高考理数完美复习专题八立体几何完美

专题八 立体几何 目 录 CONTENTS 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 考点五 空间向量与立体几何 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 必备知识 全面把握 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 (1)多面体是由平面多 边形围成的，不是由圆面或其他 曲面围成的，也不是由空间多边 形围成的． (2)我们所说的多面体包括它内 部的部分，故多面体是一个“封 闭”的几何体． (2)旋转体的结构特征 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 (1)圆柱、圆锥、圆台 和球的轴截面分别是矩形、等腰 三角形、等腰梯形和圆，处理旋 转体的有关问题常通过作出轴截 面分析． (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开 图分别是矩形、扇形和扇环，处 理旋转体侧面上两点间的最小距 离问题时常用“空间问题平面化” 的思想． 2．中心投影与平行投影 (1)投影、投影线和投影面 由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做 投影．其中，形成投影的光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面． 在立体几何中，投影是光线(投影线)通过物体向选定的面(投影面) 投射，并在该面上得到图形的一种方法． (2)中心投影 ①中心投影的定义 光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影. 中心投影的实质是一个点光源把一个物体照射到一个平面上，这个物体的影子就 是它在这个平面上的中心投影． ②中心投影的性质 a.中心投影的投影线交于一点. b．点光源距物体越近，投影形成的影子越大． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 7 (3)平行投影 ①平行投影的定义 在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．在平行投影中，当 投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影． ②平行投影的性质 a．平行投影的投影线互相平行． b. 线段的平行投影是线段或点. c．平行于投影面的平行直线的平行投影是平行或重合的直线． d．平行于投影面的线段，它的正投影与这条线段平行且相等． e．与投影面平行的平面图形，它的正投影与这个图形全等． 中心投影主要用于绘画，而平行投影主要用于工程 制图，且在作平行投影时，必须给出投影线的方向． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 (4)平行投影与中心投影的区别与联系 ①联系：都是在光的照射下形成的投影，都具备投影的三要素：投 影线、不透明物体和投影面． ②区别：平行投影的投影线互相平行，中心投影的投影线交于一点 (常称为投影中心)．在平行投影之下，与投影面平行的平面图形的 投影与这个平面图形的形状和大小完全相同；在中心投影之下，随 着投影中心距离物体的远近，形成的影子大小会有所不同，但形状 具有相似性． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 3．直观图与三视图 (1)直观图与斜二测画法 用来表示空间几何体的平面图形叫做空间几何体的直观图．我们经常用斜二测画 法画出几何体的直观图． 斜二测画法是一种特殊的平行投影画法． 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤： ①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画 成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它 们确定的平面表示水平面． ②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的 线段． ③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段， 长度为原来的一半． ④擦去作为辅助线的坐标轴，就得到原图形的直观图． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 10 (1)此种画法由于建立的坐标系x′O′y′中∠x′O′y′＝45°(或 135°)，故称为斜二测画法． (2)斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点 并在直观图中画出． (3)斜二测画法得到的直观图中：①相互平行的线段仍然相互平行； ②平行于x轴的线段平行于x′轴，平行于y轴的线段平行于y′轴；③平 行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，可 简记为“横不变，纵减半”． (4)关于水平放置的圆的直观图，常用正等测画法．在实际画水平放 置的圆的直观图时，通常使用椭圆模板． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 3．直观图与三视图 11 (2)视图、三视图 ①视图 将物体按正投影法向投影面投射时所得到的投影图，称为视图． ②三视图 光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正(主)视图． 光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧(左)视图． 光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图． 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图．如图是一个长方体的三 视图． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 12 (3)三视图的画法规则 ①排列规则：侧视图在正视图右边，俯视图在正视图下边． ②画法规则： a．正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”； b．侧视图与正视图的高度一致，即“高平齐”； c．俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等”． 图(1)中物体的三视图如图(2)所示． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 13 ③线条的规则要求： a．能看见的轮廓线和棱用实线表示； b．不能看见的轮廓线和棱用虚线表示． (1)同一物体放置的方向不同，所画的三视图可能不同． (2)对于简单组合体，应先观察它是由哪几个基本几何体组成的，要特别 注意它们的交线位置． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 14 4．空间几何体的面积 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 15  (1)求柱体表面积的方法 ①直棱柱的侧面积等于它的底面周长和高的乘积；表面积等于它的侧 面积与上、下两个底面的面积之和． ②求斜棱柱的侧面积一般有两种方法：一是定义法；二是公式法．所 谓定义法就是利用侧面积为各侧面面积之和来求，公式法即直接用公 式求解． ③求圆柱的表面积只需利用公式即可求解． (2)求锥体的表面积的方法 ①求棱锥表面积的一般方法：定义法． ②求圆锥表面积的一般方法：公式法，即S表＝π(r＋l)． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 16 5．