专题六 数列
目 录
CONTENTS
考点一 数列的概念与简单表示法
考点二 等差数列及其前n项和
考点四 数列的综合应用
考点三 等比数列及其前n项和
考点一 数列的概念与简单表示法
必备知识 全面把握
核心方法 重点突破
考法例析 成就能力
必备知识 全面把握
1．数列的概念
按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
例如，①前后项之间形成固定关系的有序的一列数；
②自变量仅取正整数，图像是离散点的特殊函数；
③每一项都与其项数及某定值形成固定关系的一列数；
④每一项与其对应的前n项和形成固定关系的一列数；
⑤可以通过归纳的方法，找到表达式，并且对于每一项的检验都恒成立的一列数．
考点一 数列的概念与简单表示法
5
①图像法；②列表法；③通项公式法；④递推公式法．
通项公式：如果数列{an}中的第n项an与n之间的关系可以用一个公
式 来表示，则称此公式为数列的通项公式.
2．数列的表示方法
{an}与an是两种不同的表示，{an}表示数列a1，a2，…，an，…，
是数列的一种简记形式；而an只表示数列{an}的第n项，an与{an}是
“个体”与“整体”的从属关系．
递推公式：如果从数列{an}的第2项起，任一项an与它的前一项an－
1(或前n项和Sn)间的关系可以用某个公式来表示，那么这个公式就叫
做这个数列的递推公式．
考点一 数列的概念与简单表示法
6
按项数分类：有穷数列，无穷数列．
按项与项间的大小关系分类：递增数列，递减数列，常数列，摆动
数列．
3．数列的分类
考点一 数列的概念与简单表示法
7
一方面，数列是一种特殊的函数，因此在解决数列问题时，要善于
利用函数的思想方法来解题，即用共性来解决特殊问题．
另一方面，还要注意数列的特殊性(离散型)，因为它的定义域是N*
或它的有限子集{1，2，…，n}，所以它的图像是一系列孤立的点，
而不是连续的曲线．
4．函数与数列的联系与区别
考点一 数列的概念与简单表示法
8
①已知数列为等差或等比数列，用等差、等比数列的公式、性质等解决；
5．解决数列问题的一般方法
③形似函数的数列，可以应用函数的方法，同时注意与函数的区别．
②形似等差、等比的数列，可以联想、类比、派生、转化为等差、等比
数列；
考点一 数列的概念与简单表示法
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核心方法 重点突破
方法1 由an与Sn的关系求通项an
数列{an}的前n项和Sn与an的关系为
先通过an＝Sn－Sn－1(n≥2)和题目中的已知条件消去an或Sn，再构造等差数列
或者等比数列求解．
(1)若消去Sn，应利用已知递推公式，把n换成n－1得到另一个式子，两
式相减即可求得通项．
考点一 数列的概念与简单表示法
10
(2)若消去an，只需把an＝Sn－Sn－1代入递推式得到Sn，Sn－1的关系，求出Sn
后再利用an与Sn的关系求通项．
在求解时一定要记住：(1)当n＝1时，a1＝S1；(2)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.
将n＝1时的表达式与n≥2时的表达式综合在一起，若a1适合n≥2时{an}的通项
公式，则可以合并在一起，否则写成分段形式．
方法1 由an与Sn的关系求通项an
考点一 数列的概念与简单表示法
11
【解】(1)当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5.
又a1＝－1也适合上式，因此an＝4n－5(n∈N*)．
例1 已知数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．
(1)Sn＝2n2－3n；
(2)Sn＝3n＋b.
(2)当n＝1时，a1＝S1＝3＋b；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
当b＝－1时，a1适合上式；当b≠－1时，a1不适合上式．
∴当b＝－1时，an＝2·3n－1(n∈N*)；
当b≠－1时，an＝
考点一 数列的概念与简单表示法
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【解析】当n＝1时，a1＝6；
当n≥2时，
由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)得a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝(n
－1)n(n＋1)，两式相减得
nan＝n(n＋1)(n＋2)－(n－1)n(n＋1)＝3n(n＋1)，所以an＝3n＋3，当n＝1时也
成立，故an＝3n＋3.
