北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一
数学
2021.3
（考试时间 120 分钟 满分 150 分）
本试卷分为选择题（共 40 分）和非选择题（共 110 分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答
题卡一并交回．
第一部分（选择题 共 40 分）
一、选择题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选
出符合题目要求的一项．
1．已知集合 { 1,0,1,2,3}, { | 1 0}A B x x ，则 A B （ ）
A．{0,1,2,3} B．{1,2,3} C．{2,3} D． 3
2．如果复数 2 ( )bi bi
R 的实部与虚部相等，那么 b （ ）
A． 2 B．1 C．2 D．4
3．已知等差数列 na 的前 n 项和为 nS ， 3 91, 18a S ，则 1a （ ）
A．0 B． 1 C． 2 D． 3
4．已知圆 2 2 4x y 截直线 2y kx 所得弦的长度为 2 3 ，则实数 k （ ）
A． 2 B． 3 C． 2 D． 3
5．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的离心率为 2，则双曲线 C 的渐近线方程为（ ）
A． 3y x B． 3
3y x C． 1
2y x D． 2y x
6．在 ABC 中，若 2 2 2 0a b c ac ，则 B （ ）
A．
6
B．
4
C．
3
D． 2
3
7．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为 1，则该三棱锥最长的棱长
为（ ）
A．2 B． 5 C． 6 D． 2 2
8．在 ABC 中，“ tan tan 1A B ”是“ ABC 为钝角三角形”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知抛物线 2: 4C y x 的焦点为 F，准线为 l，点 P 是直线 l 上的动点．若点 A 在抛物线
C 上，且| | 5AF ，则| | | |PA PO （O 为坐标原点）的最小值为（ ）
A．8 B． 2 13 C． 41 D．6
10．在棱长为 1 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，P 是线段 1BC 上的点，过 1A 的平面 与直线
PD 垂直当 P 在线段 1BC 上运动时，平面 截正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 所得的截面面积的最
小值是（ ）
A．1 B． 5
4 C． 6
2 D． 2
第二部分（非选择题 共 110 分）
二、填空题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分．
11．在
81x x
的展开式中， 4x 的系数为_______．（用数字作答）
12．已知函数
2
2 , 1,( )
log , 1,
x xf x
x x
则 (0)f ________； ( )f x 的值域为_______．
13．已知向量 ( 3,1), ( , )( 0)a b x y xy ，且 | | 1, 0b a b ，则向量 b
的坐标可以是
_______．（写出一个即可）
14．李明自主创业，经营一家网店，每售出一件 A 商品获利 8 元．现计划在“五一”期间对 A
商品进行广告促销，假设售出 A 商品的件数 m（单位：万件）与广告费用 x（单位：万元）符
合函数模型 23 1m x
．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用 x 应投入_______万元．
15．华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论
在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，
定义如下：设 ( )f x 是定义在 R 上的函数，对于 0x R ，令 1 ( 1,2,3, )n nx f x n ，若
存在正整数 k 使得 0kx x ，且当 0 j k 时， 0jx x ，则称 0x 是 ( )f x 的一个周期为
k 的周期点．给出下列四个结论：
①若 1( ) xf x e ，则 ( )f x 存在唯一一个周期为 1 的周期点；
②若 ( ) 2(1 )f x x ，则 ( )f x 存在周期为 2 的周期点；
③若
12 , ,2( ) 12(1 ), ,2
x x
f x
x x
则 ( )f x 不存在周期为 3 的周期点；
④若 ( ) (1 )f x x x ，则对任意正整数 n， 1
2
都不是 ( )f x 的周期为 n 的周期点．
其中所有正确结论的序号是_________．
三、解答题共 6 小题，共 85 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
16．（本小题 13 分）
已知函数 ( ) sin( ) 0, 0,0 2f x A x A
由下列四个条件中的三个来确定：
①最小正周期为 ；②最大值为 2；③ 06f
；④ (0) 2f ．
（Ⅰ）写出能确定 ( )f x 的三个条件，并求 ( )f x 的解析式；
（Ⅱ）求 ( )f x 的单调递增区间．
17．（本小题 13 分）
如图，在四棱锥 P ABCD 中，O 是 AD 边的中点， PO 底面 , 1ABCD PO ．在底面
ABCD 中， / / , , 1, 2BC AD CD AD BC CD AD ．
（Ⅰ）求证： / /AB 平面 POC ；
（Ⅱ）求二面角 B AP D 的余弦值．
18．（本小题 14 分）
我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，消除了绝对贫困．为了
解脱贫家庭人均年纯收入情况，某扶贫工作组对 A，B 两个地区 2019 年脱贫家庭进行简单随
机抽样，共抽取 500 户家庭作为样本，获得数据如下表：
A 地区 B 地区
