高考理数完美复习专题一集合与常用逻辑用语完美

专题一 集合与常用逻辑用语 目 录 CONTENTS 考点一 集合的概念与运算 考点二 常用逻辑用语 考点一 集合的概念与运算 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 考点一集合的概念与运算 1．集合的定义 一般地，确定的某些对象的全体称为集合，简称集，通常用大 写拉丁字母A，B，C，…表示．其中常用数集的记法如下： 必备知识 全面把握 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*或N＋ Z Q R 构成集合的对象必须是确定的，即构成集合的对象具有明确 的特征，不能是模棱两可的，例如:“个子较高的男同学”标准不明确， 故“个子较高的男同学”不能构成集合． 给定集合中的元素必须是互异的， 例如：方程(x－1)(x－2)2＝0的解集表示为{1，2}，而不是{1，2，2}． 2.集合元素的性质 (1)确定性：任何一个对象，都能明确判断出它是或者不是某个集合的元素． (2)互异性：集合中任何两个元素是互不相同的. (3)无序性：集合中的元素是没有顺序的. 考点一 集合的概念与运算 3．元素与集合的关系 一个对象与一个集合的关系有“属于”和“不属于”两种．若a是集合A的元素，就 说a属于集合A，记作a∈A；若a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作 a∉ A. 考点一集合的概念与运算 4．集合的表示方法 (1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在花括号内．列举时不必考虑元素间 的顺序，元素不得重复，元素之间用“，”隔开． (2)描述法：描述法就是要把集合中元素的公共属性描述出来，其常用形式为 ， 它表示使命题p(x)为真的A中元素的集合，x表示元素的一般形式，p(x)表示元素具有的 公共属性． 考点一集合的概念与运算 使用描述法时，需注意集合中的代表元素．如P＝{y＝x2＋1} 的元素是一个二次函数，Q＝{y|y＝x2＋1}表示二次函数y＝x2＋1的值 域，E＝{x|y＝x2＋1}表示二次函数y＝x2＋1的定义域，F＝{(x，y)|y＝ x2＋1}表示二次函数y＝x2＋1图像上的点，G＝{x|x≥1}表示大于等于1 的数集． 5．集合的分类 按元素个数分为有限集和无限集. (3)图示法(Venn图法)：用一条封闭曲线的内部来表示一个集合． 0，{0}， ∅ ，{∅ }的区别与关系 (1)0是一个数字，不是集合；{0}， ∅ ，{∅ }是集合，其中{0}是含一个元 素0的集合， ∅ 是不含任何元素的集合，不能理解为∅ ＝{0}或∅ ∈{0}，{∅ } 是以∅ 为元素的集合． (2)四者之间的关系： ∅ ≠{∅ }， ∅ ∈{∅ }， ∅ ⊆{∅ }，0 ∉ ∅ ， 0 ∉ {∅ }，0∈{0}， ∅ ⊆{0}． 考点一集合的概念与运算 6．空集 不含任何元素的集合叫做空集，记作∅ ． 7．集合间的基本关系 考点一集合的概念与运算 考点一集合的概念与运算 7．集合间的基本关系 集合间基本关系的常见结论 (1)空集(∅ )是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集； (2)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆ A，空集的子集只有一个，即它本身； (3)在涉及集合之间的关系时，若未指明集合非空，则要考虑空集的可能性，如若 A ⊆ B，则有A＝ ∅ 或A≠ ∅ 两种情况； (4)含有n个元素的集合有，其中有2n 个子集，其中有2n -1个真子集， 2n -1个非 空子集，有2n -2个非空真子集. 8．