空间几何体的体积 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 17 核心方法 重点突破 方法1 有关空间几何体的结构特征解法 1．要想真正把握几何体的结构特征，必须多角度、全方位地去分析，多观 察实物，提高空间想象能力． 2．判断与几何体有关的命题的真假，要熟悉各种空间几何体的结构特征，依 据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、 面等基本元素，再进行判断． 3．通过反例对几何体的结构特征进行辨析，即要证明一个命题是错误的，只 要举出一个反例即可． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 18 下列命题中正确的是(  ) A．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周形成的旋转体是圆锥 B．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱 C．将一个矩形(包括其内部)沿竖直方向平移一段距离，运动的轨迹是 一个长方体 D．棱台各侧棱的延长线交于一点 【解析】以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可得到圆 锥，故A不正确；如图，平面ABC∥平面A1B1C1，但图中的几何体每相邻两 个四边形的公共边并不都互相平行，故不是棱柱，B不正确；当矩形(包括 其内部)水平放置时，沿竖直方向平移一段距离，运动的轨迹是一个长方体， 当矩形(包括其内部)不是水平放置时，沿竖直方向平移一段距离，运动的 轨迹不是长方体，故C不正确；棱台是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱 锥得到的，其各侧棱的延长线必交于一点，故D正确． 【答案】D 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 19 [安徽“江南十校”2018综合素质检测]已知长方体ABCD－A1B1C1D1中， AA1＝AB＝2AD＝2，E，F分别为棱BB1，D1C1的中点，直线CD1被四面体CC1EF 外接球截得的线段长为________． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 20 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 已知正四棱锥的高为 ，侧棱长为 ，求斜高． 21 已知圆锥的底面半径为1 cm，高为 cm，其中有一个内接正方体， 求这个内接正方体的棱长． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 22 方法2 有关空间几何体的三视图与直观图解法 1．根据几何体确认三视图的方法： (1)由实物图判断三视图，可按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样 宽”的特点判断；(2)对于简单组合体的三视图，首先要确认正视、侧视、 俯视的方向，其次要注意组合体由哪些几何体组成，弄清它们的组成方式， 特别要注意它们的交线的位置． 2．利用斜二测画法画直观图时，要弄清画图规则，顺利实现原图形与直观 图的线段的转化． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 23 若某几何体的三视图如图，则这个几何体的直观图可以是(  ) 【解析】用排除法．A，B的正视图不符合要求，C的俯视图不符合要求， 故选D. 【答案】D 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 24 [江西南昌2018一模]已知圆台和正三棱锥的组合体的正视图和 俯视图如图所示，图中网格是单位正方形，那么组合体的侧视图的面 积为(  ) 【解析】由正视图和俯视图可得组合体中圆台的上底面、下底面半 径分别是1和2，高为2，正三棱锥的高为2、底面边长为，所以该组合 体的侧视图由一个等腰梯形和一个三角形构成，如图．等腰梯形的 【答案】B 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 25 如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直 观图，其中O′A′＝6 cm，O′C′＝2 cm，则原图形是(  ) A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．一般的平行四边形 【答案】C 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 26 方法3 空间几何体的表面积与体积的解法 求空间几何体的表面积或体积的常用方法： (1)公式法．对于规则几何体的表面积或体积问题，可以直接利用公式进行求解． (3)等体积法．一个几何体无论怎样转化，其体积总是不变的．如果一个几何 体的底面面积和高较难求解时，我们可以采用等体积法进行求解．等体积法也 称等积转化或等积变形，它是通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法， 多用来求锥体的体积，特别是三棱锥的体积． (2)割补法．把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何 体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，然后进行计算． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 27 [广西2018教学质量检测联考(二)]某几何体的三视图如图所示，网 格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的表面积为(  ) 【答案】C 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 28 [湖南、江西十四校2018第一次联考]已知一个棱长为2(单位：cm)的正方 体被两个平面所截得的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是(  ) 【答案】D 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 29 正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面积为780 cm2，求其体积． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 30 方法4 组合体的计算问题解法 解决组合体的计算问题，首先要将组合体分解为若干个简单几何体， 再利用相应几何体的表面积或体积公式求解． [安徽合肥2018第一次教学质量检测]如图，网格纸上小正方形的边长 为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为(  ) A．5π＋18 B．6π＋18 C．8π＋6 D．10π＋6 【解析】由几何体的三视图可得该几何体是半个圆柱和两个半球 构成的组合体，圆柱的底面半径、球的半径都是1，圆柱的高是3， 所以该几何体的表面积是4π＋π＋3π＋2×3＝8π＋6.故选C. 【答案】C 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 31 [江西2018期末]如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的 体积为(  ) A. B．27 C．26 D．28 【答案】A 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 32 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝ 135°，AB＝5，CD＝2 ，AD＝2，求四边形ABCD绕AD所 在直线旋转一周所成几何体的表面积及体积． