专题十二 概率与统计
目 录
CONTENTS
考点一 随机事件的概率、古
典概型和几何概型
考点四 统计与统计案例
考点二 离散型随机变量及其
分布列、数学期望与方差
考点三 条件概率、独立性重
复试验、二项分布和正态分布3
2
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
必备知识 全面把握
核心方法 重点突破
考法例析 成就能力
必备知识 全面把握
(1)事件的分类
①必然事件：一般地，我们把在条件S 下，一定会发生的事
件，叫做相对于条件S 的必然事件，简称必然事件．如三角形
的内角和是180°，这个事件是必然事件．
②不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相
对于条件S 的不可能事件，简称不可能事件．如抛掷两次骰子，
朝上面的点数之和大于12，这个事件是不可能事件．
确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S 的确
定事件，简称确定事件．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
1．事件的分类及表示方法
5
③随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条
件S 的随机事件，
简称随机事件．如抛掷一枚骰子，朝上面的点数为2，这个事件是一个
随机事件．
(2)事件的表示方法
确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A，B，C……表示．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
1．事件的分类及表示方法
2.频率与概率
(1)事件的频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A出现的次数，称n
次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，事件A出现的比例 为事件
A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，当n很大时，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个
常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
(3)概率是一个确定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小.
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
n
nAf A
n
(1)概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关，
它度量该事件发生的可能性．
(2)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重
复试验得到的事件的频率不一定相同．
(3)频率是概率的估计值，在实际问题中，仅当试验次数足够
多时，频率可近似地看作概率．
7
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
3．事件间的关系及运算
对立事件是针对两个事
件来说的，是一种特殊的互
斥事件．一般地，若两个事
件对立，则这两个事件一定
是互斥事件；若两个事件互
斥，但这两个事件不一定是
对立事件．
8
4．概率的几个基本性质
①事件A的概率的取值范围
②必然事件的概率为1，不可能的事件概率为0，随机事件的概率在(0，1)范围内．
③当事件A与事件B互斥时，A∪B发生的频数等于A发生的频数与B发生的频数之和，
从而A∪B发生的频率fn(A∪B)＝fn(A)＋fn(B)．由此可得概率的加法公式：如果事件A
与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B).
④若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件，P(A∪B)＝1.再由概率的加
法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，得P(A)＝1－P(B)，其中与事件A互为对立事件的事
件B可记为 ，即P(A)＝1－P( ).
(1（1)概率加法公式的应用前提是“事件A与事件B互斥”，否则不
能使用．(2)概率公式P(A)＝1－P(B)的应用前提是“事件A与事件B
互为对立事件”，否则不能使用．
A A
.10 AP
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
9
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
5．古典概型
(1)基本事件
一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件．所有基本事件构成的集合
称为基本事件空间．基本事件空间通常用大写希腊字母Ω表示．
(2)基本事件的特点
①一次试验中只能出现一个基本事件．
②一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的．
③任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
(3)古典概型的概念及特点
具有以下两个特点的随机试验的概率模型称为古典概型．
①：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．
②：每个基本事件发生的可能性相等．
下列三类试验不是古典概型：(1)基本事件个数有限，但非等可能；(2)基
本事件个数无限，但等可能；(3)基本事件个数无限，也非等可能．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
(4)古典概型的概率公式
①在基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件发生的
概率都是相等的，即每个基本事件发生的概率都是n(1).
②如果随机事件A包含的基本事件数为m，由互斥事件的概
率加法公式可得P(A)＝n(m).
