石景山区 2021 年高三统一练习
数 学
本试卷共 8 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．请务必将答案答在答题卡上，在试
卷上作答无效，考试结束后上交答题卡．
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
（ 1 ）已知集合 1,3,5A ， 2| 16 0B x x ，则 A B
（A） 1,3 （B） 3,5 （C）{1,3,5} （D） 0,4（ ）
（ 2 ）下列函数中，是奇函数且最小正周期 πT 的是
（A） 1( )f x x
（B） 3( )f x x
（C） ( ) 2sin cosf x x x （D） ( ) sinf x x
（ 3 ）复数 i 1
i
a 在复平面上对应的点位于第一象限，则实数 a 的取值范围是
（A） ( , 1) （B） ( ,0) （C） 0 +（ ， ） （D） (1, )
（ 4 ）一几何体的直观图和主视图如图所示，下列给出的四个俯视图中正确的是
（ 5）“直线 l 垂直于平面 内无数条直线”是“直线 l 垂直于平面 ”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（ 6）已知菱形 ABCD 的边长为 a ， 60ABC ，则 BD CD ＝
（A） 23
2 a （B） 23
4 a （C） 23
4 a （D） 23
2 a
（ 7 ）过抛物线 2 4y x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A、B 两点，若 F 是线段 AB 的中点，则 | AB |=
（A） 1 （B）2 （C）3 （D）4
（ 8 ）“回文数”是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如 22，121，3443 等．
那么在四位数中，回文数共有
（A） 81个 （B） 90 个 （C）100 个 （D） 900 个
（ 9 ）已知
2 2, 0,( )
3 2, 0,
x xf x
x x
≤ 若| ( ) |f x ax≥ 在 [ 1,1]x 上恒成立，则实数 a 的取值 范围
是
（A） ( , 1] [0, ) （B）[0,1]
（C）[ 1, 0] （D） ( 1, 0)
（10）瑞士著名数学家欧拉在 1765 年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线
上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作△ABC，AB＝
AC＝4，点 B( 1,3 )，点 C( 4, 2 )，且其“欧拉线”与圆 M： 2 2 2( ) ( 3)x a y a r 相
切．则圆 M 上的点到直线 3 0x y 的距离的最小值为
（A） 2 2 （B）3 2 （C） 4 2 （D） 6
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
（11）双曲线
2 2
116 9
x y 的离心率为__________．
（12）已知函数 ( ) | ln |f x x ，若 1( )8a f ， 1( )4b f ， (2)c f ，则 , ,a b c 从小到大
排序为__________．
（13）如图，如果每个横行上两数字之和相等，每个竖列上两个数字之和相等，请
写出一组满足要求的不全相等的 11 12 21 22, , ,a a a a 的值．
11a _______， 12a _______， 21a _______， 22a _______．
（ 14 ） 在 锐 角 △ ABC 中 ， 3 3, 5, 2 sina c a b A ， 则 B __________ ，
b __________．
（15）海水受日月的引力，会发生潮汐现象．在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港
口，落潮时返回海洋．某兴趣小组通过 AI 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的
实验：首先，设定水深 y（单位：米）随时间 x（单位：小时）的变化规律为 0.8sin 2y x
（ R ），其中 π0 x
≤ ≤ ；然后，假设某虚拟货船空载时 吃水深度（船底与水面
的距离）为 0.5 米，满载时吃水深度为 2 米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以
每小时 0.4 米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有 0.4 米的
安全间隙．
在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是__________．
1 若 π= 6
，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留 4 个小时；
2 若 π= 6
，该货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留 4 个小
时；
3 若 =1 ，货船于 1x 时进入港口后，立即进行货物卸载，则 π
2x 时，船底离海底的
距离最大；
4 若 =1 ，货船于 1x 时进入港口后，立即进行货物卸载，则 2π
3x 时，船底离海底
的距离最大．
11a 12a
21a 22a
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
（16）（本小题 13 分）
如图，在五面体 ABCDEF 中，面 ABCD 为正方形，面 ABFE 面CDEF EF ，AD ED ，
CD EA ．
（Ⅰ）求证：CD∥平面 ABFE；
（Ⅱ）若 EF ED ， 2 =2CD EF ，求平面 ADE 与平面 BCF 所成的锐二面角的大小．
