第22章 一元二次方程
22．1 一元二次方程
1．知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
2．在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识．
重点
判定一个数是否是方程的根．
难点
由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根．
一、情境引入
教师展示多媒体，引导学生列出方程，解决问题．
问题1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为多少？
【分析】设长方形绿地的宽为x米，不难列出方程
x(x＋10)＝900
整理可得
x2＋10x－900＝0.(1)
问题2 学校图书馆去年年底有图书5万册，预计到明年年底增加到7.2万册，求这两年的年平均增长率．
解：设这两年的年平均增长率为x.
我们知道，去年年底的图书数是5万册，则今年年底的图书数是5(1＋x)万册，
同样，明年年底的图书数又是今年年底的(1＋x)倍，即5(1＋x)·(1＋x)＝5(1＋x)2万册，
可列得方程5(1＋x)2＝7.2，
整理可得
5x2＋10x－2.2＝0. (2)
二、探究新知
教师指出问题，学生小组讨论，归纳．
问题1和问题2分别归结为解方程(1)和(2)．显然，这两个方程都不是一元一次方程，那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？
共同特点：
(1)都是整式方程；
(2)只含有一个未知数；
(3)未知数的最高次数是2.
【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式ax2＋bx＋c＝0(a，b，c是已知数，a≠0)．其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数，bx叫做一次项，b叫做一次项系数，c叫做常数项．
例1 判断下列方程是否为一元二次方程：
①1－x2＝0； ②2(x2－1)＝3y；
③2x2－3x－1＝0; ④－＝0；
⑤(x＋3)2＝(x－3)2; ⑥9x2＝5－4x.
解：①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是．
【教学说明】(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似⑤这样的方程要化简后才能判断．
例2 将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
解：2x2－13x＋11＝0；2，－13，11.
三、练习巩固
1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)5x2－1＝4x；
(2)4x2＝81；
(3)4x(x＋2)＝25；
(4)(3x－2)(x＋1)＝8x－3.
解：(1)5x2－4x－1＝0；5，－4，－1；
(2)4x2－81＝0；4，0，－81；
(3)4x2＋8x－25＝0；4，8，－25；
(4)3x2－7x＋1＝0；3，－7，1.
2．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式．
(1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x；
(2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x；
(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x.
解：(1)4x2＝25；4x2－25＝0；
(2)x(x－2)＝100；x2－2x－100＝0；
(3)x＝(1－x)2；x2－3x＋1＝0.
3．若x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根，求a的值．
解：∵x＝2是方程ax2＋4x－5＝0的一个根．
∴4a＋8－5＝0，
解得a＝－.
四、小结与作业
小结
1．只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．
3．在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性．
布置作业
从教材相应练习和“习题22.1”中选取．
学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程解决实际问题．
22．2 一元二次方程的解法
22．2.1 直接开平方法和因式分解法
1．会用直接开平方法解形如a(x－k)2＝b(a≠0，ab≥0)的方程．
2．灵活应用因式分解法解一元二次方程．
3．使学生了解转化的思想在解方程中的应用．
重点
利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程．
难点
合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程．
一、情境引入
教师提出问题，让学生说出作业中的解法，教师板书．
问：怎样解方程(x＋1)2＝256?
解：方法1：直接开平方，得x＋1＝±16，
∴原方程的解是x1＝15，x2＝－17.
方法2：原方程可变形为
(x＋1)2－256＝0，
方程左边分解因式，得(x＋1＋16)(x＋1－16)＝0，
即(x＋17)(x－15)＝0，
∴x＋17＝0或x－15＝0，
原方程的解是x1＝15，x2＝－17.
二、探究新知
教师多媒体展示，学生板演，教师点评．
例1 用直接开平方法解下列方程：
(1)(3x＋1)2＝7； (2)y2＋2y＋1＝24；
(3)9n2－24n＋16＝11.
解：(1)；
(2)－1±2；
(3).
【教学说明】运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程时，最容易出现的错误是漏掉负根．
例2 用因式分解法解下列方程：
(1)5x2－4x＝0；
(2)3x(2x＋1)＝4x＋2；
(3)(x＋5)2＝3x＋15.
解：(1)x1＝0，x2＝；
(2)x1＝，x2＝－；
(3)x1＝－5，x2＝－2.
【教学说明】解这里的(2)(3)题时，注意整体划归的思想．
三、练习巩固
教师多媒体展示出题目，由学生自主完成，分组展示结果，教师点评．
1．用直接开平方法解下列方程：
(1)3(x－1)2－6＝0；
(2)x2－4x＋4＝5；
(3)(x＋5)2＝25；
(4)x2＋2x＋1＝4.
解：(1)x1＝1＋，x2＝1－；
(2)x1＝2＋，x2＝2－；
(3)x1＝0，x2＝－10；
(4)x1＝1，x2＝－3.