对于古典概型，随机事件A的概率为
.基本事件的总数
包含的基本事件的个数AAP
6．几何概型
几何概型是基本事件的个数是无限的，每个基本事件发生的可能性相等的一个
概率模型，这个概率模型的显著特点是每个事件发生的概率只与构成该事件区
域的长度(面积或体积)有关．
(1)几何概型的特点
①在一次试验中，基本事件的个数是无限的．
②每个基本事件发生的可能性相等．
(2)几何概型的概率计算公式
在几何概型中，随机事件A的概率为
古典概型与几何概型的异同
名称 古典概型 几何概型
相同点 每个基本事件发生的可能性相等
不同点 基本事件有有限个 基本事件有无限个
.体积度（的试验的全部结果所构成
或体积度（ 的A构成事件
）面积或区域长
）面积区域长AP
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
12
核心方法 重点突破
随机事件的频率与概率的常见题型及解题策略
(1)补全或列出频率分布表：可直接依据已知条件，逐一计
数，写出频率．
(2)由频率估计概率：先根据已知条件计算所求事件发生的
频数，再计算事件发生的频率，最后根据频率与概率的关
系，由频率直接估计概率．
(3)由频率估计某部分的数值：可由频率估计概率，再由概
率估算某部分的数值．
方法1 概率与频率关系的应用
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
13
例1 [课标全国Ⅲ2017·18]某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，
进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当
天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有
关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，
需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订
购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到了频数分布表：
最高气
温
[10，
15)
[15，
20)
[20，
25)
[25，
30)
[30，
35)
[35，
40)
天数 2 16 36 25 7 4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天
的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
14
【解】(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，
由表格数据知，最高气温低于25的频率为(2＋16＋36)/90＝0.6，所以估计六月
份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2×(450－300)－4×450＝300；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2×(450－200)－4×450＝－100.
所以，Y的所有可能值为900，300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率
为(36＋25＋7＋4)/90＝0.8，因此估计Y大于零的概率为0.8.
【反思】在实际问题中经常以频率估计概率，而频率根据频数除以总数得到．因
此求解本题应明确用频率估计概率，则概率等于频数除以总数．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
15
方法2 求互斥事件与对立事件概率的方法
(1)求简单的互斥事件、对立事件概率的方法
首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出所给的两个事件是互斥事件，
还是对立事件，再选择相应的概率公式进行计算．
(2)求复杂的互斥事件概率的两种方法
①直接法：将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和，运用互斥事件概
率的加法公式进行计算．
②间接法：运用逆向思维(正难则反)，先求此事件的对立事件，再用公式
P(A)＝1－P( )计算，特别是“至多”“至少”型题目，用间接法求解较
简便．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
16
例2 有5件产品，其中3件正品，2件次品，从中任取2件，则互斥而不对立的两个事件是
( )
A．至少有1件次品与至多有1件正品
B．恰有1件次品与恰有2件正品
C．至少有1件次品与至少有1件正品
D．至少有1件次品与都是正品
【解析】在A中，至少有1件次品与至多有1件正品能同时发生，不是互斥事件，故A错误；
在B中，恰有1件次品与恰有2件正品不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立
的两个事件，故B正确；
在C中，至少有1件次品与至少有1件正品能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
在D中，至少有1件次品与都是正品是对立事件，故D错误．
【答案】B
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
17
例3经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下表．
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
【解】记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等
候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人
以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．
(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A)＋P(B)＋
P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
(2)方法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D)＋
P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
18
方法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝
1－P(G)＝0.44.
【反思】(1)可转化为等候的人数为0人、1人和2人的概率和；(2)可转化为
等候的人数为3人、4人和5人及5人以上的概率和，
或转化为求其对立事件“至多2人排队等候”的概率，再用1减去此概率即
为所求概率．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
例3经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下表．
求：(1)至多2人排队等候的概率；
(2)至少3人排队等候的概率．
排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04
19
方法3 古典概型及其概率计算方法
(1)求古典概型概率的步骤
①判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；
②求出总的基本事件的个数n及事件A中包含的基本事件的个数m；
③计算事件A的概率P(A)＝ .
n
m
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
20
对于较为复杂的古典概型概率问题的处理方法：
①转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的概率加法公式求解；
②采用间接法，先求事件A的对立事件A的概率，再由P(A)＝1－P(A)求
事件A的概率．
(2)常用的求基本事件个数的方法
①普通列举法：把所有的基本事件一一列举出来，此方法适用于情况相
对简单的试验．
②列表法：是列举法的一种，借助表格，使结果更清晰明了．
③树状图法：逐次记录试验结果，适用于进行多次的试验．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
21
例4 [江西南昌2018复习测试]A，B，C，D四位妈妈相约各带一个小孩去
观看花卉展，她们选择共享电动车出行，每辆车只能载一大人和一小孩，
其中孩子们都表示不坐自己妈妈的车，则A的小孩坐C妈妈或D妈妈的车的
概率是( )
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
【解析】设A，B，C，D的小孩分别是a，b，c，d，所有的坐车方式为(Ab，Ba，Cd，
Dc)，(Ab，Bd，Ca，Dc)，(Ab，Bc，Cd，Da)，(Ac，Ba，Cd，Db)，(Ac，Bd，Ca，
Db)，(Ac，Bd，Cb，Da)，(Ad，Ba，Cb，Dc)，(Ad，Bc，Ca，Db)，(Ad，Bc，Cb，
Da)，共9种，其中A的小孩坐C妈妈或D妈妈的车有6种，其概率
【能力解法】A的小孩等概率坐B妈妈或D妈妈或C妈妈的车，故选D.
