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得分________ 卷后分________ 评价________
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．若ax2－5x＋1＝0是一元二次方程，则不等式a＋5＞0的解是(B)
A．a＞－5 B．a＞－5且a≠0 C．a＜－5 D．a＞
2．(大连中考)下列所述图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(C)
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．菱形 D．平行四边形
3．二次函数y＝(x－4)2＋5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是(A)
A．向上，直线x＝4，(4，5) B．向上，直线x＝－4，(－4，5)
C．向上，直线x＝4，(4，－5) D．向下，直线x＝－4，(－4，5)
4．用配方法解下列方程时，配方有错误的是(D)
A．x2－6x＋4＝0化为(x－3)2＝5 B．2m2＋m－1＝0化为(m＋)2＝
C．3y2－4y－2＝0化为(y－)2＝ D．2t2－3t－2＝0化为(t－)2＝
5．(聊城中考)若关于x的一元二次方程(k－2)x2－2kx＋k＝6有实数根，则k的取值范围为(D)
A．k≥0 B．k≥0且k≠2 C．k≥ D．k≥且k≠2
6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝50°，将此三角形绕点C沿顺时针方向旋转后得到△A′B′C，若点B′恰好落在线段AB上，AC，A′B′相交于点O，则∠COA′的度数是(B)
A．50° B．60° C．70° D．80°
7．某烟花厂为G20杭州峰会举行焰火表演特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－t2＋20t＋1，若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( B )
A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
8．(宜昌中考)如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是(B)
A．(－1，2＋) B．(－，3) C．(－，2＋) D．(－3，)
9．(凉山中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，有以下结论：①3a－b＝0；②b2－4ac＞0；③5a－2b＋c＞0; ④4b＋3c＞0，其中错误结论的个数是(A)
A．1 B．2 C．3 D．4
10. (菏泽中考)如图，正方形ABCD的边长为2 cm，动点P，Q同时从点A出发，在正方形的边上，分别按A→D→C，A→B→C的方向都以1 cm/s的速度运动，到达点C运动终止，连接PQ，设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，则下列图象中能大致表示y与x的函数关系的是(A)
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．已知关于x的方程x2＋2x＋k＝0的一个根为0，则另一个根为__－2__，k＝__0__．
12．如图，△ABC为等边三角形，△AO′B绕点A逆时针旋转后能与△AOC重合，若AO＝3，则点O′，O之间的距离为__3__．
13．若函数y＝mx2＋2x＋1的图象与x轴只有一个公共点，则常数m的值是__1或0__．
14．(常德中考)如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′，D，B三点在同一条直线上，则∠ABD的度数是__22.5°__．
15．如图是一座拱桥，当水面宽AB为12 m时，桥洞顶部离水面4 m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是__y＝－(x＋6)2＋4__．
16．(荆门中考)已知x1，x2是关于x的方程x2＋(3k＋1)x＋2k2＋1＝0的两个不相等实数根，且满足(x1－1)(x2－1)＝8k2，则k的值为__1__．
17．如图，矩形ABCD是由三个矩形拼接成的，如果AB＝8 cm，阴影部分的面积是24 cm2，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为__6__cm.
18．如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE＝DG；②BE⊥DG；③DE2＋BG2＝2a2＋2b2.其中正确的结论是__①②③__(填序号).
三、解答题(共66分)
19．(6分)解方程：
(1)x2－4x＋1＝0; (2)2(x－3)＝3x(x－3).
解：x1＝2＋，x2＝2－ 解：x1＝3，x2＝
20.(8分)已知关于x的一元二次方程x2＋(2m＋1)x＋m2－2＝0.
(1)若该方程有两个实数根，求m的最小整数值；
(2)若方程的两个实数根为x1，x2，且(x1－x2)2＋m2＝21，求m的值．
解：(1)根据题意，得Δ＝(2m＋1)2－4(m2－2)≥0，解得m≥－，所以m的最小整数值为－2 (2)根据题意，得x1＋x2＝－(2m＋1)，x1x2＝m2－2，∵(x1－x2)2＋m2＝21，∴(x1＋x2)2－4x1x2＋m2＝21，∴(2m＋1)2－4(m2－2)＋m2＝21，整理，得m2＋4m－12＝0，解得m1＝2，m2＝－6，∵m≥－，∴m的值为2
21．(8分)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)，且过点C(0，－3).
