高考理数完美复习专题二函数的概念与基本初等函数I完美

专题二 函数的概念和基本初 等函数 I 目 录 CONTENTS 考点一 函数的概念 考点四 指数与指数函数 考点三 二次函数与幂函数 考点二 函数的基本性质 考点五 对数与对数函数 考点六 函数图像 考点七 函数与方程、函数模型的实际应用 考点一 函数的概念 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 必备知识 全面把握 一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个 函数，记作：y=f(x),x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫 做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的 集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 1．函数的定义 考点一 函数的概念 (1) 定义域、值域和对应关系是函数的三要素. (2)构成函数的集合A，B都是非空数集，因此定义域(或值域)为空集 的函数不存在． (3)在定义中，集合B不一定是函数的值域，它包含了函数的值域，即 值域是集合B的子集． (4)若两函数的定义域与对应关系相同，则两函数相同． (5)若两函数值域与对应关系相同，则两函数不一定相同，如：y＝ x2(x≥0)与y＝x2. 1．函数的定义 考点一 函数的概念 2.函数的表示方法 (1)解析法：将两个变量之间的对应关系用一个等式来表示，这个等式叫做 函数的解析表达式，简称解析式. (2)列表法：列出表格表示两个变量之间的对应关系． (3)图像法：用图像表示两个变量之间的对应关系. 3．分段函数 在函数定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的 函数称为分段函数． 考点一 函数的概念 4.复合函数 如果y是u的函数，记为y＝f(u)，u又是x的函数，记为u＝g(x)，且g(x)的值域与 f(u)的定义域的交集非空，则确定了一个y关于x的函数y＝f(g(x))，这时y叫做x的 复合函数，其中u叫做中间变量，y＝f(u)叫做外层函数，u＝g(x)叫做内层函数． 考点一 函数的概念 (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数. (2)一个分段函数的解析式要把每一段写在一个大括号内，各段函数的定 义域不可以相交． (3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 3.分段函数 1．求函数的定义域的两类题型 (1)函数有具体的表达式时的常见类型 ①分式中，分母不为0； ②偶次方根中，被开方数非负； ③对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1; ④指数函数的底数大于0且不等于1； ⑤f(x)＝x0中，x≠0; ⑥正切函数f(x)＝ tan x中，x≠kπ＋ ，k∈Z .2 π 核心方法 重点突破 方法1 求函数的定义域 考点一 函数的概念 1．求函数的定义域的两类题型 (1)函数有具体的表达式时的常见类型 ①分式中，分母不为0； ②偶次方根中，被开方数非负； ③对数函数中，真数大于0，底数大于0且不等于1; ④指数函数的底数大于0且不等于1； ⑤f(x)＝x0中，x≠0; ⑥正切函数f(x)＝ tan x中，x≠kπ＋ ，k∈Z .2 π (2)函数为复合函数 ①若已知函数f(x) 的定义域为[a，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不 等式a≤g(x)≤b求岀，即f(x)中x的取值范围与f(g(x))中g(x)的取值范围 相同. ②若已知函数f(g(x))的定义域为[m，n]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[m， n]上的值域． 考点一 函数的概念 方法1 求函数的定义域 1．求函数的定义域的两类题型 2．求函数定义域时的注意事项 ①无论函数的形式如何，函数的定义域指的是x的取值范围； ②求函数的定义域时，勿轻易化简，如y＝ 与y＝x－2是定义域不 同的两个函数； ③函数f(x)±g(x)的定义域是函数f(x)，g(x)定义域的交集． 考点一 函数的概念 方法1 求函数的定义域 例1 [河南豫北名校联盟2019届联考]函数f(x)＝ 的定义域为(　　) A．(－1，0)∪(0，1] B．(－1，1] C．(－4，－1] D．(－4，0)∪(0，1] 【答案】A 【解析】要使函数f(x)有意义，则 解得－11，∴x>－ ，∴－ 1，∴2x>－x＋ 画出y＝2x与y＝－x＋的大致图像，如图(1)． 考点一 函数的概念 例3 [课标全国Ⅲ2017·15]设函数f(x)＝ 则满足f(x)＋f >1的x的取值范围是________． 32 由图可知，y＝2x的图像在0－x＋ 恒成立．∴0 时，f(x)＋f（x- ）>1，即2x＋2x－ >1. y＝2x－ 的图像相当于将y＝2x的图像向右平移 个单位，画出 y＝2x－ 的图像如图(2)．