， 䁣 ， ∴S△ABC 最大值为 ． 31．（2021•深圳一模）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 A 为锐角，sinB﹣cosC 䁣 䁣 ． （1）求 A； （2）若 b c，且 BC 边上的高为 2 ，求△ABC 的面积． 【解析】解：（1）因为 sinB﹣cosC 䁣 䁣 ， 所以 2absinB＝c2﹣a2+2abcosC， 由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcosC， 所以 2absinB＝b2， 即 2asinB＝b， 由正弦定理得， 䁣 ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸹ ， 所以 2sinAsinB＝sinB， 因为 sinB＞0， 故 sinA ， 由 A 为锐角，A ， （2）由题意得，S 䁣 ㌳䁣ሻ ， 所以 bc＝4 䁣 ， 因为 b c， 所以 c2＝16a，b2 3a， 由余弦定理得，cosA 䁣 䁣䁣䁣 䁣 䁣 ， 解得 a＝7， 所以 S 䁣 7 ． 32．（2021•东莞市校级模拟）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a＝2b，又 sinA，sinC， sinB 成等差数列． （Ⅰ）求 cos（B+C）的值； （Ⅱ）若 S△ABC ，求 c 的值． 【解析】解：（Ⅰ）△ABC 中，sinA，sinC，sinB 成等差数列， ∴sinA+sinB＝2sinC， 由正弦定理得 a+b＝2c， 又 a＝2b，可得 b c， ∴cosA 䁣 ， ∵A+B+C＝ π ， ∴B+C＝ π ﹣A， ∴cos（B+C）＝cos（ π ﹣A）＝﹣cosA ； （Ⅱ）△ABC 中，由 cosA − ， 得 sinA 香 ሻ ， ∴S△ABC bcsinA c2× c2， ∴ c2 ， 解得 c＝4 ． 33．（2021•肇庆二模）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 a（sinA﹣sinB）+bsinB＝csinC． （1）求角 C； （2）若 c＝3，a+b＝6，求△ABC 的面积． 【解析】解：（1）由正弦定理知， 䁣 ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸹ ㌳䁣⸱ ， ∵a（sinA﹣sinB）+bsinB＝csinC， ∴a（a﹣b）+b2＝c2，即 a2+b2﹣c2＝ab， 由余弦定理知，cosC 䁣 䁣 䁣 䁣 ， ∵C （0， π ）， ∴C ． （2）由（1）知，a2+b2﹣c2＝ab，即（a+b）2﹣2ab﹣c2＝ab， ∵c＝3，a+b＝6， ∴36﹣9＝3ab，解得 ab＝9， ∴a＝b＝3， ∴△ABC 的面积 S absinC 3×3×sin ． 34．（2021•广州一模）已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 b＝3，cos2B＝cos（A+C）， asinA+csinC＝6sinB． （1）求 B； （2）求△ABC 的周长． 【解析】解：（1）因为 cos2B＝cos（A+C）， 所以 2cos2B﹣1＝﹣cosB， 解得，cosB 或 cosB＝﹣1（舍）， 由 B 为三角形内角得 B ， （2）因为 asinA+csinC＝6sinB， 由正弦定理得，a2+c2＝6b＝18， 因为 cosB 䁣 䁣 䁣 ， 故 ac＝9， 所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝18+18＝36， 故 a+c＝6， 所以△ABC 的周长 a+b+c＝9． 35．（2021•湛江校级模拟）在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．已知 香ሻ香⸱ 香⸹ 䁣 ． （Ⅰ）求 ㌳䁣⸱ ㌳䁣ሻ 的值； （Ⅱ）若 B 为钝角，b＝10，求 a 的取值范围． 【解析】（本小题满分 14 分） 解：（I）由正弦定理，设 䁣 ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸹ ㌳䁣⸱ ， 则 䁣 ㌳䁣⸱㌳䁣ሻ ㌳䁣⸹ ㌳䁣⸱㌳䁣ሻ ㌳䁣⸹ ， 所以 香ሻ香⸱ 香⸹ ㌳䁣⸱㌳䁣ሻ ㌳䁣⸹ ．…（4 分） 即（cosA﹣3cosC）sinB＝（3sinC﹣sinA）cosB， 化简可得 sin（A+B）＝3sin（B+C）．…（6 分） 又 A+B+C＝ π ， 所以 sinC＝3sinA 因此 ㌳䁣⸱ ㌳䁣ሻ ．…（8 分） （II）由 ㌳䁣⸱ ㌳䁣ሻ 得 c＝3a．…（9 分） 由题意 䁣 ＞ 䁣 ＜ ，…（12 分） ∴ ＜ 䁣 ＜ （14 分） 36．