检测内容：24.4
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a2＋b2＝c2，那么下列结论正确的是(A)
A．csin A＝a B．bcos B＝c
C．atan A＝b D．ctan B＝b
2．如图，在高为h的山顶上，测得一建筑物顶端与底端的俯角分别为30°和60°，用h表示这个建筑物的高度为(A)
A．h B．h C．h D．h
3．如图所示，一渔船在海岛A南偏东20°方向的B处遇险，测得海岛A与B的距离为20海里．渔船将险情报告给位于A处的救援船后，沿北偏西80°方向向海岛C靠近．同时，从A处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行20分钟后，救援船在海岛C处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为(D)
A．10 海里/时 B．30 海里/时
C．20 海里/时 D．30 海里/时
4．如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图，设∠DAO＝α，彩电后背AD平行于前沿BC，且与BC的距离为60 cm，若AO＝100 cm，则墙角O到前沿BC的距离OE是(A)
A．(60＋100sin α) cm B．(60＋100cos α) cm
C．(60＋100tan α) cm D．以上答案都不对
第4题图
第6题图
二、填空题(每小题5分，共20分)
5．在△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，cos A＝，则BC的长为__2__．
6．如图，把两块相同的含30°角的三角尺按图示放置，若AD＝6，则三角尺的斜边长为__12__．
7．如图，某河道要建造一座公路桥，要求桥面离地面高度AC为3米，引桥的坡角∠ABC为15°，则引桥的水平距离BC的长是__11.2__米．(精确到0.1米，参考数据：sin 15°≈0.258 8，cos 15°≈0.965 9，tan 15°≈0.267 9)
8．如图所示，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且BD平分AC.若BD＝8，AC＝6，∠BOC＝120°，则四边形ABCD的面积为__12__．(结果保留根号)
三、解答题(共60分)
9．(10分)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sin B＝.求：
(1)线段CD的长；
(2)tan ∠EDC的值．
解：(1)CD＝5 (2)tan ∠EDC＝tan ∠C＝
10．(10分)已知不等臂跷跷板AB长4 m，如图①，当AB的一端A碰到地面时，AB与地面的夹角为α；如图②，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β.求跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH.(用含α，β的式子表示)
解：在Rt△AHO中，sin α＝，∴OA＝.在Rt△BHO中，sin β＝，∴OB＝.∵AB＝4 m，∴OA＋OB＝4 m，即＋＝4.∴OH＝(m)
11．(12分)如图，小明在大楼30米高(即PH＝30米)的窗口P处进行观测，测得山坡A处的俯角为15°，山脚B处的俯角为60°，已知该山坡的坡度i(tan ∠ABC)为1∶，点P，H，B，C，A在同一平面上，点H，B，C在同一条直线上，且PH⊥HC.
(1)山坡坡角(即∠ABC)的度数等于__30__度；
(2)求A，B两点间的距离．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732)
解：(2)由题意得∠PBH＝60°，∠APB＝45°.∵∠ABC＝30°，∴∠ABP＝90°.在Rt△PHB中，PB＝＝20(米)，在Rt△PBA中，AB＝PB＝20≈34.6(米).即A，B两点间的距离约为34.6米
12．(14分)如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号．已知A，B两船相距100(＋1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD；(如果运算结果有根号，请保留根号)
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：(1)过C作CE⊥AB，由题意得：∠ABC＝45°，∠BAC＝60°，设AE＝x海里，在Rt△AEC中，CE＝AE·tan 60°＝x；在Rt△BCE中，BE＝CE＝x.∴AE＋BE＝x＋x＝100(＋1)，解得x＝100，AC＝2x＝200，在△ACD中，∠DAC＝60°，∠ADC＝75°，则∠ACD＝45°，过点D作DF⊥AC于点F，设AF＝y，则DF＝CF＝y，∴AC＝y＋y＝200，解得：y＝100(－1)，∴AD＝2y＝200(－1) (2)由(1)可知，DF＝AF＝×100(－1)≈127，∵127＞100，所以巡逻船A沿直线AC航行，在去营救的途中没有触暗礁的危险
13．(14分)如图①所示的遮阳伞，伞柄垂直于水平地面，其示意图如图②所示，当伞收紧时P与A重合，当伞慢慢撑开时，动点P由A向B移动，当点P到达点B时，伞张得最开，此时最大张角∠ECF＝150°，已知伞在撑开的过程中，总有PM＝PN＝CM＝CN＝6.0 dm，CE＝CF＝18.0 dm.
(1)求AP长的取值范围；
(2)当∠CPN＝60°，求AP的值；
(3)设阳光垂直照射下，伞张的最开时，求伞下的阴影(假定为圆面)面积为S.(结果保留
π)(参考数据：sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73).
解：(1)当点P与B重合时，AP最长，此时∠MCN＝150°，连结MN交BC于O，∵PM＝PN＝CM＝CN＝6.0 dm，∴四边形CMPN是菱形，∴CB⊥MN，即∠COM＝90°，∠MCO＝∠MCN＝75°，在Rt△MCO中，∠MCO＝75°，CM＝6 dm，∴CO＝CM·cos 75°＝1.56 dm，∴BC＝2CO＝3.12 dm，∵AC＝MC＋MP＝12 dm，∴AP＝12－3.12＝8.88 dm，∴AP的取值范围：0≤AP≤8.88 dm
(2)当∠CPN＝60°时，CP＝CM＝6 dm，∴AP＝6 dm
(3)伞张的最开时，点P与B重合，如图所示，连结EF交AC于D，则ED＝CE·sin ∠ECD＝17.46 dm，∴伞下的阴影(假定为圆面)面积为S＝π·17.462＝304.8516π(dm2).
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