第25章 随机事件的概率
25．1 在重复试验中观察不确定现象
1．理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．
2．会用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小．
重点
1．理解随机事件的特点，会判断现实生活中哪些事件是随机事件．
2．通过试验的方法来判断随机事件发生机会的大小．
难点
判断现实生活中哪些事件是随机事件．
一、情境引入
教师展示课件，列举例子，激发学生的兴趣，让学生体会数字源于生活，生活处处有数学．
1．播放一段天气预报，引出一句古话“天有不测风云”．从这句话引申出世界上有很多事情具有偶然性．人们不能事先判断这些事情是否会发生，但是随着对事件发生可能性的深入研究，人们发现许多偶然事件的发生也是有规律可循的，所以天气预报也只是对未来天气的预测，但并不是一定会如此．
随后教师提出问题，引起学生的注意和思考，让学生感知事件的发生有多种可能．
2．分析说明下列事件能否一定发生．
(1)今天不上课；
(2)明天要下雨；
(3)煮熟的鸭子飞了；
(4)抛掷一枚硬币，正面向上．
二、探究新知
教师结合课件提出问题，请学生动手操作试验，感知事件发生的多种情况，经过操作试验思考问题，让学生分析阐述自己的观点，初步感知事件发生的情况类别．
探究1 掷一枚正方体骰子，请考虑以下问题：
(1)掷得的点数有几种可能的结果？
(2)掷得的点数会是1吗？
(3)掷得的点数小于7吗？
(4)掷得的点数会是0吗？
1．从上述探究中可知，有些事件发生与否是可以事先确定的，有些事件发生与否是不能事先确定的．
【教学说明】教师引导学生归纳总结事件发生的三种情况，增强学生对事件发生可能性的认识．
【归纳结论】我们称那些无需通过试验就能够预先确定它们在每次试验中都一定会发生的事件为必然事件，称那些在每次试验中都一定不会发生的事件为不可能事件，必然事件和不可能事件统称为确定事件，无法预先确定在一次试验中会不会发生的事件称为随机事件．
2．请同学们举生活中的实例说明必然事件、不可能事件、随机事件．
【教学说明】学生结合定义列举，并能稍作阐述，教师讲评、归纳、鼓励．
3．做一做
准备三张大小一样的图片，把每张图片都对折，剪成大小一样的两张．将这六张小图片有图案的一面朝下，然后混合，让你的同伴随机抽出两张小图片．
问题：(1)你认为抽出的两张小图片正好能成功拼成原图的机会大吗？
(2)猜一猜，大概平均几次里会有一次成功呢？并通过试验验证你的猜想．
【教学说明】教师提出问题，引导学生试验，学生通过试验，观察结果，思考并得出结论，体会随机事件发生的可能性大小．
探究2 问题：随机事件是否发生，没人能够预测，这就叫“随机性”，但是在捉摸不透的背后，是否隐藏着某种规律？
阅读教材128～129页图表．
思考：(1)通过以上图表，你发现有什么规律？发现当试验次数比较多的时候，“出现正面”的频率在0.5附近波动．
(2)如果换成其他试验，是否也能发现类似的规律？
试验：
与你的同伴合作，做一做抛掷两枚硬币的游戏，全班同学每人各掷20次，一位同学抛的时候，另一位同学协助记录试验结果，汇集其他同学的记录，完成教材表25.1.3和图25.1.2.
