第二十三章 旋转
得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．下列电视台的台标，是中心对称图形的是(D)
2．如图，△ABC绕点A逆时针旋转至△AEF，其旋转角是(A)
A．∠BAE B．∠CAE C．∠EAF D．∠BAF
3．下列A，B，C，D四幅“福牛乐乐”图案中，能通过图①顺时针旋转180°得到的是(B)
4．如图，在平面直角坐标系中，把△ABC绕原点O旋转180°得到△CDA，点A，B，C的坐标分别为(－5，2)，(－2，－2)，(5，－2)，则点D的坐标为(A)
A．(2，2) B．(2，－2) C．(2，5) D．(－2，5)
5．(孝感中考)如图，在平面直角坐标系中，将点P(2，3)绕原点O顺时针旋转90°得到点P′，则点P′的坐标为(D)
A．(3，2) B．(3，－1) C．(2，－3) D．(3，－2)
6．(舟山中考)如图，在直角坐标系中，已知菱形OABC的顶点A(1，2)，B(3，3).作菱形OABC关于y轴的对称图形OA′B′C′，再作图形OA′B′C′关于点O的中心对称图形OA″B″C″，则点C的对应点C″的坐标是(A)
A．(2，－1) B．(1，－2) C．(－2，1) D．(－2，－1)
7．(宜宾中考)如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，E是DC上一点，DE＝1，将△ADE绕着点A顺时针旋转到与△ABF重合，则EF＝(D)
A． B． C．5 D．2
8．已知坐标平面上的机器人接受指令“[a，A＝”(a≥0，0°＜A＜180°)后的行动结果为：在原地顺时针旋转A后，再向面对的方向沿直线行走a.若机器人的位置在原点，面对方向为y轴的负半轴，则它完成一次指令[2，60°＝后，所在位置的坐标为(D)
A．(－1，－) B．(－1，) C．(，－1) D．(－，－1)
9．如图，8×8方格纸的两条对称轴EF，MN相交于点O，对图a作下列变换：①先以直线MN为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格；②先以点O为中心旋转180°，再向右平移1格；③先以直线EF为对称轴作轴对称图形，再向右平移4格．其中能将图a变换成图b的是(D)
A．①② B．①③ C．②③ D．③
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC＝4，BC的中点为点D，将△ABC绕点C顺时针旋转任意一个角度得到△FEC，EF的中点为点G，连接DG，在旋转过程中，DG的最大值是(B)
A．4 B．6 C．2＋2 D．8
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．(衡阳中考)如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到的，则旋转的角度为__90°__．
12．(青海中考)如图，在直角坐标系中，已知点A(3，2)，将△ABO绕点O逆时针方向旋转180°后得到△CDO，则点C的坐标是__(－3，－2)__．
13．如图，用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，并将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线处后绕点M逆时针方向旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为__22__度．
14．如图，在平面直角坐标系中，点A，B，D的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(0，1)，点C在第四象限，∠ACB＝90°，AC＝BC.若△ABC与△A′B′C′关于点D成中心对称，则点C′的坐标为__(－2，3)__.
15．(新疆中考)如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转30°，得到△ACD，延长AD交BC的延长线于点E，则DE的长为__2－2__．
16．(随州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴的正半轴上，∠AOC＝60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为__(，－)__.
17．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA＝CB，CE＝CD，△ACB的顶点A在△ECD的斜边上，若AE＝，AD＝，则BC的长为__2__．
18．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD(如图)，把△ABC绕着点D逆时针旋转m(0＜m＜180)度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝__80或120__．
三、解答题(共66分)
19．(6分)如图，AC是正方形ABCD的对角线，△ABC经过旋转后到达△AEF的位置．
(1)指出它的旋转中心；
(2)说出它的旋转方向和旋转角是多少度；
(3)分别写出点A，B，C的对应点．
解：(1)它的旋转中心为点A
(2)它的旋转方向为逆时针方向，旋转角是45度
(3)点A，B，C的对应点分别为A，E，F
20．(6分)(枣庄中考)如图，在4×4的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．
(1)在图①中，画出一个与△ABC成中心对称的格点三角形；
(2)在图②中，画出一个与△ABC成轴对称且与△ABC有公共边的格点三角形；
(3)在图③中，画出△ABC绕着点C按顺时针方向旋转90°后的三角形．
解：(1)如图所示，△DCE为所求作 (2)如图所示，△ACD为所求作 (3)如图所示，△ECD为所求作
21．(9分)在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示(每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形).
