安徽省安庆市2021届高三数学（文）3月模拟考试（二模）试题（Word版附答案）

绝密★启封并使用完毕前 2021 年安庆市高三模拟考试（二模） 数学试题（文） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间 120 分钟. 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1.若集合    02,30 2  xxxNxxM ,则 NM  A．  1,0 B．  3,0 C．  2,0 D．  1,2 2. 复数 z 满足 iiz 221  ）（ (i 是虚数单位),则 z 的模 z  A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3.机器人是一种能够半自主或全自主工作的智能机器.它可以辅助甚至替代人类完成某些工 作，提高工作效率，服务人类生活，扩大或延伸人的活动及能力范畴. 某公司为了研究 M、 N 两个机器人的销售情况，统计了 2020 年 2 月至 7 月 M、N 两店每月的营业额（单位： 万元），得到如下折线图，则下列说法中错误．． 的是 A. N 店营业额的平均值是 29 B. M 店营业额的平均值在 34,35 内 C. N 店营业额总体呈上升趋势 D . M 店营业额的极差比 N 店营业额的极差大 4.已知函数 1( ) (1 ) 2 ( )2 x xf x t t R     是 R 上的奇函数，则  )2()2( ff A. 15 4  B. 15 4 C. 16 225 D. 16 225 5. 在 ABC 中， cba ,, 分别是 CBA  ,, 的对边. 若 cba ,, 成等比数列，且 ,3 22 accbca  则 A 的大小是 A． 6  B. 3  C. 3 2 D. 6 5 6.设首项为 1 的等比数列{ na }的前 n 项和为 nS ，且 .9 36 SS  )(log 203212 aaaa 则 = A． 200 B.190 C.180 D.170 7.顶点在坐标原点，焦点是双曲线 154 22  yx 的左焦点的抛物线标准方程是 A. 2 12x y B. 2 12y x  C. 2 4y x  D. 2 12y x 8.已知 ,3 1)6 5sin(   则  )23(co s 3 1.A  3 1.B 9 5.C 9 7.D 9. 如果点 P ( )x y， 在平面区域 2 2 0 2 1 0 2 0 x y x y x y         ≥ ≤ ≤ 上，则 2 1   x y 的取值范围是 A．      3 1,2 B．      2 3,2 C.     3 1,2 D．      2,3 1 10. 执行如图所示的程序框图，若输入的t 为区间     10,10 1 内任 意一个数，则输出的 M 的 取值范围为 A.   1, 2 2       ， B.     2 1,2- C.  10 22       ， ， D.   1, 2 0, 2       11. 设直三棱柱 1 1 1ABC A B C 的所有顶点都在一个球面上，且球的体积是 3 1040  ， 1AAACAB  ， 120BAC  °，则此直三棱柱的高是 A． 24 B． 4 C． 32 D. 22 12.若曲线 1)1(ln)( 2  xaxaxf )( Ra  在点 ))1(,1( f 处的切线与直线 027  yx 平行，且对任意的   ，2121 ,,0, xxxx  不等式     2121 xxmxfxf  恒成立，则 实数 m 的最大值为 A． 3 B． 32 C． 34 D． 35 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分， 13. 命题“ xxRx 31, 2  ”的否定是 . 14. 设 ,, Rnm  向量 ( ,1), ( 1, ).a m b n    若 a b  且 2a , 则 nm 的值是 . 15. 已知过点 (0,1) 且斜率为 k 的直线 ,l l ,l 与圆 2)1)2(: 22  yxC （ 交于 ,M N 两点．若 弦 MN 的长是 2 ，则 k 的值是 . 16. 已知函数 π π( ) 2sin( )( 0 ),2 3f x x+ x        ，0 为 ( )f x 的一个零点， π 3x  为 ( )y f x 图象的一条对称轴，且 ( )f x 在 ），（ 62021  内不单调，则 的最小 值为 三、解答题：共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17-21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答. 