第二十四章 圆
24．1 圆的有关性质
24. 1. 1 圆
1．了解圆的基本概念，并能准确地表示出来．
2. 理解并掌握与圆有关的概念：弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等．
重点：与圆有关的概念．
难点：圆的有关概念的理解．
一、自学指导．(10分钟)
自学：研读课本P79～80内容，理解记忆与圆有关的概念，并完成下列问题．
探究：
①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做__圆__，固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做__半径__．
②用集合的观点叙述以O为圆心，r为半径的圆，可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合．
③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦，经过圆心的弦叫做__直径__；圆上任意两点间的部分叫做圆弧；圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆，大于半圆的弧叫做__优弧__，小于半圆的弧叫做__劣弧__．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(3分钟)
1．以点A为圆心，可以画__无数__个圆；以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆；以点A为圆心，AB的长为半径，可以画__1__个圆．
点拨精讲：确定圆的两个要素：圆心(定点)和半径(定长)．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．
2．到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心，__5__为半径的圆．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(5分钟)
1．⊙O的半径为3 cm，则它的弦长d的取值范围是__0＜d≤6__．
点拨精讲：直径是圆中最长的弦．
2．⊙O中若弦AB等于⊙O的半径，则△AOB的形状是__等边三角形__．
点拨精讲：与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型．
3．如图，点A，B，C，D都在⊙O上．在图中画出以这4点为端点的各条弦．这样的弦共有多少条？
解：图略.6条．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(15分钟)
1．(1)在图中，画出⊙O的两条直径；
(2)依次连接这两条直径的端点，得一个四边形．判断这个四边形的形状，并说明理由．
解：矩形．理由：由于该四边形对角线互相平分且相等，所以该四边形为矩形．作图略．
点拨精讲：由刚才的问题思考：矩形的四个顶点一定共圆吗？
2．一点和⊙O上的最近点距离为4 cm，最远点距离为10 cm，则这个圆的半径是__3_cm或7_cm__．
点拨精讲：这里分点在圆外和点在圆内两种情况．
3．如图，图中有__1__条直径，__2__条非直径的弦，圆中以A为一个端点的优弧有__4__条，劣弧有__4__条．
点拨精讲：这类数弧问题，为防多数或少数，通常按一定的顺序和方向来数．
,第3题图) ,第4题图)
4．如图，⊙O中，点A，O，D以及点B，O，C分别在一直线上，图中弦的条数为__2__．
点拨精讲：注意紧扣弦的定义．
5．如图，CD为⊙O的直径，∠EOD＝72°，AE交⊙O于B，且AB＝OC，求∠A的度数．
解：24°.
点拨精讲：连接OB构造三角形，从而得出角的关系．
,第5题图) ,第6题图)
6．如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D是BC的中点，若AC＝10 cm，求OD的长．
解：5 cm.
点拨精讲：这里别忘了圆心O是直径AB的中点．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
1．圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件．
2．圆的相关概念：(1)弦、直径；(2)弧及其表示方法；(3)等圆、等弧．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
24．1.2 垂直于弦的直径
1．圆的对称性．
2．通过圆的轴对称性质的学习，理解垂径定理及其推论．
3．能运用垂径定理及其推论进行计算和证明．
重点：垂径定理及其推论．
难点：探索并证明垂径定理．
一、自学指导．(10分钟)
自学：研读课本P81～83内容，并完成下列问题．
1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴，它也是中心对称图形，对称中心为圆心．
2．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧，即一条直线如果满足：①AB经过圆心O且与圆交于A，B两点；②AB⊥CD交CD于E，那么可以推出：③CE＝DE；④＝；⑤＝.
3．平分弦(非直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
点拨精讲：(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径．
(2)实际上，当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，这五个条件中的任何两个，就可推出另外三个．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
1．在⊙O中，直径为10 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则弦AB的长为 __8_cm__．
2．在⊙O中，直径为10 cm，弦AB的长为8 cm，则圆心O到AB的距离为__3_cm__．
点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个，即可求出另一个．
3．⊙O的半径OA＝5 cm，弦AB＝8 cm，点C是AB的中点，则OC的长为__3_cm__．
点拨精讲：已知弦的中点，连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线．
4．某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24米，拱的半径为13米，则拱高为多少米？
(8米)
点拨精讲：圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个，即可求出另一个．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(6分钟)
1．AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，E为垂足，若AE＝9，BE＝1，求CD的长．
解：6.