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 33 方法5 球与几何体的切、接问题以及球的体积和表面积解法 有关几何体的外接球、内切球的计算问题的常见思路： 与球有关的组合体问题有两种：一种是内切，一种是外接．解题时要认真 分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关“元素”间的数量关系，并 作出合适的截面图． (1)当球内切于正方体时，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于 球的直径． (2)当球外接于正方体时，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线等 于球的直径． (3)对于球与旋转体的组合，可通过作它们的轴截面解题；对于球与多面体 的组合，可通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作其截面 图解题． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 34 求多面体外接球的面积和体积问题时的常用方法： (1)三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的 体对角线为外接球的直径，求出球的半径； (2)直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对 称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股 定理求球的半径； (3)如果涉及多面体有两个面相交，可分别过两个面的外接圆 的圆心作两个面的垂线，垂线的交点为多面体外接球的球心． 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 方法5 球与几何体的切、接问题以及球的体积和表面积解法 35 若球的外切圆台的上、下底面半径分别为r，R，则球的表面积为(  ) A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2 C．4πrR D．π(R＋r)2 【答案】C 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 36 [山东济宁2018模拟]如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实 线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积为(  ) A．8π B．16π C．32π D．64π 【解析】由几何体的三视图可得该几何体是如图所示的三棱锥 P－ABC，其中侧面PAB是等腰直角三角形，且垂直于底面ABC， 底面ABC也是等腰直角三角形，则BC⊥平面PAB.所以PC＝2 ， PA＝2 ，AC＝4，所以AP⊥PC，所以三棱锥P－ABC的外接球的 球心O为棱AC的中点，即2R＝AC＝4 ，则球的表面积为4πR2＝ 32π.故选C. 【答案】C 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 37 [湖南2018月考]若一个球与四面体的六条棱都相切， 则称此球为四面体的棱切球．已知正四面体的棱长为，则它的棱切球的 体积为(  ) 【解析】将棱长为的正四面体放入棱长为1的正方体中， 则正四面体的棱为正方体的面对角线，所以正四面体的棱 【答案】B 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 38 考法例析 成就能力 考法 空间几何体的三视图、表面积与体积 【答案】B 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 39 [课标全国Ⅲ2018·3]中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的 凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如 图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构 件的俯视图可以是(  ) A     B     C     D 【解析】根据题意，榫头能够和带卯眼的木构件咬合，所以榫头应能完 全放进木构件的卯眼中，但是凹进的小长方体在顶部是看不到的，所以应 画成虚线．故选A. 【答案】A 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 40 [北京2018·5]某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中， 直角三角形的个数为(  ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】根据三视图，还原四棱锥，如图． 在四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥DC.AB ＝1，AD＝DC＝SD＝2.显然△SDA，△SDC是直角三角形．另外 ∵SD⊥AB，AB⊥AD，SD∩AD＝D，∴AB⊥平面SAD.又∵SA 平面SAD，∴AB⊥SA，∴△SAB是直角三角形．又计算△SBC的 三边长并由勾股定理知其不是直角三角形．故选C. 【答案】C 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 41 [课标全国Ⅰ2016·6]如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个 圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是 ，则它的表面积是(  ) A．17π     B．18π   C．20π     D．28π 【答案】A 考点一 空间几何体的三视图、表面积与体积 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 43 1．平面的概念 生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我 们以平面的形象．几何里所说的“平面”就是从这样的一些物体中 抽象出来的．但是，几何里的平面是无限延展的． (1)平面具有无限延展性，它是理想的、绝对的平且无大小、厚薄之 分，是不可度量的． (2)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念． (3)通常情况下，可借助平面图形表示平面，但是要把平面图形想象成是无限 延展的． 必备知识 全面把握 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 44 2．平面的画法 我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，如图(1)， 平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如果一个平面被 另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如 图(2)． 图(1)   图(2) (1)画表示竖直平面的平行四边形时，通常把它的一组对边 画成铅垂线． (2)平面也可用其他平面图形表示，如三角形、圆等． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 45 3．平面的表示方法 为了表示平面，我们常把希腊字母α，β，γ等写在代表平面的平行 四边形的一个角上，如平面α、平面β；也可以用代表平面的平行四 边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母表示；另外， 还可以用表示平面内不共线的三个点的字母表示，如图(1)的平面α， 也可以表示为平面ABCD、平面AC、平面BD或平面ABC. 