第23章 图形的相似
23．1 成比例线段
23．1.1 成比例线段
1．了解成比例线段的意义，会判断四条线段是否成比例．
2．会利用比例的性质，求出未知线段的长．
重点
成比例线段的定义；比例的基本性质及直接运用．
难点
比例的基本性质的灵活运用，探索比例的其他性质．
一、情境引入
教师多媒体展示两幅相似的图片，提问：
1．这两个图形有什么联系？
它们都是平面图形，它们的形状相同，大小不相同，是相似图形．
2．这两个图形是相似图形，为什么有些图形是相似的，而有的图形看起来相像又不会相似呢？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，本节课先学习线段的成比例．
二、探究新知
(1)回忆什么叫两个数的比，怎样度量线段的长度，怎样比较两条线段的大小．
如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么就说这两条线段的比AB∶CD＝m∶n，或写成＝，其中，线段AB，CD分别叫做这两个线段比的前项和后项．
如果把表示成比值k，则＝k或AB＝k·CD.
注意：在量线段时要选用同一个长度单位．
(2)做一做
量出数学书的长和宽(精确到0.1 cm)，并求出长和宽的比．
改用m作单位，则长为0.211 m，宽为0.148 m，长与宽的比为0.211∶0.148＝211∶148.
只要是选用同一单位测量线段，不管采用什么单位，它们的比值不变．
(3)求两条线段的比时要注意的问题．
①两条线段的长度必须用同一长度单位表示，如果单位长度不同，应先化成同一单位，再求它们的比；
②两条线段的比没有长度单位，它与所采用的长度单位无关；
③两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数．
问：两条线段长度的比与所采用的长度单位有没有关系？(学生讨论)
(答：线段的长度比与所采用的长度单位无关．)
2．成比例线段的定义
四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的长度之比等于另外两条线段的长度之比，
如＝，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
3．比例的基本性质
两条线段的比实际上就是两个数的比，如果a，b，c，d四个数满足＝，那么ad＝bc吗？反过来，如果说ad＝bc，那么＝吗？与同伴交流．
如果＝，那么ad＝bc.
若ad＝bc(a，b，c，d都不等于0)，那么＝.
教师多媒体展示例1，例2，教师引导，学生自主完成，小组内交流，教师点评．
例1 在某市城区地图(比例尺1∶9000)上，新安大街的图上长度与光华大街的图上长度分别是16 cm，10 cm.
(1)新安大街与光华大街的实际长度各是多少米？
(2)新安大街与光华大街的图上长度之比是多少？它们的实际长度之比呢？
解：(1)1440米，900米； (2)8∶5，8∶5.
例2 如图，已知＝＝3，求和.
解：＝4，＝4.
三、练习巩固
教师展示课件，可由学生自主完成，点名展示，教师点评．
1．已知＝＝3，求和及＝成立吗？
2．已知＝＝＝2(b＋d＋f≠0)，求：
(1)；(2)；
(3)；(4).
【答案】1.＝2，＝2.＝成立．
2．(1)2； (2)2； (3)2； (4)2.
四、小结与作业
小结
1．注意点：(1)两线段的比值总是正数；(2)讨论线段的比时，不指明长度单位；(3)对两条线段的长度一定要用同一长度单位表示．
2．比例尺：图上长度与实际长度的比．
3．熟记成比例线段的定义．
4．掌握比例的基本性质，并能灵活运用．
布置作业
从教材相应练习和“习题23.1”中选取．
本课时从生活实例情境引入线段的比及成比例线段的概念，并引导学生探究比例的基本性质及其应用，通过互动交流加强对知识的理解，培养学生的合作意识．
23．1.2 平行线分线段成比例
了解平行线分线段成比例定理的证明，掌握定理的内容．能应用定理证明线段成比例等问题，并会进行有关的计算．
重点
定理的应用．
难点
定理的推导证明．
一、情境引入
问题1 翻开我们的作业本，每一页都是由一些间距相等的平行线组成的，如图在作业本上任意画一条直线m与相邻的三条平行线交于A，B，C三点，得到两条线段AB，BC，量一量，你发现这两条线段的长度有什么关系？
相等即AB＝BC.(由学生回答)
思考：再任意画一条直线n与这组平行线相交，得到两条线段DE和EF，你发现DE与EF的长度存在什么关系？
(1)
由此，我们可以得到＝.
问题2 选择作业本上不相邻的三条平行线，任意画直线m，n与它们相交，如果m，n这两条直线平行，观察并思考这时所得的AD，DB，FE，EC这四条线段的长度有什么关系，如果m，n这两条直线不平行，你再观察一下，量一量，算一算，看看它们是否存在类似关系．
(2) (3)
归纳：＝.
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．(简称“平行线分线段成比例”)
二、探究新知
教师结合问题1，2，引导学生深入分析，归纳定理．
思考：(1)如图，当图(3)中的点A与点F重合时就形成一个三角形的特殊情况，此时，AD，DB，AE，EC这四条线段之间会有怎样的关系？
(2)如图，当图(3)中的直线m，n相交于第二条平行线上某点时，是否也有类似的成比例线段呢？
归纳：平行于三角形一边的直线，截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
教师多媒体展示例1，例2，引导学生分析，学生自主完成，教师点评．
例1 如图，l1∥l2∥l3.