2．用因式分解法解下列方程：
(1)x2＋x＝0； (2)x2－2x＝0；
(3)3x2－6x＝－3; (4)4x2－121＝0；
(5)(x－4)2＝(5－2x)2.
解：(1)x1＝0，x2＝－1；
(2)x1＝0，x2＝2；
(3)x1＝x2＝1；
(4)x1＝，x2＝－；
(5)x1＝3，x2＝1.
3．把小圆形场地的半径增加5 m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径．
解：设小圆形场地的半径为x m.
则可列方程2πx2＝π(x＋5)2，
解得x1＝5＋5，x2＝5－5(舍去)．
答：小圆形场地的半径为(5＋5) m.
四、小结与作业
小结
1．引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤．
2．对于形如a(x－k)2＝b(a≠0，ab≥0)的方程，只要把(x－k)看作一个整体，就可转化为x2＝n(n≥0)的形式用直接开平方法解．
3．当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可约去相同因式，而应用因式分解法解．
布置作业
从教材相应练习和“习题22.2”中选取．
本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨论，
归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想．
22．2.2 配方法
1．使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程．
2．在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能．
重点
使学生掌握用配方法解一元二次方程．
难点
发现并理解配方的方法．
一、情境引入
教师多媒体展示问题，引导学生解决问题．
问题 要使一块矩形场地的长比宽多6 m，并且面积为16 m2，场地的长和宽分别是多少？
解：设场地的宽为x m，则长为(x＋6) m，
根据矩形面积为16 m2，得到方程 x(x＋6)＝16，
整理得到 x2＋6x－16＝0．
二、探究新知
教师多媒体展示问题，用问题唤起学生的回忆，明确该问题的特点．
探究 如何解方程x2＋6x－16＝0?
问题1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明．
【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即(x＋m)2＝n(n≥0)，运用直接开平方法可求解．
问题2 你会用直接开平方法解下列方程吗？
(1)(x＋3)2＝25；
(2)x2＋6x＋9＝25；
(3)x2＋6x＝16；
(4)x2＋6x－16＝0.
教师重点讲解第3小题．
解：移项，得x2＋6x＝16，
两边都加上__9__即__()2__，
使左边配成x2＋bx＋()2的形式，得
__x__2＋6__x__＋9＝16＋__9__，
左边写成完全平方形式，得
__(x＋3)2＝25__，
开平方，得__x＋3＝±5__，(降次)
即__x＋3＝5__或__x＋3＝－5__，
解一次方程得x1＝__2__，x2＝__－8__．
【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．
教师展示课件，让学生自主完成以下例题，小组展示，教师点评归纳．
例1 填空：
(1)x2＋8x＋___16___＝(x＋__4__)2；
(2)x2－x＋____＝(x－____)2；
(3)4x2＋4x＋__1__＝(2x＋__1__)2.
例2 解下列方程：
(1)x2＋6x＋5＝0； (2)2x2＋6x＋2＝0；
(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0.
解：(1)x1＝－1，x2＝－5；
(2)x1＝－，x2＝－－；
(3)x1＝－2，x2＝－－2.
【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤：
(1)把方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0；
(2)把常数项移到方程的右边；
(3)方程两边同时除以二次项系数a；
(4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用直接开平方法来解．
三、练习巩固
学生独立解答以下练习，小组内交流，上台展示并讲解思路．
1．用配方法解下列方程：
(1)2x2－4x－8＝0；
(2)x2－4x＋2＝0；
(3)x2－x－1＝0.
2．如果x2－4x＋y2＋6y＋＋13＝0，求(xy)z的值．
四、小结与作业
小结
1．用配方法解一元二次方程的步骤．
2．用配方法解一元二次方程的注意事项．
布置作业
从教材相应练习和“习题22.2”中选取．
本节课先创设情境导入一元二次方程的解法，引导学生将要解决的问题转化为已学过的直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程．
22．2.3 公式法
1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念．
2．会熟练应用公式法解一元二次方程．
重点
求根公式的推导和公式法的应用．
难点
一元二次方程求根公式的推导．
一、情境引入
用配方法解方程：
(1)x2＋3x＋2＝0； (2)2x2－3x＋5＝0.
解：(1)x1＝－1，x2＝－2； (2)无解．
二、探究新知
教师多媒体展示问题，引导学生利用配方法推出求根公式，学生小组展示．
如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步骤求出它的两根？
问题 已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，试推导它的两个根x1＝，
x2＝.
【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把a，b，c也当成具体数字，根据上面的解题步骤就可以推导下去．
探究 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系数a，b，c而定，因此：
(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0，当b2－4ac≥0时，将a，b，c代入式子x＝就得到方程的根，当b2－4ac0时，方程有两个不相等的实数根：
x1＝，x2＝；
(2)当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根：
x1＝x2＝－；
(3)当Δ0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
(2)Δ＝0时，一元二次方程有两个相等的实数根；
(3)Δ
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