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 46 4．立体几何中常用的数学符号 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 47 (1)用集合语言描述点、直线和平面之间的位置关系时， 常用“∈”“ ”“∩”等符号．这些符号虽然来源于集合符 号，但在读法上却用几何语言表达． (2)立体几何中数学符号的用法原则上与集合符号的含义一致， 但个别地方与集合符号略有差异．例如：不再用a∩b＝{A}来表 示直线a，b相交于点A，而简记为a∩b＝A，这里的A既是一个点， 又可以理解为只含一个元素(点)的集合． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 4．立体几何中常用的数学符号 48 5．平面的基本性质 (1)公理 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 49 “不在一条直线上”和“三点”是公理2的关键词，如果没 有前者，那么只能说“有一个平面”，但不唯一．如果将“三点” 改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．这里的“确定” 是“有且只有”的意思，包括存在性和唯一性． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 50 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 51 6．异面直线 (1)定义 我们把不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线． (1)异面直线具有既不相交也不平行的特点． (2)“不同在任何一个平面内”是指这两条直线“不能确定一个平面”，其 中的“任何”是异面直线不可缺少的前提条件．不能把“不同在任何一个平 面内”误解为“不同在某一个平面内”，例如图(1)中，直线aα，直线b α，a∥b，不能由a，b不同在平面α内就误认为a与b异面，实际上，由a∥b 知a与b共面． (3)“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直 线”的含义是截然不同的，前者是说不可能找到一个同时包含这两条直线的 平面，而后者指的是画在某两个平面内的直线，并不能确定这两条直线的位 置关系．它们可以平行，如图(1)，也可以相交，如图(2)，还可能异面． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 52 (2)异面直线的画法 为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托，如图． (3)异面直线的判定方法 ①定义法． ②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线是 异面直线． ③反证法：证明两条直线既不平行也不相交．先假设两条直线不是异 面直线，即两条直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推 理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 53 7．点与直线、平面的位置关系 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 54 8．空间两条直线的位置关系 (1)空间两条不重合的直线的位置关系有三种：相交、平行和异面． ①相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点． ②平行直线：同一平面内，没有公共点． ③异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点． (2)空间中两条直线位置关系的分类 空间中两条直线的位置关系有以下两种分类方式： ①从有无公共点的角度分类 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 55 (3)直线与直线平行(公理4) 用此定理证明空间两直线平行的步骤：①先找到直线b；②证明a∥b，同时b∥c； ③得到a∥c. 当然证明两条直线平行还可以依据平行线的定义：同一平面内没有交点的两直线为 平行直线．依据定义证明两直线平行的步骤：①证明两条直线共面；②证明两条直 线没有交点． (4)两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直．两条互相 垂直的异面直线a，b，记作a⊥b. 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 56 9．直线与平面的位置关系 (1)直线与平面的位置关系 直线与平面的位置关系有且只有三种： ①直线在平面内——有无数个公共点； ②直线与平面相交——有且只有一个公共点； ③直线与平面平行——没有公共点． 直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． (2)直线与平面位置关系的图形表示及符号表示 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 57 10．两个平面的位置关系 (1)平面与平面之间的位置关系 两个平面之间的位置关系有且只有两种： ①两个平面平行——没有公共点； ②两个平面相交——有一条公共直线. (2)平面与平面之间的位置关系的图形表示及符号表示 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 58 11．空间四边形 如图(1)，顺次连接不共面的四点A，B， C，D所构成的图形叫做空间四边形，其 中A，B，C，D四个点都是它的顶点，连 接相邻两个顶点的线段叫做它的边，连接 不相邻的两个顶点的线段叫做空间四边形 的对角线，且其对角线是不共面的． 空间四边形用表示顶点的四个字母表示， 如图(2)，图中的空间四边形可以表示为 空间四边形ABCD，A，B，C，D是它的顶 点，线段AB，BC，CD，DA是它的四条边， 线段AC，BD是它的对角线． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 59 核心方法 重点突破 方法1 确定平面的方法 公理2及其三个推论是确定平面的依据．确定平面时应考虑确定平面的点 或线出现的所有可能位置，不能只想到一种位置或某些特殊的位置． 证明点、直线共面问题的方法：①纳入平面法：先确定一个平面，再证明 有关点、线在此平面内；②辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α， 再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 60 【解析】空间中不共线的三点确定一个平面，故A错误；空间中两 两相交但不交于一点的三条直线确定一个平面，故B错误；直线和 直线外一点确定一个平面，故C错误；D正确． 【答案】D 下列结论正确的是(  ) A．空间中不同三点确定一个平面 B．空间中两两相交的三条直线确定一个平面 C．一条直线和一个点确定一个平面 D．梯形一定是平面图形 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 61 方法2 三线共点问题 证明三线共点问题的基本方法：先确定待证的三线中的两条相 交于一点，再证明第三条直线也过该点．结合公理3，该点在不 重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条线)上，从而证 明了三线共点． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 62 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为AB的中点，F为AA1的中点．求证： CE，D1F，DA三线交于一点． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 63 方法3 三点共线问题 证明点共线问题的方法： ①公理法：先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的 公共点，再根据基本公理3证明这些点都在交线上； ②同一法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该 直线上． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 64 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为C1D1，B1C1的中点， AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证： (1)D，B，F，E四点共面； (2)若A1C∩平面DBFE＝R，则P，Q，R三点共线. 【证明】(1)如图所示，连接B1D1. ∵E，F分别为C1D1，B1C1的中点，∴EF是△B1C1D1的中位线， ∴EF∥D1B1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，∵BB1∥DD1，BB1 ＝DD1，∴四边形BB1D1D是平行四边形，∴DB∥D1B1， ∴EF∥DB，∴D，B，F，E四点共面． (2)∵AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q， ∴PQ是平面AA1C1C和平面DBFE的交线． ∵A1C交平面DBFE于点R，∴R是平面AA1C1C和平面DBFE的一 个公共点．∵PQ是平面AA1C1C和平面DBFE的交线，R是平面 AA1C1C和平面DBFE的交点，而两相交平面的所有公共点都在 这两个平面的交线上，∴P，Q，R三点共线． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 65 方法4 点、线、面的位置关系的判定 (1)平面的基本性质及有关定理是判断空间点、线、面位置关 系的基础． (2)对点、线、面位置关系的判断，常采用穷举法，即对各种关 系都进行考虑，要充分发挥模型的直观性作用． (3)对空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断， 常采用构图法(尤其是长方体)、现实实物判断法(如墙角、桌面 等)、排除筛选法等．另外，若原命题不太容易判断真假，可以 考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题的真假，再根据原命题 与逆否命题真假性相同得出原命题的真假． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 66 如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，判断下列直线间的位置关系： (1)直线A1B与D1C的位置关系是________； (2)直线A1B与B1C的位置关系是________； (3)直线D1D与D1C的位置关系是________； (4)直线AB与B1C的位置关系是________． (3)∵直线D1D与D1C相交于点D1，∴D1D与D1C相交． (4)∵直线AB与B1C不同在任何一个平面内， ∴AB与B1C是异面直线． ∵AB⊥平面B1C，B1C平面B1C，∴AB⊥B1C. ∴AB与B1C是异面垂直直线． 【答案】(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面垂直 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 67 如图，若P是△ABC所在平面外一点，PA≠PB，PN⊥AB，N 为垂足，M为AB的中点．求证：PN与MC为异面直线． 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 68 [贵州2018适应性考试]在正方体ABCD－A1B1C1D1中，过对角线AC1的一 个平面交BB1于点E，交DD1于点F，得四边形AEC1F，则下列结论正确的是(  ) A．四边形AEC1F一定是菱形 B．四边形AEC1F在底面ABCD内的投影不可能是正方形 C．四边形AEC1F所在平面不可能垂直于平面ACC1A1 D．四边形AEC1F一定不是梯形 【解析】只有当E，F分别是BB1，DD1的中点时四边形AEC1F才是 菱形，A错误；四边形AEC1F在底面ABCD内的投影一定是正方形， B错误；当E，F分别是BB1，DD1的中点时，EF⊥平面ACC1A1，此 时四边形AEC1F所在平面垂直于平面ACC1A1，C错误；四边形AEC1F 一定是平行四边形，不可能是梯形，D正确．故选D. 【答案】D 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 69 [山东泰安2018质量检测]已知m，n是两条不同直线，α，β， γ是三个不同平面，则下列命题正确的是(  )                    A．若m∥α，n∥α，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β C．若m∥α，m∥β，则α∥β D．若m⊥α，n⊥α，则m∥n 【解析】若m∥α，n∥α，则m，n可能平行、相交或异面，A 错误；若α⊥γ，β⊥γ，则α，β可能平行或相交，B错误；若 m∥α，m∥β，则α，β可能平行或相交，C错误；由线面垂直的 性质定理可得D正确．故选D. 【答案】D 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 70 考法例析 成就能力 考法 空间点、线、面位置关系的判定与证明 【答案】A 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 71 [安徽2015·5]已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命 题正确的是(  ) A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 【解析】对于A，垂直于同一个平面的两个平面可以相交，故A不正确；对 于B，平行于同一个平面的两条直线可以相交、异面或平行，故B不正确；对 于C，在α内存在平行于β的直线，故C不正确．故D正确． 【答案】D 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 72 【答案】②③④ 考点二 空间点、直线、平面之间的位置关系 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 74 1．直线与平面平行的判定定理 必备知识 全面把握 (1)判定定理 文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条 直线平行，则该直线与此平面平行． 图形语言：如图． 符号语言：  (1)该定理可简述为“线线平行，则线面平行”． (2)该定理包含三个条件：①直线a在平面α外，即a α；②直线b在 平面α内，即b α；③两直线a，b平行，即a∥b.三个条件缺一不可． 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 75 (2)直线与平面平行的画法 在画直线与平面平行时，通常把表示直线的线段画在表示平面的 平行四边形的外面，并且使它与平行四边形内的一条线段平行或 与平行四边形的一条边平行，如图． 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 76 2．直线与平面平行的性质定理 (1)性质定理 文字语言：一条直线与一个平面平行，则过这条直 线的任一平面与此平面的交线与该直线平行． 图形语言：如图． 符号语言： 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 (1)该定理可简述为“线面平行，则线线平行”． (2)定理中有三个条件：①直线a和平面α平行，即a∥α；②平面α，β相交， 即α∩β＝b；③直线a在平面β内，即aβ.