2019 年人均年纯收入超过 10000 元 100 户 150 户
2019 年人均年纯收入未超过 l0000 元 200 户 50 户
假设所有脱贫家庭的人均年纯收入是否超过 10000 元相互独立．
（Ⅰ）从 A 地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，估计该家庭 2019 年人均年纯收入超适 10000
元的概率；
（Ⅱ）在样本中，分别从 A 地区和 B 地区 2019 年脱贫家庭中各随机抽取 1 户，记 X 为这 2
户家庭中 2019 年人均年纯收入超过 10000 元的户数，求 X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）从样本中 A 地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取 4 户，发现这 4 户家庭 2020 年人均年纯
收入都超过 10000 元．根据这个结果，能否认为样本中 A 地区 2020 年人均年纯收入超过 10000
元的户数相比 2019 年有变化？请说明理由．
19．（本小题 15 分）
已知椭圆 C 的短轴的两个端点分别为 (0,1), (0, 1)A B ，离心率为 6
3
．
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程及焦点的坐标；
（Ⅱ）若点 M 为椭圆 C 上异于 A，B 的任意一点，过原点且与直线 MA平行的直线与直线 3y
交于点 P，直线 MB 与直线 3y 交于点 Q，试判断以线段 PQ 为直径的圈是否过定点？若过
定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
20．（本小题 15 分）
已知函数 ( ) ( 1) ( )xf x ax e a R ．
（Ⅰ）求 ( )f x 的单调区间；
（Ⅱ）若直线 y ax a 与曲线 ( )y f x 相切，求证： 21, 3a
．
21．（本小题 15 分）
设数列 1 2: , , , ( 2)m mA a a a m
，若存在公比为 q 的等比数列 1mB ： 1 2 1, , , mb b b ，使得
1k k kb a b ，其中 1,2, ,k m ，则称数列 1mB 为数列 mA 的“等比分割数列”．
（Ⅰ）写出数列 4A ：3，6，12，24 的一个“等比分割数列” 5B ；
（Ⅱ）若数列 10A 的通项公式为 2 ( 1,2, ,10)n
na n ，其“等比分割数列” 11B 的首项为 1，
求数列 11B 的公比 q 的取值范围；
（Ⅲ）若数列 mA 的通项公式为 2 ( 1,2, , )na n n m ，且数列 mA 存在“等比分割数列”，求
m 的最大值．
北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一
数学 参考答案 2021．3
一、选择题（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分）
（1）B （2）A （3）A （4）D （5）A
（6）D （7）C （8）C （9）B （10）C
二、填空题（共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）
（11） 28 （12）1； ( ,2)
（13） 3 1( , )2 2
（答案不唯一） （14） 3 （15）①④
三、解答题（共 6 小题，共 85 分）
（16）（共 13 分）
解：（Ⅰ）确定 ( )f x 的三个条件是①，②，③．
当 0A 且 π0 2
时， sin 0A ．
若函数 ( )f x 满足条件④，则 (0) sin 2f A ，
与 sin 0A 矛盾，所以 ( )f x 不能满足条件④．
所以能确定 ( )f x 的三个条件是①，②，③．
由条件①，得 2π π| | ，又 0 ，所以 2 ．
由条件②，得| | 2A ，又 0A ，所以 2A ．
由条件③，得 π π( ) 2sin( ) 06 3f ，又 π0 2
，所以 π
3
．
所以 π( ) 2sin(2 )3f x x ．
经验证， π( ) 2sin(2 )3f x x 符合题意． .............................................................................. 7 分
（Ⅱ）函数 siny x 的单调递增区间为 π π[2 π ,2 π ]2 2k k （ k Z ）．
由 π π ππ π+2 3 22 2 2xk k （ k Z ），
得 5π ππ π+12 12xk k （ k Z ）．
所以 ( )f x 的单调递增区间为 5π ππ π+ ]12 12[k k , （ k Z ）．................................................... 13 分
（17）（共 13 分）
解：（Ⅰ）在四边形 ABCD 中，
因为 1// , 2BC AD BC AD ， O 是 AD 的中点，则 //BC AO ， BC AO ．
所以四边形 ABCO 是平行四边形．
所以 //AB OC ．
又因为 AB 平面 POC ， OC 平面 POC ，
所以 //AB 平面 POC ．...............................................................................................................5 分
（Ⅱ）连结 OB ．
因为 PO 平面 ABCD ，
所以 ,PO OB PO OD ．
又因为点 O 是 AD 的中点，且 1
2BC AD ，
所以 BC OD ．
因为 // , ,BC AD CD AD BC CD ，
所以四边形 OBCD 是正方形．所以 BO AD ．
如图，建立空间直角坐标系 O xyz ，
则 (0, 1,0), (1,0,0), (1,1,0)A B C , (0,1,0), (0,0,1)D P ．
所以 (1,1,0), (0,1,1)AB AP ．
设 ( , , )x y zm 是平面 BAP 的一个法向量，
则 0,
0,
AB
AP
m
m
即 0,
0.