思考：通过试验你发现
1．在试验中，“出现两个正面”的频率稳定在________%附近，“出现一正一反”的频率稳定在________%附近．
2．如果将试验中的硬币换成瓶盖，你觉得频率也会逐渐稳定吗？如果是，那么稳定的数值会和(1)中的一致吗？
用试验验证你的猜想．
【归纳结论】通过前面的试验，我们可以发现，虽然每次试验的结果是随机、无法预测的，但随着试验次数的增加，事件发生的频率会稳定在某一个数值附近，所以我们可以用频率估计随机事件在每次试验时发生的机会的大小．
三、练习巩固
教师利用课件展示练习，因为题目较为简单，可让学生自主完成，教师再选派几名学生作答．
1．下列事件中，属于必然事件的是( )
A．男生的身高一定超过女生
B．方程4x2＝0有实数解
C．明天数学考试小明一定得满分
D．两个无理数相加一定是无理数
2．下列事件中，哪些是随机事件？哪些是必然事件？哪些是不可能事件？说说你的理由．
(1)掷一枚骰子，6点朝上；
(2)367人中至少有2人出生日期相同；
(3)小明想用长度为10 cm，20 cm，30 cm的小木条，首尾相接，做一个三角形；
(4)小明买福利彩票，中500万奖金．
3．20张卡片分别写着1，2，3，…，20，从中任意抽取一张，号码是2的倍数的机会有多大？你能预测吗？请用重复试验的方法检验你的猜想．
四、小结与作业
小结
本堂课你学到了哪些有关随机事件的知识？
你有哪些收获和体会，学生回顾，师生共同归纳总结．
布置作业
从教材相应练习和“习题25.1”中选取．
通过这些生动的、有趣的实例，自然地引出必然事件和不可能事件；其次，必然事件和不可能事件相对于随机事件来说，特征比较明显，学生容易判断，把它们首先提出来，符合由浅入深的理念，容易激发学生的学习积极性．“掷骰子”、“拼图”、“掷硬币”等活动是学生容易理解或亲身经历的，操作简单省时，又具有很好的经验性，最主要的是活动中含有丰富的随机事件，激发学生的探知欲．
25．2 随机事件的概率
25．2.1 概率及其意义
通过试验，理解事件发生的可能性问题，感受理论概率的意义．
重点
运用分析的方法在较为简单的问题情境下预测概率．
难点
对概率的理解．
一、情境引入
教师活动：拿出一枚硬币抛掷，提问：结果有几种情况？
学生活动：拿出一枚硬币抛掷，发现结果只有两种情况——“出现正面”和“出现反面”，而且发生的可能性均等，各占50%的机会．
教师引入：一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率．
学生联想：抛掷一枚硬币，“出现正面”的概率是，“出现反面”的概率是.
教师引导：可记作P(出现正面)＝，P(出现反面)＝.
二、探究新知
实践活动：引导学生在实验中寻找方法．
抛掷一枚普通的六面体骰子，“出现数字为5”的概率为多少？
学生回答：，可记作P(出现数字为5)＝.
上述例子可以经过分析很快地得出概率，但是实际中，许多问题是要通过进行重复试验、观察频率值的办法来解决的．请看下面一个例子，见课本P136表25.2.1.
学生活动：对表25.2.1中的问题进行试验．
思路点拨：(1)关注的是哪个或哪些结果；(2)注意所有机会均等．(1)、(2)这两种结果个数的比就是所关注的结果发生的概率．
问题情境1：课本P137问题1
学生活动：分四人小组展开对“问题1”的试验，并从中得到规律：如果掷的次数很多，试验的频率渐趋稳定，平均每6次就有1次掷出“6”．
【教学说明】通过试验，让学生逐步计算一个随机事件发生的试验频率，并观察其中的规律性，从而归纳出试验概率趋于理论概率这一规律．
例1 见课本P139例1
思路点拨：本题是简单的古典概率，理论上很容易求出其概率．P(抽到男同学的名字)＝＝，P(抽到女同学的名字)＝＝，所以选乙袋成功机会大．
三、练习巩固
教师利用课件展示练习，可由学生自主完成，第1，2，3题由学生抢答，第4题教师点名上台展示，再点评．
1．任意投掷均匀的骰子，4朝上的概率是________．
2．袋中装有6个红球和7个白球，且除颜色外，这些球都相同，从袋中任意摸出红球的概率是________．
3．一副扑克牌(去掉大王和小王)，随机抽取一张，抽取红桃的概率是________．
4．如图，有一个被等分为8个扇形的转盘，转动转盘，指针落在白色区域的概率是( )
A．1 B.