(1)已知AB＝3，DE＝2，EF＝4，求BC；
(2)已知AC＝8，DE＝2，EF＝3，求AB.
【分析】根据题目中的已知和所求线段，寻求有关的比例式，注意选择合理简捷的方法．如第(2)问，有以下两种解法：①若选＝，则AB＝x，BC＝8－x，可得＝；②若选＝，则列出＝，得AB＝.
例2 如图，DE∥BC，AD＝2，DB＝5，EC＝3，求AC的长．
解：∵DE∥BC，
∴＝，
∴＝，
∴AC＝.
三、练习巩固
教师展示课件，可由学生自主完成，抢答，教师点评．
1．如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
第1题图
第2题图
2．如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中成立的是( )
A.＝ B.＝
C.＝ D. ＝
四、小结与作业
小结
1．平行线分线段成比例定理及其推论，注意“对应”的含义．
2．研究问题的方法：从特殊到一般，类比联想．
布置作业
从教材相应练习和“习题23.1”中选取．
本课时从学生所熟知的作业本入手，通过学生动手画图，测量、观察思考发现规律，归纳总结并加以应用，体会从特殊到一般的数学思维过程，进一步培养学生类比的数学思想．
23．2 相似图形
知道相似图形的两个特征：对应边成比例，对应角相等，识别两个多边形是否相似的方法．
重点
相似图形的定义和性质．
难点
相似图形的性质．
一、情境引入
回顾
1．若线段a＝6 cm，b＝4 cm，c＝3.6 cm，d＝2.4 cm，那么线段a，b，c，d
会成比例吗？
2．两张相似的地图中的对应线段有什么关系？(都成比例)
二、探究新知
教师多媒体展示问题，提出问题，引导学生分析．
相似的两张地图中的对应线段都会成比例，对于一般的相似多边形，这个结论是否成立呢？同学们动手量一量，算一算，用刻度尺和量角器量一量课本第58页两个相似四边形的边长，量一量它们的内角，由一位同学把量得的结果写在黑板上，其他同学把量得的结果与同伴交流．
同学们会发现有什么关系呢？经过观察、计算得出这两个相似四边形的对应边会成比例，对应角会相等，再观察课本中两个相似的五边形，是否也具有一样的结果？反映它们的边之间、角之间的关系是什么关系？
同学们用格点图画相似的两个三角形，观察、度量，它们是否也具有这种关系(对应边成比例，对应角相等)?
由此可以得到两个相似多边形的特征：
(由同学回答，教师板书)对应边成比例，对应角相等．
实际上这两个特征，也是我们识别两个多边形是否相似的方法，即如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似．
识别两个多边形是否相似的标准有：(数相同)，对应边要(成比例)，对应角要(都相等)．(括号内要求同学填)
填一填：
(1)两个三角形一定是相似图形吗？两个等腰三角形呢？两个等边三角形呢？两个等腰直角三角形呢？
(2)所有的菱形都相似吗？所有的矩形呢？正方形呢？
学生小组内交流，代表发言，教师点评．教师课件展示例1，例2，学生可自主完成，小组内交流，点名展示，教师点评．
例1 矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，AB＝1.5 cm，BC＝4.5 cm，A′B′＝0.8 cm，B′C′＝2.4 cm，这两个矩形相似吗？为什么？
解：相似，∵＝＝＝＝.
例2 如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似，求∠A的度数与x的值．
解：由相似图形的性质知
∠A＝∠A′＝107°，＝，
∴x＝.
三、练习巩固
教师多媒体展示，学生独立完成，点名展示，并讲解，师生共同点评．
1．在矩形ABCD与矩形A′B′C′D′中，已知AB＝16 cm，AD＝10 cm，A′D′＝6 cm，矩形A′B′C′D′的面积为54 cm2，这两个矩形相似吗？为什么？
2．如图，四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是相似的，且C′D′⊥B′C′，根据图中的条件，求出未知的边x、y及角α.
