检测内容：22.2－22.3
得分 卷后分 评价
一、选择题（每小题4分，共28分）
1.（益阳中考）关于抛物线y＝x2－2x＋1，下列说法错误的是（D）
A.开口向上
B.与x轴有两个重合的交点
C.对称轴是直线x＝1
D.当x＞1时，y随x的增大而减小
2.已知二次函数y＝x2－4x＋m的图象与x轴有两个交点，若其中一个交点的坐标为（1，0），则另一个交点的坐标为（B）
A.（－1，0） B．（3，0）
C.（5，0） D．（－6，0）
3.如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）与x轴的两交点是A（－1，0），B（3，0），则由图可知y＜0时，x的取值范围是（D）
A.－1＜x＜3 B．3＜x＜－1
C.x＞－1或x＜3 D．x＜－1或x＞3
4.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1 m宽的门，已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27 m，则能建成的饲养室面积最大为（A）
A.75 m2 B． m2 C．48 m2 D． m2
5.（2019·临沂）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h＝30 m时，t＝1.5 s．其中正确的是（D）
A.①④ B．①② C．②③④ D．②③
6. （2019·潍坊）抛物线y＝x2＋bx＋3的对称轴为直线x＝1.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋3－t＝0（t为实数）在－1＜x＜4的范围内有实数根，则t的取值范围是（A）
A.2≤t＜11 B．t≥2
C.6＜t＜11 D．2≤t＜6
7.抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1，下列结论中：①abc＞0；②2a＋b＝0；③方程ax2＋bx＋c＝3有两个不相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点坐标是（2，0）；⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2＋bm＋c≤a＋b＋c.其中说法正确的有（ C ）
A.5个 B．4个 C．3个 D．2个
二、填空题（每小题4分，共20分）
8.若关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0的两个根分别为x1＝1，x2＝2，
那么抛物线y＝x2＋bx＋c的对称轴为直线 x＝ Ｗ．
9.已知二次函数y＝－x2＋ax－a＋1的图象顶点在x轴上，则a＝ 2 Ｗ．
10.在同一坐标系下，抛物线y1＝－x2＋4x和直线y2＝2x的图象如图所示，那么不等式－x2＋4x＞2x的解集是 0＜x＜2 Ｗ．
11.某商人将单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，已知这种商品每提高2元，其销量就要减少10件，为了使每天所赚利润最多，该商人应将销售价（为偶数）提高 8或10 元．
12.函数y＝x2＋bx＋c与函数y＝x的图象如图所示，有以下结论：①b2－4c＞0；②b＋c＝0；③b＜0；④方程组的解为 ⑤当1＜x＜3时，x2＋（b－1）x＋c＞0.其中正确的有 ②③④ Ｗ．（填序号）
三、解答题（共52分）
13.（10分）（南京中考）已知二次函数y＝2（x－1）（x－m－3）（m为常数）.
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点；
（2）当m取什么值时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方？
解：（1）证明：当y＝0时，2（x－1）（x－m－3）＝0，解得x1＝1，x2＝m＋3.当m＋3＝1，即m＝－2时，方程有两个相等的实数根；当m＋3≠1，即m≠－2时，方程有两个不相等的实数根．∴不论m为何值，该函数的图象与x轴总有公共点
（2）当x＝0时，y＝2（x－1）（x－m－3）＝2m＋6，∴该函数的图象与y轴交点的纵坐标为2m＋6，∴当2m＋6＞0，即m＞－3时，该函数的图象与y轴的交点在x轴的上方
14.（12分）随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，水柱落地处离池中心3米．
（1）请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式；
（2）求出水柱的最大高度是多少？
解：（1）如图所示，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，y＝a（x－1）2＋h，代入（0，2）和（3，0）得解得a＝－，h＝，∴抛物线的解析式为y＝－（x－1）2＋，即y＝－x2＋x＋2（0≤x≤3）
（2）水柱的最大高度为 m
15.（14分）（2019·辽阳）我市某化工材料经销商购进一种化工材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价且不高于成本价的2倍，经试销发现，日销售量y（千克）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示．
（1）求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
解：（1）设一次函数关系式为y＝kx＋b（k≠0），由图象可得，当x＝30时，y＝140；x＝50时，y＝100，
∴
解得∴y与x之间的关系式为y＝－2x＋200（30≤x≤60）
（2）设该公司日获利为W元，由题意得W＝（x－30）（－2x＋200）－450＝－2（x－65）2＋2 000.
∵a＝－2＜0，∴抛物线开口向下，∵对称轴x＝65，∴当x＜65时，W随着x的增大而增大，∵30≤x≤60，∴x＝60时，W有最大值，W最大值＝－2×（60－65）2＋2 000＝1 950.即销售单价为每千克60元时，日获利最大，最大获利为1 950元
16.（16分）如图，在平面直角坐标系中，点A（－1，－1），B（3，－3），抛物线y＝－x2＋x经过A，O，B三点，连接OA，OB，AB，线段AB交y轴于点C.
（1）求点C的坐标；
（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与O，B重合），直线PC与抛物线交于D，E两点（点D在y轴右侧），连接OD，BD.
①当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；
②求△BOD面积的最大值，并求出此时点D的坐标．
解：（1）设直线AB的解析式为y＝kx＋b.
∴解得∴直线AB的解析式为y＝－x－，∴C点坐标为（0，－）
（2）①∵直线OB过点O（0，0），B（3，－3），∴直线OB的解析式为y＝－x.∵△OPC为等腰三角形，∴OC＝OP或OP＝PC或OC＝PC.设P（x，－x）（0＜x＜3），
当OC＝OP时，x2＋（－x）2＝，解得x1＝，x2＝－（舍去），此时P点坐标为（，－）；当OP＝PC时，点P在线段OC的中垂线上，此时P点坐标为（，－）；当OC＝PC时，x2＋（－x＋）2＝，解得x1＝，x2＝0（舍去）.此时P点坐标为P（，－）.综上所述，P点坐标为（，－）或（，－）或（，－） ②过点D作DG⊥x轴，垂足为G，交OB于点Q，过点B作BH⊥x轴，垂足为H.设Q（x，－x），D（x，－x2＋x），则S△BOD＝S△ODQ＋S△BDQ＝DQ·OG＋DQ·GH＝DQ（OG＋GH）＝[x＋（－x2＋x）×3＝－（x－）2＋，∵0＜x＜3，∴当x＝时，S取得最大值为，此时D（，－）
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