甘肃省2021届高三数学（文）下学期第一次高考诊断试题（Word版附答案）

2021 年甘肃省第一次高考诊断考试 文科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A＝{x|－10)的准线经过椭圆 2 2 9 5 x y ＝1 的右焦点，则 p＝ 。 16.函数 f(x)＝cos2x－ 3 sin2x，x∈R，有下列命题： ①y＝f(x)的表达式可改写为 y＝2cos(2x＋ 3  )； ②直线 x＝ 12  是函数 f(x)图象的一条对称轴； ③函数 f(x)的图象可以由函数 y＝2sin2x 的图象向右平移 6  个单位长度得到； ④满足 f(x)≤ 3 的 x 的取值范围是{x|－ 12  ＋kπ≤x≤ 3 4  ＋kπ，k∈Z}。 其中正确的命题序号是 。(注：把你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 Sn，an，3 成等差数列。 (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：对一切的正整数 n，有 2 4 2n 1 1 1 2>a a a 9   。 18.(本题满分 12 分) 如图，已知点 P 为正方形 ABCD 所在平面外一点，△PAD 是边长为 2 的等边三角形，点 E 是 线段 PD 的中点，平面 PAD⊥平面 ABCD。 (1)证明：PB//平面 AEC； (2)求三棱锥 P－AEC 的体积。 19.(本题满分 12 分) 2020 年 10 月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育 工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在 2021 年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球一分钟跳绳三项测 试，其中一分钟跳绳满分 20 分。学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了 100 名 学生测试，其成绩均在[165，215]间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如下表： (1)补全频率分布直方图。若每分钟跳绳成绩为 16 分，则认为该学生跳绳成绩不合格，求在进 行测试的 100 名学生中跳绳成绩不合格的人数为多少？ (2)学校决定由这次跳绳测试得分最高的学生组成“小小教练员”团队，小明和小华是该团队 的成员，现学校要从该团队中派 2 名同学参加某跳绳比赛，求小明和小华至少有一人被选派 的概率。 20.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别是 F1，F2，上、下顶点分别是 B1，B2， 离心率 e＝ 1 2 ，短轴长为 2 3 。 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)过 F2 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M，N，若 MN⊥B1F2，试求△F1MN 内切圆的面积。 21.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝ 1 2 x2－(a＋1)x＋alnx。 (1)当 a>0 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)设函数 g(x)＝ex－(a＋2)x＋2alnx－1－2f(x)，若 g(x)在[1，2]内有且仅有一个零点，求实数 a 的取值范围。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所 选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答 按所答第一题评分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 的坐标为(0，2)，直线 C1 的方程为： x tcos y 2 tsin       (其 中 t 为参数)。以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程 为：ρcos2θ＋4 3 cosθ－ρ＝0。 (1)将直线 C1 的方程化为普通方程，曲线 C2 的方程化为直角坐标方程； (2)若直线 C1 过点 Q( 3 ，－1)且交曲线 C2 于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M，求|PM|。 23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|2x＋a|，g(x)＝|x－b|。 (1)若 a＝1，b＝3，解不等式 f(x)＋g(x)≥4； (2)当 a>0，b>0 时，f(x)－2g(x)的最大值是 3，证明：a2＋4b2≥ 9 2 。