甘肃省2021届高三数学（理）下学期第一次高考诊断试题（Word版附答案）

2021 年甘肃省第一次高考诊断考试 理科数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号框涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号框。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合 A＝{x|x2－2x－30)的准线经过椭圆 2 2 19 5 x y  的右焦点，则 p＝ A.2 B.4 C.8 D.12 4.甲、乙两名射击运动爱好者在相同条件下各射击 10 次，中靶环数情况如图所示。则甲、乙 两人中靶环数的方差分别为 A.7，7 B.7，1.2 C.1.1，2.3 D.1.2，5.4 5.已知函数 f(x)＝x(ex－e－x)，则 f(x) A.是奇函数，且在(0，＋∞)单调递减 B.是奇函数，且在(0，＋∞)单调递增 C.是偶函数，且在(0，＋∞)单调递减 D.是偶函数，且在(0，＋∞)单调递增 6.已知 m，n 表示两条不同直线，α，β表示两个不同平面。设有四个命题：p1：若 m//α，m⊥n， 则 n⊥α；p2：若 m//α，n⊥α，则 m⊥n；p3：若 m//α，α⊥β，则 m//β；p4：若 m//α，m//β，则 α//β。则下列复合命题中为真命题的是 A.p1∧p2 B.  p1∧p4 C.p2∨p3 D.p3∨p4 7.由伦敦著名建筑事务所 Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建 筑完美结合造就的艺术品。若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线 2 2 2 2 1x y a b   (a>0，b>0)下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为 2，离心率为 2， 则该双曲线的渐近线方程为 A.y＝± 3 x B.y＝± 3 3 x C.y＝±x D.y＝±2x 8.已知α是第四象限角，且 sinα＝－ 5 5 ，则 cos(2α＋ 4  )＝ A.－ 2 10 B. 2 10 C.－ 7 2 10 D. 7 2 10 9.圆 x2＋y2＝4 上任意一点 M 到直线 3x＋4y－15＝0 的距离大于 2 的概率为 A. 1 6 B. 1 3 C. 2 3 D. 5 6 10.玉琼是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是 古人用于祭祀神衹的一种礼器。《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天， 以黄琮礼地”等文。如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径 2.0cm，外 径 2.4cm，通高 6.0cm，方高 4.0cm，则其体积约为(单位：cm3) A.23.04－3.92π B.34.56－3.92π C.34.56－3.12π D.23.04－3.12π 11.在△ABC 中，A＝120°，BC＝6，则△ABC 的面积的最大值为 A. 1 2 B.1 C. 3 3 2 D.3 3 12.若对任意的 x∈(1，＋∞)，不等式 eλx－ ln x  ≥0(λ>0)恒成立，则λ的最小值为 A. 1 e B. 2 e C. 1 2e D. 3 e 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.设 a＝ 2021log 2022 ，b＝ 1 20222021 ，c＝ 2022 1log 2021 ，则 a，b，c 的大小关系是 。 (按照从大到小的顺序排列) 14.已知向量 a 与向量 b 夹角为 60°，且|a|＝1，b＝(3，4)，要使 2a＋λb 与 a 垂直，则λ＝ 。 15.(1－2x)5(1＋x)4 展开式中 x3 的系数为 。 16.函数 f(x)＝cos2x－ 3 sin2x，x∈R，有下列命题： ①y＝f(x)的表达式可改写为 y＝2cos(2x＋ 3  )； ②直线 x＝ 12  是函数 f(x)图象的一条对称轴； ③函数 f(x)的图象可以由函数 y＝2sin2x 的图象向右平移 6  个单位长度得到； ④满足 f(x)≤ 3 的 x 的取值范围是{x|－ 12  ＋kπ≤x≤ 3 4  ＋kπ，k∈Z}。 其中正确的命题序号是 。(注：把你认为正确的命题序号都填上) 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共 60 分。 17.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＝1，Sn＝ 1 2 an＋1(n∈N*)。 (1)求 Sn； (2)设 bn＝ n3log S ，求使得 2 3 3 4 n 1 n 2 1 1 1 99>b b b b b b 400    成立的最小正整数 n。 18.(本题满分 12 分) 2020 年 10 月，中共中央办公厅、国务院办公厅印发了《关于全面加强和改进新时代学校体育 工作的意见》，某地积极开展中小学健康促进行动，发挥以体育智、以体育心功能，决定在 2021 年体育中考中再增加一定的分数，规定：考生须参加立定跳远、掷实心球一分钟跳绳三项测 试，其中一分钟跳绳满分 20 分学校为掌握九年级学生一分钟跳绳情况，随机抽取了 100 名学 生测试，其成绩均在[165，215]间，并得到如图所示频率分布直方图，计分规则如下表： (1)补全频率分布直方图，并根据频率分布直方图估计样本中位数； (2)若两人可组成一个小队，并且两人得分之和小于 35 分，则称该小队为“潜力队”，用频率 估计概率，求从进行测试的 100 名学生中任意选取 2 人，恰好选到“潜力队”的概率。 19.(本题满分 12 分) 如图，在四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 为梯形，PA＝PD＝2 2 ，DC＝AD＝2AB＝4， AB⊥AD，AB//CD，平面 PAD⊥平面 ABCD，E 为棱 PB 上一点。 (1)在平面 PAB 内能否作一条直线与平面 PAD 垂直？若能，请画出直线并加以证明；若不能， 请说明理由； (2)若 PE 1 PB 3  时，求直线 AE 与平面 PBC 所成角的正弦值。 20.(本题满分 12 分) 已知椭圆 C： 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的焦距为 4，且经过点 P(2，3)。 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 C 上存在两点 M，N，使得 PM 的斜率与 PN 的斜率之和为－1，直线 MN 是否过定 点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由。 21.(本题满分 12 分) 已知函数 f(x)＝ 1 2 x2－(a＋1)x＋alnx。 (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)设函数 g(x)＝2f(x)－(2a＋x)lnx＋2x－4a＋2，若 g(x)在[ 1 2 ，＋∞)上有两个零点，求实数 a 的取值范围。 (二)选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中选定一题作答，并用 2B 铅笔在答题卡上将所 选题目对应的题号方框涂黑。按所涂题号进行评分，不涂、多涂均按所答第一题评分；多答 按所答第一题评分。 22.(本小题满分 10 分)选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P 的坐标为(0，2)，直线 C1 的方程为： x tcos y 2 tsin       (其 中 t 为参数)。以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程 为：ρcos2θ＋4 3 cosθ－ρ＝0。 (1)将直线 C1 的方程化为普通方程，曲线 C2 的方程化为直角坐标方程； (2)若直线 C1 过点 Q( 3 ，－1)且交曲线 C2 于 A，B 两点，设线段 AB 的中点为 M，求|PM|。 23.(本小题满分 10 分)选修 4－5：不等式选讲 已知函数 f(x)＝|2x＋a|，g(x)＝|x－b|。 (1)若 a＝1，b＝3，解不等式 f(x)＋g(x)≥4； (2)当 a>0，b>0 时，f(x)－2g(x)的最大值是 3，证明：a2＋4b2≥ 9 2 。