第 22，23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17.（本小题满分 12 分） 第 24 届冬季奥林匹克运动会将于 2022 年 2 月在中国北京举行.为迎接此次冬奥会，北京市 组织大学生开展冬奥会志愿者的培训活动，并在培训结束后统一进行了一次考核. 为了了解本 次培训活动的效果，从 A、B 两所大学随机各抽取 10 名学生的考核成绩，并作出如图所示的 茎叶图. （Ⅰ）计算 A、B 两所大学学生的考核成绩的平均值; （Ⅱ）由茎叶图判断 A、B 两所大学学生考核成绩的稳定性；（不用计算） （Ⅲ）将学生的考核成绩分为两个等级，如下表所示. 现从样本考核等级为优秀的 学生中任取 2 人，求 2 人来自同一所大学的概率. 18.（本小题满分 12 分） 已知数列 na 的前 n 项和 ).(32  NnnnTn （Ⅰ）求数列{ }na 的通项公式； （Ⅱ）令 *2 ( )1 n n n ab n Nn   ，求数列{ }nb 的前 n 项和 .nS 19.（本小题满分 12 分） 如图是矩形 ABCD和以边 AB 为直径的半圆组成的平面图形， aADAB 22  .将此 图形沿 AB 折叠，使平面 ABCD垂直于半圆所在的平面.若点 E 是折后图形中半圆 O 上异于 BA, 的点. （Ⅰ）证明： EA EC ； （Ⅱ）若异面直线 AE 和 DC 所成的角为 6  ，求三棱锥 ACED  的体积. 20.（本小题满分 12 分） 已知函数 xaexf x cos)(  ,其中 0,x  e 为自然对数的底数, .a R （Ⅰ）当 1a   时，讨论 )(xf 的单调性； （Ⅱ）若函数 ( )f x 的导函数 ( )f x 在 ),0(  内有且仅有一个零点,求 a 的值. 21. （本小题满分 12 分） 已知椭圆 ),0,()0,-)0(16: 212 22 cFcFbb yxC 和（的左、右焦点分别为 1 2 3.P C PF F为椭圆 上任意一点，三角形 面积的最大值是 （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若过点(2,0)的直线l 交椭圆C 于 BA, 两点，且 ),0,4 9(Q 证明: QBQA 为定值. （二）选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题目计分. 22. [选修 4—4：坐标系与参数方程] （本小题满分 10 分） 在直角坐标系 xOy 中，曲线 1C ： cos sin x r y r      （ 为参数，常数 0r  ）. 以坐标原点为 极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两坐标系中取相同的长度单位.曲线 2C 的极坐 标方程为 2 8 sin 15 0     . （Ⅰ）若曲线 1C 与 2C 有公共点，求 r 的取值范围； （Ⅱ）若 1r  ，过曲线 1C 上任意一点 P 作曲线 2C 的切线，切点为Q ，求 PQ 的最小值. 23. [选修 4- 5：不等式选讲]（本小题满分 10 分） 已知函数 213)(  xxxf （Ⅰ）解不等式： ( ) 5f x  ； （Ⅱ）若关于 x 的不等式 mxxf  2)( 在 0,3 上恒成立，求实数 m 的取值范围. 2021 年安庆高三模拟考试（二模） 数学试题（文科）参考答案 一、 选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合要求的 1. 解 析 ： 因 为  ,30  xxM N  ,12  xx 所 以  10  xxNM   1,0 .故选A. 2.解析：因为 iii iz 2)1(1 22 2   ,所以 2)2( 2 z ，故选 B. 3.解析：对 A , N 店的平均值是 29)63503516826 1 （ , A 正确; 对 B , M 店的平均值是  1 114 20 26 45 64 36 34 34,356 6 B      （ ） ， 正确； 对 ,C 由图象知 正确；C 对 ,D M 店的极差为 ，5014-64  N 店的极差为 63-2 61,50 61,D  错误. 故选 D. 4.解析：由 0)0( f 得 2t ，所以 1( ) 22 x xf x   . 2 2 1 15(2) 2 .2 4f     于是 16 225)2()2()2( 2  fff . 故选 C. 5.解析: 由已知得 2b ac ，因此 accbca  22 3 可化为 bcacb 3222  . 于是 ,2 3 2cos 222  bc acbA .6 A 故选 A. 6.