大题专练二（数列）-2021届高三数学二轮复习跟踪练习 含答案

大题专练二数列跟踪练习 一、解答题 1．设数列 na 满足 1 23 (2 1) 2na a n a n    . （1）求 na 的通项公式； （2）求数列 2 1 na n     的前 n 项和． 2．等比数列 na 的各项均为正数，且 2 1 2 3 2 62 3 1, 9a a a a a   . （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列 1 nb       的前 n 项和 nT . 3．已知数列{ }na 满足 2 1 2( ) *, 1, 2n na qa q q n N a a     为实数，且 1 ， ，且 2 3 3 4 4 5, ,a a a a a a+ + + 成等差数列. （Ⅰ）求 q的值和{ }na 的通项公式； （Ⅱ）设 *2 2 2 1 log ,n n n ab na   N ，求数列 nb 的前 n 项和. 4．已知数列 na 满足 1 11, 3 1n na a a   . (1)证明 1 2na    是等比数列，并求 na 的通项公式； (2)证明： 1 2 1 1 1 3... 2na a a     . 5．已知 是公差为 3 的等差数列，数列 满足 = ， = ， 晦 晦 晦 ． （Ⅰ）求 的通项公式； （Ⅱ）求 的前 n 项和． 6．设数列{an}满足 a1=3， 1 3 4n na a n   ． （1）计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前 n 项和 Sn． 7．设{an}是等差数列，a1=–10，且 a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前 n 项和为 Sn，求 Sn 的最小值． 参考答案 1．(1) 2 2 1na n   ；(2) 2 2 1 n n . （1）数列 na 满足  1 23 2 1 2=na a n a n   2n  时,    1 2 13 2 3 2 1na a n a n   ﹣＝ ∴ 2 1 2nn a  ∴ 2 2 1na n   当 1n  时, 1 2a  ,上式也成立 ∴ 2 2 1na n   （2） 2 1 1 2 1 (2 1)(2 1) 2 1 2 1 na n n n n n        ∴数列 2 1 na n     的前 n 项和 1 1 1 1 11 3 3 5 2 1 2 1n n                        1 21 2 1 2 1 n n n     2．（1） 1 3n na  ；（2） 2 1 n n   . （1）设数列{an}的公比为 q, 由 2 3a ＝9a2a6 得 2 3a ＝9 2 4a , 所以 q2＝ 1 9 .由条件可知 q＞0,故 q＝ 1 3 . 由 2a1＋3a2＝1 得 2a1＋3a1q＝1,所以 a1＝ 1 3 . 故数列{an}的通项公式为 an＝ 1 3n . （2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－  1 2 n n  . 故   1 2 1 121 1nb n n n n          . 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 22 1 2 2 3 1 1n n b b b n n n                                   所以数列 1 nb       的前 n 项和为 2 1 n n   3．（Ⅰ） 1 2 2 2 , ,{ 2 , . n n n na n   为奇数 为偶数 ; （Ⅱ） 1 24 2n n nS    . （Ⅰ） 由已知，有       3 4 2 3 4 5 3 4a a a a a a a a       ，即 4 2 5 3a a a a   ， 所以 2 3( 1) ( 1)a q a q   ，又因为 1q  ，故 3 2 2a a  ，由 3 1a a q ，得 2q = ， 当 2 1( *)n k n N   时， 1 1 2 2 1 2 2 n k n ka a      ， 当 2 ( *)n k n N  时， 2 2 2 2 n k n ka a   ， 所以 na 的通项公式为 1 2 2 2 , ,{ 2 , . n n n na n   为奇数 为偶数 （Ⅱ） 由（Ⅰ）得 2 2 1 2 1 log 2 n n n n a nb a     ，设数列 nb 的前 n 项和为 nS ，则 0 1 2 1 1 1 1 11 2 32 2 2 2n nS n          ， 1 2 3 1 1 1 1 11 2 32 2 2 2 2n nS n         两式相减得 2 3 1 111 1 1 1 1 221 212 2 2 2 2 2 2 2 21 2 n n n n n n n n n nS                 ， 整理得 1 24 2n n nS    所以数列 nb 的前 n 项和为 1 24 , *2n n n N   . 4．（1）证明见解析， 11 3 32 2 n na   ；（2）证明见解析. （1）证明：由 1 3 1n na a   得 1 1 13( )2 2n na a    ，所以 1 1 2 31 2 n n a a     ，所以 1 2na     是等 比数列，首项为 1 1 3 2 2a   ，公比为 3，所以 1 2na   13 32 n ，解得 na  3 1 2 n  . （2）由（1）知： na  3 1 2 n  ，所以 1 2 3 1n na   ， 因为当 1n  时， 13 1 2 3n n   ，所以 1 1 1 3 1 2 3n n  ，于是 1 1 a  2 1 a  1 na 1 1 11 3 3n    = 3 1(1 )2 3n 3 2  ， 所以 1 1 a  2 1 a  1 na 3 2  . 5．(Ⅰ) n-1;(Ⅱ)见解析. （Ⅰ）用等差数列通项公式求；（Ⅱ）求出通项，再利用等比数列求和公式来求. 试题解析：（Ⅰ）由已知， 晦 得 ，所以数列 是首项为 2， 公差为 3 的等差数列，通项公式为 ݊ . （Ⅱ）由（Ⅰ）和 晦 晦 晦 得 晦 ，因此 是首项为 1，公比为 的等比数 列.记 的前 项和为 ，则 ݊ ݊ ݊ ݊ 6．（1） 2 5a  ， 3 7a  ， 2 1na n  ，证明见解析；（2） 1(2 1) 2 2n nS n     . （1）由题意可得 2 13 4 9 4 5a a     ， 3 23 8 15 8 7a a     ， 由数列 na 的前三项可猜想数列 na 是以3为首项，2 为公差的等差数列，即 2 1na n  ， 证明如下： 当 1n  时， 1 3a  成立； 假设 n k 时， 2 1ka k  成立. 那么 1n k  时， 1 3 4 3(2 1) 4 2 3 2( 1) 1k ka a k k k k k           也成立. 则对任意的 *n N ，都有 2 1na n  成立； （2）由（1）可知， 2 (2 1) 2n n na n    2 3 13 2 5 2 7 2 (2 1) 2 (2 1) 2n n nS n n             ，① 2 3 4 12 3 2 5 2 7 2 (2 1) 2 (2 1) 2n n nS n n              ，② 由① ②得：  2 3 16 2 2 2 2 (2 1) 2n n nS n            2 1 12 1 2 6 2 (2 1) 21 2 n nn           1(1 2 ) 2 2nn     ， 即 1(2 1) 2 2n nS n     . 7．（Ⅰ） 2 12na n  ；（Ⅱ） 30 . （Ⅰ）设等差数列 na 的公差为 d ， 因为 2 3 4+10 +8 +6a a a， ， 成等比数列，所以 2 3 2 4( +8) ( +10)( +6)a a a ， 即 2(2 2) (3 4)d d d   ，解得 2d  ，所以 10 2( 1) 2 12na n n      . （Ⅱ）由（Ⅰ）知 2 12na n  , 所以 2 210 2 12 11 12111 ( )2 2 4n nS n n n n         ； 当 5n  或者 6n  时， nS 取到最小值 30 . .