专题三 导数及其应用
目 录
CONTENTS
考点一 导数的概念、计算及定积分
考点二 导数的应用
考点一 导数的概念、计算及定积分
必备知识 全面把握
核心方法 重点突破
考法例析 成就能力
1．导数的定义
导数的定义与求导数的方法是本节的重点，推导导数的运算法则与某些导数
的公式时，都是以此为依据．
对导数的定义，我们应注意以下两点：
(1)Δx是自变量x在x0处的增量(或改变量)．导数是一个局部概念，它只与函数y
＝f(x)在x0及其附近的函数值有关，与Δx无关．
(2)函数y＝f(x)应在x0的附近有意义，否则函数f(x)在该点的导数不存在．若极
限 不存在，则称函数f(x)在x＝x0处不可导．
考点一 导数的概念、计算及定积分
必备知识 全面把握
2．导数的几何意义
曲线y＝f(x)上任意一点(x0，f(x0))处的切线的斜率k是f(x)在x0处的导数，即
利用导数求曲线y＝f(x)在其上任意一点P(x0，
f(x0))处的切线方程，具体求法分两步：
(1)求出函数y＝f(x)在点x0处的导数，即为曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的
斜率；
(2)在已知切点坐标P(x0，y0)和切线斜率f′(x0)的条件下，求得切线方程
y-y0 =f’x0（x-x0）
考点一 导数的概念、计算及定积分
曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线与“过”点P(x0，
y0)的切线的区别：
曲线y＝f(x)“在”点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，若切线
斜率存在，则切线斜率为k＝f′(x0)，是唯一的一条切线；
曲线y＝f(x)“过”点P(x0，y0)的切线，是指切线经过点P，点
P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能不止一条．
考点一 导数的概念、计算及定积分
3．导数的运算公式
(1）基本初等函数的导数公式
考点一 导数的概念、计算及定积分
(2)导数的运算法则
①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
4．复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x
＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
(1)利用复合函数求导法则求导后，要把中间变量换成自变量的函数．
(2)要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆，常出
现如下错误：(cos 2x)′＝－sin 2x，实际上应是(cos 2x)′＝－2sin 2x.
考点一 导数的概念、计算及定积分
5．定积分
(1)微积分基本定理(牛顿－莱布尼茨公式)
∫abf(x)dx＝F(b)－F(a)＝F(x)|ab，其中，F ′(x)＝f(x)，f(x)是[a，b]上的连
续函数．
(2)定积分的性质
④当积分区间关于原点对称，在求定积分时，可利用被积函数的奇偶性来求解．
考点一 导数的概念、计算及定积分
(3)与基本初等函数有关的常见定积分
考点一 导数的概念、计算及定积分
6．定积分的几何意义
如果在区间[a，b]上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0，那么定积分∫abf(x)dx表示由曲线y＝f(x)及直线x＝a，x
＝b(a≠b)，y＝0所围成的曲边梯形的面积(如图(1))；若f(x)≤0，则由曲线y＝f(x)及x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0
围成的曲边梯形位于x轴下方，定积分∫abf(x)dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；若f(x)的值可正可
负，则曲线y＝f(x)的某些部分在x轴的上方，而其他部分在x轴下方，如果我们将在x轴上方的图形的面积
赋予正号，在x轴下方的图形面积赋予负号，那么在一般情况下，定积分∫abf(x)dx的几何意义是曲线y=
f（x）和直线x=a，x=b（a≠b）y=0所围成的各部分图形面积的代数和，如图（2）：
考点一 导数的概念、计算及定积分
注意： 图(1)中∫abf(x)dx等于a，b间曲
边梯形面积的值．
图(2)中 等于c，d间曲边梯形的
面积值的相反数．
方法1 导数的运算
1．用函数的求导公式求导
常见求导函数的形式
(1)连乘形式：先展开化为多项式形式，再求导．
(2)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导．
(3)分式形式：先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．
(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．
(5)对数形式：先化为和、差形式，再求导．
核心方法 重点突破
考点一 导数的概念、计算及定积分
考点一 导数的概念、计算及定积分
例1、求下列函数的导数：
(1)y＝x(x＋1)(x＋2)； (2)y＝tan x；
【解】(1)∵y＝x3＋3x2＋2x，∴y′＝3x2＋6x＋2.
考点一 导数的概念、计算及定积分
例1、求下列函数的导数：
(1)y＝x(x＋1)(x＋2)； (2)y＝tan x；
例2、等比数列{an}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)·…·(x－
a8)，则f ′(0)＝( )
A．26 B．29 C．212 D．215
【解析】函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，
而f ′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.