三个条件缺一不可． (3)如图，过直线a可以作出无数个平面，它们与平面α分别相交于直线b′， b″，b″′，…(有无数条)，即a可以和α内的无数条直线平行，但不是平行 于α内的任意一条直线．平面α内凡是不与a平行的直线，都与a异面． 77 (2)定理的作用 ①作为证明线线平行的依据．当证明线线平行时，可以证明其中一条直 线平行于一个平面，另一条直线是过第一条直线的平面与已知平面的交 线，从而得到两条直线平行． ②作为画一条直线与已知直线平行的依据．如果一条直线平行于一个平 面，在平面内要画一条直线与已知直线平行，可以通过已知直线作一个 平面与已知平面相交，交线就是所要画的直线． 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 78 3．平面与平面平行的判定定理 (1)判定定理 文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行． 图形语言：如图． 符号语言： 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 79 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 80 4．平面与平面平行的性质定理 文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那 么它们的交线平行． 图形语言：如图． 符号语言： (1)该定理可简述为“面面平行，则线线平行”． (2)已知两个平面平行，虽然一个平面内的任何直线都平行于另一 个平面，但是这两个平面内的所有直线并不一定相互平行，它们可 能是平行直线，也可能是异面直线，但不可能是相交直线． 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 81 5．空间平行关系之间的转化 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 82 核心方法 重点突破 方法1 证明线面平行 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 83 如图，已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，M， N分别是A1B1，AB的中点，点P在线段B1C上，则NP与平面 AMC1的位置关系是(  ) A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．要依点P的位置而定 【解析】由题设知B1M∥AN且B1M＝AN，∴四边形ANB1M是平行四边形， ∴B1N∥AM，∴B1N∥平面AMC1. 又∵C1M∥CN，∴CN∥平面AMC1. 又∵CN∩B1N＝N，∴平面B1NC∥平面AMC1. 又∵NP平面B1NC，∴NP∥平面AMC1. 【答案】B 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 84 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD 是正方形，EF∥AB，EF⊥FB，AB＝2EF， ∠BFC＝90°，BF＝FC，H为线段BC的中点．求 证：FH∥平面EDB. 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 85 方法2 证明面面平行  考点三 直线、平面平行的判定及其性质 86 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 87   考点三 直线、平面平行的判定及其性质 88 考法例析 成就能力 考法 直线、平面平行的判定与性质 [天津2018·17]如图，AD∥BC且AD＝2BC， AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG且CD＝2FG， DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2. (1)若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE； (2)求二面角E－BC－F的正弦值； (3)若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线 段DP的长． 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 89 【解】依题意，可以建立以D为原点，以DA，DC，DG所在的直线分 别为x轴，y轴，z轴的正方向的空间直角坐标系(如图)，可得D(0，0， 0)，A(2，0，0)，B(1，2，0)，C(0，2，0)，E(2，0，2)，F(0，1， 2)，G(0，0，2)，M，1(3)，N(1，0，2)． 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 90 考点三 直线、平面平行的判定及其性质 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 92 1．直线与平面垂直 (1)直线与平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l⊥α.如图，其中，直线l叫做平面α的 垂线，平面α叫做直线l的垂面，唯一的公共点P叫做垂足． (1)定义中强调的是“任意一条直线”，它与“所有直线”是同义的， 但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直． (2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式． (3)虽然这样的定义给线面垂直的判定带来困难，但当已知直线与平面垂直时， 可以得到直线与平面内的任意一条直线都垂直的结论，给判定两条直线垂直带 来方便．如：若a⊥α，bα，则a⊥b，简述为“线面垂直，则线线垂 直”．这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法． 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 必备知识 全面把握 93 (2)重要结论 ①过一点有且只有一条直线与已知平面垂直 ②过一点有且只有一个平面与已知直线垂直 (3)直线与平面垂直的画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直．若 平面水平放置，则将直线画成与平行四边形的水平边垂直(如图(1))；若平面竖直 放置，则将直线画成与平行四边形的竖直边垂直(如图(2))． 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 94 2．直线与平面垂直的判定定理 (1)判定定理 文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直， 则该直线与此平面垂直． 图形语言：如图． 符号语言： (2)重要结论 如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也垂 直于这个平面． (1)该定理可简述为“线线垂直，则线面垂直”． (2)要证一条直线与一个平面垂直，只需在平面内找到两条相交直线都和该直线垂 直即可，不需要找到所有直线，而且这两条相交直线和已知直线是否有公共点也 是无关紧要的．在应用该定理判定一条直线和一个平面垂直时，一定要注意的是 这条直线和平面内的两条相交直线垂直，而不是任意的两条直线． 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 95 3．直线与平面垂直的性质定理 文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行． 图形语言：如图． 