例2 数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)·(n＋2)(n∈N*)，
则这个数列的通项公式an＝________．
【答案】3n＋3
考点一 数列的概念与简单表示法
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【解】(1)由S1＝A·2＋B＝a1＝5，S2＝A·4＋B＝a1＋a2＝9，得A＝2，B＝1.
例3 在数列{an}中，a1＝5，a2＝4，数列{an}的前n项和Sn＝A·2n＋B(A，B为常数)．
(1)求实数A，B的值；
(2)求数列{an}的通项公式．
(2)因为Sn＝2n＋1＋1，所以an＝
当n＝1时，a1＝S1＝22＋1＝5；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1＋1－(2n＋1)＝2n.
所以an＝
考点一 数列的概念与简单表示法
14
方法2 数列的单调性、最值、周期性等性质的应用
(1)解决数列的单调性问题可用以下三种方法：
①作差比较法：根据 an+1-an的符号进行判断；
②作商比较法：当{an}中各项都同号时，根据 与1的大小关系进行判
断；
③结合相应函数的图像直观判断．
n
n
a
a 1
(3)解决数列周期性问题的方法：根据已知条件求出数列的前几项，确定数
列的周期，再根据周期求值．
(2)数列的最值通常利用函数最值的方法或者数列的单调性求解．
考点一 数列的概念与简单表示法
15
【解析】∵an＝
且数列{an}是递增数列，则
∴2＜a＜3，∴实数a的取值范围是(2，3)．
【答案】(2，3)
例4 已知数列{an}满足an＝ 且{an}是递增数列，则
实数a的取值范围是________．
考点一 数列的概念与简单表示法
16
【解析】由任意连续三项的和都是15得an＋an＋1＋an＋2＝an＋1＋an＋2＋an＋3，
则an＝an＋3，所以a12＝a3＝5，且a2＋a3＋a4＝15，则a2＝9，所以a2 018＝
a3×672＋2＝a2＝9.
例5 在数列{an}中，若a4＝1，a12＝5，且任意连续三项的和都是15，则
a2 018＝________．
【答案】9
考点一 数列的概念与简单表示法
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例6 等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小
值为________．
【答案】－49
考点一 数列的概念与简单表示法
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考法例析 成就能力
本考点是高考的热点，主要考查
(3)利用数列的函数性质求最值等，主要以填空题、解答题的形式呈现，难度
有所下降．
(2)由an与Sn的关系求通项公式；
(1)由数列的递推关系求通项公式；
考点一 数列的概念与简单表示法
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例1 [课标全国Ⅰ2018·14]记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，
则S6＝________.
考法1 由an与Sn的关系求值
【解析】方法一：∵Sn＝2an＋1(n≥1)，①
∴Sn－1＝2an－1＋1(n≥2)．②
当n≥2时，①－②得an＝2an－2an－1，∴an＝2an－1.
当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1.
∴数列{an}是以－1为首项，2为公比的等比数列．
∴S6＝ =-63
考点一 数列的概念与简单表示法
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方法二：由题知当n≥2时，Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，
∴Sn＝2Sn－2Sn－1＋1，∴Sn＝2Sn－1－1.③
构造Sn－λ＝2(Sn－1－λ)，∴Sn－λ＝2Sn－1－2λ，
∴Sn＝2Sn－1－λ.④
∵③④两式对应项相等，∴λ＝1.
当n＝1时，S1＝a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，
∴S1－1＝－2.
∴{Sn－1}是以S1－1＝－2为首项，2为公比的等比数列．
∴Sn－1＝－2×2n－1＝－2n，
∴Sn＝1－2n，∴S6＝1－26＝－63.
【答案】－63
考点一 数列的概念与简单表示法
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例2 [课标全国Ⅱ2015·16]设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1
＝SnSn＋1，则Sn＝________.
【解析】∵an＋1＝SnSn＋1，∴Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
两边同时除以SnSn＋1，得 ＝－1.