由图可知，y＝2x－ 的图像在x> 【答案】 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1时始终在直线y＝1的上方．∴2x＋2x－ >1恒成立，∴x> .综上，x>－ .2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 4 1 考点一 函数的概念 33 考法3 函数的值域与最值 例4 [福建2015·14]若函数 (a＞0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)， 则实数a的取值范围是________． 【解析】原函数的值域为函数f(x)＝－x＋6(x≤2)的值域与函数f(x)＝3＋logax(x>2)的 值域的并集．因为函数f(x)＝－x＋6(x≤2)的值域为[4，＋∞)，原函数的值域为[4，＋ ∞)，所以函数f(x)＝3＋logax(x>2)的值域应为集合[4，＋∞)的子集． 当a>1时，y＝logax＋3在(2，＋∞)上单调递增，所以只需loga2＋3≥4，即loga2≥1＝ logaa，解得10且 a≠1)图像中“底大图高”，而对数函数y＝logax图像中“底大图低”．具体见下图(图(1)中 a>b>1>c>d>0，图(2)中b>a>1>d>c>0)． 考点五 对数和对数函数 (2)比较大小 ①如果给定的代数式都是关于对数的， a.如果底数相同(或利用换底公式转化)，直接利用对数函数的单调性比较； b.如果底数不同，当真数相同时，可利用换底公式进行转化或利用函数图像数形 结合解决； c.如果底数不同、真数不同，一般利用中间量(0和1)进行比较． ②如果给定的代数式既有对数也有指数或幂，一般是利用中间量进行比较． 考点五 对数和对数函数 142 (3)求函数单调区间 高考中求与对数函数有关的单调区间时，函数一般是复合函数，根据求复合函数 的单调区间的方法求解即可，但是要注意底数与1的大小关系，如果含有字母一 定要进行讨论．特别强调的是，研究对数型复合函数的单调区间，一定要注意研 究函数的定义域，坚持“定义域”优先原则． 例2、[福建宁德2019届质量检查]已知a＝log0.62，b＝log20.6， c＝0.62，则(　　) A．a>b>c　　　　　　 B．b>c>a C．c>b>a D．c>a>b 考点五 对数和对数函数 【答案】C 例3、[山东济南2019届模拟]设x1, x2分别是函数f(x)＝x－a－x和 g(x)＝xlogax－1的零点，其中a>1，则x1＋4x2的取值范围是(　　) A．[4，＋∞) B．(4，＋∞) C．[5，＋∞) D．(5，＋∞) 考点五 对数和对数函数 考点五 对数和对数函数 【答案】D 2．与指数函数、对数函数有关的复合函数的性质 考点五 对数和对数函数 例4、求下列函数的定义域、值域、单调区间． 【分析】与指数函数、对数函数有关的复合函数问题，可利用指数函数及对数 函数的概念和性质去求定义域、值域．在讨论单调性时，根据复合函数的单调 性来判断. 147 考点五 对数和对数函数 148 考点五 对数和对数函数 149 考点五 对数和对数函数 150 考点五 对数和对数函数 3．指数函数、对数函数的综合问题 指数函数、对数函数是中学阶段非常重要的基础函数，在综合问题中经常 与方程、不等式等结合在一起．在解题过程中要注意指数、对数的运算和指数 函数、对数函数的性质． 151 考点五 对数和对数函数 例5、[安徽淮南2019届调研]已知函数f(x)＝log2(2x＋k)(k∈R)的图像过点P(0，1)． (1)求k的值并求函数f(x)的值域； (2)若关于x的方程f(x)＝x＋m有实根，求实数m的取值范围； (3)若函数 则是否存在实数a，使得函数h(x)的 最大值为0，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 152 考点五 对数和对数函数 153 考点五 对数和对数函数 本考点是高考的一个热点，主要考查对数式的大小比较、对数函数 的图像和性质，也常与其他函数、方程、不等式等综合命题，以选择题 和填空题为主，难度中等. 考法例析 成就能力 考点五 对数和对数函数 考法1 有关对数式的计算问题 例1、[北京2017·8]根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可 观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与 最接近的是(　　) (参考数据：lg 3≈0.48) A．1033 B．1053 C．1073 D．1093 考点五 对数和对数函数 【答案】D 考点五 对数和对数函数 例2、 【答案】4 2 考法2 有关对数函数的比较大小问题 考点五 对数和对数函数 例3、 【答案】D 158 【答案】D 考点五 对数和对数函数 例4、 159 考点五 对数和对数函数 例5、[天津文2017·6]已知奇函数f(x)在R上是增函数． 【答案】C 160 考点五 对数和对数函数 例6、[浙江2014·7]在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x＞0)，g(x)＝logax 的图像可能是(　　) 考法3 有关对数函数的单调性问题 【答案】D 161 考点五 对数和对数函数 例7、 【答案】D 考点六 函数图像 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 1．