符号语言：  (1)直线与平面垂直的性质定理给出了一个证明两直线平行 的方法，即只需证明两条直线均与同一个平面垂直即可，简述为“线 面垂直，则线线平行”． (2)利用直线与平面垂直的性质定理可构造平行线，即让这些直线都 垂直于同一个平面． 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 96 4．直线与平面垂直的其他性质和结论 (1)垂直于同一条直线的两个平面互相平行． (2)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也和 另一个平面垂直． (3)如果一条直线和一个平面垂直，那么它与这个平面的平行 线垂直． 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 97 5．三垂线定理及其逆定理 (1)三垂线定理 文字语言：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线在 这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直． 图形语言：如图．  (2)三垂线定理的逆定理 文字语言：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那 么它也和这条斜线在平面内的射影垂直． 图形语言：如图． 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 98 6．平面与平面垂直的定义及表示 (1)定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平 面互相垂直 (2)画法及表示 在画两个互相垂直的平面时，通常把表示直立平面的平行四边形的竖边画 成与表示水平平面的平行四边形的横边垂直，如图，平面α与平面β垂直， 记作α⊥β. 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 99 7．平面与平面垂直的判定定理 文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直． 图形语言：如图． 符号语言： (1)该定理简述为“线面垂直，则面面垂直”． (2)判定平面与平面垂直的方法：①利用定义判断(证明)，即证明二面角的 平面角是直角；②利用平面与平面垂直的判定定理． (3)两个平面垂直的判定定理，不仅是判定两个平面互相垂直的依据，而且 也是找出与一个平面垂直的平面的依据． 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 100 8．平面与平面垂直的性质定理 (1)性质定理 文字语言：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与 另一个平面垂直． 图形语言：如图． 符号语言： (2)线线、线面、面面三种垂直关 系之间的转化 (3)平行、垂直的转化 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 101 9．平面与平面垂直的其他性质和结论 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 102 核心方法 重点突破 方法1 证明线面垂直 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 103 如图，四边形ABCD是矩形，SA⊥平面ABCD， E是SC上一点．求证：BE不可能垂直于平面SCD. 【证明】(反证法)假设BE⊥平面SCD. ∵CD平面SCD，∴BE⊥CD. ∵AB∥CD，∴AB⊥BE. 又∵AB⊥BC，BE平面SCB，BC平面SCB， BE∩BC＝B，∴AB⊥平面SCB. 又∵SB平面SCB，∴AB⊥SB，这与Rt△SAB中∠SBA为锐角矛盾， ∴BE不可能垂直于平面SCD. 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 104 [江苏2018冲刺练习]如图，在三棱锥P－ABC中， AC⊥BC，O为AC的中点，PO⊥底面ABC，M为AB的中点． (1)求证：AC⊥平面POM； (2)设E是棱PA上的一点，若PB∥平面EOM，求 的值． 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 105 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面 中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝ .  求证：A1C⊥平面BB1D1D. 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 2 106 方法2 证明面面垂直 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 107 [山东济南2018教学质量检测]如图，在四棱锥P－ABCD中， PA⊥底面ABCD，△ABD为等边三角形，CB＝CD，∠BCD＝120°.  (1)证明：平面PBC⊥平面PAB； (2)若PA＝AB＝4，求四棱锥P－ ABCD的表面积． 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 108 考法例析 成就能力 考法 直线、平面垂直的判定与性质 [课标全国Ⅰ2018·18]如图，四边形ABCD为正方形，E，F 分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P 的位置，且PF⊥BF. (1)证明：平面PEF⊥平面ABFD； (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值． 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 109 考点四 直线、平面垂直的判定及其性质 考点五 空间向量与立体几何 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 111 1．空间向量 (1)共面向量及共面向量定理 ①共面向量的定义：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． ②共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充 要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. (1)当p，a，b都是非零向量时，共面向量定理实际上也是p，a，b所在三 条直线共面的充要条件． (2)推论1和推论2与共面向量定理实质是一样的，只是形式不同，是证明M，A，B， P四点共面的重要理论依据和判定方法． 考点五 空间向量与立体几何 必备知识 全面把握 112 (2)空间向量的坐标表示 设e1，e2，e3为有公共起点O的三个两两垂直的单位向量(称它们为单位正交基 底)，以e1，e2，e3的公共起点O为原点，以e1，e2，e3的方向分别为x轴、y轴、 z轴的正方向建立空间直角坐标系O－xyz.那么，对于空间任意一个向量p，一 定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量 ＝p.由空间向量基 本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.我们把x，y， z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)． (1)写向量坐标的前提是建立空间直角坐标系，在坐标轴上取单位正交 基底． (2)写向量的坐标时，三个实数之间的顺序不可颠倒，如a＝(1，2，4)与b＝(4， 2，1)不是同一向量． (3)在同一空间直角坐标系中，某一向量的坐标是唯一确定的． 考点五 空间向量与立体几何 OP 113 考点五 空间向量与立体几何 114 2．空间角 考点五 空间向量与立体几何 115 (2)用几何法求空间角 ①异面直线所成角的求法 求异面直线所成的角分四步：作、证、求、结论． a．