x y
y z
令 1y ，则 ( 1,1, 1) m ．
因为 OB 平面 PAD ，
所以 (1,0,0)OB 是平面 PAD 的一个法向量．
所以 1 3cos , 3| || | 3 1
OBOB
OB
mm
m
．
由图可知，二面角 B AP D 为锐角，
所以二面角 B AP D 的余弦值为 3
3
．...............................................................................13 分
（18）（共 14 分）
解：（Ⅰ）设事件 C ：从 A 地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年人均年
纯收入超过 10000 元．
从表格数据可知，A 地区抽出的 300 户家庭中 2019 年人均年收入超过 10000
元的有 100 户，
因此 ( )P C 可以估计为 100 1
300 3
．.............................................................................................. 3 分
（Ⅱ）设事件 A ：从样本中 A 地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年
人均年纯收入超过 10000 元，则 1( ) 3P A ．
设事件 B ：从样本中 B 地区 2019 年脱贫家庭中随机抽取 1 户，该家庭 2019 年
人均年纯收入超过 10000 元，则 150 3
200 4( )P B ．
由题可知 X 的可能取值为 0，1，2．
1 3 1( 0) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 )3 4 6AB A BP X P P P ；
1 3 1 3 7( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) (1 )3 4 3 4 12P X P P P P A PAB AB A B B
；
1 3 1( 2) ( ) ( ) ( ) 3 4 4P X P AB P A P B ．
所以 X 的分布列为
X 0 1 2
P 1
6
7
12
1
4
所以 X 的数学期望 1 7 1 130 1 26 12 4 12EX ．............................................................10 分
（Ⅲ）设事件 E 为“从样本中 A 地区的 300 户脱贫家庭中随机抽取 4 户，这 4 户家庭
2020 年人均年纯收入都超过 10000 元”．
假设样本中 A 地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年没有
变化，
则由 2019 年的样本数据得
4
100
4
300
( ) 0.012CP E
C
．
答案示例 1：可以认为有变化．理由如下：
( )P E 比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为
样本中 A 地区 2020 年人均年纯收入超过 10000 元的户数相比 2019 年发生了变
化．
所以可以认为有变化．
答案示例 2：无法确定有没有变化．理由如下：
事件 E 是随机事件， ( )P E 比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的，
所以无法确定有没有变化．...................................................................................................... 14 分
（19）（共 15 分）
解：（Ⅰ）由题意可设椭圆 C 的方程为
2 2
2 2+ 1( 0)x y a ba b
，则
2 2 2
1,
6 ,3
.
b
c
a
a b c
解得 3a ， 2c ．
所以椭圆 C 的方程为
2
2 13
x y ，焦点坐标为 ( 2,0) 和 ( 2,0) ．..................................5 分
（Ⅱ）方法 1：
设点 M 的坐标为 0 0( , )x y （ 0 00, 1x y ），则
2
20
0 13
x y ．
过原点且与直线 MA 平行的直线方程为 0
0
1yy xx
．
令 3y ，得 0
0
3( ,3)1
xP y
．
直线 MB 的方程为 0
0
1 1yy xx
，
令 3y ，得 0
0
4( ,3)1
xQ y +
．
假设以线段 PQ 为直径的圆过定点，由椭圆的对称性可设定点为 (0, )N m ．
则 0NP NQ ．
因为 0 0
0 0
3 4( ,3 ), ( ,3 )1 1
x xNP m NQ my y
，
所以
2
20
2
0
12 (3 ) 01
x my
．
因为
2
20
0 13
x y ，所以 2 6 27 0m m ．
则 3m 或 9m ．
所 以 以 线 段 PQ 为 直 径 的 圆 过 定 点 ， 且 定 点 坐 标 为 (0, 3) 和
(0,9) ．……………………. 15 分
方法 2：
设点 M 的坐标为 0 0( , )x y （ 0 00, 1x y ），则
2
20
0 13
x y ．
过原点且与直线 MA 平行的直线方程为 0
0
1yy xx
．
令 3y ，得 0
0
3
1P
xx y
．
直线 MB 的方程为 0
0
1 1yy xx
，
令 3y ，得 0
0
4
1Q
xx y
．
所以以 PQ 为直径的圆的半径为
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
4 3 7 3(7 )1 1 1 1| |2 2 1 1 2 ( 1)( 1) 2Q P
x x x y x yr x x y y y y x
．
圆心的横坐标为 00 0 0 0 0
2
0 0 0 0
3 7 13 4 71 1( )2 2 1 1 2 1 2
Q Px x yx x x y x
y y y x
= ．
所以以线段 PQ 为直径的圆的方程为
2 2
20 0
0 0
3(7 1) 3(7 )1( 3)2 4
y yx yx x
．
因为
2
20
0 13
x y ，所以 2 20
0
3(7 1) ( 3) 36 0yx x yx
+ ．
以线段 PQ 为直径的圆过定点等价于对任意的点 0 0( , )M x y ，
方程 2 20
0
3(7 1) ( 3) 36 0yx x yx
+ 恒成立．
所以
2 2( 3) 36 0,
0.
