北京市平谷区2021届高三数学3月质量监控（零模）试卷（Word版附答案）

平谷区 2020-2021 学年度第二学期高三年级质量监控 数学试卷 2021.3 第 1 卷选择题（共 40 分） 一、选择题（本大题共 10 小題，每小题 4 分，共 40 分；在每个小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项.） 1．若集合 { | 1 2 | { | 1}A x x B x x   ，„ „ ，则 A B 等于（ ） A. |1 2x x „ B. | 1x x  C. | 1x x … D. | 1 2x x „ „ 2．设复数 z 满足 (1 ) 1i z i   ，则 z 等于（ ） A. i B.i C. 2i D. 2i 3. 82x x       的展开式中 4x 的系数是（ ） A.28 B.56 C.112 D.256 4．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是（ ） 主（正）视图 左（侧）视图 俯视图 A.3 B.8 C.12 D.14 5．设 P 是圆 2 2 10 6 25 0x y x y    ＝ 上的动点， Q 是直线 4x   上的动点，则 PQ 的最小值 为（ ） A.6 B.4 C.3 D.2 6．函数 ( ) ln( 1)f x x  的图象与函数 2( ) 4 4f x x x   的图象的交点个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 7．已知函数 ( ) sin( )( 0, 0, )f x A x A       R ．则“ ( )f x 是偶函数“是“ 2   ” 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8．已知 1 2( ,0) ( ,0)F c F c ， 分别是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的两个焦点，双曲线 1C 和圆 2 2 2 2 :C x y c  的一个交点为 P ，且 2 1 3PF F   ，那么双曲线 1C 的离心率为（ ） A. 5 2 B. 3 C.2 D. 3 1 9.已知数列 na 满足 1 2 5a  ，且对任意 *nN ，都有 1 1 4 2 2 n n n n a a a a    ，那么 4a 为（ ） A. 1 7 B. 7 C. 1 10 D.10 10．某时钟的秒针端点 A 到中心点 O 的距离为 5cm，秒针绕点 O 匀速旋转，当时间： 0t  时， 点 A 与钟面上标 12 的点 B 重合，当 [0,60]t A B ， ， 两点间的距离为 d（单位：cm），则 d 等 于____ A.5sin 2 t B.10sin 2 t C.5sin 30 t D.10sin 60 t 第 II 卷非选择题（共 110 分） 二、填空題（本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分；请把答案填在答题卡中相应题中横线 上） 11．函数 ( ) 3 ln( 1)f x x x    的定义域是_________. 12．已知抛物线 2 4C y x： 上一点 M 到焦点的距离为 3，那么点 M 到 y 轴的距离为________. 13．已知在直角三角形 ABC 中， 90 1 2A AB BC   ， ， ，那么 AB BC  等于______； 若 AM 是 BC 边上的高，点 P 在Δ ABC 内部或边界上运动，那么 ·AM BP   的最大值是____. 14．已知函数 ( ) sin ( 0)f x x   ，在 2,4 3      上单调递增，那么常数 的一个取值____. 15．从 2008 年京津城际铁路通车运营开始，高铁在过去儿年里快速发展，并在国民经济和日 常生活中扮演着日益重要的角色.下图是 2009 年至 2016 年高铁运营总里程数的折线图（图中 的数据均是每年 12 月 31 日的统计结果）． 根据上述信息，下列结论中正确的是 ①2015 年这一年，高铁运营里程数超过 0.5 万公里； ②2013 年到 2016 高铁运营里程平均增长率大于 2010 到 2013 高铁运营里程平均增长率； ③从 2010 年至 2016 年，新增高铁运营里程数最多的一年是 2014 年； ④从 2010 年至 2016 年，新增高铁运营里程数逐年递增；其中所有正确结论的序号是____. 三、解答题（本大題共 6 小題，共 85 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分 13 分） 如图，在四棱维 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，Δ PAB 为正三角形， 且侧面 PAB  底面 ABCD ， PM MD ． （I）求证： PB  平面 ACM ； （II）求二面角 M BC D  的余弦值 17．（本小题满分 13 分） 在锐角Δ ABC 中，角 A B C， ， 的对边分別为 a b c， ， ，且 3 2 sin 0c b C  ． （I）求角 B 的大小； （II）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求Δ ABC 的面积条件. ① 3 3 2b a ， ; 条件②： 2 4a A  ， . 