又∵ ＝－1，
∴ 是首项为－1，公差为－1的等差数列．
∴ ＝－1＋(n－1)·(－1)＝－n，∴Sn＝－
nn SS
11
1
11
11
aS
nS
1
n
1
【答案】－
n
1
考点一 数列的概念与简单表示法
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例3 [课标全国Ⅲ文2017·17]设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列 的前n项和．
【解】(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n
－3)an－1＝2(n－1)．
两式相减得(2n－1)an＝2.所以an＝ (n≥2)．
又由题设可得a1＝2，满足an＝ ，
从而{an}的通项公式为an＝ .
12
2
n
12
2
n
12
2
n
考点一 数列的概念与简单表示法
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考点一 数列的概念与简单表示法
例3 [课标全国Ⅲ文2017·17]设数列{an}满足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求数列 的前n项和．
24
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记数列 的前n项和为Tn，求使得|Tn－1|＜ 成立的n的最小值．
例4 [四川2015·16]设数列{an}(n＝1，2，3，…)的前n项和Sn满足Sn＝2an
－a1，且a1，a2＋1，a3成等差数列．
1000
1
考点一 数列的概念与简单表示法
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【解】(1)由已知Sn＝2an－a1，得
an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．
从而a2＝2a1，a3＝2a2＝4a1.
又因为a1，a2＋1，a3成等差数列，
所以a1＋a3＝2(a2＋1)，
即a1＋4a1＝2(2a1＋1)，解得a1＝2.
所以数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．
故an＝2n.
考点一 数列的概念与简单表示法
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考点一 数列的概念与简单表示法
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考法2 利用数列的单调性求最值
例5、已知数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列{(2n－13)an}的最大项．
【解】(1)∵a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝n，①
∴当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝n－1，②
①－②得2n－1an＝1，∴an＝ ，n≥2.
又∵n＝1时，a1＝1也适合，
∴an＝ ，n∈N*.
1-n2
1
1-n2
1
考点一 数列的概念与简单表示法
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考点一 数列的概念与简单表示法
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考法3 数列的新定义问题
例6 [课标全国Ⅲ2016·12]定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，
其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于
1的个数．若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
考点一 数列的概念与简单表示法
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【解析】当m＝4时，数列共有8项，由题可知，a1＝0，a8＝1，分
类考虑：
①当前四项全为0时，后四项全为1，满足条件，有1个；
②当前四项有三项为0时，第2，3，4项任取两项为0，第5，6，7项
任取一项为0，共有C32·C31＝9(个)；
③当前四项有两项为0时，则第2或3项为0，第5项一定为0，第6，7
项有一项为0，共有C21·C21＝4(个)．
综上，共有1＋9＋4＝14(个)．
【答案】C
考点一 数列的概念与简单表示法
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考点二 等差数列及其前n项和
必备知识 全面把握
核心方法 重点突破
考法例析 成就能力
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必备知识 全面把握
考点二 等差数列及其前n项和
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都等于同一个
常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，
公差通常用字母d表示．
1．等差数列的定义
如果a，b，c成等差数列，那么b为a，c的等差中项，其中b= .
2．等差中项
2
ca
33
(1)等差数列的定义具有两重性，既可以判定一个数列是否为等差数
列，也可以作为等差数列的一个性质．
(2)a，b，c成等差数列是2b＝a＋c的充要条件．
(3)等差中项的推广： (n≥2，n＞p)．
考点二 等差数列及其前n项和
34
(1)在通项公式中包含四个量，a1(首项)、d(公差)、n(序号)、an(第n项)，知三求
一；
3．等差数列的通项公式
通项公式：an＝a1＋(n－1)d (n∈N*)．
(2)由通项公式可推出.
注意把握：
考点二 等差数列及其前n项和
35
(3)用函数观点理解通项公式．
an是定义在N*或其有限子集{1，2，3，…，n}上的一次函数(d≠0)或常数函数
(d＝0)．反之，若an＝nd＋b，则an＋1－an＝d(n＋1)＋b－nd－b＝d，可知数列
{an}为等差数列．
因此有结论：数列{an}是等差数列 an＝nd＋b.