【答案】D
22
例5 将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6
的正方体玩具)先后抛掷3次，至少出现一次6点向上的概率是________．
【解析】根据题意，将一颗骰子先后抛掷3次，每次有6种情况，共6×6×6
＝216种情况．
记至少出现一次6点向上为事件A，则其对立事件A为没有一次出现6点向上．
事件A为先后3次抛掷同一颗骰子，向上的点数都不是6点，有5×5×5＝125
种情况，
【反思】利用古典概型求解概率问题时，若某一个事件的概率较难求解或
者情况比较复杂时，则常先求其对立事件的概率，再利用公式求这个事件的
概率．一般地，含有“至多”“至少”“不都”型的概率问题，利用对立事
件的概率公式较为简单．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
23
例6 已知集合M＝{－1，0，1，2}，从集合M中有放回地任取两元素x，
y作为点P的坐标．
(1)写出这个试验的所有基本事件，并求出基本事件的个数；
(2)求点P落在坐标轴上的概率；
(3)求点P落在圆x2＋y2＝4内的概率．
【分析】(1)因为是有放回地任取两个数，所以共有4×4＝16种取法，按规
律一一列举即可；(2)点P落在坐标轴上，即横坐标为0或纵坐标为0，从总的
基本事件中找出此事件包含的基本事件，利用古典概型的概率计算公式计算
即可；(3)找到满足x2＋y2＜4的点的坐标，其个数与总的基本事件数之比即
为所求事件的概率．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
24
【解】(1)“从M中有放回地任取两元素作为点P的坐标”，所有基本事件如表.
yx －1 0 1 2
－1 (－1，－1) (－1，0) (－1，1) (－1，2)
0 (0，－1) (0，0) (0，1) (0，2)
1 (1，－1) (1，0) (1，1) (1，2)
2 (2，－1) (2，0) (2，1) (2，2)
共有16个基本事件．
(2)用事件A表示“点P落在坐标轴上”这一事件，
则A＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(2，0)}，事件
A由7个基本事件组成，
所以P(A)＝ 所以点P落在坐标轴上的概率为
(3)用事件B表示“点P落在圆x2＋y2＝4内”这一事件，
则B＝{(－1，－1)，(－1，0)，(－1，1)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，
－1)，(1，0)，(1，1)}，事件B由9个基本事件组成，
所以P(B)＝ 所以点P落在圆x2＋y2＝4内的概率为 .
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
25
例7 小明准备到上海参观世博会博物馆，但只需要一名家长陪同前往，
爸爸、妈妈都很愿意陪同，于是商定用抛掷硬币的方法决定由谁陪同．每
次掷一枚硬币，连掷三次．
(1)用树状图列举三次抛掷硬币的所有结果．
(2)若规定：有两次或两次以上正面向上，由爸爸陪同前往上海；有两次
或两次以上反面向上，则由妈妈陪同前往上海．分别求由爸爸陪同小明前
往上海和由妈妈陪同小明前往上海的概率．
【分析】(1)列举出所有情况即可；(2)由有两次或两次以上正面向上的情
况占总情况的多少可求得爸爸陪同的概率，由有两次或两次以上反面向上
的情况占总情况的多少可求得妈妈陪同的概率．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
26
【解】(1)列树状图如下：
(2)由(1)可知，基本事件总数为8，有两次或两次以上正
面向上包含的基本事件数为4，
∴P(由爸爸陪同前往)＝
有两次或两次以上反面向上包含的基本事件数为4，
∴P(由妈妈陪同前往)＝
【反思】对于相对较复杂的概率问题，列树状图或表格能有
效避免列举不全的情况，使解题思路清晰明了．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
27
方法4 几何概型及其概率计算方法
(1)求解与长度、角度有关的几何概型的方法
①设线段l是线段L的一部分，向线段L上任投一点，点落在线段l上的
概率 ；
②当涉及射线的转动，如扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小
作为区域测度来计算概率，且不可用线段代替，这是两种不同的测
度．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
28
【解析】由题意知，小明在7：50至8：30 之间到达发车站，故他只能乘坐
8：00或8：30发的车，当小明到达时间在7：50至8：00，或8：20至8：30
时，小明等车时间不超过10分钟，所以他等车时间不超过10分钟的概率
【答案】B
例8 某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间
到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过
10分钟的概率是( )
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
29
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
30
方法4 几何概型及其概率计算方法
(2)与面积(体积)有关的几何概型
①求解与面积有关的几何概型的方法
求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题
意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到全部试验结果构成的平面图形，以
便求解．
②求解与体积有关的几何概型的方法
对于与体积有关的几何概型问题，关键是计算问题的总体积(总空间)以及事件
的体积(事件空间)，对于某些较复杂的问题也可利用其对立事件求解．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
31
【分析】由题意，本题是几何概型问题．首先求出试验的全部结果所
构成的区域Ω的面积，然后求出事件A所构成的区域的面积，利用几何
概型的概率计算公式求值．
例10 小明家订了一份报纸，送报人可能在早上6：30至7：30之间把报纸
送到小明家，小明离开家去上班的时间在早上7：00至8：30之间，问小
明在离开家前能得到报纸(称为事件A)的概率是多少？
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
32
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
33
考法例析 成就能力
考法1 求随机事件的概率
随机事件的频率与概率在高考中主要考查用样本的频率分布估
计总体频率分布，涉及频率分布直方图的概率问题，常用频率代
替概率．
