检测内容：23.1－23.3
得分 卷后分 评价
一、选择题（每小题4分，共32分）
1.（随州中考）随着我国经济快速发展，轿车进入百姓家庭，小明同学在街头观察出下列四种汽车标志，其中既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ C ）
2.（2019·德州）下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（B）
3.如图所示，将一个含30°角的直角三角板ABC绕点A旋转，使得点B，A，C′在同一条直线上，则三角板ABC旋转的角度可能是（D）
A.60° B．90° C．120° D．150°
4.（2019·巴中）在平面直角坐标系中，已知点A（－4，3）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（C）
A.（－4，－3） B．（4，3）
C.（4，－3） D．（－4，3）
5.如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，BE＝CF，连接AE，BF，将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是（D）
A.45° B．120° C．60° D．90°
6.下面四组图形中，左边图形与右边图形成中心对称的有（ C ）
A.1组 B．2组 C．3组 D．4组
7.如图，在平面直角坐标系中，若△ABC与△A′B′C′关于点E成中心对称，则点E的坐标是（A）
A.（3，－1） B．（0，0）
C.（2，－1） D．（－1，3）
8.如图所示，在平面直角坐标系中，A（0，0），B（2，0），△AP1B是等腰直角三角形，且∠P1＝90°，把△AP1B绕点B顺时针旋转180°，得到△BP2C；把△BP2C绕点C顺时针旋转180°，得到△CP3D，依此类推，则旋转第2 017次后，得到的等腰直角三角形的直角顶点P2 018的坐标为（ D ）
A.（4 030，1） B．（4 029，－1）
C.（4 033，1） D．（4 035，－1）
二、填空题（每小题4分，共20分）
9.点P1（a－1，5）和P2（－2，b－1）关于原点对称，则（a＋b）2 019＝ －1 Ｗ．
10.如图所示，五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点，这个五角星可以由一个基本图形（图中的阴影部分）绕中心点O至少经过 4 次旋转而得到，每一次旋转 72 度．
11.如图，正方形ABCD与正三角形AEF的顶点A重合，将△AEF绕其顶点A旋转，在旋转过程中，当BE＝DF时，∠BAE的大小可以是 15°或165° Ｗ．
12.如图，直线EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别与AB，CD相交于点E，F，若AB＝3，BC＝4，那么阴影部分的面积为 3 Ｗ．
13.（营口中考）如图，△ABC是等边三角形，点D为BC边上一点，BD＝DC＝2，以点D为顶点作正方形DEFG，且DE＝BC，连接AE，AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为 8 Ｗ．
三、解答题（共48分）
14.（8分）如图，网格中每个小正方形的边长为1，请你认真观察图①中的三个网格中阴影部分构成的图案，解答下列问题：
（1）这三个图案都具有以下共同特征：都是 中心 对称图形，都不是 轴 对称图形；
（2）请在图②中设计出一个面积为4，且具备上述特征的图案，要求所画图案不能与图①中给出的图案相同．
解：（2）答案不唯一，只要符合条件即可，如图
15.（8分）（南宁中考）如图，△ABC三个顶点的坐标分别是A（1，1），B（4，2），C（3，4）.
（1）请画出△ABC向左平移5个单位长度后得到的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2；
（3）在x轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，请画出△PAB，并直接写出点P的坐标．
解：（1）图略，A，B，C向左平移5个单位长度后的坐标分别为（－4，1），（－1，2），（－2，4），连接这三个点，得△A1B1C1 （2）图略，A，B，C关于原点的对称点的坐标分别为（－1，－1），（－4，－2），（－3，－4），连接这三个点，得△A2B2C2
（3）图略，P（2，0）.作点A关于x轴的对称点A′，连接A′B交x轴于点P，则点P即为所求作的点
16.（8分）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠C＝90°，且AB＝AD，AE⊥BC，垂足为E，若AE＝2，求四边形ABCD的面积．
解：将△ABE绕点A逆时针方向旋转90°到△AE′D，则△AEB≌△AE′D，∴∠E′＝∠AEB＝90°，AE＝AE′，∴四边形AECE′为正方形．∵S四边形AECE′＝（2）2＝12，∴S四边形ABCD＝S四边形AECE′＝12
17.（12分）（2019·日照）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的中点为O，点G，H在对角线AC上，AG＝CH，直线GH绕点O逆时针旋转α角，与边AB，CD分别相交于点E，F（点E不与点A，B重合）.
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形；
（2）若∠α＝90°，AB＝9，AD＝3，求AE的长．
解：（1）证明：∵对角线AC的中点为O，∴AO＝CO，且AG＝CH，∴GO＝HO，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，CD＝AB，CD∥AB，∴∠DCA＝∠CAB，且CO＝AO，∠FOC＝∠EOA，∴△COF≌△AOE（ASA），∴FO＝EO，且GO＝HO，∴四边形EHFG是平行四边形
（2）如图，连接CE，∵∠α＝90°，∴EF⊥AC，且AO＝CO，∴EF是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，在Rt△BCE中，CE2＝BC2＋BE2，∴AE2＝（9－AE）2＋9，∴AE＝5
18.（12分）如图①，在等边△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接BE，CD，点M，N，P分别是BE，CD，BC的中点．
（1）观察猜想：图①中，△PMN的形状是 等边三角形 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图②的位置，△PMN的形状是否发生改变？并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，
请直接写出△PMN的周长的最大值．
解：（2）△PMN的形状不发生改变，仍然为等边三角形．理由如下：连接CE，BD，∵AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴把△ABD绕点A逆时针旋转60°可得到△CAE，∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，与（1）一样可得PM∥CE，PM＝CE，PN∥BD，PN＝BD，∴PM＝PN，∠BPM＝∠BCE，∠CPN＝∠CBD，∴∠BPM＋∠CPN＝∠BCE＋∠CBD＝∠ABC－∠ABD＋∠ACB＋∠ACE＝60°＋60°＝120°，∴∠MPN＝60°，∴△PMN为等边三角形
（3）∵PN＝BD，∴当BD的值最大时，PN的值最大，∵AB－AD≤BD≤AB＋AD（当且仅当点B，A，D共线时取等号）.∴BD的最大值为1＋3＝4，∴PN的最大值为2，∴△PMN的周长的最大值为6
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