高考理数完美复习专题七不等式完美

专题七 不等式 目 录 CONTENTS 考点一不等式的性质与基本不等式 考点二 常用逻辑用语 考点三 二元一次不等式(组)与简单的 线性规划问题 考点一 不等式的性质与基本不等式 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 必备知识 全面把握 考点一 不等式的性质与基本不等式 1．实数的有关基本性质 (1)正数大于零，零大于一切负数，负数小于正数．即 a是正数 a＞0； a是负数 a＜0；  a＞b. (2)正数中，绝对值较大的数较大；负数中，绝对值较大的数较小．即 当a＞0，b＞0时，|a|＞|b|a＞b； 当a＜0，b＜0时，|a|＞|b|a＜b. (3)正数的相反数是负数，负数的相反数是正数．即 a＞0 －a＜0； a＜0 －a＞0.  ,0 0   a b (4)两个实数比较大小的定义． 两个实数比较大小的几何形式的定义：在数轴上，右边的点表 示的数比左边的点表示的数大． 两个实数比较大小的代数形式的定义：对于任意的a，b∈R，有 a－b＞0 a＞b； a－b＝0 a＝b； a－b＜0 a＜b. (5)两个正数的和仍是正数；两个负数的和仍是负数．即 a＞0，b＞0 a＋b＞0； a＜0，b＜0 a＋b＜0. 考点一 不等式的性质与基本不等式 6 考点一 不等式的性质与基本不等式 (6)两数积为正，则两数同号；两数积为负，则两数异号， 其逆亦真．即 ab＞0 a＞0，b＞0或a＜0，b＜0； ab＜0 a＞0，b＜0或a＜0，b＞0. (7)除0外的任何数与它的倒数同号．即 a与 同号(a≠0)． (8)一个正数与另外任意一个实数的积、商，都与另外那个 数同号．即 当a＞0时，对任意实数b(b≠0)，则a·b，，与b同号． a 1 b a a b 考点一 不等式的性质与基本不等式 2．不等式的性质(包括“单向性”和“双向性”两个方面) (1)单向性： ①传递性：a＞b，b＞c a＞c. ②同向相加：a＞b，c＞d a＋c＞b＋d. ③乘法单调性： a＞b，c＞0 ac＞bc；a＞b，c＜0 ac＜bc. ④正同向相乘： a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd. 考点一 不等式的性质与基本不等式 ⑤乘方性：a＞b＞0an＞an(n∈N，且n＞1)． ⑥开方性：a＞b＞0  ＞ (n∈N，且n＞1)． (2)双向性： ①对称性：a＞b b＜a. ②加法单调性：a＞b a＋c＞b＋c. n a n b 考点一 不等式的性质与基本不等式 3．重要结论 考点一 不等式的性质与基本不等式 应注意的几个问题： ①要注意不等式性质成立的条件，不要“随心所欲”地弱化或强化条件． 例，在应用“a＞b，ab＞0 ＜ ”时，易弱化成“a＞b  ＜ ”或强化成 “a＞b＞0  ＜ ”． ②要注意条件的放宽和加强及条件和结论之间的相互联系. 例，乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd.把这一条件放宽为a＞b，c＞d，a， b，c，d中有三个正数时，ac＞bd仍成立．类似这样性质的研究能加深对不等式 性质的认识，才能深刻理解不等式的性质的“可靠性”，性质应用的“广泛性” 和性质的“局限性”． ③单向性主要应用于证明不等式；双向性是解不等式的基础． a 1 b 1 a 1 b 1 a 1 b 1 考点一 不等式的性质与基本不等式 4．一些常用的性质 考点一 不等式的性质与基本不等式 5．基本不等式 考点一 不等式的性质与基本不等式 考点一 不等式的性质与基本不等式 考点一 不等式的性质与基本不等式 考点一 不等式的性质与基本不等式 6．基本不等式与最值 4 2S 设x，y是正数，则有 (1)若 （和为定值），则当x＝y时，积xy取得最大值 ； (2)若 （积为定值），则当x＝y时，和x+y取得最小值 . 结论可简记为“和定积最大，积定和最小”，即两个正数的和 为定值时，则可求其积的最大值；积为定值时，可求其和的最小 值． Syx  Pxy  P2 考点一 不等式的性质与基本不等式 (1)a2＋b2≥2ab与2(a＋b)≥ 成立的条件是 不一样的，前者a，b可以是任意实数，后者a，b只能 是正数．两者中等号成立的条件均为a＝b. (2)要适当注意链式不等式： ≤ ≤ (其中 a，b∈(0，＋∞))，即调和平均数≤几何平均数≤算 术平均数≤平方平均数，且等号成立的条件都是a＝b.  ab ab ba 11 1  2 22 ba  方法1 不等式的性质及其应用  1、不等式的性质是后面学习的基础，只有透彻理解不等式性质的条件 和结论，才能找到正确、合理地答案. 2．判断有关不等式命题真假的方法： (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题与不等式的性质联系起来，运 用与命题相关的性质进行推理、判断． 核心方法 重点突破 考点一 不等式的性质与基本不等式 考点一 不等式的性质与基本不等式 3. 