四、小结与作业
小结
1．相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等．
2．相似多边形的判定．
布置作业
从教材相应练习和“习题23.2”中选取．
本节课学生通过动手测量，探究相似图形的有关性质，经历观察、实验归纳等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验数学活动的方法，同时升华学生的情感、态度和价值观．
23．3 相似三角形
23．3.1 相似三角形
1．知道相似三角形的概念．
2．能够熟练地找出相似三角形的对应边和对应角．
3．会根据概念判断两个三角形相似，能说出相似三角形的相似比，由相似比求出未知的边长．
4．掌握利用“平行于三角形一边的直线，和其它两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似”来判断两个三角形相似．
重点
掌握相似三角形的定义、表示法，并能根据定义判断两个三角形是否相似．
难点
熟练找出对应元素，在此基础上根据定义求线段长或角的度数．
一、情境引入
复习：什么是相似图形？识别两个多边形是否相似的标准是什么？
二、探究新知
教师展示多媒体，从复习引入，引导学生进行探究．
1．相似三角形的有关概念
由复习中引入，如果两个多边形的对应边成比例，对应角都相等，那么这两个多边形相似．
三角形是最简单的多边形．由此可以说什么样的两个三角形相似？
如果两个三角形的三条边都成比例，三个角对应相等，那么这两个三角形相似，如在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝A′，∠B＝B′，∠C＝C′，＝＝，那么△ABC与△A′B′C′相似，记作△ABC∽△A′B′C′.“∽”是表示相似的符号，读作“相似于”，这样两个三角形相似就读作“△ABC相似于△A′B′C′”．
由于∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，所以点A与点A′是对应顶点，点B与点B′是对应顶点，点C与点C′是对应顶点，书写相似时，通常把对应顶点写在对应位置上，以便比较容易找到相似三角形中的对应角、对应边．如果记＝＝＝k，那么这个比值k就表示这两个相似三角形的相似比，相似比就是它们的对应边的比，它有顺序关系．如△ABC∽△A′B′C′，它的相似比为k，即指＝k，那么△A′B′C′与△ABC的相似比应是，就不是k了，应为多少呢？同学们想一想．
如果△ABC∽△A′B′C′，相似比k＝1，你会发现什么呢？＝＝＝1，所以可得AB＝A′B′，BC＝B′C′，AC＝A′C′，因此这两个三角形不仅形状相同，而且大小也相同，这样的三角形称之为全等三角形，全等三角形是相似三角形的特例．试问：①全等的两个三角形一定相似吗？②相似的两个三角形会全等吗？
教师利用多媒体展示问题，引导学生探究问题，学生归纳总结，教师点评．
2．在△ABC中，点D是AB上任意一点，过点D作DE∥BC，交AC边于点E，那么△ADE与△ABC是否相似？
教师引导分析：
判断它们是否相似，由①对应角是否相等，②对应边是否成比例去考虑．能否得对应角相等？根据平行线性质与一个公共角可以推出①，而对应边是否成比例呢？可根据平行线分线段成比例的基本事实，推得＝，通过度量发现＝，所以可以判断出△ADE与△ABC相似．
思考 (1)你能否通过演绎推理证明你的猜想？
(2)若是DE∥BC，DE与BA，CA的延长线交于点E，D，那么△ADE与△ABC还会相似吗？试试看，如果相似写出它们对应边的比例式．
学生归纳总结：
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似．
教师再展示例题，可由学生自主完成，点名上台展示，教师点评．
例1 如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE＝5，求BC的长．
解：∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴BC＝3DE＝15.
三、练习巩固
第1题可由学生自主完成，第2题教师适当点拨，小组讨论后完成，上台展示，教师点评．
1．如图，DE∥BC.
(1)如果AD＝2，DB＝3，求DE∶BC的值；
(2)如果AD＝8，DB＝12，AC＝15，DE＝7，求AE和BC的长．
2．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边AD的中点，连接BE交AC于点F，BE的延长线交CD的延长线于点G.
(1)求证：＝；
(2)若GE＝2，BF＝3，求线段EF的长．
四、小结与作业
小结
你这节课学到了哪些知识？还有哪些疑问？
布置作业
从教材相应练习和“习题23.3”中选取．
本节课通过复习相似多边形的性质与判定引入三角形相似的概念，表示方法及判定方法，通过思考探究、动手测量、猜想、演绎证明推导出相似三角形的判定的预备定理，
即平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交所构成的三角形与原三角形相似，并通过例题练习运用新知，深化理解．
23．3.2 相似三角形的判定
第1课时 相似三角形的判定(1)
会判定两个三角形相似的方法：两个角分别相等的两个三角形相似．会用这种方法判断两个三角形是否相似．
重点
相似三角形的判定定理1以及推导过程，并会用判定定理1来证明和计算．
难点
相似三角形的判定定理1的运用．
一、情境引入
教师展示课件，提出问题．
1．两个矩形一定会相似吗？为什么？
2．如何判断两个三角形是否相似？根据定义：对应角相等，对应边成比例．
3．如图，△ABC与△A′B′C′会相似吗？为什么？是否存在判定两个三角形相似的简便方法？本节就是探索识别两个三角形相似的方法．
二、探究新知
同学们观察你与你的同伴用的三角尺，及老师用的三角板，如有一个角是30°的直角三角尺，它们的大小不一样，这些三角形是相似的，我们就从平常所用的三角尺入手探索．
(1)45°角的三角尺是等腰直角三角形，它们是相似的；
(2)30°的三角尺，另一个锐角为60°，有一个直角，因此它们的三个角都相等，同学们量一量它们的对应边，是否成比例呢？
这样，从直观上看，一个三角形的三个角分别与另一个三角形三个角对应相等，它们好像就会“相似”，是这样吗？请同学们动手试一试：
1．画两个三角形，使它们的三个角分别相等．
画△ABC与△DEF，使∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，在实际画图过程中，同学们画几个角相等？为什么？
实际画图中，只画∠A＝∠D，∠B＝∠E，则第三个角∠C与∠F一定会相等，这是根据三角形内角和为180°所确定的．
2．用刻度尺量一量各边长，它们的对应边是否会成比例？与同伴交流，是否有相同结果．
3．发现什么现象：发现如果一个三角形的三个角与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形相似．
4．两个矩形的四个角也都分别相等，它们为什么不会相似呢？
这是由于三角形具有它特殊的性质，三角形有稳定性，而四边形有不稳定性．
于是我们得到判定两个三角形相似的一个较为简便的方法：如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似，简单地说，两角对应相等，两三角形相似．
同学们思考，能否再简便一些，仅有一对角对应相等的两个三角形，是否一定会相似呢？
教师再展示课件，展示例1，例2，教师引导学生分析，学生完成．
例1 在△ABC与△A′B′C′中，∠A＝∠A′＝50°，∠B＝70°，∠B′＝60°，这两个三角形相似吗？
解：由三角形的内角和定理知
∠C′＝180°－∠A′－∠B′＝180°－50°－60°＝70°，
∴∠C′＝∠B，
又∵∠A＝∠A′，
∴△ABC∽△A′C′B′.