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 18．（本小题满分 14 分） 随着人民生活水平的提高，人们对牛奶品质要求越来越高，某牛奶企业针对生产的鲜奶和 酸奶，在一地区进行了质量满意调查，现从消费者人群中随机抽取 500 人次作为样本，得到 下表（单位：人次）： （I）从样本中任取 1 个人，求这个人恰好对生产的酸奶质量满意的概率； （II）从该地区的老年人中抽取 2 人，青年人中随机选取 1 人，估计这三人中恰有 2 人对生产 的鲜奶质量满意的概率； （III）依据表中三个年龄段的数据，你认为哪一个消费群体鲜奶的满意度提升 0.1，使得整体 对鲜奶的满意度提升最大？（直接写结果）. 满意度 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 19．（本小题满分 15 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ，并且经过  0 3P ， 点. （I）求椭圆 C 的方程； （II）设过点 P 的直线与 x 轴交于 N 点，与椭圆的另一个交点为 B ，点 B 关于 x 轴的对称点为 B＇，直线 PB＇交 x 轴于点 M ，求证： OM ON 为定值. 20．（本小题满分 15 分） 已知函数 2 1( ) x ax xf x e   （I）当 0a  时，求函数 ( )y f x 的单调区间； （II）当 1a  时，过点 1,0)P ( 可作几条直线与曲线 ( )y f x 相切？请说明理由． 21．（本小题满分 15 分） 已知数列  1 2 1 20 3n nA a a a a a a n   ： ， ， ， ，„ … ，具有性质 P：对任意 i j， （1 i j n   ） ija a 与 ija a ，两数中至少有一个是该数列中的一项， nS 为数列 A 的前 n 项 和. （I）分别判断数列 0,1,3,5 与数列 0,2,4,6 是否具有性质 P： （II）证明： 1 0 2 n n naa S ，且 ； （III）证明：当 4n  时， 3 51 2 4a a a a a， ， ， ， ，成等差数列． 平谷区 2020-2021 学年度第二学期质量监控 高三数学试卷参考答案 一.选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B A C B D A D 二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 25 分. 注：第 15 题第一空 3 分,第二空 2 分； 第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 分，其它得 3 分。 11. { |1 3}x x  ； 12.2； 13.-1；0. 14. 3(0, ]4 中的一个值； 15. ②; ③ . 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80 分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 16.(本小题满分 13 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PAB 为正三角形，且侧面 PAB⊥底面 ABCD， PM MD . （I）求证：PB // 平面 ACM； （II）求二面角 M BC D  的大小 （Ⅰ）证明：连接 BD ,与 AC 交于O ，在△PBD 中， 因为 O ， M 分别为 BD ，PD的中点， 所以 //OMBP .………… 4 分 因为 BP 平面 ADE ，OM  平面CAM ， 所以 //BP 平面CAM . ………… 6 分 (Ⅲ) 因为 ABCD 是正方形， PAB 为正三角形，E 是 AB 的中点， 所以 PE⊥AB .又因为面 PAB⊥底面 ABCD， 所以 PE 平面 ABCD…………8 分 过 E 作 EF 平行于CB与 CD 交于 F . DA B C P E z x y M 以 E 为原点，分别以 , ,EB EF EP 为 , ,x y z 轴， 建立空间直角坐标系 E xyz ，…………9 分 则  0, 0, 0E ，  1, 0, 0B ，  0,0, 3P ，  2, 01,C ，  1, 2, 0D ． 1 3,1,2 2      M ………10 分 所以 3 3, 1,2 2         CM ，  0,2,0 BC ， 设平面 CBM 的法向量为  , ,x y zn ，则 3 3 02 2 2 0              CM x y z BC y n n ， 0y ,令 1x ．则 3z 得 ,0 3（1 ， ）n ．…………11 分 因为 PE⊥平面 ABCD， 所以平面 ABCD 的法向量  0, 0, 1m ， 所以 3cos | | | 2     n mn, m n | m ．