第9讲 排列组合、二项式定理（解析版）-2021年广东省2月~3月各地级市一模数学分类汇编

第 9 讲 排列组合、二项式定理 一．选择题（共 7 小题） 1．（2021•深圳一模）小明跟父母、爷爷和奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5 人坐一排．若小 明的父母都与他相邻，则不同坐法的种数为（ ） A．6 B．12 C．24 D．48 【解析】解：根据题意，要求小明的父母都与他相邻，即小明坐在父母中间，将三人看成一个整体，有 2 种排法， 将这个整体与爷爷和奶奶全排列，有 A33＝6 种排法， 则有 2×6＝12 种不同的排法， 故选：B． 2．（2021•东莞市校级模拟）若 莞 − t莞 t 莞 t莞 t莞 ，则 莞 t莞 t莞的值为（ ） A．2 B．0 C．﹣1 D．﹣2 【解析】解：在 莞 − t莞 t 莞 t莞 t莞 中，令 x＝0，可得 a0＝1， 再令 x 莞 ，可得 a0 莞 t莞 t莞 0，∴ 莞 t莞 t莞 1， 故选：C． 3．（2021•肇庆二模）二项式（ax2− 莞 ）6 的展开式的常数项为 60，则 a 的值为（ ） A．2 B．﹣2 C．±2 D．±3 【解析】解：∵二项式（ax2− 莞 ）6 的展开式的通项公式为 Tr+1 •（﹣1）ra6﹣r•x12﹣r， 令 12﹣3r＝0，求得 r＝4，可得常数项为 •a2＝60，则 a＝±2， 故选：C． 4．（2021•揭阳模拟）某学校有东、南、西、北四个校门，受新冠肺炎疫情的影响，学校对进入四个校门做 出如下规定：学生只能从东门或西门进入校园，教师只能从南门或北门进入校园．现有 2 名教师和 3 名 学生要进入校园（不分先后顺序）请问进入校园的方式共有（ ） A．6 种 B．12 种 C．24 种 D．32 种 【解析】解：根据题意，3 名学生要进入校园，每人只能从东门或西门进入校园， 则每人有 2 种进入校园的方式，则 3 名学生有 2×2×2＝8 种不同的方式， 2 名教师要进入校园，每人只能从南门或北门进入校园， 则每人有 2 种进入校园的方式，则 2 名教师有 2×2＝4 种不同的方式， 则 5 人有 8×4＝32 种不同的进入方式， 故选：D． 5．（2021•韶关一模）已知（1+x）10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+⋅⋅⋅+a10（2+x）10，则 a9＝（ ） A．﹣10 B．10 C．﹣45 D．45 【解析】解：（1+x）10＝[﹣1+(2+x)]10＝a0+a1（2+x）+a2（2+x）2+⋅⋅⋅+a10（2+x）10， 则 a9 莞t •(﹣1)＝﹣10， 故选：A． 6．（2021•惠州模拟）2020 年 4 月 30 日，我国的 5G 信号首次覆盖了海拔超过 8000 米的珠穆朗玛峰峰顶和 北坡登山路线．为了保证中国登山队测量珠峰高程的顺利直播，现从甲、乙、丙、丁这 4 名技术人员中 随机安排 3 人分别去往北坡登山路线中标记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的 3 个崎岖路段进行信号检测，若甲没有安排 去往标记为Ⅰ的崎岖路段，则不同的安排方法共有（ ） A．12 种 B．18 种 C．24 种 D．6 种 【解析】解：根据题意， 若甲没有安排去往标记为Ⅰ的崎岖路段，则标记为Ⅰ的崎岖路段有 3 种安排方法， 对于标记为Ⅱ的崎岖路段，可以从剩下 3 人中任选 1 人，有 3 种安排方法， 对于标记为Ⅲ的崎岖路段，可以从剩下 2 人中任选 1 人，有 2 种安排方法， 则有 3×3×2＝18 种安排方法， 故选：B． 7．（2021•河源模拟）某地实行高考改革，考生除参加语文，数学，外语统一考试外，还需从物理，化学， 生物，政治，历史，地理六科中选考三科，要求物理，化学，生物三科至少选一科，政治，历史，地理 三科至少选一科，则考生共有多少种选考方法（ ） A．6 B．12 C．18 D．