解析：显然 q  1，由 3 69S S 得， 3 69(1 q ) 1-= 21-q 1 q qq   ，解得 . 于是 na 的通项公式 是 .,2 1   Nna n n 因为 ,2)( 19010 20120321  aaaaaa 所以 .1902log)(log 190 2203212  aaaa 故选 B. 7. 解析：因为   xyp pFcc 12,6 ,32,0,3,3,954 2 2   故选 B. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A B D C A B B D A D D C 8.解析：由 3 1)]6 5(sin[)6sin(3 1)6 5sin(   知：已知 所以 .9 7 9 21)6(sin21)6(2cos)23cos( 2   选 D, 9.解析：如图，先作出点 ( )P x y， 所在的平面区域. 2 1   x y 表示动点 P 与定点 (2 1)Q ， 连 线的斜率. 联立 2 1 0 2 0 x y x y        解得 1 1 x y    . 于是 1 1 21 2QEk    , 0 1 1.1 2 3QFk     因此 1 12 2 3 y x     . 故选 A. 10.解析： 由题意知,          101,1lgt lgt 110 1,lgt 1(lgt) t)( 2 t t M 当 110 1  t 时, 2lg 1lglgt 1(lgt)t)( 2  ttM ,当且仅当 1 10t  时取等号. 当 101  t 时, 1lg 111lgt lgtt)(  tM 是增函数, .2 1t)(0  M 因此, t)(M 的值域是   .2 1,02,      故选 D. 11. 解析：设 .21 mAAACAB  因为 120BAC  °，所以 ,30ACB 于是 rrm (230sin 2  是 ABC 外接圆的半径）， .2mr  又球心到平面 ABC 的距离等于侧棱长 1AA 的一半，所以球的半径为 .5)2( 22 mmm  所以球的表面积为 ,3 1040)5(3 4 3  m 解得 .2m 于是直三棱柱的高是 .2221  mAA 故选 D. 12. 解析： .. )1(2)1(2)( 2 x axaxax axf  因为 7)1( f ,所以 .3,7.1 )1(2  aaa .12ln3)( 2  xxxf 因此 24 3( ) 0,. xf x x     ( )f x 在  ,0 内单减. 不妨设 021  xx ,则 1 2( ) ( )f x f x .于是     2121 xxmxfxf  就是    2 1 1 2( )f x f x m x x   ，即     1122 mxxfmxxf  恒成立. 令 mxxfxg  )()( ， 0x ，则 )(xg 在  ,0 内单减，即 .0)(  xg ,043)()(  mxxmxfxg 0x . 而 3443  xx ， 当 且 仅 当 2 3x 时， xx 43  取到最小值 ,34 所以 .34m 故选 C. 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13. 2, 1 3x R x x    14. 3 15. 3 3 16. 4 15 13. 解析：特称命题的否定是全称命题. 14.解析：因为 ,ba  所以 0 nm . 又因为 2a ,所以 .3,41 22  mm 于是 .32  mnm 15.解析：直线 l l l 的方程为 1 kxy ，即 01  ykx .所以 2 2 2 ) 1k 11-2k(12   解得 k  3 3 16.解析：由题意知 1 2 3 , 3 2 k k                则 .2 4 k    由 0 2 4 2 k     得， 1 1 ,2 2k   Zk 又 ,所以 0k  ，则 .4   故 1 33 4k    .所以 ( ) 2sin( ).4f x x   由题设知 10, 0k  当 时， 3 4   ，则 3( ) 2sin( ).4 4f x x   由 3 8 82 2 , ,2 4 4 2 3 3 3 n nn x n x                  知 ( )f x 在 π( )3  ， 内单 增，显然在 ），（ 62021  内单增,不合题意. 1 1k  当 时， 15,4   则 15( ) 2sin( ).4 4f x x   由 15 8 82 2 , ,2 4 4 2 5 15 15 15 n nn x n x                  知 ( )f x 在 π π( )5 15  ， 内单增，在 π π( )15 3 ， 内单减, 符合在 ），（ 62021  内不单调的条件. 