点拨精讲：常用辅助线：连接半径，由半径、半弦、弦心距构造直角三角形．
2．⊙O的半径为5，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则线段OM的长的最小值为__3__，最大值为__5__．
点拨精讲：当OM与AB垂直时，OM最小(为什么)，M在A(或B)处时OM最大．
3．如图，线段AB与⊙O交于C，D两点，且OA＝OB.求证：AC＝BD.
证明：作OE⊥AB于E.则CE＝DE.
∵OA＝OB，OE⊥AB，
∴AE＝BE，
∴AE－CE＝BE－DE.
即AC＝BD.
点拨精讲：过圆心作垂线是圆中常用辅助线．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．在直径是20 cm的⊙O中，∠AOB的度数是60°，那么弦AB的弦心距是__5__cm.
点拨精讲：这里利用60°角构造等边三角形，从而得出弦长．
2．弓形的弦长为6 cm，弓形的高为2 cm，则这个弓形所在的圆的半径为____cm.
3．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．求证：AC＝BD.
证明：过点O作OE⊥AB于点E.
则AE＝BE，CE＝DE.
∴AE－CE＝BE－DE.
即AC＝BD.
点拨精讲：过圆心作垂径．
4．已知⊙O的直径是50 cm，⊙O的两条平行弦AB＝40 cm，CD＝48 cm，求弦AB与CD之间的距离．
解：过点O作直线OE⊥AB于点E，直线OE与CD交于点F.由AB∥CD，则OF⊥CD.
(1)当AB，CD在点O两侧时，如图①.连接AO，CO，则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.
由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.
∴EF＝OE＋OF＝22 (cm)．
即AB与CD之间距离为22 cm.
(2)当AB，CD在点O同侧时，如图②，连接AO，CO.则AO＝CO＝25 cm，AE＝20 cm，CF＝24 cm.
由勾股定理知OE＝15 cm，OF＝7 cm.
∴EF＝OE－OF＝8 (cm)．
即AB与CD之间距离为8 cm.
由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.
点拨精讲：分类讨论，①AB，CD在点O两侧，②AB，CD在点O同侧．
学生总结本堂课的收获与困惑．(3分钟)
1．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
2．垂径定理及其推论以及它们的应用．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
24．1.3 弧、弦、圆心角
1. 通过学习圆的旋转性，理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系．
2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题．
重点：圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理．
难点：探索推导定理及其应用．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学教材P83～84内容，回答下列问题．
探究：
1．顶点在__圆心__的角叫做圆心角，能够重合的圆叫做__等圆__；能够__重合__的弧叫做等弧；圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合，这就是圆的__旋转性__．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧__相等__，所对的弦也__相等__．
3．在同圆或等圆中，两个__圆心角__，两条__弦__，两条__弧__中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也相等．
4．在⊙O中，AB，CD是两条弦，
(1)如果AB＝CD，那么__＝，__∠AOB＝∠COD__；
(2)如果＝，那么__AB＝CD__，__∠AOB＝∠COD；
(3)如果∠AOB＝∠COD，那么__AB＝CD__，＝__．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
1．如图，AD是⊙O的直径，AB＝AC，∠CAB＝120°，根据以上条件写出三个正确结论．(半径相等除外)
(1)__△ACO_≌_△ABO__；
(2)__AD垂直平分BC__；
(3)＝.
2．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝60°，求证：∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
证明：∵＝，∴AB＝AC.
又∵∠ACB＝60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC＝BC，
∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
,第2题图) ,第3题图)
3．如图，(1)已知＝.求证：AB＝CD.
(2)如果AD＝BC，求证：＝.
证明：(1)∵＝，
∴＋＝＋，
∴＝，∴AB＝CD.
