第24章 解直角三角形
24．1 测量
利用前面学习的相似三角形的有关知识，探索测量距离的几种方法，初步接触直角三角形的边角关系．
重点
探索测量距离的几种方法．
难点
解决实际问题时学生对数学实践活动的原理的理解和对方法的掌握．
一、情境引入
当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许想知道操场旗杆有多高．
你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题，但如果在阴天，你一个人能测量出旗杆的高度吗？
二、探究新知
教师利用多媒体展示教材100页“试一试”，引导学生分析学习本节内容．
如图，站在离旗杆BE底部10 m处的D点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角∠BAC＝34°，并已知目高AD为1.5 m，现在请你按1∶500的比例将△ABC画在纸上，并记为△A′B′C′，用刻度尺量出纸上B′C′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？
分析：利用相似三角形的性质测量物体高度或宽度时，关键是构造和实物相似的三角形，且能直接测量出这个三角形各条线段的长，再列式计算出实物的高或宽等．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，
∴AC∶A′C′＝BC∶B′C′＝500∶1.
∴只要用刻度尺量出纸上B′C′的长度，就可以计算出BC的长度，加上AD长即为旗杆的高度．若量得B′C′＝a cm，则BC＝500a cm＝5a m．故旗杆高(1.5＋5a)m.
教师再用课件展示例题，可由学生自主完成，最后教师点评．
例2 为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图(a)中BO＝6 m，OD＝3.4 m，CD＝1.7 m；图(b)中CD＝1 m，FD＝0.6 m，EB＝1.8 m；图(c)中BD＝9 m，EF＝0.2 m，此人的臂长为0.6 m.
(1)说明其中运用的主要知识；
(2)分别计算出旗杆的高度．
(a)
(b)
(c)
【分析】图(a)和图(c)都运用了相似三角形对应边成比例的性质，图(b)运用了同一时刻的物高与影长成正比的性质．
解：(1)∵△AOB∽△COD，
∴＝，即＝，
∴AB＝3(m)．
(2)∵同一时刻物高与影长成正比，
∴＝，即＝，
∴AB＝3(m)．
(3)∵△CEF∽△CAB，△CFG∽△CBD，
∴＝＝，
∴＝，
∴AB＝3(m)．
教师点评：测量物体的高度可利用自己的身高、臂长等长度结合相似图形的性质求出物高，也可以运用同一时刻的物高与影长成正比的性质测量物体的高度．
三、练习巩固
教师利用课件展示习题，引导学生独立完成，点名上台展示，教师点评．
1．已知小明同学身高1.5 m，经太阳光照射，在地面的影长为2 m，若此时测得一塔在同一地面的影长为60 m，则塔高为( )
A．90 m B．80 m C．45 m D．40 m
2．如图，A，B两点被池塘隔开，在点A，B外任选一点C，连结AC，BC，分别取其三等分点M，N，量得MN＝38 m，则AB的长为( )
A．76 m B．104 m C．114 m D．152 m
3．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，一阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
4．某同学想测旗杆的高度，他在某一时刻测得1 m长的竹竿竖起时的影长为1.5 m，同一时刻测量旗杆影长时，因旗杆靠近一幢楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙上，他测得落在地面上的影长为9 m，留在墙上的影长为2 m，求旗杆的高度．
四、小结与作业
小结
这节课你学到了哪些测量物体高度的方法？
布置作业
从教材相应练习和“习题24.1”中选取．
本课时从学生身边所熟悉的测量旗杆的高度入手，通过探究设计各种测量方案，让学生学会利用所学的相似三角形、勾股定理的有关知识来解决问题，经历测量过程从而获得成功的体验，懂得数学来源于生活实际并用之于实际的道理，激发学生的学习兴趣，培养学生的动手操作能力．
24．2 直角三角形的性质
1．掌握直角三角形的性质定理，并能灵活运用．
2．继续学习几何证明的分析方法，懂得推理过程中的因果关系．知道数学内容中普遍存在的运动、变化、相互联系和相互转化的规律．
重点
直角三角形斜边上的中线性质定理的应用．
难点
直角三角形斜边上的中线性质定理的证明思想方法．
一、情境引入
复习：直角三角形是一类特殊的三角形，除了具备三角形的性质外，还具备哪些性质？
学生回答：(1)在直角三角形中，两个锐角互余；
(2)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方(勾股定理)．
二、探究新知
除了刚才同学们回答的性质外，直角三角形还具备哪些特殊性质？现在我们一起探索！
1．实验操作：要学生拿出事先准备好的直角三角形的纸片．
(1)量一量边AB的长度；
(2)找到斜边的中点，用字母D表示，画出斜边上的中线；
(3)量一量斜边上的中线的长度．
让学生猜想斜边上的中线与斜边长度之间的关系．
2．提出命题：
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
3．证明命题：
你能否用演绎推理证明这一猜想？
已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线．
求证：CD＝AB.