（17）（本小题 13 分）
已知有限数列{ }na 共有 30 项，其中前 20 项成公差为 d 的等差数列，后 11 项成公比为 q 的
等比数列，记数列的前 n 项和为 nS ．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为
已知，求：
（Ⅰ） ,d q 的值；
（Ⅱ）数列{ }na 中的最大项．
条件①： 2 5 21=4, =30, 20a S a ；
条件②： 3 20 220, 36, 9S a a ；
条件③： 1 21 2448, 20, 160S a a ．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
（18）（本小题 14 分）
某大型连锁超市的市场部为了比较线下、线上这两种模式的销售情况，从某地区众多门
店中随机抽取 8 家门店，对其线下和线上这两种销售模式下的日营业额（单位：万元）进行
调查．调查结果如下：
若某门店一种销售模式下的日营业额不低于 15 万元，则称该门店在这种销售模式下的日
营业额达标；否则就称该门店在此种销售模式下的日营业额不达标．
若某门店的日营业总额（线上和线下两种销售模式下的日营业额之和）不低于 30 万元，
则称该门店的日营业总额达标；否则就称该门店的日营业总额不达标．
（各门店的营业额之间互不影响）
（Ⅰ）从 8 个样本门店中随机抽取 3 个，求抽取的 3 个门店的线下日营业额均达标的概率；
（Ⅱ）若从该地区众多门店中随机抽取 3 个门店，记随机变量 X 表示抽到的日营业总额达标
的门店个数．以样本门店的日营业总额达标的频率作为一个门店的日营业总额达标的
概率，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）线下日营业额和线上日营业额的样本平均数分别记为 1 和 2 ，线下日营业额和线上日
营业额的样本方差分别记为 2
1S 和 2
2S ．试判断 1 和 2 的大小，以及 2
1S 和 2
2S 的大小．（结
论不要求证明）
门店 1 门店 2 门店 3 门店 4 门店 5 门店 6 门店 7 门店 8
线下
日营业额 9 6.5 19 9.5 14.5 16.5 20.5 12.5
线上
日营业额 11.5 9 12 17 19 23 21.5 15
（19）（本小题 15 分）
已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的右焦点为 (1, 0)F ，且经过点 ( 2,0)A 和
点 (2,0)B ．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ） M 和 N 是椭圆 C 上两个不同的点，四边形 AMBN 是平行四边形，直线 AM 、 AN 分
别交 y 轴于点 P 和点 Q ，求四边形 APFQ 面积的最小值．
（20）（本小题 15 分）
已知函数 1
ex
a xf x a R ．
（Ⅰ）当 1a 时，求 ( )f x 在 0x 处的切线方程；
（Ⅱ）已知 1f x ≤ 对任意 xR 恒成立，求 a 的值．
（21）（本小题 15 分）
由 m 个 正 整 数 构 成 的 有 限 集 1 2 3{ , , , , }mM a a a a （ 其 中 1 2 3 ma a a a ）， 记
1 2( ) mP M a a a ，特别规定 0P ，若集合 M 满足：对任意的正整数 ( )k P M≤ ，
都存在集合 M 的两个子集 A，B，使得 ( ) ( )k P A P B 成立，则称集合 M 为“满集”.
（Ⅰ）分别判断集合 1 {1,2}M 与 2 {2,3}M 是否为“满集”，请说明理由；
（Ⅱ）若集合 M 为“满集”，求 1a 的值；
（Ⅲ）若 1 2 3, , , , ma a a a 是首项为 1 公比为 2 的等比数列，判断集合 M 是否为“满集”，并说明
理由．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
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数学试卷参考答案
一、选择题：本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B B D D B C A
二、填空题：本大题共 5 个小题，每小题 5 分，共 25 分．
（11） 5
4
； （12） c b a （13） 1,2,2,1 答案不唯一；
（14） π , 76
（15）①④．
三、解答题：本大题共 6 个小题，共 85 分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（16）（本小题 13 分）
解：（Ⅰ）在五面体 ABCDEF 中，
因为面 ABCD 是正方形 ，
所以 CD∥ AB ．
又因为 AB 平面 ABFE ，
CD 平面 ABFE ，
所以 CD∥平面 ABFE ．
（Ⅱ）因为面 ABCD 是正方形，所以 CD AD .
又因为 CD AE .
又 AD AE A ，
所以 CD 平面 ADE
又因为 DE 平面 ADE ，
所以 CD DE ．
因为面 ABCD 是正方形 ，
所以 CD AD ．
又因为 AD DE ，
所以以点 D 为坐标原点， DA , DC , DE 分别为 x , y , z 轴，
如图建立空间直角坐标系．
因为 =2 2,CD EF EF ED
(0,0,0)D ， (2,0,0)A ， (2,2,0)B , (0,2,0)C ， (0,0,1)E .
由（Ⅰ）CD∥平面 ABFE ， CD 平面 CDEF ，
平面 CDEF 平面 ABFE EF ，
所以 CD∥ EF ．
所以 1
2EF DC .
可得 (0,1,1)F .
由题意知平面 ADE 的法向量为 (0,2,0)DC
设平面 BCF 的法向量为 ( , , )n x y z .