【答案】C
【反思】若直接用乘积的求导法则运算量太大，要去括号困难重重，所以
巧妙地把x(x－a1)(x－a2)· …·(x－a8)看成一个整体，利用代换的思想
解决问题．
考点一 导数的概念、计算及定积分
2．复合函数的求导
求复合函数的导数，一般按以下三个步骤进行：
(1)适当选定中间变量，正确分解复合关系；
(2)分步求导(弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导)；
(3)把中间变量代回原自变量(一般是x)的函数．
考点一 导数的概念、计算及定积分
考点一 导数的概念、计算及定积分
例3、求下列函数的导数：
【解】(1)设y＝u－4，u＝1－3x，则y′x＝y′u·u′x＝－4u－5·(－3)＝
方法2 导数几何意义的应用
已知函数y＝f(x)，求曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线方程
(1)若点P(x0，y0)是切点，则切线方程为y－y0＝f′(x0)·(x－x0)．
(2)若点P(x0，y0)不是切点，求解步骤如下：
①设切点坐标为Q(x1，f(x1))；
②由切线斜率 求出x1；
③将x1的值代入y－y1＝f′(x1)(x－x1)得切线方程．
考点一 导数的概念、计算及定积分
例4、[云南2018期中]已知曲线方程为y＝x2，求：
(1)在曲线点A(2，4)处的切线方程；
(2)过点B(3，5)且与曲线相切的直线方程．
【解】设y＝f(x)＝x2.
(1)∵f′(x)＝2x，∴f′(2)＝4.
又∵点A(2，4)在曲线y＝x2上，∴所求切线的斜率k＝4.
故所求切线的方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.
(2)∵点B(3，5)不在曲线y＝x2上，∴设切点为(x0，x02)．
由(1)知f′(x)＝2x，∴切线的斜率k＝2x0，切线方程为y－x02＝2x0(x－x0)．
又∵点B(3，5)在切线上，∴5－x02＝2x0(3－x0)，
解得x0＝1或x0＝5，∴切点为(1，1)，(5，25)．
故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，
即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.
考点一 导数的概念、计算及定积分
例5、[云南昆明2019届模拟]已知曲线y＝ex＋a与y＝(x－1)2恰好存在两条公切线，则
实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2ln 2＋3) B．(－∞，2ln 2－3)
C．(2ln 2－3，＋∞) D．(2ln 2＋3，＋∞)
【解析】y＝ex＋a的导数为y′＝ex＋a，y＝(x－1)2的导数为y′＝2(x－1)设公切线与
曲线y＝ex＋a的切点为(m，n)，与曲线y＝(x－1)2的切点为(s，t)，则公切线的斜率为
em＋a＝2(s－1)
又因为t＝(s－1)2，n＝em＋a，所以2(s－1)＝
所以s－m＝
因为em＋a＝2(s－1)， 所以a＝ln[2(s－1)]－ ，(s＞1)
考点一 导数的概念、计算及定积分
当s＞3时，f′(s)＜0，f(s)单调递减，当1＜s＜3时，f′(s)＞0，f(s)单调
递增，所以在s＝3处f(s)取得极大值，也为最大值，且为2ln 2－3.因为两曲线
恰好存在两条公切线，即a＝f(s)有两解，所以a＜2ln 2－3.故选B.
考点一 导数的概念、计算及定积分
例5、[云南昆明2019届模拟]已知曲线y＝ex＋a与y＝(x－1)2恰好存在两条公切线，则
实数a的取值范围为( )
A．(－∞，2ln 2＋3) B．(－∞，2ln 2－3)
C．(2ln 2－3，＋∞) D．(2ln 2＋3，＋∞)
【答案】B
方法3 定积分的计算及应用
计算简单定积分的一般步骤：
(1)找出被积函数f(x)，进行化简，即把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函
数、指数函数及常数的和或差．对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对
值符号，写成分段函数的形式．
(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差．
(3)分别用求导公式找出F(x)，使得F ′(x)＝f(x)．
(4)利用牛顿－莱布尼茨公式求出各个定积分的值．
(5)计算所求定积分的值．
定积分的主要应用之一就是求曲边梯形的面积，基本方法是根据定积分的几何意
义把所求的面积转化为一个函数的定积分．
考点一 导数的概念、计算及定积分
考点一 导数的概念、计算及定积分
方法3 定积分的计算及应用
(1)对于分段函数和含有绝对值符号的函数的定积分问题，都可以采
用分段求解的方法．
(2)对函数图像和圆有关的函数的定积分可以利用定积分的几何意义求解，即
求类似于 的值时，根据定积分的几何意义，求曲线在所给区间内与x
轴围成的图形的面积．有时也根据被积函数的奇偶性、正负，并结合几何意义
求解．
例6、定积分
考点一 导数的概念、计算及定积分
例7、曲线y＝x2与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为________．
【解析】曲线y＝x2与直线y＝x所围成的图形如图所示．
考点一 导数的概念、计算及定积分
【答案】
方法1 利用导数的概念和求导法则求相关量的值
例1、[天津文2018·10]已知函数f(x)＝exln x，f ′(x)为f(x)的导函数，则
f ′(1)的值为________．
【解析】由f(x)＝exln x可得f′(x)＝exln x＋ex·1/x＝ex(ln x＋1/x)，
令x＝1，得f′(1)＝e.
【答案】e
考法例析 成就能力
考点一 导数的概念、计算及定积分
考法例析 成就能力
【答案】y＝2x
考点一 导数的概念、计算及定积分
考法2 导数几何意义的应用
例2、[课标全国Ⅱ2018·13]曲线y＝2ln(x＋1)在点(0，0)处的切
线方程为____________．
【解析】由y＝2ln(x＋1)知 ，∴y′|x＝0＝2.
∴切线方程为y＝2x.
考法2 导数几何意义的应用
例3、[课标全国Ⅲ2016·15]已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则
曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是__________．
【解析】设x>0，则－x0(或f′(x)0，右侧f′(x)0，得－1
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