24 【解析】解：根据题意，分 2 种情况讨论： ① 、从物理，化学，生物三科中选 2 科，从政治，历史，地理三科中选 1 科， 则有 C32•C31＝9 种选法； ② 、从物理，化学，生物三科中选 1 科，从政治，历史，地理三科中选 2 科， 则有 C32•C31＝9 种选法； 则一共有 9+9＝18 种选考方法； 故选：C． 二．多选题（共 2 小题） 8．（2021•濠江区校级模拟）若 莞 的展开式中第 3 项与第 8 项的系数相等，则展开式中二项式系数 最大的项为（ ） A．第 3 项 B．第 4 项 C．第 5 项 D．第 6 项 【解析】解：∵ 莞 的展开式中第 3 项与第 8 项的系数相等， ∴∁ ∁ ； 所以 n＝9，则展开式中二项式系数最大的项为第五项和第六项； 故选：CD． 9．（2021•湛江一模）已知（1﹣2x）2021＝ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021，则（ ） A．展开式中所有项的二项式系数和为 22021 B．展开式中所有奇次项系数和为 t莞 莞 C．展开式中所有偶次项系数和为 t莞 莞 D． 莞 t莞 t莞 莞【解析】解：∵（1﹣2x）2021＝ao+a1x+a2x2+a3x3+…+a2021x2021， 故所有项的 二项式系数和为 2n＝22021，故 A 正确； 令 x＝﹣1，可得 ao﹣a1+a2﹣a3+…﹣a2021＝32021 ① ， 令 x＝1，可得 ao+a1+a2+a3+…+a2021＝﹣1 ② ， ① + ② ，并除以 2，可得展开式中所有奇次项系数和为 ao+a2+a4+a3+…+a2020 t莞莞 ， 故 B 正确； ② ﹣ ① ，并除以 2，可得 a1+a3+a5+…+a2021 莞t莞 ，故 C 错误； 令 x 莞 ，可得 a0 莞 t莞 t莞 0，而 a0＝1， ∴ 莞 t莞 t莞 1，故 D 正确， 故选：ABD． 三．填空题（共 5 小题） 10．（2015•宣城三模）（x− 莞 ）4 的展开式中常数项为 ．（用数字表示） 【解析】解：设（x− 莞 ）4 展开式的通项为 Tr+1，则 Tr+1＝（− 莞 ）r• •x4﹣2r， 令 4﹣2r＝0 得 r＝2． ∴展开式中常数项为：（− 莞 ）2• ． 故答案为： ． 11．（2021•珠海一模）二项式（x− 莞 ）8 展开式中的常数项是 28 （用数字作答）． 【解析】解：通项公式 Tr+1 x8﹣r − 莞 （﹣1）r∁ ， 令 8− 0，解得 r＝6． ∴常数项 28． 故答案为：28． 12．（2021•韶关一模）现有标号为 ① ， ② ， ③ ， ④ ， ⑤ 的 5 件不同新产品，要放到三个不同的机构进行 测试，每件产品只能放到一个机构里．机构 A，B 各负责一个产品，机构 C 负责余下的三个产品，其中 产品 ① 不在 A 机构测试的情况有 16 种（结果用具体数字表示）． 【解析】解：根据题意，产品 ① 不在 A 机构测试，则产品 ① 必须在 B 机构或者 C 机构测试， 若产品 ① 在 B 机构检测，有 C41C33＝4 种情况， 若产品 ① 在 C 机构检测，有 C42A22＝12 种情况， 则一共有 4+12＝16 种情况， 故答案为：16． 13．（2021•广东模拟）在新冠肺炎疫情期间，为有效防控疫情，某小区党员志愿者踊跃报名参加值班工作．已 知该小区共 4 个大门可供出入，每天有 5 名志愿者负责值班，其中 1 号门有车辆出入，需 2 人值班，其 余 3 个大门各需 1 人值班，则每天不同的值班安排有 60 种． 【解析】解：根据题意，分 2 步进行分析： 先在 5 人中选出 2 人，安排到 1 号门，有 C52＝10 种安排方法， 再将剩下的 3 人安排到其他三个大门，有 A33＝6 种安排方法， 则有 6×10＝60 种安排方法， 故答案为：60． 14．（2021•潮州一模）（x3− 莞 ）4 展开式中常数项为 ﹣4 ． 【解析】解：设 莞 展开式的通项为 Tr+1，则 Tr+1 •（x3）4﹣r• − 莞 （﹣1）r• •x12﹣4r• 令 12﹣4r＝0 得 r＝3． ∴开式中常数项为：（﹣1）3• 4． 故答案为：﹣4．