高考理数完美复习专题四三角函数与解三角形完美

专题四 三角函数与解三角形 目 录 CONTENTS 考点一 任意角的三角函数、同角三角函 数基本关系式、诱导公式 考点二 三角恒等变换 考点四 正弦定理、余弦定理 及解三角形 考点三 三角函数的图像与性质 考点一 任意角的三角函数、同角三角函 数基本关系式、诱导公式 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 必备知识 全面把握 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 (1)终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内构成的集合为{β|β＝α＋k·360°， k∈Z}＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}． 1．角的概念 ①要注意上述的单位是一致的，当α为角度时，与其终边相同的角为 β＝α＋k·360°，k∈Z，k≠0；当α为弧度时，与其终边相同的角为β ＝α＋2kπ，k∈Z，k≠0. 5 ②对sin(nπ＋α)进行化简时，要对整数n进行讨论，即sin(nπ＋α) ＝ （k∈Z）. ③锐角仅是第一象限角的一部分，第一象限的角不一定是锐角；终边在坐标轴 上的角不属于任何象限，终边在坐标轴上的角的集合为 . 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 6 ①角α的弧度数公式为|α|＝ ，其中l是以α为圆心角时所对圆弧的长， r为半径． (2)弧度制 r l ②弧度与角度换算：180°＝π弧度． ③弧长公式： . 扇形的面积公式： rl  考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 7 利用平面直角坐标系，在角α的终边上任取一点P(x，y)(与原点不重合)， 记r＝|OP|＝ 2．三角函数的定义 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 8 (1)三角函数值只与角α的终边的位置有关，由角α的大小唯一确定，所以 三角函数是以角为自变量，以比值为函数值的函数. ①三角函数值在各象限的符号： 上述符号可简记为：一全正，二正弦，三正切，四余弦。 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 9 ②各象限内的三角函数线： 当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正 弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正 切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在． 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 10 ③特殊角的三角函数值表： 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 11 　(2)根据三角函数的定义可以推导出一些三角函数公式． 之间函数值的 关系，其规律是“奇变偶不变，符号看象限”，其中奇、偶是指 (或90°)的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名的变化，把α看成锐 角，实质α可以为任意角． 2  如：sin(270°－α)＝－cos α. 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 12 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 13 平方关系：sin2α＋cos2α＝1，常用变形sin2α＝1－cos2α， (sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα； ②同角三角函数关系式： 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 14 3．三角函数的几种常用化简途径 (2)项的分拆与角的配凑 如分拆项：sin2x＋2cos2x＝(sin2x＋cos2x)＋cos2x＝1＋cos2x； 配凑角(常用角变换): 2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－ (α－β)，－β等． β等． 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 15 (3)化弦(切)法 将三角函数利用同角三角函数基本关系化成弦(切)的形式． 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 16 核心方法　重点突破 方法1 三角函数定义的应用 (1)在利用定义法解决问题时要注意点P所有可能的位置，避免漏解． (2)在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能取终边与单位 圆的交点． (3)利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧． (4)注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示及三角函数值． 1．三角函数定义法求值 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 17 例1、已知角α的终边在直线3x＋4y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 18 三角函数线是三角函数的几何表示，它的特征是将三角函数值这一纯代数 形式的比值直观地用单位圆中的有向线段来表示，使我们能直观地看到三 角函数间的大小关系．三角函数线法就是利用这一直观特征来研究和解决 问题的．在研究三角函数的定义域、值域(最值)、单调性，解三角不等式 和方程，判断或证明三角函数的大小关系时经常应用这一方法． 2．三角函数线的应用 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 19 例2、 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 20 方法2 同角三角函数基本关系的应用 1．