x y
x
解得 0,
9
x
y
或 0,
3.
x
y
所 以 以 线 段 PQ 为 直 径 的 圆 过 定 点 ， 且 定 点 坐 标 为 (0, 3) 和
(0,9) ．……………………................................................................................................................................... 15 分
（20）（共 15 分）
解：（Ⅰ） ( ) ( 1)exf x ax a ．令 ( ) 0f x ，得 1ax a ．
当 0a 时， ( ) e 0xf x ， ( )y f x 在 ( , ) 上单调递减；
当 0a 时， ( )f x 和 ( )f x 在 R 上的变化情况如下：
x
1( , )a
a
1 a
a
1( , )a
a
( )f x 0
( )f x 极小值
当 0a 时， ( )f x 和 ( )f x 在 R 上的变化情况如下：
x
1( , )a
a
1 a
a
1( , )a
a
( )f x 0
( )f x 极大值
综上，当 0a 时， ( )y f x 在 ( , ) 上单调递减，
当 0a 时， ( )y f x 的单调递减区间为 1( , )a
a
，单调递增区间为
1( , )a
a
，
当 0a 时， ( )y f x 的单调递增区间为 1( , )a
a
，单调递减区间为
1( , )a
a
．
…………………….......................................................................................................................6 分
（Ⅱ）由题得 ( ) ( 1)exf x ax a ．
设直线 y ax a 与曲线 ( )y f x 相切于点 0 0( , )x y ，
则
0
0
0 0
0
( 1)e ( 1),
( 1)e .
x
x
ax a x
ax a a
①
②
由①-②得 0
0exa ax ，即 0
0(e ) 0xa x ．
若 0a ，则 ( ) exf x ， 0ax a ，
直线 0y 与曲线 ( )y f x 不相切，不符合题意，所以 0a ．
所以 0
0e 0x x ．③
令 ( ) exx x ，则 ( ) e 1 0xx ，所以 ( )x 单调递增．
因为 1 1 1( ) 02 2e
， 1( 1) e 1 0 ，
所以存在唯一 0 )( 1 1
2,x 使得 0
0e 0x x ．
将③代入①得 0
2
0 0 0ax ax x a ．
所以 2
0 0
0
0
0
11 1
1xa x x x x
．
易知在 ( 21, 1) 内 1 1y x x
单调递减，且 1 1 0x x
，
所以
1 1
1y
x x
在 ( 21, 1) 内单调递增．
因为 0 )( 1 1
2,x ，所以 21 3a ，所以 21, )3(a ．.................................................15 分
（21）（共 15 分）
解：（Ⅰ） 5 : 2,4,8,16,32B ．（答案不唯一）..............................................................................................3 分
（Ⅱ）由 1k k kb a b ，得 1 2 , 1,2, ,10kk kq q k ，
所以 12 2 , 2,3, ,10
k
kq k ．
令 1( ) 1 , 2,3, ,101 1
kf k kk k
，
则 ( )f k 单调递减．
所以 12
k
k （ 2,3, ,10k ）的最小值为
10
92 ．
所以
10
92 2q ，即公比 q 的取值范围是
10
9(2,2 ) ．............................................................... 8 分
（III）首先证明当 6m 时，数列 mA 不存在“等比分割数列”．
假设当 6m 时，数列 mA 存在“等比分割数列” 1mB ，
则 2 3 4 2
1 2 1 1 1 1 11 4 9 16 25 mb b b q b q b q b q m b q ．
易知 1 0, 0b q ．
因为 10 1b ，且 2
14 b q ，所以 2 4q ．因为 0q ，所以 2q ．
又因为 3
19 b q ，所以 5 3 2 2
6 1 1 36 6b b q b q q ，
与 6 6 36b a 矛盾．
所以当 6m 时，数列 mA 不存在“等比分割数列”．
所以 5m ．
当 5m 时，数列 5 :1,4,9,16,25A ，存在首项为 4
5
公比为 9
4
的数列 6B 满足：
4 9 81 729 6561 590491 4 9 16 255 5 20 80 320 1280
．
所以 5m 时，数列 mA 存在“等比分割数列”．
所以 m的最大值为 5．............................................................................................................... 15 分
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