高考理数完美复习专题十四推理与证明完美

专题十四 推理与证明 目 录 CONTENTS 考点 推理与证明 考点 推理与证明 必备知识 全面把握 核心方法 重点突破 考法例析 成就能力 必备知识 全面把握 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过 程叫做推理，推理是人们思维活动的过程． 考点 推理与证明 1．推理 分类：推理一般分为合情推理和演绎推理两种． 结构：推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假 设)，叫做前提；一部分是由已知推出的判断，叫做结论．推理 的一般形式为：前提推结论． (1)合情推理 1．推理 ①归纳推理 由某类事物的部分对象具有某 些特征，推出该类事物的全部对象 都具有这些特征的推理，或者由个 别事实概括出一般结论的推理，称 为归纳推理(简称归纳)．简言之， 归纳推理是由部分到整体、由个别 到一般的推理． 归纳推理可用框图表示，如图． 考点 推理与证明 ②类比推理 1．推理 由两类不同对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推 出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．简言之，类 比推理是由特殊到特殊的推理．也就是说，类比推理是根据两个不同对象在 某些方面的相似之处，推测出这两个对象在其他方面也可能有相似之处． 类比推理的一般步骤： 第一步，找出两类事物之间的相似性 或一致性； 第二步，用一类事物的性质去推测另 一类事物的性质，得出一个猜想； 第三步，检验这个猜想． 类比推理可用框图表示，如图． 考点 推理与证明 1．推理 结论 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联 想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把这两种推理统称为合 情推理，即合情推理是指“合乎情理”的推理．如：律师对案情的论证分析 就是合情推理． 合情推理的推理过程如图． 考点 推理与证明 8 1．推理 (2)演绎推理 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理 称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理． 三段论：“三段论”包含三个判断，其中第一段称为“大前提”，第 二段称为“小前提”，第三段称为“结论”． “三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提——已知的一般原理； 小前提——所研究的特殊情况； 结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断． 三段论推理的依据用集合的观点来讲，就是：若集合M的所有元素都 具有性质P，集合S是M的一个子集，则集合S中的所有元素也都具有性质P. 考点 推理与证明 9 1．推理 合情推理与演绎推理的区别 归纳推理和类比推理是常用的合情推理．从推理形式 上看，归纳推理是由部分到整体、个别到一般的推理， 类比推理是由特殊到特殊的推理；而演绎推理是由一般 到特殊的推理，三段论是演绎推理的一般模式．从推理 所得的结论来看，合情推理的结论不一定正确，有待进 一步证明；演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下， 得到的结论一定正确． 考点 推理与证明 10 2．证明 (1)直接证明 从命题的条件出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推断结论真实 性的证明方式，其主要证明方法有综合法和分析法． ①综合法 从题设的已知条件出发，运用一系列已确定真实性的命题(如定义、公 理、定理等)作为推理的依据，逐步推演而得到要证明的结论，这种证明方 法叫做综合法． 综合法的框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q 表示所需要证明的结论，则综合法可用框图表示为下图． 考点 推理与证明 11 2．证明 ②分析法 一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件， 直到最后，把要证明的结论归纳为判定一个明显成立的条件(已知条 件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法． 分析法的框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图 表示为下图． 考点 推理与证明 12 2．证明 综合法与分析法的区别和联系 区别：分析法的解题方向较为明确，利于寻找解题 思路；综合法条理清晰，宜于表述．因此，在实际解题 时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条 理地表述解题过程． 联系：综合法与分析法的思路是互逆的．综合法是 由条件出发去证结论，即“由因导果”，而分析法是由 结论出发去寻找使结论成立的充分条件，即“执果索 因”．习惯上，综合法的证明过程一般用“ ”表示， 分析法的证明过程一般用“ ”表示． 考点 推理与证明 13 2．证明 ②分析综合法 在解答较复杂的问题时，常常将分析法和综合法综合起来用，先用分 析法来寻找解题思路，再用综合法来表述解答或证明过程，即将分析法和 综合法结合起来用，互补优缺，这种思维方法称为分析综合法． 分析综合法的结构图如下： 分析综合法既是证明推理方法，又是探求方法． 用P表示已知条件、定义、定理、公理等，用Q表示要证明的结论，则 分析综合法可用框图表示为下图． 已知条件 中间结果 结论 考点 推理与证明 14 2．证明 (2)间接证明 不直接证明论题，而是通过证明其反论题的虚假性，或者通过证明论题 的等价命题，来确立论题正确性的证明方式，叫做间接证明，其主要方法是 反证法．反证法也叫归谬法，其推证过程就是推出矛盾的过程． 一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过 正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立， 这样的证明方法叫做反证法. 用反证法证明命题的基本步骤： 反设：假设命题的结论不成立，即结论的反面成立； 归谬：从这个假设出发，经过正确的推理论证，得出矛盾； 结论：因为推理正确，故产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，即结论 的反面不成立，从而肯定了结论的真实性． 考点 推理与证明 15 考点一 推理与证明 3．