（2020•朝阳区一模）在△ABC 中， ㌳䁣ሻ 䁣香⸹ − ． （Ⅰ）求 B； （Ⅱ）若 c＝5，____，求 a． 从 ① b＝7， ②⸱ 这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答． 【解析】解：（Ⅰ）在△ABC 中，由正弦定理得 䁣 ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸹ ，得 bsinA＝asinB， 又 bsinA＝acos（B− ）． ∴asinB＝acos（B− ），即 sinB＝cos（B− ）＝cosBcos sinBsin cosB sinB， ∴tanB ， 又 B （0， π ）， ∴B ． （Ⅱ）若选 ① b＝7，则在△ABC 中，由余弦定理 b2＝a2+c2﹣2accosB，可得 a2﹣5a﹣24＝0，解得 a＝8， 或 a＝﹣3（舍去），可得 a＝8． 若选 ②⸱ ，则 sinA＝sin（B+C）＝sin cos cos sin ， 由正弦定理 䁣 ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸱ ，可得 䁣 ，解得 a ． 37．（2021•珠海一模）已知函数 f（x）＝4sin（ π ﹣x）cos（x− ）− ． （1）求 f（x）的对称中心坐标： （2）若 f（x）﹣3m+2≤0 有解，求 m 的最小值． 【解析】解：因为 f（x）＝4sin（ π ﹣x）cos（x− ）− ， ＝4sinx（ 香 ㌳䁣 ）− ， ＝2sinxcosx+2 sin2x− ， ＝sin2x− cos2x， ＝2sin（2x− ）， （1）令 2x− k π 得 x ，k Z， 故函数 f（x）的对称中心（ ，0），k Z； （2）因为 f（x）﹣3m+2≤0 有解， 所以 3m﹣2≥f（x）有解，即 3m﹣2≥f（x）min， 所以 3m﹣2≥﹣2， 故 m≥0，即 m 的最小值 0． 38．（2021•揭阳模拟）在 ① sinC+ cosC＝2， ② C＝2A， ③ b＝2a 这三个条件中任选一个，补充在下面问 题中，若问题中的三角形存在，求 a 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由． 问题：是否存在△ABC，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且（3c﹣2b）cosA＝2acosB，c＝1， _____？ 【解析】解：由（3c﹣2b）cosA＝2acosB，结合正弦定理可得（3sinC﹣2sinB）cosA＝2sinAcosB， 所以 3sinCcosA＝2sinAcosB+2cosAsinB＝2sin（A+B）＝2sinC， 因为 sinC≠0，所以 cosA ，所以 sinA ． 若选择条件 ① sinC+ cosC＝2， 则 2sin（C ）＝2，所以 sin（C ）＝1， 因为 C （0， π ），所以 C ，所以 C ， 由正弦定理 䁣 ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸱ ，得 a ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸱ ． 若选择条件 ② C＝2A， 则 sinC＝sin2A＝2sinAcosA ， 由正弦定理 䁣 ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸱ ，得 a ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸱ ． 若选择条件 ③ b＝2a， 由余弦定理 a²＝b²+c²﹣2bccosA， 得 3a²− a+1＝0，记 9a²﹣8a+3＝0， 所以△＝8²﹣4×9×3＝﹣44＜0， 所以三角形不存在． 39．（2021•梅州一模）在 ①香⸹ − ㌳䁣⸹ ， ② 2bcosC＝2a﹣c， ③ 䁣 香⸹ ㌳䁣ሻ 三个条件中任选 一个，补充在下面问题中，并加以解答． 已知△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 ____，且 a，b，c 成等差数列，则△ABC 是 否为等边三角形？若是，写出证明；若不是，说明理由． 【解析】解：选 ①∵cos2B＝1﹣2sin2B， ∴ ㌳䁣 ⸹ ㌳䁣⸹ ， 即 ㌳䁣⸹ − ㌳䁣⸹ ，解得 ㌳䁣⸹ − （舍去）或 ㌳䁣⸹ ． ∵0＜B＜ π ，∴ ⸹ 或 ， 又∵a，b，c 成等差数列，∴2b＝a+c，∴b 不是三角形中最大的边， 即 ⸹ ， 由 b2＝a2+c2﹣2accosB，得 a2+c2﹣2ac＝0，即 a＝c， 故△ABC 是等边三角形． 