第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
结合具体情境体会二次函数的意义，理解二次函数的有关概念；能够表示简单变量之间的二次函数关系．
重点：能够表示简单变量之间的二次函数关系．
难点：理解二次函数的有关概念．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P28～29，自学“思考”，理解二次函数的概念及意义，完成填空．
总结归纳：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项分别为a，b，c．现在我们已学过的函数有一次函数、二次函数，其表达式分别是y＝ax＋b(a，b为常数，且a≠0)、y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(5分钟)
1．下列函数中，是二次函数的有__A，B，C__．
A．y＝(x－3)2－1
B．y＝1－x2
C．y＝(x＋2)(x－2)
D．y＝(x－1)2－x2
2．二次函数y＝－x2＋2x中，二次项系数是__－1__，一次项系数是__2__，常数项是__0__．
3．半径为R的圆，半径增加x，圆的面积增加y，则y与x之间的函数关系式为y＝πx2＋2πRx(x≥0)．
点拨精讲：判断二次函数关系要紧扣定义．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(10分钟)
探究1 若y＝(b－2)x2＋4是二次函数，则__b≠2__．
探究2 某超市购进一种单价为40元的篮球，如果以单价50元出售，那么每月可售出500个，根据销售经验，售价每提高1元，销售量相应减少10个，如果超市将篮球售价定为x元(x>50)，每月销售这种篮球获利y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)超市计划下月销售这种篮球获利8000元，又要吸引更多的顾客，那么这种篮球的售价为多少元？
解：(1)y＝－10x2＋1400x－40000(50－2，∴只能取m＝2.
∵这个最低点为抛物线的顶点，其坐标为(0，0)，∴当x>0时，y随x的增大而增大．
(3)若函数有最大值，则抛物线开口向下，∴m＋20，则y1与y2的关系是__y1＜y2__．
4．二次函数y＝ax2与一次函数y＝－ax(a≠0)在同一坐标系中的图象大致是( B )
点拨精讲：1.二次函数y＝ax2的图象的画法是列表、描点、连线，列表时一般取5～7个点，描点时可描出一侧的几个点，再根据对称性找出另一侧的几个点，连线将几个点用平滑的曲线顺次连接起来，抛物线的两端要无限延伸，要“出头”；
2．抛物线y＝ax2的开口大小与|a|有关，|a|越大，开口越小，|a|相等，则其形状相同．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10分钟)
22．1.3 二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质(1)
1．会作函数y＝ax2和y＝ax2＋k的图象，能比较它们的异同；理解a，k对二次函数图象的影响，能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
2．了解抛物线y＝ax2上下平移规律．
重点：会作函数的图象．
难点：能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P32～33“例2”及两个思考，理解y＝ax2＋k中a，k对二次函数图象的影响，完成填空．
总结归纳：二次函数y＝ax2的图象是一条抛物线，其对称轴是y轴，顶点是(0，0)，开口方向由a的符号决定：当a>0时，开口向上；当a0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，y随x的增大而增大．抛物线有最__低__点，函数y有最__小__值．当a0时，向__上__平移；当k0)．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(7分钟)
1．教材P35练习题；
2．抛物线y＝－(x－1)2的开口向下，顶点坐标是(1，0)，对称轴是x＝1，通过向左平移1个单位后，得到抛物线y＝－x2.
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8分钟)
探究1在直角坐标系中画出函数y＝(x＋3)2的图象．
(1)指出函数图象的对称轴和顶点坐标；
(2)根据图象回答，当x取何值时，y随x的增大而减小？当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y取最大值或最小值？
(3)怎样平移函数y＝x2的图象得到函数y＝(x＋3)2的图象？
解：(1)对称轴是直线x＝－3，顶点坐标(－3，0)；(2)当x－3时，y随x的的增大而增大；当x＝－3时，y有最小值；(3)将函数y＝x2的图象沿x轴向左平移3个单位得到函数y＝(x＋3)2的图象．
点拨精讲：二次函数的增减性以对称轴为分界，画图象取点时以顶点为分界对称取点．
探究2 已知直线y＝x＋1与x轴交于点A，抛物线y＝－2x2平移后的顶点与点A重合．(1)求平移后的抛物线l的解析式；(2)若点B(x1，y1)，C(x2，y2)在抛物线l上，且－0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是y2h时，y随x的增大而增大，当x0)的对称轴是直线x＝1，且经过点P(3，0)，则a－b＋c的值为( A )
A．0 B．－1 C．1 D．2
点拨精讲：根据二次函数图象的对称性得知图象与x轴的另一交点坐标为(－1，0)，将此点代入解析式，即可求出a－b＋c的值．
5．如图是二次函数y＝ax2＋3x＋a2－1的图象，a的值是－1．
点拨精讲：可根据图象经过原点求出a的值，再考虑开口方向．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(13分钟)
探究1 已知二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，求函数的关系式和对称轴．
解：设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，因为二次函数的图象经过点A(3，0)，B(2，－3)，C(0，－3)，则有
解得
∴函数的解析式为y＝x2－2x－3，其对称轴为x＝1.