这个结论深刻揭示了等差数列的本质特征：当d≠0时，an是定义在N*或{1，2，
3，4，…，n}上的一次函数；当d＝0时，an是一个常数函数．
等差数列的图像是均匀分布在直线y＝dx＋b上的离散的点(当x取正整数时对
应的点)，即点的坐标为(n，an)，这样可把一次函数的某些性质用于等差数列
{an}．
考点二 等差数列及其前n项和
36
通项公式：an＝a1＋(n－1)d和an＝am＋(n－m)d的变式为
，由此可联想点列(n，an)所在直线的斜率．
由数列的单调性定义，易得
{an}为递增数列 d＞0；
{an}为递减数列 d＜0；
{an}为常数列 d＝0.
4．等差数列的单调性
考点二 等差数列及其前n项和
37
5．等差数列的前n项和公式
考点二 等差数列及其前n项和
前n项和公式：
等差数列的前n项和公式整理得
从函数观点理解前n项和公式，得到结论：
数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(其中A，B为常数)．
这个结论深刻揭示了等差数列前n项和的本质特征：当d≠0时，Sn是定义在N*或
{1，2，3，4，…，n}上的二次函数，且常数项为0；当d＝0时，Sn＝a1n是一
个一次函数或常数0.因此，当d≠0时，等差数列的前n项和的图像是分布在抛物
线y＝An2＋Bn上的一系列离散的点(当n取正整数时对应的点)．于是，我们就
可以借助抛物线来研究Sn的变化规律．
38
若a1＞0，d＜0，Sn有最大值，可由不等式 来确定n；
若a1＜0，d＞0，Sn有最小值，可由不等式组 来确定n.
考点二 等差数列及其前n项和
39
6．关于等差数列{an}的常用结论
(1)对于任意正整数n，都有an＋1－an＝a2－a1.
(2)对于任意正整数m，n，p，q，若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.
(3)对于任意正整数p，q，r，若p＋r＝2q，则有ap＋ar＝2aq.
(4)对于任意非零实数b，若数列{ban}是等差数列，则数列{an}也是等
差数列．
(5)若数列{an}，{bn}都是等差数列且项数相同，则{kbn}，{an＋bn}，
{an－bn}，{pan＋qbn}都是等差数列．
考点二 等差数列及其前n项和
40
(10)若数列{an}为等差数列，则Sn＝An2＋Bn，当d＞0时，Sn有最小值；当d＜0
时，Sn有最大值．
(9)若数列{an}为等差数列，且Sp＝q，Sq＝p，则Sp＋q＝－(p＋q)，p≠q.
(8)若数列{an}为等差数列，且Sn＝Sm(m≠n)，则Sm＋n＝0.
(7)若数列{an}为等差数列，则S3m＝3(S2m－Sm)．
(6)在等差数列中，每隔相同的项抽出来的项按照原来顺序排列，构成的新数列
仍然是等差数列．
考点二 等差数列及其前n项和
41
(11)若数列{an}为等差数列，
①若数列的项数为2n＋1(n∈N*)，设S奇，S偶分别为所有奇数项的和与所有偶
数项的和，则S奇＋S偶＝S2n＋1＝ (a1＋a2n＋1)·(2n＋1)＝(2n＋1)an＋1(an＋1为中
间项)，S奇－S偶＝an＋1，
2
1
②若数列的项数为2n(n∈N*)，则S2n＝ (a1＋a2n)·2n＝n(an＋an＋1)(an，an＋1
为中间两项)．
2
1
考点二 等差数列及其前n项和
42
(12)若数列{an}是等差数列，前n项和为Sn，则数列 也是等差数列，其首
项与数列{an}的首项相同，公差是数列{an}的公差的 .2
1
(13)若数列{an}，{bn}都是等差数列，其前n项和分别为Sn，Tn，则
(15)等差数列{an}的前n项和为Sn，且Sm，S2m，S3m，S4m，…分别为数列{an}的
前m项，前2m项，前3m项，前4m项，…的和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…
成等差数列．
(14)若三个数成等差数列，则通常可设这三个数分别为x－d，x，x＋d；若四个数
成等差数列，则通常可设这四个数分别为x－3d，x－d，x＋d，x＋3d.