例2 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，试说明△ADE∽△EFC.
证明：∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠C.
又∵EF∥AB，
∴∠CEF＝∠A.
∴△ADE∽△EFC.
三、练习巩固
教师用多媒体展示习题，第1题由学生自主完成，第2题教师可适当点拨，注意分类讨论．
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，找出图中所有的相似三角形．
第1题图
第2题图
2．在△ABC中，点D是AB边上的一点，过点D作一直线与AC相交于点E，要使△ADE与△ABC相似，你怎样画这条直线？说明理由，和你的同伴交流作法是否一样．
【答案】1.△ACD∽△CBD∽△ABC.
2．有两种不同的画法：
①过点D作DE∥BC，DE交AC于点E：
②以AD为一边在△ABC内部作∠ADE＝∠C，另一边DE交AC于点E.
四、小结与作业
小结
这节课你学到哪些判定三角形相似的方法？还有什么疑惑，说说看．
布置作业
从教材相应练习和“习题23.3”中选取．
本课时从学生所熟悉的特殊三角板入手，通过学生动手操作探究相似三角形的判定定理1，从中感受学习几何的乐趣，从而激发学生学习兴趣，培养学生的几何推理能力．
第2课时 相似三角形的判定(2)
1．掌握相似三角形的判定定理2：有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似．
2．掌握相似三角形的判定定理3：三条边对应成比例的两个三角形相似．
3．能依据条件，灵活应用相似三角形的判定定理，正确判断两个三角形相似．
重点
相似三角形的判定定理2，3的推导过程，掌握相似三角形的判定定理2，3并能灵活应用．
难点
相似三角形的判定定理的推导及应用．
一、情境引入
复习
1．现在要判断两个三角形相似有哪几种方法？
有两种方法：(1)根据定义；(2)有两个角对应相等的两个三角形相似．
2．如图，在△ABC中，点D，E是AB，AC上的三等分点(即AD＝AB，AE＝AC)，那么△ADE与△ABC相似吗？你用的是哪一种方法？
由于没有两个角对应相等，同学们可以动手量一量，量得什么后可以判断它们是否相似？
【教学说明】可能有一部分同学用量角器量角，有一部分同学量线段，看看能否成比例，无论哪一种，都应肯定他们是正确的，要求同学们说出是应用哪一种方法判断出的．
二、探究新知
同学们通过量角或量线段计算之后，得出：△ADE∽△ABC.从已知条件看，△ADE与△ABC有一对对应角相等，即∠A＝∠A(是公共角)，而一个条件是AD＝AB，AE＝AC，即是＝，＝，因此＝.△ADE的两条边AD，AE与△ABC的两条边AB，AC对应成比例，它们的夹角又相等，符合这样条件的两个三角形也会相似吗？我们再做一次实验，观察教材图23.3.10，如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE与△ABC相似呢？
图中的两个三角形的一组对应边AD与AB的长度的比值为，将点E由点A开始在AC上移动，可以发现当AE＝AC时，△ADE与△ABC相似，此时
＝.
猜想：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并有夹角相等，
那么这两个三角形相似．
你能否用演绎推理的方法证明你的猜想？
教师在此引导学生证明上述猜想，并在小组内交流，让学生归纳总结出判定定定理2.
相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
强调对应相等的角必须是成比例的边的夹角，如果不是夹角，它们不一定会相似，你能画出有两边对应成比例，有一个角相等，但它们不相似的两个三角形吗？
(画顶角与底角相等的两个等腰三角形)∠B＝∠B′，＝.
教师再展示课件，由学生自主完成．
例1 如图，在△ABC中，点D，E是AB，AC上的点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，小张同学的判断理由是这样的：
解：∵AC＝AE＋CE，
而AC＝6，CE＝2.1，
∴AE＝6－2.1＝3.9，
∵≠，∴△ADE与△ABC不相似．
你同意小张同学的判断吗？请你说说理由．
解：小张同学的判断是错误的．
∵＝，＝＝，∴＝，
而∠A是公共角，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ACB.
请同学们再做一次实验，看看如果两个三角形的三边都成比例，那么这两个三角形是否相似？
看课本69页“做一做”．
通过实验得出：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，简单地说就是，三边成比例的两个三角形相似．
教师可根据上述结论，再展示例2，可由学生自主完成，教师点评．
例2 在△ABC和△A′B′C′中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，AC＝10 cm，A′B′＝18 cm，B′C′＝24 cm，A′C′＝30 cm，试判定它们是否相似，并说明理由．
解：∵＝＝＝，
∴△ABC∽△A′B′C′.
三、练习巩固
教师展示课件，引导学生自主完成，学生代表在黑板上展示，教师点评．
1．如图，△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．
第1题图
第2题图
2．如图，已知＝＝，∠BAD＝20°，求∠CAE的大小．
【答案】1.解：△ADE与△ABC相似．
理由：∵＝＝，
＝＝，
∴＝.