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
34
记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率．
【解】旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为
(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62.
因此，事件A的概率估计值为0.62.
例1 [课标全国Ⅱ2017·19改编]海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖
方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单
位：kg)，其频率分布直方图如下：
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
35
【解析】从5支彩笔中任取2支共有10种取法，其中含有红色彩笔的取法有
红、黄，红、蓝，红、绿，红、紫，共4种．故所求的概率为
故选C.
例2 [天津2017·3]有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、
黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的
2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
【答案】C
考法2 求古典概型的概率
36
例3 [课标全国Ⅱ2016·8]某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，
红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15
秒才出现绿灯的概率为( )
考点一 随机事件的概率、古典概型和几何概型
【答案】B
【解析】此人来到该路口时，正好是红灯，若至少需要等待15秒，说明此时
距红灯开始时间小于等于25秒．所求概率P＝ .故选B.
考法3 求几何概型的概率
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
必备知识 全面把握
核心方法 重点突破
考法例析 成就能力
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
38
(3)连续型随机变量：如果随机变量可以取一个区间的一切值，那么称之为连
续型随机变量．
必备知识 全面把握
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
1．离散型随机变量的概念
(1)随机变量：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个试验结果都用
一个确定的数字表示．在这个对应关系下，数字随着试验结果的变化而变
化．像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量．随机变量通常用字
母X，Y，ξ，η，…表示．
(2)离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值我们按一定次序一一列
出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.
39
一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，
X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称下表为离
散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
(1)离散型随机变量分布列的性质：
①pi≥0，i=1,2，…，n；
②p1+p2+…pn=1；
③P(xi≤X≤xj)＝pi＋pi＋1＋…＋pj(iE(ξ乙)，在均值意义下，甲优于乙；若D(ξ甲)>D(ξ乙)，说明甲
的波动大于乙．若E(ξ甲)＝E(ξ乙)，且D(ξ甲)>D(ξ乙)，则乙优于甲．
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
52
例5 [安徽合肥2017第一次教学质检]某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，
有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．
方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为5(4).第一次抽奖，
若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继
续进行第二次抽奖．规定若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进
行第二次抽奖；若正面朝上，员工则进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若
中奖，获得奖金1 000元；若未中奖，则所获奖金为0元．
方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为 每次中奖均可获奖金400元．
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X(元)的分布列．
(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
53
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
54
方法5 综合应用概率知识求解离散型随机变量的概率问题
(1)求解离散型随机变量概率的综合问题，应充分利用古典概型的概率公式，
互斥事件、相互独立事件的概率公式，以及对立事件的概率公式等知识．
(2)求解离散型随机变量取某一值对应的概率时，若较难
直接求解此概率值，可根据分布列的性质及对立事件的概率公式求此概率．
(3)涉及两个线性随机变量之间的关系时，可利用其随机变量的概率、期望、
方差性质，如η＝aξ＋b，则E(η)＝aE(ξ)＋b，D(η)＝a2D(ξ)等．
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
55
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
56
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
57
考法例析 成就能力
考法1 服从两点分布的离散型随机变量的分布列、数学期望与方差
例1 [浙江2017·8]已知随机变量ξi满足P(ξi＝1)＝pi，P(ξi＝0)＝1－pi，i＝1，2.