考点二 等差数列及其前n项和
43
核心方法 重点突破
方法1 等差数列的判定与证明
等差数列的判定与证明方法：
(1)定义法：用定义法时常采用的两个式子an－an－1＝d和an＋1－an＝d有差别，
前者必须加上“n≥2”，否则n＝1时a0无意义；
(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立{an}是等
差数列；
(2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2，n∈N*)成立{an}是等差数列；
考点二 等差数列及其前n项和
44
(6)若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项an，an＋1，an＋2，使得这三项不
满足2an＋1＝an＋an＋2即可．
(5){an}为等比数列，an>0 {logaan}为等差数列(a>0且a≠1)；
(4)前n项和公式法：验证数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)对任意的正
整数n都成立{an}是等差数列；
考点二 等差数列及其前n项和
45
例1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证：数列{an}是等差数列；
(2)已知 成等差数列，求证： 也成等差数列．
【证明】(1)当n＝1时，a1＝S1＝3－2＝1.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n2－2n－[3(n－1)2－2(n－1)]＝6n－5.
当n＝1时，也满足上式，∴an＝6n－5.
∵首项a1＝1，an－an－1＝6n－5－[6(n－1)－5]＝6(常数)，
∴数列{an}是等差数列，且公差为6.
考点二 等差数列及其前n项和
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考点二 等差数列及其前n项和
例1 (1)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2－2n，求证：数列{an}是等差数列；
(2)已知 成等差数列，求证： 也成等差数列．
47
例2 设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＋Sn＝(n＋1)an＋1－ an－1，
n∈N*，a2＝6，求证：数列{an}是等差数列． 2
1
考点二 等差数列及其前n项和
48
方法2 等差数列的基本运算
(1)方程思想：等差数列的基本量有首项a1，公差d，项数n，通项an，
前n项和Sn，通常利用条件和通项公式、前n项和公式建立方程组求解．
(2)整体思想：当所给条件只有一个时，可将已知和所求利用通项公式、求
和公式都用a1和d表示，寻求两者之间的联系，整体代换求解．
解决等差数列运算问题的常用数学思想：
考点二 等差数列及其前n项和
49
例3 [苏锡常镇四市2018调研]已知公差为d的等差数列{an}的前n项和
为Sn，若
【答案】2
考点二 等差数列及其前n项和
50
方法3 等差数列的性质及其应用
(1)在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q，m，n，p，q∈N，则am＋an＝
ap＋aq.特殊地，若m＋n＝2p，m，n，p∈N，则am＋an＝2ap.
(2)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k
也成等差数列，且公差为k2d.
考点二 等差数列及其前n项和
51
例4 [山东菏泽单县第五中学2018第一次月考]已知等差数列{an}，Sn是
它的前n项和，若S16>0，且S170，故a8＋a9>0.又
＝17a90，d0且a≠1)是等差数列；如果数列{logaan}
是等差数列，则an成等比数列；
6．关于等比数列{an}性质的常用结论
(1)对于任意正整数n，均有
(2)对于任意正整数m，n，p，q，若m+n＝p+q；则 ;
若m＋n＝2p，则有am·an＝ap2；
(3)对任意正整数n＞1，有an2＝an－1·an＋1；
qpnm aaaa
考点三 等比数列及其前n项和
74
(5)构造新数列：
①若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)， ，{an2}，{an·bn}，
仍是等比数列；
②若{an}是等比数列，且an>0，则{logaan}(a>0且a≠1)是以logaa1为首项，logaq为
公差的等差数列；
③已知公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…
仍成等比数列，其公比为qn.若不限定q≠－1，则仍有关系式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－
S2n)，但不能说Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列．
考点三 等比数列及其前n项和
(6)项数为2n的等比数列中， ＝q；项数为2n＋1的等比数列中，
75
核心方法 重点突破
方法1 等比数列的判定与证明
等比数列的判定与证明有以下几种方法：
(1)定义法：在an≠0(n∈N*)的前提下，若 (q为非零常数)或
(q为非零常数，n≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列．
(2)等比中项法：数列{an}中，an≠0，如果根据已知条件能得到an＋12＝
an·an＋2(n∈N*)，那么数列{an}是等比数列．
考点三 等比数列及其前n项和
76
(3)通项公式法：观察已知信息，或者是计算出数列的通项公式，若可以写成
an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(5)性质法：利用等比数列的性质进行判断或证明．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0
且q≠1)，则数列{an}是等比数列．
考点三 等比数列及其前n项和
77
例1 [内蒙古呼和浩特2018调研]设数列{an}各项均为正数，且a2＝4a1，an＋1＝an2
＋2an(n∈N*)．
(1)证明：数列{log3(1＋an)}为等比数列；
(2)令bn＝log3(1＋a2n－1)，数列{bn}的前n项和为Tn，求使Tn>345成立时n的最小
值．
考点三 等比数列及其前n项和
78
考点三 等比数列及其前n项和
79
考点三 等比数列及其前n项和
80
例2 [广西南宁2018第二次适应性测试]已知数列{an}的前n项和为Sn，且
满足an＋1＝Sn＋n＋1(n＝1，2，3，…)，a1＝1.