C. D.
5．袋子里有1个红球，3个白球，5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸1个球：
(1)摸到红球的概率是多少？
(2)摸到白球的概率是多少？
(3)摸到黄球的概率是多少？
(4)哪一个概率最大？
四、小结与作业
小结
1．什么叫概率？
2．本节中的试验结果所产生的趋势与理论概率之间有什么关系？
3．试验次数的大小与所得的“估计值”有什么关系？
4．谈谈你对概率的理解和体会．
布置作业
从教材相应练习和“习题25.2”中选取．
通过抛掷硬币，用学生喜欢的掷骰子和扑克牌试验导入新课，吸引学生迅速进入状态，让学生充分认识概率的意义；由学生自主探索，合作交流，运用分析的方法预测概率，使学生掌握本节课的知识，学生在解决问题的过程中，提高了思维能力，增强思维的缜密性，并且培养了学生解决问题的能力和信心．
25.2.2 频率与概率
1．了解运用列表法和树状图法理论分析随机事件的概率．
2．理解每次试验可能的结果不是有限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，利用统计频率的方法估计概率．
重点
频率与概率的理解和应用．
难点
利用频率估计概率的理解．
一、情境引入
先前我们学习了用分析的方法求随机事件的概率，那么这里的问题情境中，很容易让学生想到这个事件的结果不能分析出来，而且每种结果出现的可能性也不一定是相同的，从而引发学生的求知：对这类事件的概率该怎样求解呢？引入课题．
问题：要想知道一个鱼缸里有12条鱼，只要数一数就可以了，但要估计一个鱼塘里有多少条鱼，该怎么办？
二、探究新知
问题1：怎样运用理论分析的方法求抛掷两枚硬币时出现两个正面的概率呢？
【分析】
列表法
硬币1
硬币2
正
反
正
正正
反正
反
正反
反反
树状图法
思考：理论分析与重复试验得到的结果是否是一致的？
问题2：见课本P142问题3
学生用自制的转盘做试验，并完成课本P143表25.2.4和图25.2.3.
拓展延伸：课本P143“思考”
【教学说明】让学生通过试验的方法来预测随机事件的概率．
问：你能用理论分析的方法来预测两个转盘指针停在蓝色区域的概率吗？
归纳：P(小转盘指针停在蓝色区域)＝____，
P(大转盘指针停在蓝色区域)＝____．
思考1：从重复试验结果中你得出了哪些结论？
对以上这些问题，既可以通过分析用计算的方法预测概率，
也可以通过重复试验用频率来估计概率．
思考2：是不是所有的问题都可以这样呢？
问题3：将一枚图钉随意向上抛起，求图钉落定后钉尖触地的概率．
【分析】由于图钉的形状比较特殊，我们无法用分析的方法预测P(钉尖朝上)与P(钉尖触地)的值，因此只能靠重复试验来帮忙．
【教学说明】让学生分成几个小组，每小组10人，每人试验50次，每个小组数据累加起来，并作好每个小组的试验记录．
归纳：通过试验发现，当试验进行到720次后，所得的频率值就在46%上下浮动，我们可以取46%作为这个事件发生概率的估计值，即P(钉尖触地)≈46%.
三、练习巩固
教师利用课件展示练习题，可由学生自主完成，分小组展示，教师点评．
1．含有4种花色的36张扑克牌的牌面都朝下，每次抽出一张记下花色后再原样放回，洗匀牌后再抽．不断重复上述过程，记录抽到红心的频率为25%，那么其中扑克牌花色是红心的大约有________张．
2．一个口袋中有12个白球和若干个黑球，在不允许将球倒出来数的前提下，小亮为估计口袋中黑球的个数，采用了如下的方法：每次先从口袋中摸出10个球，求出其中白球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程5次，得到的白球数与10的比值分别为0.4，0.1，0.2，0.1，0.2.根据上述数据，小亮可估计口袋中大约有________个黑球．
3．在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
(1)请估计，当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；
(2)假如你去摸一次，你摸到白球的概率是________，摸到黑球的概率是________．
(3)试估算口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？
四、小结与作业
小结
1．你知道什么时候用频率来估计概率吗？
2．你会用频率估计概率来解决实际问题吗？
【教学说明】教师先提出上述问题，让学生相互交流，再选派几名同学进行回顾总结，师生再共同完善．
布置作业
从教材相应练习和“习题25.2”中选取．