绘制函数图像的基本方法 描点法，其具体步骤为： (1)确定函数定义域，在定义域内列出函数值表，注意要选取有代表性的数据． (2)描点，在坐标系内描出函数值表中各点． (3)连线，用平滑的曲线连接各点． 图像变换法一个函数的图像经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图像， 常见的三种变换：平移变换、伸缩变换、对称变换． ①在画函数图像的过程中，要结合函数的性质，如值域、最大 (小)值、奇偶性、单调性、周期性等来简化作图过程； ②要先研究各种基本初等函数的图像，并能够运用数形结合的思想方法来 研究函数的性质． 必备知识 全面把握 考点六 函数图像 164 2．图像变换 (1)平移变换 考点六 函数图像 165 考点六 函数图像 (2)对称变换 166 考点六 函数图像 (3)伸缩变换 167 考点六 函数图像 (3)翻折变换 图像的作法：①根据函数表达式，列表、描点、连光滑曲线；②利 用熟知函数的图像的平移、翻转、伸缩变换作函数图像；③利用反函数的 图像与对称性描绘函数图像. 168 方法1 函数图像的识别 (1)以实际背景、图形等为依托，判断其中某两个量构成的函数的图像时， 一种是根据题目所给条件确定函数解析式，从而判断函数图像；另一种是根 据自变量的不同取值范围时函数值的升降情况、增减速度等判断函数图像． 必备知识 全面把握 考点六 函数图像 169 考点六 函数图像 (2)间接法：排除、筛选错误与正确的选项，可以从以下几个方面入手： ①由函数的定义域，判断图像的左右位置；由函数的值域，判断图像的上 下位置． ②由函数的单调性，判断图像的升降变化趋势． ③由函数的奇偶性，判断图像的对称性．奇函数的图像关于原点对称，在对称的 区间上单调性一致，偶函数的图像关于y轴对称，在对称的区间上单调性 相反． ④由函数的周期性，判断图像是否具有循环往复的特点． ⑤从特殊点出发，排除不符合要求的选项，如f(0)的值，当x＞0时，f(x)的 正负等． 170 考点六 函数图像 例1、[湖北2018模拟]函数f(x)＝ 171 考点六 函数图像 【答案】D 172 方法2 函数图像的绘制　 1．利用函数的性质作图 作函数的图像一般需要考虑：①对称性；②关键点，包括与x轴的交点， 与y轴的交点，顶点；③渐近线等． 考点六 函数图像 173 考点六 函数图像 例2、 【分析】首先去掉绝对值，将函数的关系式写成分段表示的函数再作图． 174 2．利用函数图像的变换作图 图像变换作图步骤：(1)作出基本函数的图像(一般用虚线)；(2)根据函 数的特点选择图像变换的次序．如：y＝f(x)的图像→y＝f(|x|)的图像→y ＝f(|ax＋b|)的图像→y＝|f(|ax＋b|)|的图像． 考点六 函数图像 175 考点六 函数图像 例3、求作函数y＝|log2|x－1||的图像，并写出函数的单调区间． 【分析】(1)基本函数为y＝log2x； (2)变换次序y＝log2x→y＝log2|x|→y＝ log2|x－1|→y＝|log2|x－1||. 176 方法3 函数图像的应用 (1)利用函数的图像研究函数的性质 对于易画出其在给定区间上图像的函数，其性质可借助图像研究：①从图像的 最高点、最低点分析函数的最值、极值；②从图像的对称性分析函数的奇偶性； ③从图像的走向趋势，分析函数的单调性与周期性． (2)利用函数图像研究方程根的个数．当方程与基本函数有关时，可以通过函数 图像研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是f(x)的图像与x轴交点的横坐标，方程 f(x)＝g(x)的根是函数y＝f(x)与函数y＝g(x)图像的交点的横坐标． 考点六 函数图像 177 考点六 函数图像 (3)利用函数图像研究不等式．当不等式问题不能用代数法直接求解但其与函 数有关时，可将不等式问题转化为两函数图像(图像易得)的上、下关系问题， 利用图像法求解．若函数为抽象函数，可根据题目画出大致图像，再结合图 像求解． 例4、 178 考点六 函数图像 【答案】B 179 本考点主要考查函数图像的识别以及函数图像的应用，如利用 函数图像求函数零点问题、解不等式问题、求参数的取值范围问题 等，一般以选择题和填空题的形式出现，难度中等． 考点例析 成就能力 考点六 函数图像 180 考法1 函数图像的识别与判断 例1、[课标全国Ⅲ2018·7]函数y＝－x4＋x2＋2的图像大致为(　　) 【解析】当x＝0时，y＝2，排除A，B；y′＝－4x3＋2x＝－2x(2x2－1)， 显然当x>0或x1)，y＝logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不 同，而且不在同一个“档次”上． 随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0) 的增长速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个 x0，使得当x>x0时，有logax