(1)求证：{an＋1}为等比数列．
(2)数列{an}中是否存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数列？
并说明理由．
考点三 等比数列及其前n项和
81
(1)【证明】因为an＋1＝Sn＋n＋1(n＝1，2，3，…)，①
所以an＝Sn－1＋n(n≥2)．②
因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，
所以①－②可得an＋1－an＝an＋1(n≥2)，即an＋1＝2an＋1(n≥2)．
所以an＋1＋1＝2(an＋1)(n≥2)，即 (n≥2)．
又因为a1＝1，所以a2＝3， 故{an＋1}为等比数列．
考点三 等比数列及其前n项和
82
(2)【解】不存在．理由如下：
由(1)得an＝2n－1.
假设能得到一个等差数列，不妨设满足条件的3项分别为ar，as，at，
则2·(2s－1)＝2r－1＋2t－1，即2s＋1＝2r＋2t.
所以2r－s－1＋2t－s－1＝1.
因为{an}是递增数列，所以r－s－1≥0，t－s－1≥0中必有一个成
立．
则2r－s－1＋2t－s－1>1，与2r－s－1＋2t－s－1＝1矛盾．
故数列{an}中不存在不同的三项，适当排列顺序后构成一个等差数
列．
考点三 等比数列及其前n项和
83
方法2 等比数列的基本运算
等比数列有五个基本量a1，n，q，an，Sn，可以“知三求二”．
(1)若已知n，an，Sn，首先验证q＝1是否成立，若q≠1，则可以通过列方程组
求出关键量a1和q，使问题迎刃而解．
(2)若已知数列{an}中的两项an和am，可以利用等比数列的通项公式，得到方程
组 两式相除可以先求出q，然后再代入其中一式求得a1，进一步求
得Sn.另外，还可以利用公式an＝am·qn－m直接求得q，减少运算量．
考点三 等比数列及其前n项和
84
(1)等比数列求和要讨论q＝1和q≠1两种情况．
(2)计算过程中，若出现方程qn＝t，则要看qn中的n是奇数还是偶数．若n是
奇数，则 ；若n是偶数，则t>0时，q＝ t0(n∈N*)，
两边同时取以2为底的对数得
log2an＋1＝log2( )＝log22＋log2 ＝1＋2log2an.
令bn＝log2an，则bn＋1＝2bn＋1.令bn＋1 ＋t＝2(bn＋t)，
则bn＋1＝2 bn＋t ，则t＝1.∴ bn＋1 ＋1＝2(bn＋1)，
∴{bn ＋1}为等比数列，首项为b1＋1＝log2a1＋1＝2，公比为2，
∴ bn ＋1＝2·2n－1＝2n，即bn ＝2n－1.∴log2an＝2n－1，
2
na22 na
22 na
考点四 数列的综合应用
119
(4)同除构造
例8 [甘肃2018期中]已知数列{an}的首项a1＝2，且
满足an＋1＝2an＋3·2n＋1(n∈N*)．
(1)设 ，证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的前n项和Sn.