作角：选择适当的点，作异面直线中的一条或两条的平行线，使其 成为相交直线(即作出异面直线所成的角)，这里的点通常选择特殊位置的 点，如直线上某一线段的端点或中点，也可以是异面直线中某一条上的一 个特殊点． b．证明：证明作出的角就是要求的角． c．计算：求角度，常利用解三角形的知识． d．结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求的异面直线所成的角； 若求出的角是钝角，则它的补角就是所求的异面直线所成的角． 考点五 空间向量与立体几何 116 ②直线与平面所成的角的求法 直线与平面所成的角，一般先确定直线与平面的交点(斜足)，然后在直线上取 一点(除斜足外)作平面的垂线，再连接垂足和斜足(即得直线在平面内的射影)，最后 根据垂线、斜线、射影所组成的直角三角形，求出直线与平面所成的角． 上述步骤可以简记为：一作、二证、三求．其中，确定斜线 在平面内的射影是求解过程的关键． ③求二面角的平面角的步骤 a．找到或作出二面角的平面角； b．证明a中的角就是所求的角； c．计算出此角的大小． 以上步骤可概括为“一作、二证、三计算 考点五 空间向量与立体几何 117 考点五 空间向量与立体几何 118 考点五 空间向量与立体几何 119 核心方法 重点突破 方法1 异面直线所成角的求法 求异面直线所成的角常采用“平移法”与“向量法”． (1)平移法 ①平移找角(作角)； ②证明：推出所找(作)的角(或其补角)为异面直线所成角； ③求解：解三角形求出角的大小，注意异面直线所成角的取值范围． 其中，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线 段的端点或中点)作平行线平移；利用异面直线所在几何体的特点，补形平移． (2)向量法 使用范围更广，适用于异面直线所成的角不易作、垂直关系多的情况． 设异面直线a，b所成的角为θ，则 其中，a，b分别是直线a， b的方向向量． 考点五 空间向量与立体几何 120 【答案】B 考点五 空间向量与立体几何 121 考点五 空间向量与立体几何 122 考点五 空间向量与立体几何 123 方法2 线面角的求法 1．几何法求线面角的步骤 ①寻找过斜线上一点与平面垂直的直线，或过斜线上一点作平面的垂线，确 定垂足的位置； ②连接垂足和斜足得到斜线在平面内的射影，斜线与其射影所成的锐角或直 角即为所求的角； ③将该角归结为某个三角形的内角(一般是直角三角形)，通过解三角形(可 能需要解多个三角形)求得该角或其三角函数值，即sin θ＝ .其中，θ为 线面角，h为点B到平面α的距离，l为斜线段AB的长．如图(1)． 图(1) 考点五 空间向量与立体几何 l h 124 2．向量法求线面角的方法 如图(2)所示，设l为平面α的斜线，l∩α＝A，a为l的 方向向量，n为平面α的法向量，φ为l与α所成的角， 则sin φ＝ 考点五 空间向量与立体几何 125 [湖南、江西十四校2018联考]如图，已知棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1， 点E为线段CD1的中点，则直线AE与平面A1BCD1所成角的正切值为(  )                    【解析】连接AB1与A1B交于点F，则AF⊥平面A1BCD1.连接EF，则∠AEF 是直线AE与平面A1BCD1所成角，tan∠AEF＝ .故选A. 【答案】A 考点五 空间向量与立体几何 2 2 EF AF 126 方法3 二面角的求法 1．几何法求二面角 (1)找 ①点(定义法)：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内 分别作垂直于棱的射线．如图(1)，∠AOB为二面角α－l－β的平 面角．  ②线(三垂线定理法)：过二面角的一个面内一点作另一个平面的 垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角 或其补角．如图(2)，∠ABO为二面角α－l－β的平面角． (2)算 sin θ＝ ，如图(4)，θ为二面角的大小，h为点A到平面β的距离，d为点A到棱 l的距离． ③面(垂面法)：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角 的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平 面角．如图(3)，∠AOB为二面角α－l－β的平面角． 考点五 空间向量与立体几何 d h 127 2．向量法求二面角 考点五 空间向量与立体几何 128 考点五 空间向量与立体几何 129 方法4 空间距离的求法 求空间距离常用的方法 (1)几何法 ①直接法：利用线线垂直、线面垂直、面面垂直等性质定理与判定 定理，作出表示空间距离的垂线段，再通过解三角形求出距离．其 中，找垂足是作垂线段的关键，一般可借助线面垂直的判定定理作 面的垂线．因此，要善于挖掘条件中的线线垂直，用以作平面的垂 线段． ②间接法：利用“等积性”可求“点到面的距离”．因为点到面的 距离可转化为一个几何体的高，因此寻求一个体积易求的几何体， 利用V＝Sh或 求解出h，从而得到点到面的距离． 考点五 空间向量与立体几何 130 考点五 空间向量与立体几何 131 考点五 空间向量与立体几何 132 考法例析 成就能力 考法1 求异面直线所成的角 [课标全国Ⅱ2017·10]已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝120°， AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为(  ) 考点五 空间向量与立体几何 133 [浙江2018·8]已知四棱锥S－ABCD的底面是正方形，侧棱长均 相等，E是线段AB上的点(不含端点)．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平 面ABCD所成的角为θ2，二面角S－AB－C的平面角为θ3，则(  ) A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1 考点五 空间向量与立体几何 134 考法2 求线面角 [天津2016·17]如图，正方形ABCD的中心为O， 四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G 为AB的中点，AB＝BE＝2. (1)求证：EG∥平面ADF； (2)求二面角O－EF－C的正弦值； (3)设H为线段AF上的点，且AH＝ ，求直线BH 和平面CEF所成角的正弦值． 考点五 空间向量与立体几何 HF3 2 135 考点五 空间向量与立体几何 136 考法3 求二面角 考点五 空间向量与立体几何 137 考点五 空间向量与立体几何 138 考法4 求空间距离 [大纲全国2014·19]如图所示，三棱柱ABC－ A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝ 90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.  (1)证明：AC1⊥A1B； (2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为，求二面角A1－AB－ C的大小． 方法一：(1)【证明】因为A1D⊥平面ABC，A1D平面 AA1C1C，所以平面AA1C1C⊥平面ABC. 又因为BC⊥AC， 所以BC⊥平面AA1C1C. 如图所示，连接A1C.因为侧面AA1C1C为菱形，所以 AC1⊥A1C.由三垂线定理得AC1⊥A1B. 考点五 空间向量与立体几何 139 (2)【解】因为BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1， 所以平面AA1C1C⊥平面BCC1B1. 如图所示，作A1E⊥CC1，E为垂足，则A1E⊥平面BCC1B1. 又因为直线AA1∥平面BCC1B1， 考点五 空间向量与立体几何 140 考点五 空间向量与立体几何 141 考点五 空间向量与立体几何