(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；
(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y＝－x上，并写出平移后抛物线的解析式．
解：(1)∵A(1，0)，B(3，0)，∴设抛物线解析式为y＝a(x－1)(x－3).∵抛物线过(0，－3)，∴－3＝(－1)×(－3)a，解得a＝－1.∴y＝－(x－1)(x－3)＝－x2＋4x－3.∵y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴顶点坐标为(2，1)
(2)答案不唯一，如：先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y＝－x2，平移后抛物线的顶点为(0，0)，落在直线y＝－x上
22．(8分)(苏州中考)如图，在△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G.
(1)求证：EF＝BC；
(2)若∠ABC＝65°，∠ACB＝28°，求∠FGC的度数．
解：(1)证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF.∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，∴AC＝AF.在△ABC与△AEF中，∴△ABC≌△AEF(SAS)，∴EF＝BC
(2)∵AB＝AE，∠ABC＝65°，∴∠BAE＝180°－65°×2＝50°，∴∠FAG＝∠BAE＝50°.∵△ABC≌△AEF，∴∠F＝∠C＝28°，∴∠FGC＝∠FAG＋∠F＝50°＋28°＝78°
23．(10分)某商场销售一种成本为每件30元的商品，销售过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似看作一次函数y＝－10x＋600，商场销售该商品每月获得利润为w(元).
(1)直接写出w与x之间的函数关系式；
(2)如果商场销售该商品每月想要获得2 000元的利润，那么每月成本至少为多少元？
(3)若销售单价不低于40元且不高于55元，请直接写出每月销售新产品的利润w的取值范围．
解：(1)w＝－10x2＋900x－18 000
(2)由题意得，－10x2＋900x－18 000＝2 000，解得x1＝40，x2＝50，当x＝40时，成本为30×(－10×40＋600)＝6 000(元)，当x＝50时，成本为30×(－10×50＋600)＝3 000(元)，∴每月想要获得2 000元的利润，每月成本至少3 000元
(3)∵w＝(x－30)(－10x＋600)＝－10x2＋900x－18 000＝－10(x－45)2＋2 250，∴当x＝45时，w取得最大值2 250，∵销售单价不低于40元且不高于55元，且55离对称轴x＝45远，∴当x＝55时，w取得最小值，最小值为1 250，∴销售单价不低于40元且不高于55元时，每月销售新产品的利润w的取值范围为1 250≤w≤2 250
24．(12分)如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝100°，∠BOC＝α.将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，则△ADC≌△BOC，连接OD.
(1)求证：△COD是等边三角形；
(2)当α＝120°时，试判断AD与OC的位置关系，并说明理由；
(3)探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？
解：(1)证明：∵△ADC≌△BOC，∴CO＝CD，∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴∠DCO＝60°，∴△COD是等边三角形
(2)AD∥OC，理由：∵△DOC是等边三角形，∴∠CDO＝∠DOC＝60°，∵∠α＝120°，△COB≌△CDA，∴∠ADC＝∠COB＝120°，∴∠ADO＝120°－60°＝60°，∴∠ADO＝∠DOC＝60°，∴AD∥OC
(3)∠AOD＝360°－∠AOB－∠α－∠COD＝360°－100°－∠α－60°＝200°－∠α，∠ADO＝∠ADC－∠CDO＝∠α－60°，∠OAD＝180°－∠AOD－∠ADO＝180°－(∠α－60°)－(200°－∠α)＝40°，若∠ADO＝∠AOD，即∠α－60°＝200°－∠α，解得∠α＝130°；若∠ADO＝∠OAD，则∠α－60°＝40°，解得∠α＝100°；若∠OAD＝∠AOD，即40°＝200°－∠α，解得∠α＝160°.即当α为130°或100°或160°时，△AOD是等腰三角形
25．(14分)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴相交于点C(0，－3).
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH⊥x轴于点H，与BC交于点M，连接PC.
①求线段PM的最大值；
②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时，求点P的坐标．
解：(1)将A，B，C三点代入函数解析式，得，解得，这个二次函数的解析式y＝x2－2x－3
(2)①设BC的解析式为y＝kx＋b，将B，C的坐标代入函数解析式，得解得BC的解析式为y＝x－3，设M(n，n－3)，P(n，n2－2n－3)，PM＝(n－3)－(n2－2n－3)＝－n2＋3n＝－(n－)2＋，当n＝时，PM最大＝
②当PM＝PC时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n2－2n－3＋3)2，解得n1＝n2＝0(舍去)，n3＝2，n2－2n－3＝－3，∴P(2，－3).当PM＝MC时，(－n2＋3n)2＝n2＋(n－3＋3)2，
解得n1＝0(不符合题意，舍去)，n2＝3－，n3＝3＋(不符合题意，舍去)，
∴n2－2n－3＝2－4，∴P(3－，2－4).
综上所述：P(2，－3)或P(3－，2－4)
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