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
2．解：∵＝＝，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，
又∠DAC是公共角，
∴∠CAE＝∠BAD＝20°.
四、小结与作业
小结
1．相似三角形的判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．
2．相似三角形的判定定理3：三边成比例的两个三角形相似．
3．根据题目的具体情况，选择适当的方法证明三角形相似．
布置作业
从教材相应练习和“习题23.3”中选取．
本节课通过复习上节课学习的相似三角形的判定定理入手，提出新问题引入新课，再通过学生动手测量、猜想结论并证明等活动中的体验，完成对相似三角形的判定定理2，3的认识，加深对判定定理的理解．
教学过程中，强调学生自主探究和合作交流，经历观察、实验、猜想、证明等思维过程，从中获得知识与技能，培养学生的综合能力．
23．3.3 相似三角形的性质
会说出相似三角形的性质：对应角相等，对应边成比例，对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
重点
1．相似三角形中的对应线段比值的推导．
2．相似多边形的周长比、面积比与相似比关系的推导．
3．运用相似三角形的性质解决实际问题．
难点
相似三角形性质的灵活运用，相似三角形周长比、面积比与相似比关系的推导及运用．
一、情境引入
复习：
1．判定两个三角形相似的简便方法有哪些？
2．在△ABC与△A′B′C′中，AB＝10 cm，AC＝6 cm，BC＝8 cm，A′B′＝5 cm，A′C′＝3 cm，B′C′＝4 cm，这两个三角形相似吗？说明理由．如果相似，它们的相似比是多少？
二、探究新知
教师结合上述第2题，引导学生探究：
上述两个三角形是相似的，它们对应边的比就是相似比，△ABC∽△A′B′C′，相似比为＝2.
相似的两个三角形，它们的对应角相等，对应边会成比例，除此之处，还会得出什么结果呢？
一个三角形内有三条主要线段——高线、中线、角平分线，如果两个三角形相似，那么这些对应的线段有什么关系呢？我们先探索一下它们的对应高之间的关系．
同学们画出上述的两个三角形，作对应边BC和B′C′边上的高，用刻度尺量一量AD与A′D′的长，等于多少呢？与它们的相似比相等吗？得出结论：相似三角形对应高的比等于相似比．我们能否用推理的方法来说明这个结论呢？
△ABD和△A′B′D′都是直角三角形，且∠B＝∠B′.
∴△ABD∽△A′B′D′，∴＝＝k.
接下来，教师再提出问题让学生归纳，并引导学生通过演绎推理来证明．
思考：相似三角形面积的比与相似比有什么关系？
＝＝·＝k2
归纳：相似三角形面积的比等于相似比的平方．
同学们用上面类似的方法得出：相似三角形对应边上的中线的比等于相似比；相似三角形对应角平分线的比等于相似比；相似三角形的周长之比等于相似比．
教师展示例1，引导学生分析，学生独立完成，小组内交流．
例1 如图，梯形ABCD的对角线交于点O，＝，已知S△DOC＝4，求S△AOB，S△AOD.
三、练习巩固
教师展示课件，可由学生自由完成，教师点名上台展示，教师点评．
1．如图，这是圆桌正上方的灯泡(看作一个点)发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影(图形)的示意图．已知桌面的直径为1.2 m，桌面距离地面为1 m，若灯泡距离地面3 m，则地面上阴影部分的面积为________．
【教学说明】运用相似三角形对应高的比等于相似比是解决本题的关键．
2．如图，在△ABC中，BC＝24 cm，高AD＝12 cm，矩形EFGH的两个顶点E，F在BC上，另两个顶点G，H分别在AC，AB上，且EF∶EH＝4∶3，求EF，EH的长．
四、小结与作业
小结
1．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
2．相似三角形对应中线、角平分线、高的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．
布置作业
从教材相应练习和“习题23.3”中选取．
本课时从复习已经学习过的相似三角形的性质入手，提出问题继续探究相似三角形的有关性质，通过动手测量，猜想出结论，并加以证明，加深对知识的理解，提高学生分析、归纳、表达、逻辑推理等能力，并通过对知识方法的总结，培养反思问题的习惯，形成理性思维．
23．3.4 相似三角形的应用
会应用相似三角形的有关性质，测量简单的物体的高度或宽度．自己设计方案测量高度，体会相似三角形在解决实际问题中的广泛应用．
重点
构建相似三角形解决实际问题．
难点
把实际问题抽象为数学问题，利用相似三角形来解决．
一、情境引入
复习
1．相似三角形有哪些性质？
2．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB⊥BF，DE⊥BF，AC∥DF.
(1)△DEF与△ABC相似吗？为什么？
(2)若DE＝1，EF＝2，BC＝10，那么AB等于多少？
[(1)△DEF∽△ABC.(2)AB＝5.]
二、探究新知
教师结合多媒体展示，引导学生分析．
第二题我们根据两个三角形相似，对应边成比例，列出比例式计算出AB的长．人们从很早开始，就懂得应用这种方法来计算那些不能直接测量的物体的高度或宽度．
教师课件展示例1，可由学生小组讨论交流，代表发言，教师点评．
例1 古代的数学家想出了一种测量金字塔高度的方法：为了测量金字塔的高度OB，先竖一根已知长度的木棒O′B′，比较木棒的影长A′B′与金字塔的影长AB，即可近似算出金字塔的高度OB，如果O′B′＝1米，A′B′＝2米，AB＝274米，求金字塔的高度OB.
