第二十一章 一元二次方程
21．1 一元二次方程
1. 了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题．
2．掌握一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)及有关概念．
3．会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念．
重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索．
难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次
项和系数及常数项．
一、自学指导．(10 分钟)
问题 1：
如图，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，
然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600
cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
分析：设切去的正方形的边长为 x cm，则盒底的长为__(100－2x)cm__，宽为__(50－
2x)cm__．列方程__(100－2x)·(50－2x)＝3600__，化简整理，得__x2－75x＋350＝0__．①
问题 2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时
间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？
分析：全部比赛的场数为__4×7＝28__．
设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他__(x－1)__个队各赛 1 场，所以全部比赛共
x（x－1）
2
__场．列方程__x（x－1）
2
＝28__，化简整理，得__x2－x－56＝0__．②
探究：
(1)方程①②中未知数的个数各是多少？__1 个__．
(2)它们最高次数分别是几次？__2 次__．
归纳：方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是__整式__，只含有__一个__未知数
(一元)，并且未知数的最高次数是__2__的方程．
1．一元二次方程的定义
等号两边都是__整式__ ，只含有__一__个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是
__2__(二次)的方程，叫做一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：
ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．
这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中__ax2__是二次项，__a__是二次项系数，
__bx__是一次项，__b__是一次项系数，__c__是常数项．
点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号．二次项系数 a≠0
是一个重要条件，不能漏掉．
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6 分钟)
1．判断下列方程，哪些是一元二次方程？
(1)x3－2x2＋5＝0； (2)x2＝1；
(3)5x2－2x－1
4
＝x2－2x＋3
5
；
(4)2(x＋1)2＝3(x＋1)；
(5)x2－2x＝x2＋1; (6)ax2＋bx＋c＝0.
解：(2)(3)(4)．
点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，
这样的方程仍然是整式方程．
2．将方程 3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、
一次项系数及常数项．
解：去括号，得 3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得 3x2－8x－10＝0.其中二次项
系数是 3，一次项系数是－8，常数项是－10.
点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整．
一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果．(8 分
钟)
1．求证：关于 x 的方程(m2－8m＋17)x2＋2mx＋1＝0，无论 m 取何值，该方程都是一
元二次方程．
证明：m2－8m＋17＝(m－4)2＋1，
∵(m－4)2≥0，
∴(m－4)2＋1>0，即(m－4)2＋1≠0.
∴无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程．
点拨精讲：要证明无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明 m2－8m＋17≠0
即可．
2．下面哪些数是方程 2x2＋10x＋12＝0 的根？
－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4.
解：将上面的这些数代入后，只有－2 和－3 满足等式，所以 x＝－2 或 x＝－3 是一元
二次方程 2x2＋10x＋12＝0 的两根．
点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相
等即可．
二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路．(9 分钟)
1．判断下列方程是否为一元二次方程．
(1)1－x2＝0; (2)2(x2－1)＝3y；
(3)2x2－3x－1＝0; (4) 1
x2
－2
x
＝0；
(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.
解：(1)是；(2)不是；(3)是；
(4)不是；(5)不是；(6)是．
2．若 x＝2 是方程 ax2＋4x－5＝0 的一个根，求 a 的值．
解：∵x＝2 是方程 ax2＋4x－5＝0 的一个根，
∴4a＋8－5＝0，
解得 a＝－3
4.
3．根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式：
(1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x；
(2)一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长 x.
解：(1)4x2＝25，4x2－25＝0；(2)x(x－2)＝100，x2－2x－100＝0.
学生总结本堂课的收获与困惑．(2 分钟)
1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．
2．一元二次方程的一般形式 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，特别强调 a≠0.
3．要会判断一个数是否是一元二次方程的根．
学习至此，请使用本课时对应训练部分．(10 分钟)
21．2 解一元二次方程
21．2.1 配方法(1)
1. 使学生会用直接开平方法解一元二次方程．
2. 渗透转化思想，掌握一些转化的技能．
重点：运用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；领会降次——转化的数学思想．
难点：通过根据平方根的意义解形如 x2＝n(n≥0)的方程，知识迁移到根据平方根的意
义解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程．
一、自学指导．(10 分钟)
问题 1：一桶某种油漆可刷的面积为 1500 dm2，小李用这桶油漆恰好刷完 10 个同样的
正方体形状的盒子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？
设正方体的棱长为 x dm，则一个正方体的表面积为__6x2__dm2，根据一桶油漆可刷的
面积列出方程：
__10×6x2＝1500__，
由此可得__x2＝25__，
根据平方根的意义，得 x＝__±5__，
即 x1＝__5__，x2＝__－5__．
可以验证__5__和－5 都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为__5__dm.
探究：对照问题 1 解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x－1)2＝5 及方程 x2＋6x＋9
＝4?
方程(2x－1)2＝5 左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可
将方程变形为__2x－1＝± 5__，即将方程变为__2x－1＝ 5和__2x－1＝－ 5__两个一元一
次方程，从而得到方程(2x－1)2＝5 的两个解为 x1＝__1＋ 5
2
，x2＝__1－ 5
2 __．
在解上述方程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次
方程，这样问题就容易解决了．
方程 x2＋6x＋9＝4 的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x＋__3__)2＝4，进行降次，
得到 __x＋3＝±2__ ，方程的根为 x1＝ __－1__，x2＝__－5__.
归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程．如果方程
能化成 x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得 x＝± p或 mx＋n＝± p.
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视．(6 分钟)
解下列方程：
(1)2y2＝8； (2)2(x－8)2＝50；
(3)(2x－1)2＋4＝0; (4)4x2－4x＋1＝0.
解：(1)2y2＝8， (2)2(x－8)2＝50，
y2＝4， (x－8)2＝25，
y＝±2， x－8＝±5，
∴y1＝2，y2＝－2； x－8＝5 或 x－8＝－5，
∴x1＝13，x2＝3；
(3)(2x－1)2＋4＝0， (4)4x2－4x＋1＝0，
(2x－1)2＝－4
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