故 的最小值为15 4 . 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分 12 分) 解析：（Ⅰ） 64 75 78 78 79 72 85 86 91 92 800 8010 10Ax            ……2 分 67 62 70 79 78 87 84 85 95 93 800 8010 10Bx            ………4 分 （Ⅱ）由茎叶图可知，A 所大学学生的成绩比 B 所大学学生的成绩稳定. ………7 分 （Ⅲ） 记事件 M 为“从样本考核等级为优秀的学生中任取 2 人， 2 人来自同一所大学”. 样本中，A 校考核等级为优秀的学生共有 3 人，分别记为 , ,a b c , B 校考核等级为优秀的学生 共 有 3 人 ， 分 别 记 为 , ,A B C , 从 这 6 人 中 任 取 2 人 ， 所 有 的 基 本 事 件 个 数 为 , , , , , , , , , , , , , ,ab ac aA aB aC bc bA bB bC cA cB cC AB AC BC 共 15 种,而事件 M 包含的基本事件 是 , , , , ,ab ac bc AB AC BC 共 6 种, ……………10 分 因此 .5 2 15 6)( MP ……………12 分 18．(本小题满分 12 分) 解析： （Ⅰ） 1n  时， 1a =4， 1 16a  . 当 2n  时, )1(3)1( 2 1  nnTn . 作差得 2 2na n  ， 24( 1)na n   .又当 1n  时满足此式，  24 1na n   ， *n N …………5 分 （Ⅱ） 2 22 4( 1) ( 1) 21 n n n nb nn      . …………7 分 1 2n nS b b b     3 4 1 22 2 3 2 2 ( 1) 2n n nS n n           2 nS = 4 5 2 32 2 3 2 2 ( 1) 2n nn n          . nS  3 4 5 2 32 2 2 2 2 ( 1) 2n nn         3 38(1 2 )2 ( 1) 21 2 n nn      3 3 3 32 2 2 2n n n nn n          . …………11 分 32 .n nS n    …………12 分 19．(本小题满分 12 分) 解析：（Ⅰ）∵平面 ABCD 垂直于圆O 所在的平面，两平面的交线为 AB ， BC 平面 ABCD ， BC AB ，∴ BC 垂直于圆O 所在的平面. 又 EA 在圆O 所在的平面内，∴ BC EA . ………… 3 分 ∵ AEB 是直角，∴ BE EA .而 ,BE BC B ∴ EA  平面 EBC . 又∵ EC 平面 EBC ,∴ EA EC . …………5 分 (Ⅱ) 因为在矩形 ABCD 中， CDAB// , 直线 AE 和 DC 所成的角为 6  , 所以直线 AE 和 AB 所成的角为 6  ,即 6 BAE . ………6 分 过 E 作 ABEF  于 ,F 则 ABCDEF 平面 . 又 ,2aAB  6 BAE ，所以 ,2 3,3 aEFaAE  因此 .22 1 2 1 2aaaCDADS ACD  ………8 分 于是 .6 3 2 3 3 1 3 1 32 aaaEFSVV ACDACDEACED   即三棱锥 ACED  的体积是 .6 3 3a ………12 分 20. (本小题满分 12 分) 解析：（Ⅰ）当 1a   时， ( ) cosxf x e x  ,则 ( ) sinxf x e x   …………2 分 因为 0,x  所以 1, 1 sin 1xe x    ,因此 ( ) 0f x  . 故函数 ( )f x 在 (0, )  内单调递增. …………5 分 （Ⅱ）由 ( ) sin 0xf x e a x    得， sin xa x e . 因为 ),0( x ，所以 0sin x . 因此 .sin xea x  令 ,0,sin)(  xx exg x 则 x xxexg x 2sin )cos(sin)(  .由 0)(  xg 得 4 x .…8 分 当 40  x 时 0)(  xg ；当   x4 时 0)(  xg ，所以 .2)4()( 4 min  egxg  故 42 .a e   …………12 分 21. (本小题满分 12 分) 解析：（Ⅰ）由题意知 22 6 bc  . ……………1 分 当 P 点 位 于 椭 圆 C 短 轴 端 点 时 ， 三 角 形 21FPF 的 面 积 S 取 最 大 值 ， 此 时 322 1 max  bcbcS . ……………2 分 所以 3,9)6(,9 22222  bbbcb 解得即 ……………4 分 故椭圆C 的方程为 136 22  yx . ……………5 分 （ Ⅱ ） ( 方 法 1) 当 直 线 l 的 斜 率 不 为 0 时 ， 设 直 线 2:  myxl 交 椭 圆 于    2211 ,,, yxByxA . 