(1)①若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称，画出△A1B1C1；
②将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；
(2)在x轴上找一点P，使PB1＋PC1最小，此时PB1＋PC1的值为____．
解：(1)①如图，△A1B1C1为所求作 ②如图，△AB2C2为所求作 (2)如图，作C1点关于x轴的对称点C′，连接B1C′交x轴于P点，连接PC1，则PC1＝PC′，PB1＋PC1＝PB1＋PC′＝B1C′＝＝，所以PB1＋PC1的最小值为.故答案为
22．(9分)如图，把正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转45°得到正方形A′B′CD′(此时，点B′落在对角线AC上，点A′落在CD的延长线上)，A′B′交AD于点E，连接AA′，CE.求证：
(1)△ADA′≌△CDE；
(2)直线CE是线段AA′的垂直平分线．
证明：(1)由正方形的性质及旋转得AD＝DC，∠ADC＝90°，AC＝A′C，∠DA′E＝45°，∠ADA′＝∠CDE＝90°，∴∠DEA′＝∠DA′E＝45°，∴DA′＝DE，∴△ADA′≌△CDE (2)由正方形的性质及旋转得CD＝CB′，∠CB′E＝∠CDE＝90°，又CE＝CE，∴Rt△CEB′≌Rt△CED，∴∠B′CE＝∠DCE，∵AC＝A′C，∴直线CE是线段AA′的垂直平分线
23．(10分)在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转一定的角度α得到△AED，点B、C的对应点分别是E、D.
(1)如图①，当点E恰好在AC上时，求∠CDE的度数；
(2)如图②，若α＝60°时，点F是边AC中点，求证：四边形BFDE是平行四边形．
解：(1)∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ACB＝60°，∵△ABC绕点A顺时针旋转α得到△AED，点E恰好在AC上，∴CA＝AD，∠EAD＝∠BAC＝30°，∴∠ACD＝∠ADC
＝(180°－30°)＝75°，∵∠EDA＝∠ACB＝60°，∴∠CDE＝∠ADC－∠EDA＝15°
(2)证明：∵点F是边AC中点，∴BF＝AF＝AC，∵∠BAC＝30°，∴BC＝AC，∴∠FBA＝∠BAC＝30°，∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴∠BAE＝∠CAD＝60°，CB＝DE，∠DEA＝∠ABC＝90°，∴DE＝BF，如图②，延长BF交AE于点G，则∠BGE＝∠GBA＋∠BAG＝90°，∴∠BGE＝∠DEA，∴BF∥ED，∴四边形BFDE是平行四边形
24．(12分)如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB＝120°，∠ADC＝90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE.
(1)求证：AD＝DE；
(2)求∠DCE的度数；
(3)若BD＝1，求AD，CD的长．
解：(1)证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴∠DAE＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE
(2)∵∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°，∴∠DCE＝360°－∠ADC－∠AEC－∠DAE＝90°
(3)∵△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝30°，又∵∠DCE＝90°，∴DE＝2CE＝2BD＝2，∴AD＝DE＝2，在Rt△DCE中，DC＝＝＝
25．(14分)感知：如图①，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，过点D作DE⊥CB交CB的延长线于点E，连接CD.
(1)求证：△ACB≌△BED；
(2)△BCD的面积为__m2__(用含m的式子表示).
拓展：如图②，在一般的Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝m，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，用含m的式子表示△BCD的面积，并说明理由．
应用：如图③，在等腰△ABC中，AB＝AC，BC＝8，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，则△BCD的面积为__16__；若BC＝m，则△BCD的面积为__m2__(用含m的式子表示).
感知：(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴CA＝CB＝m，∠A＝∠ABC＝45°，由旋转的性质可知，BA＝BD，∠ABD＝90°，∴∠DBE＝45°＝∠A，又∵∠ACB＝∠E＝90°，∴△ACB≌△BED(AAS)
拓展：作DG⊥CB交CB的延长线于点G，
∵∠ABD＝90°，∴∠ABC＋∠DBG＝90°，又∠ABC＋∠A＝90°，∴∠A＝∠DBG.又∵∠ACB＝∠G，AB＝BD，∴△ACB≌△BGD(AAS)，∴BC＝DG＝m，∴S△BCD＝BC×DG＝m2
应用：点拨：作AN⊥BC于点N，DM⊥BC交CB的延长线于点M，易证△ANB≌△BMD(AAS)，∴BN＝DM＝BC＝4.∴S△BCD＝BC·DM＝×8×4＝16，若BC＝m，则BN＝DM＝BC＝m，∴S△BCD＝BC·DM＝×m×m＝m2
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