考点四 数列的综合应用
120
考点四 数列的综合应用
121
4．归纳猜想法
例9 写出下列数列的通项公式．
考点四 数列的综合应用
122
方法2 数列求和的方法
例10 [山东济南2018教学质量检测]已知数列{an}的前n项和为
Sn，a1＝2，且an＋1＝3Sn＋2(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝(－1)nlog2an，求{bn}的前n项和Tn.
【解】(1)由已知得，当n≥2时，
an＋1－an＝3Sn＋2－(3Sn－1＋2)＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
所以an＋1＝4an(n≥2)．
又a1＝2，∴a2＝3S1＋2＝3a1＋2＝8，则a2＝4a1，
所以{an}为以2为首项，4为公比的等比数列，所以an＝2×4n－1＝22n－1.
考点四 数列的综合应用
123
(2)由已知得bn＝(－1)nlog2an＝(－1)n(2n－1)，
当n为偶数时，
则Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝－1＋3－5＋7－…－(2n－3)＋(2n－1)＝2× ＝n；
当n为奇数时，n－1为偶数，
则Tn＝Tn－1＋bn＝(n－1)－(2n－1)＝－n.
综上，Tn＝(－1)nn.
2
n
考点四 数列的综合应用
124
例11 若数列{an}是正项数列，且 ＝n2＋n.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设 ，求数列{bn}的前n项和Sn.
考点四 数列的综合应用
125
例12 [吉林普通中学2018第二次调研]已知{an}是等比数列，a1＝1，a4＝8，
{bn}是等差数列，b1＝3，b4＝12.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和Sn.
【解】(1)设{an}的公比为q，
由a4＝a1q3得8＝1×q3，解得q＝2，所以an＝2n－1.
设{bn}的公差为d，
由b4＝b1＋3d得12＝3＋3d，解得d＝3，所以bn＝3n.
考点四 数列的综合应用
126
考点四 数列的综合应用
127
例13 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成
等比数列．
(1)求an；
(2)若d0)，然后
对函数y＝f(x)进行分析．
(1)函数特征比较明显的，可以直接根据函数的性质求出相关信息，如等差数列
的通项公式an＝a1＋(n－1)d(d≠0)对应一次函数f(x)＝ax＋b；等差数列的前n
项和公式Sn＝na1＋ (d≠0)可以看成二次函数f(x)＝ax2＋bx；等比数列的
通项公式an＝a1·qn－1(q>0，且q≠1)可以看成函数f(x)＝t·qx.
(2)函数特征不明显的，可以通过对函数求导研究其性质．
考点四 数列的综合应用
130
2．数列与不等式的综合问题是高考考查的热点内容，考查方式主要有三种：
(1)判断数列问题中的一些不等关系，可以利用数列的单调性比较大小，或
者是借助数列对应函数的单调性比较大小．
(2)以数列为载体，考查不等式的恒成立问题，此类问题可转化为函数的最
值问题．
(3)考查与数列有关的不等式的证明问题，此类问题大多借助构造函数来证
明，或者直接利用放缩法证明．
考点四 数列的综合应用
131
例14 [江西师大附中2018模拟]已知等差数列{an}和等比数列{bn}均不是常数
列，若a1＝b1＝1，且a1，2a2，4a4成等比数列，4b2，2b3，b4成等差数列．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k(i＜j＜k)，使得ambj，amanbi，
anbk成等差数列，求m＋n的最小值；
(3)令cn＝ 记{cn}的前n项和为Tn， 的前n项和为An.若数列{pn}满足p1
＝c1，且对n≥2，n∈N*，都有 pn＝ 设{ pn} 的前n项和为Sn，求
证：Sn＜4＋4ln n.