比较实数(代数式)大小的方法 (1)作差法． (2)作商法． (3)构造函数法． (4)中间值法、特殊值验证法． (2)利用函数的单调性：当直接运用不等式的性质不能比较 大小时，可运用函数(指数函数、对数函数、幂函数等)的 单调性进行判断． (3)特殊值验证法：对所要判断的几个式子中涉及的变量先 赋值再比较、判断． 考点一 不等式的性质与基本不等式 【解析】方法一：∵a＜b＜0，∴a－b＜0，a＜0， ∴a(a－b)＞0. 将 ＞ 两边同乘a(a－b)，可得a＞a－b. ∴b＞0，这与已知条件矛盾，故选B. a 1 ba  1 考点一 不等式的性质与基本不等式 方法二：(排除法)由a＜b＜0知ab＞0，于是有 ＞ ， ∴A成立；由a＜b＜0知－a＞－b＞0，∴|a|＞|b|，∴C成立； 由a＜b＜0知－a＞－b＞0，于是(－a)2＞(－b)2，即a2＞b2， ∴D成立．故选B. 或者由 － ＝ ＜0得 ＜ ，故B不成立．故选 B.方法三： (特殊值法)令a＝－2，b＝－1，代入A，B，C，D中，可知 选B. 【答案】B a 1 b 1 ba  1 a 1  baa b  ba  1 a 1 考点一 不等式的性质与基本不等式 考点一 不等式的性质与基本不等式 考点一 不等式的性质与基本不等式 例3 已知奇函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调递减的，α，β，γ∈R， 且α＋β＞0，β＋γ＞0，γ＋α＞0，试说明f(α)＋f(β)＋f(γ)的值与0的关系． 【解】∵α＋β＞0，∴α＞－β. 又∵函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是单调递减的， ∴f(α)＜f(－β)． 又∵函数f(x)在区间(－∞，＋∞)上是奇函数， ∴f(α)＜f(－β)f(α)＜－f(β)． ① 同理：由β＋γ＞0f(β)＜－f(γ)， ② γ＋α＞0f(γ)＜－f(α)． ③ 将①②③左右两边分别相加，得 f(α)＋f(β)＋f(γ)＜－[f(α)＋f(β)＋f(γ)]． ∴2[f(α)＋f(β)＋f(γ)]＜0， 即f(α)＋f(β)＋f(γ)＜0. 考点一 不等式的性质与基本不等式 例4 已知二次函数y＝f(x)的图像过原点且－1≤f(－1)≤1，3≤f(1)≤5， 求f(－2)的取值范围． 【分析】用待定系数法或解方程组思想，由f(－1), f(1)求出f(－2)的 取值范围． 考点一 不等式的性质与基本不等式 例4 已知二次函数y＝f(x)的图像过原点且－1≤f(－1)≤1，3≤f(1)≤5， 求f(－2)的取值范围． 考点一 不等式的性质与基本不等式 方法2 基本不等式及其应用 1、基本不等式有常用的变形公式，应注意各个公式的适用范围. 2、基本不等式的应用是求最值，需要注意：①一正、二定、三相等 ②积定和最小，和定积最大. 3、解法技巧：(1)已知恒等式，求最值问题，注意给出目标式子 与恒等式的关系．若目标式子是恒等式的一部分，则直接应用基本 不等式求解；否则，可以尝试“1”的代换、“减元”等方法的应 用． (2)构造利用基本不等式的形式，再对照基本不等式的使用条件， “一正”不满足时要乘－1变为正数，“二定”不满足时要凑定值， “三相等”不满足时要改用函数的图像或单调性求最值． 考点一 不等式的性质与基本不等式 28 考点一 不等式的性质与基本不等式 【答案】B 29 考点一 不等式的性质与基本不等式 30 考点一 不等式的性质与基本不等式 例7 某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1 800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费 900元． (1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？ (2)若提供面粉的公司规定：当一次性购买面粉不少于210吨时，其价格可享受 9折优惠(即原价的90%)，问该厂是否应考虑接受此优惠条件？请说明理由． 31 考点一 不等式的性质与基本不等式 【解】(1)设该厂应每x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的 保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋…＋6×2＋6×1]＝9x(x＋1)元． 设每天所支付的总费用为y1元，则 所以该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少． 32 考点一 不等式的性质与基本不等式 考法例析 成就能力 考点一 不等式的性质与基本不等式 考法例析 成就能力 本考点是高考的热点，常以不等式为载体与函数相结合考查，注 意不等式的等价变形；一般以选择题和填空题的形式出现，难度不 大． 考法1 不等式性质的应用 高考中对不等式性质的考查常与函数的单调性、命题、 充要条件等结合，多为判断不等式是否成立，实数(代数 式)大小的排序，命题真假判断或充要条件的判断． 34 例1 [课标全国Ⅲ2018·12]设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则 (  ) A．a＋b