弦切互化法求值 在三角函数的求值、化简、证明过程中，经常需要根据三角函数式的特点作 相应的恒等变形，在解决齐次式的问题时，需要熟练应用同角三角函数关系 弦切互化，有时可以根据需要用平方关系，换1为sin2α＋cos2α. 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 21 例3、(1)[山东潍坊2018模拟]已知 则sin2α－sinαcosα的值是 (　　) A. B． C．－2 D．25 2- 5 2 (2)[宁夏银川2017模拟]已知 tan α＝2，则cos α＝ ________． 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 22 【答案】(1)A　(2)－ 5 5 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 23 2．和积转化法求值 已知sinα＋cosα＝m，求三角函数值的两种方法： 方法一：联立 通过解方程组求解； 方法二：两边同时平方可得1＋2sinαcosα＝m2 sin 2α＝m2－1，再通 过二倍角公式求解． 利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、 转化，注意所求需要开方时要根据角所在象限判断结果的正负符号． 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 24 例4、已知α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝ . (1)求tan α的值； (2)把 用tan α表示出来，并求其值. 5 1 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 25 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 27 例6、 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 28 例7、已知α为第三象限角，f(α)＝ 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 29 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 30 考法例析 成就能力 例1、[北京2017·12]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们 的终边关于y轴对称．若sin α＝ ，则cos(α－β)＝________． 考法1 三角函数定义的应用 3 1 【解析】因为角α和角β的终边关于y轴对称，所以β＝180°－α＋ 360°·k，k∈Z.所以sin β＝sinα＝ ，cos β＝－cosα，所以cos(α－ β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝－ .3 1 9 7 【答案】－ 9 7 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 31 例2、[浙江2018·18]已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴 重合，它的终边过点 (1)求sin(α＋π)的值； (2)若角β满足sin(α＋β)＝ ，求cos β的值． 13 5 【解】(1)由角α的终边过点 得sinα＝－ , 所以sin(α＋π)＝－sinα＝ . 5 4 5 4 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 32 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 33 考法2 同角三角函数的基本关系式 例3、[大纲全国2014·3]设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．a>b>c B．b＞c＞a C．c>b>a D．c>a>b 【解析】∵b＝cos 55°＝sin 35°>sin 33°＝a，∴b>a. 又∵c＝tan 35°＝ >sin 35°＝cos 55°＝b，∴c>b， ∴c>b>a. 【答案】C 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 34 例4、[课标全国Ⅲ2016·5]若tan α＝ ，则cos 2α＋2sin 2α＝(　　) A. B. C．1　　　 D. 4 3 25 64 25 16 【答案】A 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 35 例5、[课标全国Ⅱ2017·14]函数f(x)＝sin2x＋ ·cos x－ 的最大值是 . 3 【答案】1 考点一任意角的三角函数、同角三角函数基本关系式、诱导公式 36 考点二　三角恒等变换 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 37 必备知识 全面把握 sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β； cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β； 1．和差角公式 考点二 三角恒等变换 38 2．倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α； cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 3．升降幂公式 注：升幂公式与降幂公式均是由cos 2α＝2cos α2－1＝1－2sin2α变化得到的。 考点二 三角恒等变换 39 角的和、差、倍总是相对而言的，我们要学会根据三角函数 式的特征，对角作灵活的变形，如α＝2· ＝(α＋β)－β，α＋β ＝(α＋θ)＋(β－θ)， －α＝π－ ，15°＝45°－ 30°＝60°－45°等． 2  3 2 考点二 三角恒等变换 40 4．