考点四 数列的综合应用
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考点四 数列的综合应用
133
考点四 数列的综合应用
134
方法4 数列的实际应用
1．数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该
模型是等差模型，这个增加(或减少)的量就是公差．
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比值是同一个固定的非零常数，该
模型是等比模型，这个比值就是公比．
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变
化而变化，应考虑an与an＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者Sn与Sn＋
1(或者相邻三项等)之间的递推关系．
考点四 数列的综合应用
135
2．解答数列应用题的步骤
(1)审题——仔细阅读材料，认真理解题意．
(2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，弄
清该数列的特征、要求的是什么．
(3)求解——求出该问题的解．
(4)还原——将所求结果还原到原实际问题中．
解等差数列、等比数列应用题时，第一步审题至关重要，深刻理解问题的实际背
景，理清隐藏在语言中的数学关系，把应用问题抽象为数学中的等差数列、等比
数列问题，使关系明朗化、标准化，然后用等差数列、等比数列的知识求解．
考点四 数列的综合应用
136
例15 [江苏盐城2018期中]2016年射阳县洋马镇政府决定投资8千万元启动“鹤乡
菊海”观光旅游与菊花产业项目．规划从2017年起，在相当长的年份里，每年继
续投资2千万元用于此项目.2016年该项目的净收入为5百万元(含旅游净收入与菊
花产业净收入)，并预测在相当长的年份里，每年的净收入均为上一年的1.5
倍．记2016年为第1年，f(n)为第1年至此后第n(n∈N*)年的累计利润(注：含第n
年，累计利润＝累计净收入－累计投入，单位：千万元)，且当f(n)为正值时，认
为该项目赢利．
(1)试求f(n)的表达式．
(2)根据预测，该项目将从哪一年开始并持续赢利？请说明理由．
参考数据： ≈5，ln 2≈0.7，ln 3≈1.1.
考点四 数列的综合应用
137
考点四 数列的综合应用
138
考法例析 成就能力
考法1 数列的求和
例1 [课标全国Ⅰ2015·17]Sn为数列{an}的前n项和．已知an＞0，an2＋2an＝
4Sn＋3.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝ ，,求数列{bn}的前n项和．
考点四 数列的综合应用
139
【解】(1)由an2＋2an＝4Sn＋3，知an＋12＋2an＋1＝4Sn＋1＋3.
两式相减，得an＋12－an2＋2(an＋1－an)＝4an＋1，
即2(an＋1＋an)＝an＋12－an2＝(an＋1＋an)(an＋1－an)．
因为an＞0，所以an＋1－an＝2.
又因为a12＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1(舍去)或a1＝3.
所以{an}是首项为3，公差为2的等差数列，
通项公式为an＝2n＋1.
考点四 数列的综合应用
140
(2)由an＝2n＋1可知
考点四 数列的综合应用
141
例2 [天津2017·18]已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项
为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*)．
【解】(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋
b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.又因为q>0，解得q＝
2.所以bn＝2n.
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8①.由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16②，联立
①②，解得a1＝1，d＝3，由此可得an＝3n－2.
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，数列{bn}的通项公式为bn＝2n.
考点四 数列的综合应用
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考点四 数列的综合应用
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例3 [浙江2018·20]已知等比数列{an}的公比q>1，且a3＋a4＋a5＝28，a4＋2是a3，
a5的等差中项．数列{bn}满足b1＝1，数列{(bn＋1－bn)an}的前n项和为2n2＋n.
(1)求q的值；
(2)求数列{bn}的通项公式．
考点四 数列的综合应用
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考点四 数列的综合应用
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考法2 数列的综合应用与实际应用
例4 [四川2016·5]某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司
2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年
增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )
(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)
A．2018年 B．2019年
C．2020年 D．2021年
【解析】由题意得2015年全年研发资金为130万元，经过n年全年研发资金为
130(1＋0.12)n，∴130(1＋0.12)n>200，∴1.12n> ，∴n·lg 1.12>lg 2－
lg 1.3，∴n>3.8，∴经过4年，即2019年全年研发资金超过200万元．
【答案】B
考点四 数列的综合应用
146
例5 [山东2017·19]已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1＋x2＝3，x3－x2＝2.
(1)求数列{xn}的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1，1)，P2(x2，2)，…，Pn＋1(xn＋1，
n＋1)得到折线P1P2…Pn＋1，求由该折线与直线y＝0，x＝x1，x＝xn＋1所围成的区域的面
积Tn.
考点四 数列的综合应用
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考点四 数列的综合应用
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