(2)∵AD＝BC，
∴＝，
∴＋＝＋，即＝.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(
7分钟)
1．⊙O中，一条弦AB所对的劣弧为圆周的，则弦AB所对的圆心角为__90°__．
点拨精讲：整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角．
2．在半径为2的⊙O中，圆心O到弦AB的距离为1，则弦AB所对的圆心角的度数为__120°__．
3．如图，在⊙O中，＝，∠ACB＝75°，求∠BAC的度数．
解：30°.
,第3题图) ,第4题图)
4．如图，AB，CD是⊙O的弦，且AB与CD不平行，M，N分别是AB，CD的中点，AB＝CD，那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么？为什么？
点拨精讲：(1)OM，ON具备垂径定理推论的条件．
(2)同圆或等圆中，等弦的弦心距也相等．
解：∠AMN＝∠CNM.
∵AB＝CD，M，N为AB，CD中点，
∴OM＝ON，OM⊥AB，ON⊥CD，
∴∠OMA＝∠ONC，∠OMN＝∠ONM，
∴∠OMA－∠OMN＝∠ONC－∠ONM.
即∠AMN＝∠CNM.
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．如图，AB是⊙O的直径，＝＝，∠COD＝35°，求∠AOE的度数．
解：75°.
,第1题图) ,第2题图)
2．如图所示，CD为⊙O的弦，在CD上截取CE＝DF，连接OE，OF，它们的延长线交⊙O于点A，B.
(1)试判断△OEF的形状，并说明理由；
(2)求证：＝.
解：(1)△OEF为等腰三角形．
理由：过点O作OG⊥CD于点G，
则CG＝DG.∵CE＝DF，
∴CG－CE＝DG－DF.
∴EG＝FG.∵OG⊥CD，
∴OG为线段EF的垂直平分线．
∴OE＝OF，
∴△OEF为等腰三角形．
(2)证明：连接AC，BD.
由(1)知OE＝OF，
又∵OA＝OB，
∴AE＝BF，∠OEF＝∠OFE.
∵∠CEA＝∠OEF，∠DFB＝∠OFE，
∴∠CEA＝∠DFB.
在△CEA与△DFB中，
AE＝BF，∠CEA＝∠BFD，CE＝DF，
∴△CEA≌△DFB，∴AC＝BD，∴＝.
点拨精讲：(1)过圆心作垂径；(2)连接AC，BD，通过证弦等来证弧等．
3．已知：如图，AB是⊙O的直径，M，N是AO，BO的中点．CM⊥AB，DN⊥AB，分别与圆交于C，D点．求证：＝.
证明：连接AC，OC，OD，BD.
∵M，N为AO，BO中点，
∴OM＝ON，AM＝BN.
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°.
在Rt△CMO与Rt△DNO中，
OM＝ON，OC＝OD，
∴Rt△CMO≌Rt△DNO.
∴CM＝DN.在Rt△AMC和Rt△BND中，
AM＝BN，∠AMC＝∠BND，CM＝DN，
∴△AMC≌△BND.
∴AC＝BD.∴＝.
点拨精讲：连接AC，OC，OD，BD，构造三角形．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
24．1.4 圆周角
1．理解圆周角的定义，会区分圆周角和圆心角．
2．能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论．
重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
一、自学指导．(10分钟)
自学：阅读教材P85～87，完成下列问题．
归纳：
1．顶点在__圆周__上，并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角．
2．在同圆或等圆中，__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的__圆心角__的一半．
3．在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也__相等__．
4．半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__，90°的圆周角所对的弦是__直径__．
5．圆内接四边形的对角__互补__．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(8分钟)
1．如图所示，点A，B，C，D在圆周上，∠A＝65°，求∠D的度数．
解：65°.
,第1题图) ,第2题图)
2．如图所示，已知圆心角∠BOC＝100°，点A为优弧上一点，求圆周角∠BAC的度数．
解：50°.
3．如图所示，在⊙O中，∠AOB＝100°，C为优弧AB的中点，求∠CAB的度数．
解：65°.