【分析】因为太阳光是互相平行的，易得△A′O′B′∽△AOB，从而求得OB的长度．
解：∵太阳光是平行光线即O′A′∥OA，
∴∠OAB＝∠O′A′B′.
又∵∠ABO＝∠A′B′O′＝90°，
∴△OAB∽△O′A′B′.
∴＝，
∴OB＝＝137(米)．
答：金字塔的高度OB为137米．
教师多媒体展示例2，3，可由学生自主完成，点名上台展示，教师点评．
例2 如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边上选定点B和C，使AB⊥BC，然后选定点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D，此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB.
解：∵∠ADB＝∠EDC，
∠ABC＝∠ECD＝90°，
∴△ABD∽△ECD(两角分别相等的两个三角形相似)，
∴＝，
解得AB＝＝＝100(米)．
答：两岸间的大致距离AB为100米．
这些例题向我们提供了一些利用相似三角形进行测量的方法．
例3 如图，已知点D，E是△ABC的边AB，AC上的点，且∠ADE＝∠C.求证：AD·AB＝AE·AC.
【分析】把等积式化为比例式＝，猜想△ADE与△ABC相似，从而找条件加以证明．
证明：∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB(两角分别相等的两个三角形相似)，
∴＝，
∴AD·AB＝AE·AC.
三、练习巩固
1．如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是10 m，在这岸离开岸边16 m处看对岸，看到对岸的两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有一棵树，但对岸被遮住的两棵树之间有四棵树，这段河的河宽是多少米？
【教学说明】先由实际问题建立相似的数学模型，可先证得△ABE∽△ACD，再根据对应线段成比例可求出河宽，即线段BC的长．
2．亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人用测量影子方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰好在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C，D，然后测出两人之间的距离CD＝1.25 m，颖颖与楼之间的距离DN＝30 m(C，D，N在一条直线上)，颖颖的身高BD＝1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8 m，你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？
【教学说明】过点A作MN的垂线段，构造相似三角形．
四、小结与作业
小结
这节课你学习了哪些知识，有哪些收获？还有哪些疑问？
布置作业
从教材相应练习和“习题23.3”中选取．
本节课以生活实例为情境，引导学生探究如何建立相似的数学模型，构造相似三角形，把实际问题转化为数学问题(相似)来解决，进一步提高学生应用数学知识的能力．
23.4 中位线
1．经历三角形中位线的性质定理形成过程．
2．掌握三角形中位线的性质定理，并能利用它解决简单的问题．
3．通过命题的教学了解常用的辅助线的作法，并能灵活运用它们解题，进一步训练说理的能力．
重点
三角形中位线的性质定理．
难点
三角形中位线的性质定理的应用．
一、情境引入
在前面23.3节中，我们曾解决过如下的问题：如图，在△ABC中，DE∥BC，则△ADE∽△ABC.由此可以进一步推知，当点D是AB的中点时，点E也是AC的中点，现在换一个角度考虑，如果点D，E原来就是AB与AC的中点，那么是否可以推出DE∥BC呢？DE与BC之间存在什么样的数量关系呢？
二、探究新知
教师从课件展示的图片中引导学生进行猜想，证明，归纳得出三角形中位线的性质定理．
1．猜想：从画出的图形看，可以猜想：
DE∥BC，且DE＝BC.
2．证明：如图，在△ABC中，点D，E分别是AB与AC的中点，
∴＝＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC(如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似)，
∴∠ADE＝∠ABC，＝(相似三角形的对应角相等，对应边成比例)，
∴DE∥BC，且DE＝BC.
思考：本题还有其他的解法吗？
已知：如图，在△ABC中， AD＝DB，AE＝EC.求证：DE∥BC，DE＝BC.
【分析】要证DE∥BC，DE＝BC，可延长DE到F，使EF＝DE，于是本题就转化为证明DF＝BC，DE∥BC，故只要证明四边形BCFD为平行四边形．
还可以作如下的辅助线．
【归纳结论】我们把连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，并且有三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
教师展示多媒体例1，例2，可由学生自主完成，教师可略作指导，分析．
例1 求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC，
AF＝FC.
求证：AE，DF互相平分．
【分析】要证AE，DF互相平分，即要证四边形ADEF为平行四边形．
证明：连结DE、EF.
∵AD＝DB，BE＝EC，
∴DE∥AC，
同理可得EF∥BA.
∴四边形ADEF是平行四边形．
∴AE，DF互相平分．
例2 如图，在△ABC中，点D，E分别是边BC，AB的中点，AD，CE相交于点G，求证：＝＝.
【分析】有两边中点易想到连结两边中点构造三角形的中位线．
证明：连结ED.
∵点D，E分别是边BC，AB的中点，
∴DE∥AC，＝，
∴△ACG∽△DEG，
∴＝＝＝，
∴＝＝.
思考：在例2的图中取AC的中点F，假设BF与AD相交于点G′，如图，那么我们同理可得＝，即两图中的G与G′是重合的，由此我们可以得出什么结论？
归纳：三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的连线的长是对应中线长的.