集合的基本运算 考点一集合的概念与运算 方法1 元素与集合间的关系题型解法 研究一个集合，要弄清楚集合中的代表元素． (1)用描述法表示集合时，先要注意弄清楚其元素表示的意义，如{y|y＝2x}，{x|y ＝2x}，{(x，y)|y＝2x}表示不同的集合，然后再看元素的限制条件(性质)，最后根 据元素的互异性，确定集合中的元素． (2)用列举法表示集合时，要注意集合中元素的互异性，对于含有字母的集合， 在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性，从而确定集合 中的元素． 　 核核心方法心方法 重点突破核心方法 重点突破 考点一集合的概念与运算 例1 已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中 所含元素的个数为(　　) A．3　　　　　　　　　B．6　　　　　 C．8　　　　　　　　　D．10 考点一集合的概念与运算 【解析】方法一(列表法)：因为x∈A，y∈A，所以x，y的取值只能为1，2，3，4， 5，故x，y及x－y的取值如右表所示： 由题意x－y∈A，故x－y只能取1， 2，3，4，由表可知实数对(x，y)的取 值中满足条件的共有10个，即B中元 素的个数为10.故选D. 　　 y x－y x 1 2 3 4 5 1 0 －1 －2 －3 －4 2 1 0 －1 －2 －3 3 2 1 0 －1 －2 4 3 2 1 0 －1 5 4 3 2 1 0 例1 已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中 所含元素的个数为(　　) A．3　　　　　　　 　 B．6　　　　　 C．8　　　　　　　　　D．10 考点一集合的概念与运算 【解析】方法二(直接法)：因为A＝{1，2，3，4，5}，所以集合A中的元素都为 正数．若x－y∈A，则有x－y＞0，得x＞y.当y＝1时，x可取2，3，4，5，有4个； 当y＝2时，x可取3，4，5，有3个；当y＝3时，x可取4，5，有2个；当y＝4时，x 可取5，有1个．故共有1＋2＋3＋4＝10(个)．故选D. 方法三：因为A中元素均为正整数，所以从A中任取两个元素x，y，满足x＞y的 (x，y)即为集合B中的元素，故共有C52＝10(个)．故选D. D 方法2 集合间的基本关系题型解法　 1.子集个数的求解方法 (1)列举法：将集合的子集一一列举出来，从而得到子集的个数．适用于集合元素 较少的情况． (2)公式法： 含有n个元素的集合的子集个数是2n，真子集个数是2n－1，非空子集 个数是 2n－1，非空真子集个数是2n－2.　 考点一集合的概念与运算 例2 [广东佛山2019届模拟]已知集合A＝{x∈N|x2－2x≤0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则 A∩B 的子集个数为(　　) A．3　　　　　B．4　　　　　C．7　　　　　D．8 考点一集合的概念与运算 1.子集个数的求解方法 【解析】∵A＝{x∈N|x2－2x≤0}＝{0，1，2}， B＝{x|－1≤x≤2}，∴A∩B＝{0，1，2}， ∴A∩B的子集个数为23＝8，故选D. D 2．判断集合之间关系的方法 (1)化简集合，从表达式中判断两集合间的关系. (2)用列举法表示集合，从元素中判断两集合间的关系． (3)利用数轴，在数轴上表示出两集合，比较端点之间的大小关系，从而判 断两集合间的关系． 考点一集合的概念与运算 考点一集合的概念与运算 例3 [湖南长郡中学2019届模拟]已知集合M＝{y|y＝x－|x|，x∈R}，N＝{y|y= （ )x，x∈R}，则(　　) A．M＝N B．N⊆ M C．M＝∁ RN D．(∁ RN)∩M＝∅ 2 1 2．判断集合之间关系的方法 C 【解析】由题意得y＝x－|x|＝ ∴M＝(－∞，0]，N＝(0，＋∞)，∴M＝∁ RN. 方法3 集合的基本运算问题 解集合运算问题时应注意以下三点： (1)看元素构成，集合中元素是数还是有序数对，是函数的自变量还是 函数值等； (2)对集合进行化简，明确集合中元素的特点； (3)注意数形结合思想的应用，常见形式有数轴、坐标系和Venn图等． 考点一集合的概念与运算 例4 [湖南、湖北八市十二校2019届联考]已知集合P＝{x∈R|0≤x≤4}，Q＝ {x∈R||x|3. 当B≠ ∅ 时，根据题意作出如图所示的数轴， 可得 解得a