【分析】可“倍长中线”，延长CD至点E，使DE＝CD，易证四边形ACBE是矩形，
∴CE＝AB＝2CD.
思考 还有其他方法来证明吗？还可作如下的辅助线．
4．应用：
例 如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝30°.
求证：BC＝AB.
【分析】构造斜边上的中线，作斜边上的中线CD，易证△BDC为等边三角形，所以BC＝BD＝AB.
【归纳结论】直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
三、练习巩固
教师利用课件展示练习题，可由学生小组讨论完成，教师归纳．
1．如图，CD是Rt△ABC斜边上的中线，CD＝4，则AB＝________．
2．三角形三个角度数比为1∶2∶3，它的最大边长是4 cm，那么它的最小边长为________cm.
3．如图，在△ABC中，AD是高，CE是中线，DC＝BE，DG⊥CE，点G为垂足．
求证：(1)点G是CE的中点；
(2)∠B＝2∠BCE.
第3题图
第4题图
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝2 cm，求BC的长．
四、小结与作业
小结
1．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
2．直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
3．有斜边上的中点，要考虑构造斜边上的中线或中位线．
布置作业
从教材相应练习和“习题24.2”中选取．
本课从复习已学过的直角三角形的性质入手，通过实验操作、猜想、证明、探究直角三角形斜边上的中线性质定理，培养学生识图的能力，提高分析和解决问题的能力，在积极参与定理的学习活动中，不断增强主体意识和综合意识．
24．3 锐角三角函数
24．3.1 锐角三角形函数
第1课时 锐角三角函数
1．使学生掌握锐角的三种三角函数的定义．
2．使学生掌握锐角三角函数的取值范围．
重点
三角函数的定义及三角函数值的求法．
难点
引入参数三角函数值．
一、情境引入
教师展示课件，提出问题，引导学生进入本节学习内容．
1．含30°角的直角三角形，有什么性质？
答：30°角的直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的比值为.
2．上述结论与所选取的直角三角形的大小有关吗？
答：无关．
3．含45°角的直角三角形中，45°角所对的直角边与斜边的比值为多少？
这个比值与所选取的直角三角形的大小有关吗？
答：，无关．
4．一般地，在Rt△ABC中，∠A为其一个锐角，当∠A取一个固定的值时，∠A所对的直角边和斜边的比值固定吗？
答：固定不变，如下图．
在Rt△AB1C1，Rt△AB2C2，
Rt△AB3C3中，∠A的对边和斜边的比值分别为，，.
∵B1C1∥B2C2∥B3C3，
∴Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3，
∴＝＝＝是一个固定值．
我们把这个固定的比值，称为∠A的正弦，记作sinA，当∠A看作变量时，sinA常称为∠A的正弦函数，正弦函数是三角函数的一种，今天我们就来研究锐角三角函数．
二、探究新知
(一)锐角三角函数的定义
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°.
∠A的正弦：sinA＝＝＝，
∠A的余弦：cosA＝＝＝，
∠A的正切：tanA＝＝＝.
【教学说明】这三个三角函数的书写和含义，特别是不能看成是乘法的关系，另外角的符号也常常省略．
提问：你能按定义写出∠B的三个三角函数来吗？
(二)锐角三角函数的取值范围
在Rt△ABC中，∠A为其一锐角，有0
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