选 ②由正弦定理可得 2sinBcosC＝2sinA﹣sinC， 故 2sinBcosC＝2sin（B+C）﹣sinC， 整理得 2cosBsinC﹣sinC＝0． ∵0＜C＜ π ，∴sinC＞0，即 香⸹ ． ∵0＜B＜ π ，∴ ⸹ ， 又∵a，b，c 成等差数列，∴2b＝a+c， 由余弦定理 b2＝a2+c2﹣2accosB，可得 a2+c2﹣2ac＝0，即 a＝c， 故△ABC 是等边三角形． 选 ③由正弦定理得 ㌳䁣⸹ ㌳䁣ሻ 香⸹ ㌳䁣ሻ ， ∵sinA≠0，∴ ㌳䁣⸹ 香⸹ ， 即 ㌳䁣⸹ ， ∵0＜B＜ π ，∴− ＜ ⸹ ＜ ， 即 ⸹ − ，可得 ⸹ ， 由余弦定理即 b2＝a2+c2﹣2accosB，可得 a2+c2﹣2ac＝0，可得 a＝c， 故△ABC 是等边三角形． 故答案为： ① ． 40．（2021•韶关一模）在 ① cosC+（cosA− sinA）cosB＝0， ② cos2B﹣3cos（A+C）＝1， ③ bcosC csinB ＝a 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中． 问题：在△ABC 中，角 A，B，C 对应的边分别为 a，b，c，若 a+c＝1，_____，求角 B 的值和 b 的最小 值． 【解析】解：选择条件 ① cosC+（cosA− sinA）cosB＝0， 可得﹣cos（A+B）+cosAcosB− sinAcosB＝0， 即﹣cosAcosB+sinAsinB+cosAcosB− sinAcosB＝0， 即 sinAsinB− sinAcosB＝0， 因为 sinA≠0，所以 sinB− cosB＝0， 所以 tanB ，因为 B （0， π ）， 所以 B ， 由余弦定理 b²＝a²+c²﹣2accosB＝a²+c²﹣ac＝（a+c）²﹣ac＝1﹣3ac， 因为 ac 䁣 ，当且仅当 a＝c 时等号成立， 所以 b²＝1﹣3ac≥1− ,所以 b ， 即 b 的最小值为 ． 选择条件 ② cos2B﹣3cos（A+C）＝1， 可得 2cos²B﹣1+3cosB＝1，即 2cos²B+3cosB﹣2＝0， 解得 cosB 或 cosB＝﹣2（舍）， 因为 B （0， π ）， 所以 B ， 由余弦定理 b²＝a²+c²﹣2accosB＝a²+c²﹣ac＝（a+c）²﹣ac＝1﹣3ac， 因为 ac 䁣 ，当且仅当 a＝c 时等号成立， 所以 b²＝1﹣3ac≥1− ,所以 b ， 即 b 的最小值为 ． 选择条件 ③ bcosC csinB＝a， 由正弦定理可得 sinBcosC sinCsinB＝sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC， 即 sinCsinB＝cosBsinC，因为 sinC≠0， 所以 sinB＝cosB，即 tanB ， 因为 B （0， π ）， 所以 B ， 由余弦定理 b²＝a²+c²﹣2accosB＝a²+c²﹣ac＝（a+c）²﹣ac＝1﹣3ac， 因为 ac 䁣 ，当且仅当 a＝c 时等号成立， 所以 b²＝1﹣3ac≥1− ,所以 b ， 即 b 的最小值为 ． 41．（2021•清新区校级模拟）在 ① 2ccosC﹣acosB﹣bcosA＝0， ②䁣 香⸹ − ㌳䁣⸱ ， ③ （a+b）2＝ab+c2 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，求 䁣 ，并判断△ABC 的形状，请说明理由． 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a+c＝2b，____，求 䁣 的值并判断△ABC 的形 状，请说明理由． 【解析】解：若选 ① ，因为 2ccosC﹣acosB﹣bcosA＝0， 由正弦定理可得 2sinCcosC＝sinAcosB+sinBcosA＝sin（A+B）＝sinC， 因为 sinC≠0， 可得 cosC ， 因为 C （0， π ），可得 C ， 由余弦定理可得 c2＝a2+b2﹣ab， 又 a+c＝2b，可得 c2＝（2b﹣a）2＝4b2+a2﹣4ab，可得：a2+b2﹣ab＝4b2+a2﹣4ab，解得 a＝b，即 䁣 1， 所以 A＝B＝C ，△ABC 为等边三角形． 若选 ② ，因为 䁣 香⸹ − ㌳䁣⸱ ， 由正弦定理可得 sinA＝sinCcosB− sinBsinC， 又 sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+cosBsinC， 所以 sinBcosC − sinBsinC， 因为 sinB≠0， 所以 cosC − sinC，即 tanC − ， 因为 C （0， π ），可得 C ， 由余弦定理可得 c2＝a2+b2+ab， 又 a+c＝2b，可得 c2＝（2b﹣a）2＝4b2+a2﹣4ab，可得：a2+b2+ab＝4b2+a2﹣4ab，解得 䁣 ， 所以 a ，c ，可得△ABC 为钝角三角形． 