1．猜想试验、分析讨论、合作探究的学习方式十分有益于学生对概率意义的理解，明确频率与概率的联系，也使本节课教学重难点得以突破．当然，学生随机观念的养成是循序渐进的、长期的，这节课教师应把握教学难度，注意关注学生接受情况．
2．一般地，当试验的可能结果是有限个而且各种结果发生的可能性相等时，可以用P(A)
＝的方式得出概率．当试验的所有可能的结果是无限个，或各种可能结果发生的可能性不相等时，常常是通过统计频率来估计概率．
25．2.3 列举所有机会均等的结果
理解并掌握列表法和树状图法求随机事件的概率，并利用它们解决问题，正确认识在什么条件下使用列表法，什么条件下使用树状图法．
重点
会用列表法和树状图法求随机事件的概率．
区分什么时候用列表法，什么时候用树状图法求概率．
难点
列表法是如何列表，树状图的画法．
列表法和树状图法的选取方法．
一、情境引入
教师展示课件，情境激趣，在最短时间内激起学生的求知欲和探索欲．
播放视频《田忌赛马》，提出问题，引入新课．
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢，已知田忌的马比齐王的马略逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不及齐王的下马．田忌屡败后，接受了孙膑的建议，结果两胜一负，赢了比赛．
(1)你知道孙膑给的是怎样的建议吗？
(2)假如在不知道齐王出马顺序的情况下，田忌能赢的概率是多少呢？
二、探究新知
1．树状图法求概率
课本149页例4
【分析】对于第1次抛掷，可能出现的结果是正面或反面；对于第2，3次抛掷来说也是这样，而且每次硬币出现正面或反面的概率都相等，由此，我们可以画出树状图．
【教学说明】教师引导学生画树状图，使学生动手体会如何画树状图，指导学生规范地应用树状图法解决概率问题．
由例4总结得：树状图从上到下，列举了所有机会均等的结果，可以帮助我们分析问题，而且可以避免重复和遗漏，既直观又条理分明．
思考：有的同学认为：抛掷三枚普通硬币，硬币落地后只可能出现四种结果：
(1)全是正面； (2)两正一反；
(3)两反一正； (4)全是反面．
因此这四个事件出现的概率相等，你同意这种说法吗？为什么？
答：不同意．因为由树状图可知在8种等可能结果中，全是正面的只有1种，两正一反的有3种，两反一正的有3种，全是反面的只有1种．
应用：课本150页问题5
【分析】把两个白球分别记为白1和白2，画出树状图，从中可以看出，一共有9种等可能结果，在“摸出两红”、“摸出两白”、“摸出一红一白”这三个事件中，“摸出两红”
的概率最小，为，“摸出两白”和“摸出一红一白”的概率相等，都是.
【教学说明】教师引导学生画出树状图，注意第一次摸出1个球，放回搅匀这一条件；注意分析“放回”与“不放回”的区别．
2．列表法求概率
课本151页问题6
【分析】这一问题可用树状图法，但不如列表法的结果简明．
【教学说明】引导学生如何列表，指导学生体会列表法对列举所有可能的结果所起的作用，并比较它与树状图法的优劣．
应用：课本152页问题7
分析：如图，画出树状图：
试一试：
请用列表法分析问题7.
思考：两种方法结论是否一致？
答：一致．
【教学说明】教师引导学生应用树状图法求概率，详细讲解树状图各点的操作方法，学生结合列表法，理解分析，体会树状图的用法，体验树状图的优势．
三、练习巩固
教师利用课件展示练习题，学生交流合作，教师指导分析列表或画树状图．
1．在一个不透明的盒子里装有用“贝贝(B)”、“晶晶(J)”、“欢欢(H)”、“迎迎(Y)”和“妮妮(N)”五个福娃的图片制成的五张外形完全相同的卡片．小华设计了四种卡片获奖的方案(每个方案都是前后共抽两次，每次从盒子里抽取一张卡片)．
①第一次抽取后放回盒子并混合均匀，先抽到“B”，后抽到“J”；
②第二次抽取后放回盒子并混合均匀，抽到“B”和“J”(不分先后)；
③第一次抽取后不再放回盒子，先抽到“B”，后抽到“J”；
④第一次抽取后不再放回盒子，抽到“B”和“J”(不分先后)．
问：(1)上述四种方案，抽中卡片的概率依次是________，________，________，________．
(2)如果让你选择其中的一种方案，你会选择哪种方案？为什么？
四、小结与作业
小结
1．一次试验中可能出现的结果是有限多个，各种结果发生的可能性是相等的，通常可用列表法和树状图法求得各种可能结果．
2．注意第二次放回与不放回的区别．
3．一次实验中涉及3个或更多个因素时，不重不漏地求出所有可能的结果，通常采用树状图法．
布置作业
从教材相应练习和“习题25.2”中选取．
本课通过生活实例引入新课，激发学生的学习兴趣，通过例题分析用树状图法和列表法求概率的具体步骤和方法．并比较它们的优劣，让学生有比较地掌握方法，让学生理解更深
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