由 0,
0,
n BC
n FC
得 2 0,
0,
x
y z
令 1y ，得 =1z ， 0x , 所以 (0,1,1)n
设平面 ADE 与平面 BCF 所成锐二面角为 .
cos 2 2
22 2
DC n
DC n
．
所以平面 ADE 与平面 BCF 所成锐二面角为 π
4
（17）（本小题 13 分）
选择条件①： 2 5 21=4, =30, 20a S a
解：（Ⅰ）因为{ }na 的前 20 项成等差数列， 2 5=4, =30a S ，
所以
1
1
4,
5 45 302
a d
a d
，
解得 1 2,
2
a
d
．
所以 20 =2 19 2=40a ．
因为数列{ }na 后 11 项成公比为 q 的等比数列，
所以 21
20
1
2
aq a
．
综上， 12, 2d q ．
（Ⅱ）{ }na 的前 20 项成等差数列， d 0 ．
所以前 20 项为递增数列．
即:前 20 项的最大项为 20 40a ．
数列{ }na 的后 11 项成等比数列， 1
2q ，
所以后 11 项是递减数列．
即:后 11 项的最大项为 20 40a
综上，数列{ }na 的最大项为第 20 项，其值为 40．
选择条件②： 3 20 220, 36, 9S a a
解：（Ⅰ）因为{ }na 的前 20 项成等差数列， 3 200, 36S a ，
所以 1
1
3 3 0,
19 36
a d
a d
，
所以 1 2
2.
a
d
，
因为数列{ }na 后 11 项成公比为 q 的等比数列，
20 36a ，又因为 22 9a ，
2 22
20
1
4
aq a
所以 1
2q ．
综上， 12, 2d q ．
（Ⅱ）{ }na 的前 20 项成等差数列， d 0 ．
所以前 20 项为递减数列．
前 20 项的最大项为 1 2a ．
因为 1
2q ．
i.当 1
2q 时，
20136 (20 30 )2
n
na n n
N≤ ≤ 且 ，
所以当 20 30n 时， 0na ．
此时，数列{ }na 的最大项为第 1 项，其值为 2；
ⅱ.当 1
2q 时，
20136 (20 30 )2
n
na n n
N≤ ≤ 且 ，
后 11 项的最大项为 21 18a .
此时，数列{ }na 的最大项为第 21 项，其值为 18．
综上，当 1
2q 时，数列{ }na 的最大项为第 1 项，其值为 2；
当 1
2q 时，数列{ }na 的最大项为第 21 项，其值为 18．
选择条件③： 1 21 2448, 20, 160S a a
解：（Ⅰ）因为数列{ }na 后 11 项成公比为 q 的等比数列， 21 2420, 160a a ，
所以 3 24
21
8aq a
，
解得 2q ．
所以 21
20 10aa q
．
又因为{ }na 的前 20 项成等差数列， 1 1 48S a ，
所以 20 1 220 1
a ad
．
综上， 2, 2d q ．
（Ⅱ）{ }na 的前 20 项成等差数列， d 0 ．
所以前 20 项为递减数列．
前 20 项的最大项为 1 48a ．
{ }na 的后 11 项成等比数列，而 20 10a ， 2q ，
2010 2 (20 30 )n
na n n N≤ ≤ 且 ，
所以后 11 项为递增数列．
后 11 项的最大项为 30 10240a
综上，数列{ }na 的最大项为第 30 项，其值为 10240．
（18）（本小题 14 分）
解：（Ⅰ）设“抽取的 3 个门店的线下日营业额均达标”为事件 A ，
由题意知，8 个样本门店中线下日营业额达标的有 3 家，
所以
3
3
3
8
1( ) 56
CP A C
.
所以抽取的 3 个门店的线下日营业额均达标的概率为 1
56
.
（Ⅱ）由题意，8 个样本门店中线下日营业总额达标的有 4 家，
所以从该地区众多门店中任选 1 个门店，日营业总额达标的概率为 1
2 .
依题意，随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3.
0 0 3
3
1 1 1( 0) ( ) (1 )2 2 8P X C ； 1 2
3
1 1 3( 1) ( ) (1 )2 2 8P X C ；
2 2
3
1 1 3( 2) ( ) (1 )2 2 8P X C ； 3 3 0
3
1 1 1( 3) ( ) (1 )2 2 8P X C .
所以随机变量 X 的分布列为：
其 数 学 期 望
1 3 3 1 30 1 2 38 8 8 8 2EX .
（Ⅲ） 2 2
1 2 1 2,S S .
（19）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）由已知 2a ， 1c ，
所以 2 2 2 3b a c .
所以椭圆 C 的方程为
2 2
14 3
x y .