数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立；  ②(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也 成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 上述证明方法叫做数学归纳法． 用框图表示为下图． 16 核心方法 重点突破 方法1 合情推理 (1)归纳推理的一般思路：通过观察个别情况发现某些相同本质，从 已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．即 实验、观察 概括、推广 结论猜测一般性结论 考点 推理与证明 17 归纳推理问题的常见类型及解题策略 ①与数字有关的等式的推理．观察数字特点， 找出等式左右两侧的规律及符号可解． ②与不等式有关的推理．观察每个不等式的特 点，注意是纵向看，找到规律后可解． ③与数列有关的推理．通常是先求出几个特殊 项，采用不完全归纳法，找出数列的项与项数的关 系，列出即可． ④与图形变化有关的推理．合理利用特殊图形 归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪． 方法1 合情推理 考点 推理与证明 18 (2)类比推理常见的情形：平面与空间类比、低维与高维类比、等差数列与 等比数列类比、数的运算与向量运算类比、圆锥曲线间的类比等．即 观察、比较 联想、类推 猜想新结论 在进行类比推理时，不仅要注意形式的类比，还要注意方 法的类比，且要注意以下两点： ①找两类对象的对应元素，如三角形对应三棱锥、圆对应 球、面积对应体积等等； ②找对应元素的对应关系，如两条边(直线)垂直对应线面 垂直或面面垂直、边相等对应面积相等． 方法1 合情推理 考点 推理与证明 19 例1 观察图中各多边形图案，每个图案均由若干个全等的正六边形组 成，记第n个图案中正六边形的个数是f(n)． 由f(1)＝1，f(2)＝7，f(3)＝19，…，可推出f(10)＝(  ) A．271   B．272    C．273    D．274 【解析】由图可知，f(1)＝1，f(2)＝1＋2×6－6＝7，f(3)＝1＋(2＋ 3)×6－2×6＝19，f(4)＝1＋(2＋3＋4)×6－3×6＝37，…f(10)＝1＋ (2＋3＋4＋…＋10)×6－9×6＝271.故选A. 【答案】A 方法1 合情推理 考点 推理与证明 20 例2 [江西南昌2017三模]已知13＋23＝ ，13＋23＋33＝ ，13＋23＋ 33＋43＝ ，….若13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025，则n＝(  ) A．8 B．9 C．10 D．11 2 2 6      2 2 12      2 2 20      【解析】观察已知的等式，发现：等式的左边是连续自然数的立方和， 等式的右边是连续自然数的积的 的平方． ∵13＋23＋33＋43＋…＋n3＝3 025， ∴n2(n＋1)2＝ (2×55)2，∴n(n＋1)＝110，解得n＝10或n＝－11(舍)，故选C. 2 1 【答案】C 方法1 合情推理 考点 推理与证明 21 例3 设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径 为r，则r＝ . 类比这个结论可知：四面体P－ABC的四个面的面积分 别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为r，四面体P－ABC的体积为V， 则r＝(  ) A. B. C. D. cba S  2 4321 SSSS V  4321 2 SSSS V  4321 3 SSSS V  4321 4 SSSS V  【解析】设内切球的球心为O，所以可将四面体P－ABC分为四个小的四 面体，即O－ABC，O－PAB，O－PAC，O－PBC，以O为顶点，则四个小四 面体的底面积分别是四面体P－ABC的四个面的面积，高是内切球的半 径，所以V＝ ＝ ，∴r＝ ，故选C.rSrSrSrS 4321 3 1 3 1 3 1 3 1   rSSSS 43213 1  4321 3 SSSS V  【答案】C 方法1 合情推理 考点 推理与证明 22 例4 设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差 数列．类比以上结论，设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________， ________， 成等比数列．12 16 T T 方法1 合情推理 考点 推理与证明 23 方法2 演绎推理 在应用三段论推理来证明问题时，首先应该明确什么是问题中的 大前提和小前提．在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结 论必定是正确的． 在证明的过程中，往往大前提是隐含条件． 三段论证明的基本模式 ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理对特殊情况做出的判断． 考点 推理与证明 24 方法2 演绎推理 例5 某西方国家流传着这样的一个政治笑话：鹅吃白菜，参议员先生 也吃白菜，所以参议员先生是鹅．结论显然是错误的，是因为(  ) A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．非以上错误 【解析】∵大前提“鹅吃白菜”本身正确，小前提“参议员先生也吃 白菜”本身也正确，但小前提不是大前提下的特殊情况，即鹅与人不 能类比，∴不符合三段论推理形式，∴推理形式错误．故选C. 【答案】C 考点 推理与证明 25 例6 有个小偷在警察面前作了如下辩解：是我的录像机，我就一定能 把它打开．看，我把它打开了．所以它是我的录像机．请问这一推理 错在(  ) A．大前提   B．小前提     C．结论    D．以上都不是 【解析】根据演绎推理的模式知，大前提“是我的录像机，我就一定 能把它打开”错误．故选A. 【答案】A 方法2 演绎推理 考点 推理与证明 26 考点一 推理与证明 方法3 直接证明 直接证明主要包括分析法与综合法． (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题 设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命 题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性．综合 法的逻辑依据是演绎推理． (2)分析法证题的主要思想是逆向思考，通过反推，逐步寻找使结论 成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键． (3)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找 出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结 论，从而使原命题得证． 27 考点一 推理与证明 【解析】－α(x2－x1)