辅助角公式 考点二 三角恒等变换 41 核心方法 重点突破 方法 三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简要注意以下几点： (1)坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函 数等，其中切化弦也是同化思想的体现． (2)角的变换是三角恒等变换的核心，注意拼角、凑角的技巧． 考点二 三角恒等变换 42 ③要灵活运用降幂公式 高次变低次，通过降幂公式把高次的三角函数变为低次，再利用辅助 角公式变为一个角的三角函数进行求解． 考点二 三角恒等变换 43 例1、已知00，φ>0)的最小正周期为π，且 则下列说法不正确的是(　　) 考点三 三角函数的图像和性质 107 【答案】C 考点三 三角函数的图像和性质 108 例10、同时具备以下性质：“①最小正周期是π；②图像关于 考点三 三角函数的图像和性质 109 【答案】D 考点三 三角函数的图像和性质 110 方法6 三角函数的综合应用 (2)利用三角函数的解析式求解实际问题时，需要根据实际问题得到解析式， 求得的函数的解析式一般形如y＝Asin(ωx＋φ)＋b，把实际问题转化为函数的 相关问题进行求解．注意所得结果要符合实际意义． (3)解决三角函数与不等式、导数、单调性、极值、零点等综合问题时，只 要将三角函数视为一般函数，用函数的方法解决问题即可． (1)利用三角函数的图像解决与性质有关的问题时，对于形如 ， 的三角函数，要通过引入辅助角化为 的形式来求解. 考点三 三角函数的图像和性质 111 例11、若函数f(x)的导函数为f ′(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0， ） f ′(x)的部分图像如图所示，g(x)＝ |g(x1)－g(x2)|的最大值为(　　) 考点三 三角函数的图像和性质 112 【答案】C 考点三 三角函数的图像和性质 113 例12、[湖北2015·17]某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω＞0， |φ|＜2(π))在某一个周期内的图像时，列表并填入了部分数据，如下表： (1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式． (2)将y＝f(x)图像上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y＝g(x)的 图像．若y＝g(x)图像的一个对称中心为 ，求θ的最小值． 考点三 三角函数的图像和性质 114 考点三 三角函数的图像和性质 115 考法例析 成就能力 考法1 三角函数的图像变换 例1、[课标全国Ⅰ2017·9]已知曲线C1：y＝cos x，C2： ，则下面 结论正确的是(　　) A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长 度，得到曲线C2 B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长 度，得到曲线C2 C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长 度，得到曲线C2 D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长 度，得到曲线C2 考点三 三角函数的图像和性质 116 【答案】D 考点三 三角函数的图像和性质 117 考法2 三角函数图像与性质的应用 例2、(1)[北京2018·11]设函数 ， 对任意 的实数x都成立，则ω的最小值为________．　 (2)[课标全国Ⅲ2018·15]函数 在[0，π]的零点个数为 ________． 考点三 三角函数的图像和性质 118 【答案】(1) 　(2)33 2 考点三 三角函数的图像和性质 119 考法3 由三角函数性质求函数的解析式 例3、[课标全国Ⅰ2015·8]函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示， 则f(x)的单调递减区间为(　　) 考点三 三角函数的图像和性质 120 【答案】D 考点三 三角函数的图像和性质 121 考法4 三角函数的单调性 例4、[课标全国Ⅱ2018·10]若f(x)＝cos x－sin x在[－a，a]是减函数，则a 的最大值是(　　) 【答案】A 考点三 三角函数的图像和性质 122 例5、[重庆2015·18]已知函数f(x)＝sin( －x)·sin x－ cos2x. (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)讨论f(x)在 上的单调性． 2  3 考点三 三角函数的图像和性质 123 例6、[福建2014·16]已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－ . (1)若0＜α＜ ，且sin α＝ ，求f(α)的值； (2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间． 2 1 2  2 2 考点三 三角函数的图像和性质 124 考法5 三角函数的最值 例7、[山东2017·16]设函数 其中0＜ω＜3. (1)求ω； (2)将函数y＝f(x)的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的 图像向左平移4(π)个单位，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在 上的最小值． 考点三 三角函数的图像和性质 125 例8、[江苏2017·16]已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－ )，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值． 3 考点三 三角函数的图像和性质 126 考法6 三角函数的奇偶性(图像的对称性)、周期性　 例9、[课标全国Ⅲ2017·6]设函数f(x)＝ ，则下列结论错误的是(　　) 考点三 三角函数的图像和性质 127 【答案】D 考点三 三角函数的图像和性质 128 例10、[山东2016·7]函数f(x)＝ 的最小正周期是(　　) 【答案】B 考点三 三角函数的图像和性质 129 例11、[天津2017·7]设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|