………… 12 分 所以二面角 M BC D  的大小为 030 ………… 13 分 17. (本小题满分 13 分) 在锐角△ ABC 中，角 A B C， ， 的对边分别为 a b c， ， ，且 3 2 sin =0c b C ． （Ⅰ）求角 B 的大小； （Ⅱ）再从下面条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：△ ABC 的面积． ① 3 3, 2.b a  ② 2a  ， 4A  ， 解（Ⅰ）因为 3 2 sin =0c b C ，由正弦定理 3sinC 2sin sin =0 B C …………. 5 分 所以 3sin = 2B …………. 7 分 所以 3 B …………. 8 分 （Ⅱ）解法一：因为 3 3, 2.b a  根据余弦定理得 2 2 2 2 cos    b c a c a B ， ………………9 分 化简为 2 2 23 0  c c ，解得 1 2 6 c ． ………………11 分 所以 △ ABC 的面积 1 3 6 2sin2 2S c a B    ． ………………13 分 解法二：因为 4A  ， π 3B  ， 根据正弦定理得 sin sin b a B A ， ……………7 分 所以 sin 6sin  a Bb A ． ………………8 分 因为 5 12C A B      ， ………………9 分 所以 5 6 2sin sin sin( )12 4 6 4C        ， ………………11 分 所以 △ ABC 的面积 1 3 3sin2 2   S b a C ． ………………13 分 18. (本小题满分 14 分) 随着人民生活水平的提高，人们对牛奶需求越来越大，品质要求越来越高，某牛奶企业针对 生产的鲜奶和和酸奶，在一地区进行了质量满意度调查，现从中随机抽取 500 人次作为样本， 得到下表（单位：人次）： 满意度 老年人 中年人 青年人 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 酸奶 鲜奶 满意 100 120 120 100 150 120 不满意 50 30 30 50 50 80 (Ⅰ)从样本中任取 1 个人，求这个人恰好对生产的酸奶满意的概率； (Ⅱ)从该地区的老年人中抽取 2 人，青年人中随机选取 1 人，估计这三人中恰有 2 人对生产的 鲜奶质量满意的概率； (Ⅲ) 依据表中三个年龄段的数据，哪部分人对鲜奶的满意度提升 0.1，使得整体对鲜奶的满意 度提升最大？ （直接写结果） 解：(Ⅰ)设这个人恰好对生产的酸奶满意人数事件为 A,总人次为 500 人, 共抽取了 100+120+150=370 人次对酸奶满意, 所以   370 37 500 50P A   .…………5 分 (Ⅱ)由频率估计总体，由已知抽取老年人满意度的概率为   4 5P B  ,抽取青年人满意度的概 率为   3 5P C  ,抽取这三人中恰有 2 人对生产的鲜奶质量满意的概率  P D ，   2 1 2 4 3 4 4 3 56(1 ) (1 )5 5 5 5 5 125P D C             ， 所以这三人中恰有 2 人对生产的鲜奶质量满意的概率为 56 125 .…………11 分 (Ⅲ)青年人 …………14 分 19．(本小题满分 15 分) 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 1 2 ，并且经过 (0, 3)P 点 （Ⅰ）求椭圆 C 的方程； （Ⅱ）设过点 P 的直线与 x轴交于 N 点，与椭圆的另一个交点为 B ，点 B 关于 x轴的对称点 为 B，直线 PB 交 x轴于 M，求证：| | | |OM ON 为定值。 解：（Ⅰ）由已知 2 3 1 1 2     b c a 解得 2 3   a b 所以椭圆 C ： 2 2 14 3  x y .…………5 分 （Ⅱ）证明：由已知斜率存在 以下给出证明： 由 题 意 ， 设 直 线 PB 的 方 程 为 3( 0)  y kx k , P(0, 3) , 1 1( , )B x y ， 则 1 1( , ) B x y . ………….7 分 由 2 23 4 12, 3,      x y y kx 得 2 2(3 4 ) 8 3 0  k x k x ， ……………… 9 分 所以 2(8 3) 0 k ， 1 2 8 30 3 4     kx k ，. 1 2 8 3 3 4    kx k 1 2 8 3 33 4    ky k 所以 2 2 8 3 8 3( , 3)3 4 3 4     k kB k k 即 2 2 28 3 -4 3 3 3( , )3 4 3 4    k kB k k …………11 分 直线 'PB 的方程为 2 2 2 4 3 3 3 3 8 3- ( )3 4 4 3 4 k ky xk k k     2 2 28 3 4 3 3 3( , )3 4 3 4 ’ k kB k k    令 0y 得 2 2 -4 3 3 3 4 3(3 4 （ ） ）   k kx k 所以 2 2-4 3 3 3 4 03(3 4 （ ） ，））   k kM k 令 0y 由 3 y kx 得 3-x k 所以 3( 0，）N k …………13 分 所以| | | |OM ON = 2 2 -4 3 3 3 4 3| || |=43(3 4 （ ） ）    k k k k …………15 分 法二：设 0 0( , )B x y ， 0 0( , )B x y  则 2 2 0 0 14 3 x y  …………3 分 则直线 PB 的方程为 0 0 33 ( 0)yy xx    …………5 分 令 0y 0 0 3 3 xx y   所以 0 0 3N( ,0 3 ）x y 同理 0 0 3M( ,0 3 ）x y …………9 分 所以| | | |OM ON = 2 0 0 0 2 00 0 3 3 3| || |=| |33 3 x x x yy y    …………. 