（Ⅱ）因为四边形 AMBN 是平行四边形，
所以 AB 与 MN 的中点重合，所以 M、N 关于原点对称.
设 1 1( , )M x y ，则 1 1( , )N x y .（ 1 12 0x y 且 ）
1
1 2AM
yk x
，
直线 AM 的方程为 1
1
( 2)2
yy xx
，
令 0x ，得 1
1
2
2
yy x
，即 1
1
2(0, )2
yP x ,
X 0 1 2 3
P
1
8
3
8
3
8
1
8
又 1
1 2AN
yk x
，
直线 AN 的方程为 1
1
( 2)2
yy xx
，
令 0x ，得 1
1
2
2
yy x
，即 1
1
2(0, )2
yQ x .
四边形 APFQ 面积为 1 3| | | | | |2 2AF PQ PQ ，
1 1 1
2
1 1 1
2 2 8| | | | | |2 2 4
y y yPQ x x x
.
因为点 M 在椭圆上，
所以
2 2
1 1 14 3
x y ， 1 13 3 0y y ≤ ≤ 且 .
所以 2 2
1 1
44 3x y .
所以
1
6| | | |PQ y
.
所以当 1 3y 时， min| | 2 3PQ .
所以四边形 APFQ 面积的最小值为3 3 .
（20）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ）当 1a 时， 1( ) ex
xf x ， 2( ) ex
xf x ，
所以 (0) 1f ，
(0) 2f
切线 l 的斜率为 (0) 2k f .
所以 ( )f x 在 0x 处的切线方程为 2 1y x .
（Ⅱ）依题意， 1f x ≤ 对任意 xR 恒成立，
2
(1 ) e (1 )(e ) 1( ) =(e ) e
x x
x x
ax ax ax af x
当 0a 时， 1( ) exf x ，由于 e 0x ，则 ( ) 0f x 恒成立，
所以 ( )f x 在 R 内单调递减，
因为 (0) 1f ，
故当 0x 时， 1f x ，不符合题意.
当 0a 时，令 ( ) 0f x ，得 11x a
当 0a 时， 11 0x a
，因为 (0) 1f ，那么 , ( ), ( )x f x f x 的变化情况如下表：
x 1( ,1 )a
11 a
1(1 , )a
( )f x 0
( )f x 单调递减 极小值 单调递增
所以结合 ( )f x 的单调性知：当 0x 时， 1f x ，不符合题意.
当 0a 时， , ( ), ( )x f x f x 的变化情况如下表：
x 1( ,1 )a
11 a
1(1 , )a
( )f x 0
( )f x 单调递增 极大值 单调递减
当 0 1a 时， 11 0x a
，因为 (0) 1f ，
所以结合 ( )f x 的单调性知当 11 ,0)x a
（ 时， 1f x ，不符合题意.
当 1a 时， 11 0x a
，因为 (0) 1f ，
所以结合 ( )f x 的单调性知当 10,1 )x a
（ 时， 1f x ，不符合题意.
当 1a 时， 11 0a
.由 ( )f x 的单调性可知， max( ) = (0) 1f x f ，所以符合题意.
综上， 1a .
（21）（本小题 15 分）
解：（Ⅰ） 1M 是满集， 2M 不是满集.
1( ) 3P M ，且 1M 的子集为 ,{1},{2},{1,2}
1, ({1}) ( )k k P P ， 2, ({2}) ( )k k P P ， 3, ({1,2}) ( )k k P P
所以 1M 是满集；
2( ) 5P M ，且 2M 的子集为 ,{2},{3},{2,3}
4k 时不存在集合 M 的两个子集 A、B，使得 4 ( ) ( )P A P B )成立，
所以 2M 不是满集.
（Ⅱ）设 0 ( )k P M ，因为集合 M 为“满集”对任意的正整数 ( )k P M ，都存在集合 M
的两个子集 A、B，使得 ( ) ( )k P A P B )成立.
则 0 1 ( ) ( )k P A P B ，且 ( ) 0P B ，所以 0( )P A k 或 0( ) 1P A k .
当 0( )P A k 时 ( ) 1P B ，此时 1 1a ；
当 0( ) 1P A k 时 ( ) 0P B ，因为 1 2 3 ma a a a ，
所以 2 ma a 为最大 0 1k ，此时 1 1a .
综上 1 1a .
（Ⅲ）集合 M 是满集.
由题意知集合 1{1,2,4, ,2 }mM ， 1 2( ) 2 11 2
m
mP M
，
对任意的正整数 2 1mk ，根据二进制可知，
1 22 2 2 sii ik （ 10 si i m ）.
取 2 1{2 , ,2 ,2 }si i iA ， B .
即 ( ) ( )k P A P B ，所以集合 M 为“满集”.
【若有不同解法，请酌情给分】
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