若0＜p1＜p2＜ ，则( )
A．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
B．E(ξ1)＜E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
C．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＜D(ξ2)
D．E(ξ1)＞E(ξ2)，D(ξ1)＞D(ξ2)
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
58
例2 [山东2017·18]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评
价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随
机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通
过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作
用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，
B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．
(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；
(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学
期望E(X)．
考法2 服从超几何分布的离散型随机变量的分布列、数学期望与方差
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
59
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
60
考法3 离散型随机变量的分布列、数学期望与方差的综合应用
离散型随机变量的数学期望与方差是近几年高考中主要的概
率题型，几乎每套试题都要考．高考中此考点还经常以应用题
的形式出现，且有时还要对数学期望与方差的意义给出解
释．另外，由于计算量较大，考试时要确保计算正确．
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
61
例3 [北京2018·17]电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整
理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电
影的概率；
(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概
率；
(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等．用
“ξk＝1”表示第k类电影得到人们喜欢，“ξk＝0”表示第k类电影没有得到
人们喜欢(k＝1，2，3，4，5，6)．写出方差D(ξ1)，D(ξ2)，D(ξ3)，D(ξ4)，
D(ξ5)，D(ξ6)的大小关系．
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
62
【点拨】(1)应用概率的统计定义求解；(2)应用事件间的关系
“交”“并”“对立”表示所求事件，然后求概率；(3)考查两点分
布的应用，分布列与方差的计算．
【解】(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝
2 000，第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25＝50.
故所求概率为2 000(50)＝0.025.
(2)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为 ·(1－P(B))＋(1－P(A))P(B)．
由题意知P(A)估计为0.25，P(B)估计为0.2.
故所求概率估计为0.25×0.8＋0.75×0.2＝0.35.
(3)D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)＝D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6)．
考点二 离散型随机变量及其分布列、数学期望与方差
考点三 条件概率、独立性试验、二项分布和正态分布
必备知识 全面把握
核心方法 重点突破
考法例析 成就能力
考点三 条件概率、独立性试验、二项分布和正态分布
64
1．条件概率
公式P(B|A)＝ 既是条件概率的定义，也是条件概率
的计算公式．
(1)设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称 为在事件A发生的条件
下，事件B发生的条件概率．P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率．
(2)条件概率的性质：
①0≤P(B|A)≤1；
②若B和C是两个互斥事件，则P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)；
③必然事件的条件概率是1，不可能事件的条件概率为0.若事件A与B互斥，即
A，B不可能同时发生，则P(B|A)＝0.
必备知识 全面把握
考点三 条件概率、独立性试验、二项分布和正态分布
65
(1) (“AB”也可记为“A∩B”)．
(2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则这些事件同时发生的概率等于每个事件发
生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
(3)若事件A，B相互独立，则 也相互独立．
(4)若A与B相互独立，则P(B|A)＝P(B)，
P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝P(A)P(B)(P(A)>0)．
互斥事件与独立事件的区别：两事件互斥是指一个试验中的两个结果
在一次试验中不可能同时发生，即P(AB)＝0；两事件相互独立是指一个事件的
发生与否对另一个事件发生的概率无影响．
2．事件的相互独立性
BABABA 与与，与 ,
考点三 条件概率、独立性试验、二项分布和正态分布
66
(1)独立重复试验的概念
一般地，在相同条件下重复做的n次试验(各次试验的结果相互
独立)称为n次独立重复试验．
(2)独立重复试验必须满足两个特征：
①每次试验的条件完全相同，有关事件的概率保持不变；
②各次试验的结果互不影响，即各次试验相互独立．
3．独立重复试验与二项分布
考点三 条件概率、独立性试验、二项分布和正态分布
67
(3)二项分布的概念与分布列
一般地，在n次独立重复试验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中
事件A发生的概率为p(0
微信/支付宝扫码支付