12 分 因为 2 2 0 0 14 3 x y  所以 2 2 0 03 4 12x y  所以| | | |OM ON = 2 2 0 0 2 2 0 0 3 12 4| | | | 43 3 x y y y    …………. 15 分 20(本小题满分 15 分) 已知函数 2 1( ) x ax xf x e   . （1）当 0a  时，求函数 ( )y f x 的单调区间； （3）当 1a  时，过点 ( 1, 0)P  可作几条直线与曲线 ( )y f x 相切？请说明理由． （Ⅰ）因为当 0a  时, 1( ) ex xf x  ， 由 '( ) ex xf x  ,令 '( ) 0f x  ,解得 0x  ，………… 3 分 则 '( )f x 及 ( )f x 的情况如下： x ( ,0) 0 (0, ) '( )f x  0  ( )f x  极大值  所以函数 ( )f x 的递减区间为 (0, ) ;递增区间为 ( ,0) . …………7 分 （Ⅱ）因为当 1a  时, 2 1( ) e x x xf x   ，所以 2 '( ) ex x xf x  ………… 9 分 设切点为 0 0( , )A x y ,则切线方程为: 0 2 0 0 0 0( )x x xy y x xe    ,又因为切线过 ( 1, 0)P  , 所以 0 2 0 0 0 0( 1 )x x xy xe     所 以 0 0 2 2 0 0 0 0 0 1 ( 1 )x x x x x x xe e       , 化 简 得 3 2 0 0 1 0x x   ,…………11 分 令 3 2( ) 1g x x x   ,所以 2( ) 3 2g x x x   , 则 '( )g x 及 ( )g x 的情况如下： x 2( , )3   2 3  2( ,0)3  0 (0, ) '( )g x + 0  0 + ( )g x  极大值 31 27  极小值 1  所以函数 ( )g x 的递减区间为 2( ,0)3  ;递增区间为 2( , )3   , (0, ) . ( 2) 3 0g     2 31( ) 03 27g    ,所以 ( )g x 在 ( 2, 0) 有唯一一个零点, …………. 13 分 所 以 方 程 3 2 0 0 1 0x x   有 唯 一 一 个 解 . 所 以 过 ( 1, 0)P  只 能 作 一 条 曲 线 ( )f x 的 切 线. …………15 分 21(本小题满分 15 分) 已知数列  1 2 1 2: , , , 0 , 3n nA a a a a a a n      具有性质 P ：对任意  , 1i j i j n   ， j ia a 与 j ia a 两数中至少有一个是该数列中的一项, nS 为数列 A 的前 n 项和. （Ⅰ）分别判断数列 0,1, 3,5 与数列 0, 2, 4, 6 是否具有性质 P ； （Ⅱ）证明： 1 0a  ，且 2 n n naS  ； （Ⅲ）证明：当 4n  时， 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 成等差数列. （Ⅰ）因为1 3 4 A   ，3 1 2 A   ，所以数列 0,1, 3,5 不具有性质 P ；因为 0 2, 2 0  ； 0 4, 4 0  ； 0 6, 6 0  ； 2 4, 4 2  ； 2 6, 6 2  ； 6 4, 6 4  ，六组数中，至少有 一个属于 P ，所以数列 0, 2, 4, 6 具有性质 P 。…………5 分 （Ⅱ）∵数列  1 2 1 2: , , , 0 , 3n nA a a a a a a n      具有性质 P ，∴ n na a 与 n na a 中至 少有一个属于 A，∵ 0na  ， n n na a a  ，故 n na a A  ，∴ n na a A  ，∴ 1 0a  。 由 A 具有性质 P 可知  1,2,3, ,n ka a A k n    . ∴ 1 2 3 1n n n n n n na a a a a a a a a a         ， ∴ 1n na a a  2 1n na a a   3 2n na a a    1n na a a  ； 从 而 1 2 1 1( )n n n nna a a a a a a       ， ∴ n n nna S S  ， ∴ 2 n n naS  …………10 分 （Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，∴ 5 4 2a a a  , 5 3 3a a a  ,∴ 5 4 2 32a a a a   3 2 2a a a  ,∴ 3 22a a , 4 23a a , 5 24a a ,∴数列 1 2 3 4 5, , , ,a a a a a 是以 0 为首项，共差 为 2a 的等差数列。 …………15 分