由      62 2 22 yx myx 消去 x 得, 2 22 4 2 0.m y my    1 2 1 22 2 4 2, .2 2 my y y ym m       则 ……………7 分 1 1 2 2 9 9, , , ,4 4QA x y QB x y              而    2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 9 1 114 4 4 16QA QB x x y y m y y m y y                 所以  2 2 2 2 1 4 11 ( )2 4 2 16 mm mm m           .16 15 16 1 2 2 2 2   m m …………10 分 当直线l 的斜率为 0 时，    0,6,0,6 BA ,则 9 9 81 156 ,0 6 ,0 6 .4 4 16 16QA QB                       ……………11 分 故 QBQA 为定值，且为 16 15 . ……………12 分 (方法 2) 当直线l 的斜率存在时，设直线 )2(:  xkyl 交椭圆于    2211 ,,, yxByxA . 由      62 )2( 22 yx xky 消去 y 得, 2 2 2 22 1 8 8 6 0.k x k x k     2 2 1 2 1 22 2 8 8 6, .2 1 2 1 k kx x x xk k     则 ……………7 分 1 1 2 2 9 9, , , .4 4QA x y QB x y              而    2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 9 9 9 811 (2 ) 44 4 4 16QA QB x x y y k x x k x x k                   所以   2 2 2 2 2 2 2 8 6 9 8 811 (2 ) 42 1 4 2 1 16 k kk k kk k          2 2 12 6 81 81 156 .2 1 16 16 16 k k         ……………10 分 当直线l 的斜率不存在时，可求得    1,2,1,2 BA , 9 9 1 152 ,1 2 , 1 1 .4 4 16 16QA QB                     则 …………11 分 故 QBQA 为定值，且为 16 15 . ……………12 分 （二）选考题：共 10 分.请考生从第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一 题目计分. 22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](本小题满分 10 分) 解析:（Ⅰ）曲线 1C 的普通方程为 2 2 2 ( 0)x y r r   ， 曲线 2C 的普通方程为  22 4 1x y   若 1C 与 2C 有公共点，则    2 21 0 0 4 0 1r r       ，所以3 5r  . …………… 5 分 （Ⅱ）设  cos ,sinP   ，由 2 2 2 2 2 2 2 1PQ PC C Q PC    ， 得  22 2cos sin 4 1PQ      16 8sin 16 8 8     . 当且仅当 sin 1  时取最大值，故 PQ 的最小值为 2 2 . …………… 10 分 23．[选修 4-5：不等式选讲](本小题满分 10 分) 解析: （Ⅰ）由 5213  xx 得，      5213 3 1 xx x 或      5213 23 1 xx x 或      5213 2 xx x ，解得 1x 或 21  x 或 2x . 故不等式 ( ) 5f x  的解集为 ),1()1,(   . …………5 分 （Ⅱ）由题意知，当  0,3x 时， 23 1 2x x x m     恒成立． 若 0 2x  ，则 23 1 2x x x m     ， 2 min( 2 3) 3m x x     .…………7 分 若 2 3x  ，则 23 1 2x x x m     ， 2 min( 4 1) 2m x x     . 综上可知，实数 m 的取值范围是 ( ,2] ． …………10 分