,第3题图) ,第4题图)
4．如图所示，已知AB是⊙O的直径，∠BAC＝32°，D是AC的中点，那么∠DAC的度数是多少？解：29°.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)
1．如图所示，点A，B，C在⊙O上，连接OA，OB，若∠ABO＝25°，则∠C＝__65°__．
,第1题图) ,第2题图)
2．如图所示，AB是⊙O的直径，AC是弦，若∠ACO＝32°，则∠COB＝ __64°__．
3．如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC，AD，BD的长．
解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°.
∴BC＝＝8 (cm)．
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD，
∴AD＝BD.由AB为直径，知AD⊥BD，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴AD2＋BD2＝2AD2＝2BD2＝AB2，
∴AD＝5 cm，BD＝5 cm.
点拨精讲：由直径产生直角三角形，由相等的圆周角产生等腰三角形．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(8分钟)
1．如图所示，OA为⊙O的半径，以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D，若OD＝5 cm，则BE＝__10_cm__．
点拨精讲：利用两个直径构造两个垂直，从而构造平行，产生三角形的中位线．
,第1题图) ,第2题图)
2．如图所示，点A，B，C在⊙O上，已知∠B＝60°，则∠CAO＝__30°__．
3．OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB＝2∠BOC.求证：∠ACB＝2∠BAC.
证明：∵∠AOB是劣弧所对的圆心角，
∠ACB是劣弧所对的圆周角，
∴∠AOB＝2∠ACB.
同理∠BOC＝2∠BAC，∵∠AOB＝2∠BOC，∴∠ACB＝2∠BAC.
点拨精讲：看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角，再看所对的圆心角．
4．如图，在⊙O中，∠CBD＝30°，∠BDC＝20°，求∠A.
解：∠A＝50°
点拨精讲：圆内接四边形的对角互补．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
圆周角的定义、定理及推论．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
24．2 点和圆、直线和圆的位置关系
24．2.1 点和圆的位置关系
1. 结合实例，理解平面内点与圆的三种位置关系．
2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．
3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．
4．了解反证法的证明思想．
重点：点和圆的位置关系；不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．
难点：反证法的证明思路．
一、自学指导．(10分钟)
自学：阅读教材P92～94.
归纳：
1．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔__d＞r__；点P在圆上⇔__d＝r__ ；点P在圆内⇔__d＜r__ .
2.经过已知点A可以作__无数__个圆，经过两个已知点A，B可以作__无数__个圆；它们的圆心__在线段AB的垂直平分线__上；经过不在同一条直线上的A，B，C三点可以作__一个__圆．
3．经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形的三条边__垂直平分线__的交点，叫做这个三角形的外心．
任意三角形的外接圆有__一个__，而一个圆的内接三角形有__无数个__．
4．用反证法证明命题的一般步骤：
①反设：__假设命题结论不成立__；
②归缪：__从假设出发，经过推理论证，得出矛盾__；
③下结论：__由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题成立__．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6分钟)
1．在平面内，⊙O的半径为5 cm，点P到圆心的距离为3 cm，则点P与⊙O的位置关系是点__P在圆内__．
2．在同一平面内，一点到圆上的最近距离为2，最远距离为10，则该圆的半径是__4或6__．
3．△ABC内接于⊙O，若∠OAB＝28°，则∠C的度数是__62°或118°__．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(7分钟)
1．经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
(用反证法证明)
2．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，AB＝10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是怎样的？
点拨精讲：利用数量关系证明位置关系．
3．如图，⊙O的半径r＝10，圆心O到直线l的距离OD＝6，在直线l上有A，B，C三点，AD＝6，BD＝8，CD＝9，问A，B，C三点与⊙O的位置关系是怎样的？
点拨精讲：垂径定理和勾股定理的综合运用．
4．用反证法证明“同位角相等，两直线平行”．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(10分钟)
1．已知⊙O的半径为4，OP＝3.4，则P在⊙O的__内部__．
2．已知点P在⊙O的外部，OP＝5，那么⊙O的半径r满足__0
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