探究2 已知一抛物线与x轴的交点是A(3，0)，B(－1，0)，且经过点C(2，9)．试求该抛物线的解析式及顶点坐标．
解：设解析式为y＝a(x－3)(x＋1)，则有
a(2－3)(2＋1)＝9，
∴a＝－3，
∴此函数的解析式为y＝－3x2＋6x＋9，其顶点坐标为(1，12)．
点拨精讲：因为已知点为抛物线与x轴的交点，解析式可设为交点式，再把第三点代入即可得一元一次方程，较之一般式得出的三元一次方程组简单．而顶点可根据顶点公式求出．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(5分钟)
1．已知一个二次函数的图象的顶点是(－2，4)，且过点(0，－4)，求这个二次函数的解析式及与x轴交点的坐标．
2．若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过点(1，0)，且关于直线x＝对称，那么它的图象还必定经过原点．
3．如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(2，0)，B(0，－6)两点．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA，BC，求△ABC的面积．
点拨精讲：二次函数解析式的三种形式：1.一般式y＝ax2＋bx＋c；2.顶点式y＝a(x－h)2＋k；3.交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．利用待定系数法求二次函数的解析式，需要根据已知点的情况设适当形式的解析式，可使解题过程变得更简单．
学生总结本堂课的收获与困惑．(2分钟)
学习至此，请使用本课时的对应训练部分．(10分钟)
22．2 二次函数与一元二次方程(1)
1．理解二次函数与一元二次方程的关系．
2．会判断抛物线与x轴的交点个数．
3．掌握方程与函数间的转化．
重点：理解二次函数与一元二次方程的关系；会判断抛物线与x轴的交点个数．
难点：掌握方程与函数间的转化．
一、自学指导．(10分钟)
自学：自学课本P43～45.自学“思考”与“例题”，理解二次函数与一元二次方程的关系，会判断抛物线与x轴的交点情况，会利用二次函数的图象求对应一元二次方程的近似解，完成填空．
总结归纳：抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x＝x0时，函数的值是0，因此x＝x0就是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．
二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：当b2－4ac>0时，抛物线与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2－4ac0，
即[－(4k＋1)]2－4×2×(2k2－1)>0，
解得k>－.
点拨精讲：根据交点的个数来确定判别式的范围是解题关键，要熟悉它们之间的对应关系．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(12分钟)
1．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的公共点是(－2，0)，(4，0)，抛物线的对称轴是x＝1．
点拨精讲：根据对称性来求．
2．画出函数y＝x2－2x＋3的图象，利用图象回答：
(1)方程x2－2x＋3＝0的解是什么？ (2)x取什么值时，函数值大于0?
(3)x取什么值时，函数值小于0?
点拨精讲：x2－2x＋3＝0的解，即求二次函数y＝x2－2x＋3中函数值y＝0时自变量x的值．
3．用函数的图象求下列方程的解．
(1)x2－3x＋1＝0； (2)x2－6x－9＝0；
(3)x2＋x－2＝0; (4)2－x－x2＝0.
点拨精讲：(3分钟)：本节课所学知识：1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与一元二次方程之间的关系，当y为某一确定值m时，相应的自变量x的值就是方程ax2＋bx＋c＝m的根．
2．若抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点为(x0，0)，则x0是方程ax2＋bx＋c＝0的根．
3．有下列对应关系：
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的位置关系
一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况
b2－4ac的值
有两个公共点
有两个不相等的实数根
b2－4ac>0
只有一个公共点
有两个相等的实数根
b2－4ac＝0
无公共点
无实数根
b2－4ac
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