若选 ③ ，因为（a+b）2＝ab+c2，整理可得 a2+b2﹣c2＝﹣ab， 由余弦定理可得 cosC 䁣 䁣 䁣 䁣 ， 因为 C （0， π ），可得 C ， 由余弦定理可得 c2＝a2+b2+ab， 又 a+c＝2b，可得 c2＝（2b﹣a）2＝4b2+a2﹣4ab，可得：a2+b2+ab＝4b2+a2﹣4ab，解得 䁣 ， 所以 a ，c ，可得△ABC 为钝角三角形． 42．（2021•广东模拟）在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，b＝4，（a﹣c）sinA＝（b﹣c）（sinB+sinC）． （1）求角 B； （2）求△ABC 周长的最大值． 【解析】解：（1）由正弦定理知， 䁣 ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸹ ㌳䁣⸱ ， ∵（a﹣c）sinA＝（b﹣c）（sinB+sinC）， ∴（a﹣c）a＝（b﹣c）（b+c），整理得 a2+c2﹣b2＝ac， 由余弦定理知，cosB 䁣 䁣 䁣 䁣 ， ∵B （0， π ），∴B ． （2）由（1）知，B ， ∴A+C ， 由正弦定理知， 䁣 ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸱ ㌳䁣⸹ ㌳䁣 ， ∴a sinA，c sinC， ∴a+c （sinA+sinC） [sinA+sin（ A）] （sinA cosA sinA） （ sinA cosA） sin（A ）＝8sin（A ）， ∵A （0， ），∴A （ ， ）， 当 A ，即 A 时，a+c 取得最大值，为 8， ∴a+b+c≤8+4＝12， 故△ABC 周长的最大值为 12． 43．（2021•广东模拟）在递增的等比数列{an}中，a2a5＝32，a3+a4＝12． （1）求{an}的通项公式； （2）若 bn＝（﹣1）nan+1，求数列{bn}的前 n 项和 Sn． 【解析】解：（1）由题设可得： 䁣䁣 䁣䁣 䁣 䁣 䁣 ＜ 䁣 ，解得：a3＝4，a4＝8， ∴公比 q 䁣 䁣 2， ∴an＝a3qn﹣3＝4×2n﹣3＝2n﹣1； （2）由（1）可得：bn＝（﹣1）n•2n＝（﹣2）n， ∴Sn 䁣 䁣 ． 44．（2021•惠州模拟）在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，已知 c ，△ABC 的面积为 ， 又 tanA+tanB （tanAtanB﹣1）． （Ⅰ）求角 C 的大小； （Ⅱ）求 a+b 的值． 【解析】解：（I）∵tanA+tanB （tanAtanB﹣1）， ∴tan（A+B） ㌳䁣䁣ሻ㌳䁣䁣⸹ ㌳䁣䁣ሻ㌳䁣䁣⸹ ， ∴A+B ，从而 C ． （7 分） （II）由 S△ABC 䁣㌳䁣⸱ ，C 得 ab＝6， 又 cosC 䁣 䁣 ，c ， ∴a+b ．（14 分） 45．（2021•潮州一模）△ABC 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c．已知 a＝4， ，面积 䁣香⸹ ． （Ⅰ）求 sinA 的值； （Ⅱ）点 D 在线段 AB 上，满足 ⸹ ሻ ，求线段 CD 的长． 【解析】解：（Ⅰ）因为 S acosB acsinB， 所以 tanB ， 因为 B 为三角形内角，所以 B ， 由正弦定理得， ㌳䁣ሻ ，所以 sinA ． （Ⅱ）因为 a＝4， ，B ， 由余弦定理 b2＝a2+c2﹣2accosB，可得 28＝16+c2﹣2×4×c× ，即 c2﹣4c﹣12＝0，解得 c＝6 或 c＝﹣ 2（舍去）， 因为 ⸹ ሻ ，可得 BD＝2， 所以在△BDC 中，由余弦定理可得 CD ⸹ 䁣 ⸹ 䁣 香⸹ 2 ． 46．（2015•湖南）设△ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，a＝btanA，且 B 为钝角． （Ⅰ）证明：B﹣A ； （Ⅱ）求 sinA+sinC 的取值范围． 【解析】解：（Ⅰ）由 a＝btanA 和正弦定理可得 ㌳䁣ሻ 香ሻ 䁣 ㌳䁣ሻ ㌳䁣⸹ ， ∴sinB＝cosA，即 sinB＝sin（ A） 又 B 为钝角，∴ A （ ， π ）， ∴B A，∴B﹣A ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知 C＝ π ﹣（A+B）＝ π ﹣（A A） 2A＞0， ∴A （0， ），∴sinA+sinC＝sinA+sin（ 2A） ＝sinA+cos2A＝sinA+1﹣2sin2A ＝﹣2（sinA− ）2 ， ∵A （0， ），∴0＜sinA＜ ， ∴由二次函数可知 ＜ 2（sinA− ）2 ∴sinA+sinC 的取值范围为（ ， ]