三、练习巩固
教师课件展示练习题1，2，可由学生自主完成，小组内交流，再由教师点名上台展示，教师点评．
1．如图，在▱ABCD中，点E，F分别是AD，BC上的点，且DE＝CF，BE和AF的交点为点M，CE和DF的交点为点N.求证：MN∥AD，MN＝AD.
第1题图
第2题图
2．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别是AB，CD的中点，且AC＝BD，求证：OM＝ON.
【答案】1.解：连结EF，证四边形ABFE和四边形DCFE均为平行四边形，得FM＝AM，FN＝DN，
∴MN∥AD，MN＝AD.
2．解：取BC的中点G，连结EG，FG，
∵BG＝CG，BE＝AE，
∴GE＝AC，EG∥AC，
∴∠ONM＝∠GFE，
同理GF＝BD，FG∥BD，
∴∠OMN＝∠GEF，
∵AC＝BD，
∴GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，
∴∠ONM＝∠OMN，
∴OM＝ON.
四、小结与作业
小结
1．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
2．三角形中位线定理的应用．
3．三角形重心的性质．
布置作业
从教材相应练习和“习题23.4”中选取．
本课时从学过的知识入手猜想中位线的性质，并通过动手画图、操作，证明猜想，体会知识的形成过程，加深对知识的理解．在证明的过程中举一反三，用多种方法证明三角形中位线定理，通过具体的实例分析，提高学生应用知识的能力．
23.5 位似图形
1．会用位似法把一个多边形按比例放大或缩小．
2．理解位似法画相似图形的原理，能正确选择位似中心画相似图形．
重点
位似的概念以及利用位似将一个图形放大或缩小．
难点
比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或缩小图形的规律．
一、情境引入
相似与轴对称、平移、旋转一样，是图形的一个基本变换．要把一个图形放大或缩小，又要保持其形状不变．就是要画相似图形，现在我们先从画相似多边形开始．
现在要把五边形ABCDE放大到1.5倍，即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5.
现在我们来动手做一做，同学们按以下步骤画出所需的多边形：
画法是：
1．任取一点O.
2．以O为端点作射线OA，OB，OC，OD，OE.
3．在射线OA，OB，OC，OD，OE上分别取点A′，B′，C′，D′，E′使OA′∶OA＝OB′∶OB＝OC′∶OC＝OD′∶OD＝OE′∶OE＝1.5.
4．连结A′B′，B′C′，C′D′，D′E′，A′E′，即得到所要画的多边形．
二、探究新知
教师结合课件引导学生动手操作，分析，得出位似变换定义及相关概念．
思考：用刻度尺和量角器量一量，看看上面的两个多边形是否相似？
上面的两个多边形相似．(学生回答)
你能否用演绎推理说明其中的理由？
＝＝＝＝＝1.5.
再用量角器量它们的对应角，看看是否相等呢？也可以用平行线的性质推出各对应角是相等的，所以五边形A′B′C′D′E′就相似于五边形ABCDE.
位似变换的定义：如上面的画法，两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的相似叫做位似，点O叫做位似中心．放映电影时，胶片和屏幕上的画面就形成一种位似关系，它们的位似中心是放映机上的凸透镜的光心．
利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小．
位似中心也可以取在多边形内，或多边形的一边上、或顶点，下面是位似中心不同的画法．
三、练习巩固
教师课件展示练习题1，2，3，分小组讨论，小组抢答展示，教师点评．
1．如图，△OAB和△OCD是位似图形，AB与CD平行吗？为什么？
第1题图
第2题图
2．如图，以点O为位似中心，将△ABC放大为原来的两倍．
【教学说明】第1小题可根据位似的三要素得出对应线段平行；第2小题可有两种情况，画出其中一种即可．
3．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A1B1C1是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都是在小正方形的顶点上．
①画出位似中心点O；
②求出△ABC与△A1B1C1的相似比；
③以点O为位似中心，再画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比等于1.5.
四、小结与作业
小结
学生试述，这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？
布置作业
从教材相应练习和“习题23.5”中选取．
本课从学生动手画图入手，引入新课，提出问题，猜想，并加以证明，归纳位似的概念，
探究位似图形的性质和画法，培养学生良好的数学学习习惯和严谨科学的学习态度．
23．6 图形与坐标
23．6.1 用坐标确定位置
能够在图形中建立适当的坐标系来描述物体的位置，并结合具体实例了解坐标系建立位置不同，点的坐标也随之变化；能够利用坐标找到点的位置；了解位置确定的两种方法．
重点
在图形中建立直角坐标系并描述物体在坐标系里的位置．
难点
建立恰当的坐标系来描述物体的位置．
一、情境引入
教师出示教材84页，关于某中学夏令营找目的地问题．
问：利用直角坐标系，你能找到目的地吗？请你在图中画出目的地的位置．
二、探究新知
通过以上活动，我们可以发现，建立适当的直角坐标系，我们可以用坐标来确定物体的位置，现在我们来试一试．
1．试一试
如图，是某乡镇的示意图，试在图中建立适当的平面直角坐标系，用坐标表示各地的位置．
思考 ①你是怎样建立直角坐标系的，各地的坐标是什么？
②与同学交流一下，发现什么问题？
【归纳结论】建立的直角坐标系不一样，得到各地的坐标也不一样．
我们已经知道，可以用一对有序实数对表示平面上点的位置，从而确定一个物体的位置．在我们的生活中还有什么地方应用了这一知识点(学生讨论后可自由发言)?
