第5讲 平面向量（解析版）-2021年广东省2月~3月各地级市一模数学分类汇编

第 5 讲 平面向量 一．选择题（共 7 小题） 1．（2021•深圳一模）骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，如图是某一 自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A（前轮），圆 D（后轮）的半径均为 ，△ABE，△BEC，△ ECD 均是边长为 4 的等边三角形．设点 P 为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中， 的最大 值为（ ） A．18 B．24 C．36 D．48 【解析】解：据题意：圆 D（后轮）的半径均为 ，△ABE，△BEC，△ECD 均是边长为 4 的等边三角 形．点 P 为后轮上的一点，如图建立平面直角坐标系： 则 A（﹣8，0），B（﹣6， ），C（﹣2， ）． 圆 D 的方程为 x2+y2＝3，可设 P（ ⸸㜸 ， 㜸⸳㜵 ）， 所以 香䁞 ， ， 香 ⸸㜸 䁞 ， 㜸⸳㜵 ． 故 䁞㜸⸳㜵 䁞 ⸸㜸 香 㜸⸳㜵 ⸸㜸 ＝12sin（ ）+24≤12+24＝36． 故选：C． 2．（2020•重庆模拟）在△ABC 中，AC⊥AB，AB＝3，AC＝1，点 P 是△ABC 所在平面内一点， ， 且满足| |＝2，若 ，则 3x+y 的最小值是（ ） A． B． C．1 D． − 【解析】解：△ABC 中，AC⊥AB，AB＝3，AC＝1，点 P 是△ABC 所在平面内一点，以点 A 为原点，以 AB 为 x 轴，以 AC 为 y 轴，建立平面直角坐标系． 如图所示： 所以 香 ， ， 香 ， ， 所以 （1，2）， 由于满足| |＝2， 所以设 M（m，n）满足（m﹣1）2+（n﹣2）2＝4，整理得： ⸸㜸 㜵 㜸⸳㜵 ， 故 香 ⸸㜸 ， 㜸⸳㜵 香 ， 香 ， （3x，y）， 所以 3x＝1+2cos θ ，y＝2+2sin θ ， 所以 3x+y＝3+2cos θ +2sin θ ＝3 㜸⸳㜵香 ． 当 sin（ θ + α ）＝﹣1 时，3x+y 的最小值是 3﹣2 ． 故选：D． 3．（2021•揭阳模拟）在矩形 ABCD 中，AB＝4，AD＝3，M，N 分别是 AB，AD 上的动点，且满足 2AM+AN ＝1，设 x y ，则 2x+3y 的最小值为（ ） A．48 B．49 C．50 D．51 【解析】解：如图，建立平面直角坐标系，则： A(0,0),B(4,0),C(4,3),D(0,3), 设 M(m,0),N(0,n),∵2AM+AN＝1,∴2m+n＝1,( ＜ ＜ ＜ 㜵 ＜ ), ∵ ,∴(4,3)＝(xm,yn), ∴ 㜵 , ∴ 㜵 香 㜵 香 㜵 ݊ 㜵 㜵 ݊ 㜵 㜵 ݊ ,当且仅当 㜵 㜵 ,即 , 㜵 时取等号， ∴2x+3y 的最小值为：49． 故选：B． 4．（2021•梅州一模）若向量 ， 满足| |＝1， 香 ， 香 ，则| |＝（ ） A． B． C．2 D．1 【解析】解：∵向量 ， 满足| |＝1， 香 ，∴（ ）• • 0，∴ • 1． ∵ 香 ，∴2 0，∴ 2，则| | ， 故选：A． 5．（2021•韶关一模）△ABC 中，点 M 为 AC 上的点，且 ，若 λ μ ，则 λ ﹣ μ 的值是（ ） A．1 B． C． D． 【解析】解： ， 所以 ， 所以 香 ， 若 λ μ ， 则 λ ， μ ， λ ﹣ μ ． 故选：C． 6．（2021•惠州模拟）已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 BC 的中点，则 （ ） A．﹣2 B．0 C． D．2 【解析】解：∵已知正方形 ABCD 的边长为 2，E 为 CB 的中点，则 ⋅ 0， 故 ⋅ （ ）•（ ）＝（ ）•（ ） ⋅ 4 ﹣0﹣4＝﹣2， 故选：A． 7．（2021•河源模拟）已知 P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的一点，则 的取值范围是（ ） A．[2，6] B．[2，4] C．（2，4） D．（0，4） 【解析】解：由题意，如图：P 是边长为 2 的正三角形 ABC 的边 BC 上的一点，过 P 作 PD⊥AB 于 D， ∈ [1，2] 则 cos∠PAB＝| || | ∈ [2，4]． 故选：B ． 二．多选题（共 2 小题） 8．（2021•东莞市校级模拟）对于任意的平面向量 ， ， ，下列说法错误的是（ ） A．若 ∥ 且 ∥ ，则 ∥ B．（ ）• • • C．若 • • ，且 0，则 D．（ • ）• •（ • ） 【解析】解： ∥ 且 ∥ ，当 为零向量时，则 与 不一定共线，即 A 错误， 由向量乘法的分配律可得：（ ）• • • ，即 B 正确， 因为 • • ，则 （ ）＝0，又 0，则 或 ⊥（ ），即 C 错误， 取 ， ， 为非零向量，且 与 垂直， 与 不垂直，则 香 ， 香 ，即 D 错误， 故选：ACD． 9．（2021•珠海一模）△ABC 中，D 为 AC 上一点且满足 ，若 P 为 BD 上一点，且满足 λ μ ， λ ， μ 为正实数，则下列结论正确的是（ ） A． λμ 的最小值为 16 B． λμ 的最大值为 䁞C． λ 的最大值为 16 D． λ 的最小值为 4 【解析】解：因为 D 为 AC 上一点且满足 ， 所以 ，因为 λ μ ，则 λ ， 又 P 为 BD 上一点，所以 B，P，D 三点共线，则有 λ +4 μ ＝1， 由基本不等式可得， λ λ λ ，解得 λ 䁞 ，当且仅当 λ 时取等号， 故 λμ 的最大值为 䁞 ，故选项 A 错误，选项 B 正确； 由公式可得， λ 香 λ ，当且仅当 λ 时取等号， 故 λ 的最小值为 4，故选项 C 错误，选项 D 正确． 故选：BD． 三．填空题（共 6 小题） 10．（2021•湛江一模）若向量 ， 满足| |＝4，| |＝2 ，（ ）• 8，则 ， 的夹角为 ，| | ＝ 2 ． 【解析】解：因为| |＝4，| |＝2 ， 所以（ ）• 䁞 8， 故 ，所以 cos＜ ， ＞ ， 因为＜ ， ＞ ∈ ， ，故＜ ， ＞ ． 而 香 香 ． 故答案为： ， ． 11．（2021•肇庆二模）写出一个与向量 （2，1）共线的向量： （4，2） ． 【解析】解：与向量 （2，1）共线的向量可以表示为 λ λ （2，1）＝（2 λ ， λ ）， λ∈ R， λ ＝2 时， λ （4，2）． 故答案为：（4，2）．（答案不唯一，写出其中一个即可）． 12．（2021•广州一模）设向量 （1，m）， （2，1），且 •（2 ）＝7，则 m＝ ﹣1 ． 【解析】解：∵向量 （1，m）， （2，1）．m 实数， ∴2 （4，2m+1）， ∵ •（2 ）＝7， ∴ •（2 ）＝8+2m+1＝7， 解得 m＝﹣1． 故答案为：﹣1． 13．（2018•大同二模）设 m ∈ R，向量 （m+1，3）， （2，﹣m），且 ⊥ ，则|2 |＝ 4 ݊ ． 【解析】解：∵m ∈ R，向量 （m+1，3）， （2，﹣m），且 ⊥ ， ∴ 2m+2﹣3m＝0， 解得 m＝2， ∴ （6，6）﹣（2，﹣2）＝（4，8）， ∴|2 | 䁞 䁞 4 ݊ ． 故答案为：4 ݊ ． 14．（2021•广东模拟）已知向量 （1，2），向量 与向量 共线，且 • 15，则| |＝ 3 ݊ ． 【解析】解：因为向量 （1，2），向量 与向量 共线， 所以设 λ （ λ ，2 λ ）， 又 • 15， 所以 λ +4 λ ＝15，所以 λ ＝3， 所以 （3，6）， 所以| | 䁞 3 ݊ ． 故答案为：3 ݊ ． 15．（2021•广东模拟）已知向量 ， 的夹角为 30°，| |＝2，| | ，则| 2 |＝ 2 ． 【解析】解：因为向量 ， 的夹角为 30°，| |＝2，| | ， 所以（ ）2 4 4 22+4× × ⸸㜸 4× 香 28， 所以| |＝2 ． 故答案为：2 ．