如：用经度和纬度来表示某次台风中心所处的位置，或表示某次强烈地震的震中位置等．
阅读教材85页“思考”．
思考 由此信息，你能发现其他表示该地震中心位置的方法吗？
【归纳结论】可以用“角度(方向)、距离”这两个量来刻画物体的位置．
2．方位角的研究
①教师出示问题：教材86页“小明考察环境污染问题”．
②让学生试着画出表示各处位置的示意图．
③根据情况教师适当点评．
④说一说：在我们现实生活中还有哪些地方用到了方位角的知识．
教师课件展示例1，可让学生自主完成，互相交流展示，教师点评．
例1 如图是一个边长为5的正方形，试建立适当的平面直角坐标系，写出它的顶点坐标．
【分析】建立的直角坐标系不同，顶点的坐标也不相同．
三、练习巩固
教师多媒体展示练习1，2，引导学生思考，练习1抢答，练习2教师点名上台展示，教师点评．
1．如图，在矩形ABCD中，A(－4，1)，B(0，1)，C(0，3)，则点D的坐标为________．
第1题图
第2题图
2．九年级(2)班的同学组织到人民公园游玩，张明、王励、李华三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，张明说他的坐标是(200，－200)，王励说他的坐标是(－200，－100)，李华说他的坐标是(－300，200)．
(1)请你据此写出坐标原点的位置；
(2)请你写出这三个同学所在的景点．
四、小结与作业
小结
本节课你学习到了哪些知识？在现实生活中有什么作用？
布置作业
从教材相应练习和“习题23.6”中选取．
本课时从生活实例入手，引导学生通过动手操作、观察、实验来体会利用有序实数对确定位置的方法，发展学生形象思维能力和数学应用能力，通过小组合作交流，培养学生的口头表达能力和合作意识．
23．6.2 图形的交换与坐标
在同一直角坐标系中，感受到图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小的变换之后，点的坐标相应发生变化．探索图形平移、旋转、轴对称、放大或缩小的变换中，它们点的坐标变化规律．
重点
图形运动与坐标变换的关系．
难点
图形运动与坐标变换的具体应用，通过比较放大或缩小后的图形与原图形，归纳位似放大或缩小图形的规律．
一、情境引入
思考 在同一个平面直角坐标系中，图形经过平移、旋转、轴对称、放大或缩小之后，点的坐标会如何变化呢？
二、探究新知
教师展示课件，引导学生探究各种情况的坐标变化规律，并总结出结论．
现在我们带着问题来一起探究．
1．平移变换的点的坐标变化规律
例1 如图，△AOB沿x轴向右平移3个单位之后，得到△A′O′B′，三个顶点的坐标有什么变化？
【归纳结论】三个顶点的纵坐标都没有改变，而横坐标都增加了3.
例2 如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为(－3，4)，(－4，3)和(－1，3)，将△ABC沿y轴向下平移3个单位得到△A′B′C′，然后再将△A′B′C′沿x轴向右平移4个单位得到△A″B″C″，试写出现在三个顶点的坐标，看看发生了什么变化．
【归纳结论】经过两次平移后，三角形三个顶点的横坐标都增加了4，纵坐标都减少了3.
【思考】通过以上例1、例2的探究你发现经过平移变换，点的坐标变化有什么特点？
【归纳结论】(1)左、右平移，它们的纵坐标都不变，横坐标有变化，向右平移几个单位，横坐标就增加几个单位，向左平移几个单位，横坐标就减少几个单位．
(2)上、下平移，它们的横坐标都不变，纵坐标有变化，向上平移几个单位，纵坐标就增加几个单位，向下平移几个单位，纵坐标就减少几个单位．
2．轴对称变换的点的坐标变化规律
例3 如图，△AOB关于x轴的轴对称图形是△A′OB，关于y轴的轴对称图形是△A″OB″，它们对应顶点的坐标有什么变化？
【归纳结论】(1)关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；
(2)关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数．
3．位似变换的点的坐标变化规律
例4 如图，将△AOB缩小后得到△COD.
(1)它们的相似比是多少？
(2)△AOB的顶点坐标发生了什么变化？
【归纳结论】横纵坐标都变为原来的.
思考 将例4中的△AOB以点O为位似中心，将△AOB放大到原来的2倍得到△A′OB′.
(1)△A′OB′可以画几个？
(2)△AOB的顶点坐标发生了什么变化？
4．概括：填充完成教材92页的表格．
三、练习巩固
教师展示课件，列出练习，可由学生自主完成，教师适当点拨，学生分组讨论．
如图，在对Rt△OAB依次进行位似、轴对称和平移变换后得到Rt△O′A′B′.
(1)在坐标纸上画出这几次变换相应的图形；
(2)设P(x，y)为△AOB边上任意一点，依次写出这几次变换后点P对应点的坐标．
四、小结与作业
小结
这节课你学习到哪些知识？有哪些收获，还有哪些疑问？
布置作业
从教材相应练习和“习题23.6”中选取．
本节课采用集体讨论和活动探究的数学方法，“以教师为主导，学生为主体”，教师的“导”立足于学生的学，以学为重心，放手让学生自主探索、归纳结论，体验学习的快乐，从而激发学生的学习兴趣．
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