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湘豫名校联考(2021 年 3 月)
数学(理科)试卷
注意事项：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准
考证号填写在答题卡上。
2.回答第 I 卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第 II 卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第 I 卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1.已知全集 U，集合 M，N 是 U 的子集，且 MØ N，则下列结论中一定正确的是
A(∁UM)∪(∁UN)＝U B.M∩(∁UN)＝ C.M∪(∁UN)＝U D.(∁UM)∩N＝
2.在复平面内，若复数 z 与 1
1 2
i
i
表示的点关于虚轴对称，则复数 z＝
A. 1 3
5 5 i B. 1 3
5 5 i C. 1 3
5 5 i D. 1 3
5 5 i
3.关于 x 的方程 x2－ax＋b＝0，有下列四个命题：
甲：x＝1 是方程的一个根；乙：x＝4 是方程的一个根；
丙：该方程两根之和为 3；丁：该方程两根异号。
如果只有一个假命题，则假命题是
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
4.在平面直角坐标系中定义点 P(x，y)的“准奇函数点”为 P'(2a－x，2b－y)，若函数 C 上所有
点的“准奇函数点”都在函数 C 上，则称函数 C 为“准奇函数”下列函数不是“准奇函数”
的是
A.f(x)＝cos(x＋1) B.f(x)＝ 2x 1
x 1
C.f(x)＝e|x| D.f(x)＝x
5.已知空间中不重合的直线 a，b 和不重合的平面α，β，下列判断正确的是
A.若 a//α，b//α，则 a//b B.若 a//b，b α，则 a//α
C.若 a⊥b，a⊥α，则 b//α D.若 a⊥α，a⊥β，则α//β
6.已知单位向量 a，b 满足 a·b＝0，若向量 c＝ 5 a＋ 3 b，则 sin＝
A. 10
4
B. 6
4
C. 5
8
D. 59
8
7.已知 x，y 满足约束条件
x y 0
x y 4 0
y 1
，则 z＝－2x＋y 的最大值是
A.－1 B.－2 C.－5 D.－7
8.下列函数中，同时满足以下两个条件①“∀x∈R，f(－
6
＋x)＋f(－
6
－x)＝0”；②“将图
象向左平移
12
个单位长度后得到的图象对应函数为 g(x)＝cos2x”的一个函数是
A.sin(2x＋ 5
6
) B.cos(2x＋
3
) C.cos(2x＋ 5
6
) D.sin(2x＋
3
)
9.在平面直角坐标系 xOy 中，A(3，0)，B(0，－3)，点 M 满足 OM xOA yOB ，x＋y＝1，
点 N 为曲线 y＝ 2x 2x 上的动点，则|MN|的最小值为
A.2 2 －1 B.2 2 C. 3 2
2
D. 3 2 12
10.已知双曲线 T 的焦点在 x 轴上，对称中心为原点，△ABC 为等边三角形。若点 A 在 x 轴上，
点 B，C 在双曲线 T 上，且双曲线 T 的虚轴为△ABC 的中位线，则双曲线 T 的渐近线方程为
A. 15
3y x B. 5
3y x C. 3
3y x D. 5
5y x
11.已知正方体棱长为 6，如图，有一球的球心是 AC1 的中点，半径为 2，平面 B1D1C 截此球
所得的截面面积是
A.π B.7π C.4π D.3π
12.数列{an}各项均是正数，a1＝ 1
2
，a2＝ 3
2
，函数 y＝ 1
3
x3 在点(an， 1
3
an3)处的切线过点(an＋2
－2an＋1， 7
3
an3)，则下列命题正确的个数是
①a3＋a4＝18； ②数列{an＋an＋1}是等比数列；
③数列{an＋1－3an}是等比数列； ④an＝3n－1。
A.1 B.2 C.3 D.4
第 II 卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.函数 f(x)＝3x－cosx 在(0，f(0))处的切线与直线 2x－my＋1＝0 垂直，则实数 m 的值
为 。
14.已知二项式(1＋x)n 展开式中只有第 7 项的二项式系数最大，则(1－x)(1＋x)n 展开式中一次
项系数为 。
15.已知等比数列{an}满足 a1－a3＝－ 8
27
，a2－a4＝－ 8
9
，则使得 a1a2…an 取得最小值的 n
为 。
16.已知过点 A(2，2)作直线 AB，AC 与圆 x2＋(y－2)2＝1 相切，且交抛物线 x2＝2y 于 B，C
两点，则 BC 的直线方程为 。
三、解答题：本大题共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21 题为
必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共 60 分。
17.(本小题满分 12 分)
如图，在△ABC 中，∠B＝60°，AB＝8，AD＝7，点 D 在 BC 上，且 cos∠ADC＝ 1
7
。
(1)求 BD；
(2)若 cos∠CAD＝ 3
2
，求△ABC 的面积。
18.(本小题满分 12 分)
甲、乙、丙三人组成“梦之队”参加市知识竞答比赛，每轮活动由甲、乙、丙各完成一道问
题，在每一轮活动中，如果三人都答对，则“梦之队”得 3 分；如果只有两个人答对，则“梦
之队”得 2 分；如果三人只有一个人答对，则“梦之队”得 1 分，如果三个人都没有答对，
则“梦之队”得 0 分。已知甲每轮答对的概率是 3
4
，乙每轮答对的概率是 2
3
，丙每轮答对的
概率是 1
2
；每轮活动中甲、乙、丙答对与否互不影响，各轮结果亦互不影响。假设“梦之队”
参加三轮活动，求：
(1)“梦之队”第一轮得分 X 的分布列和数学期望；
(2)“梦之队”三轮得分之和为 4 分的概率。
19.(本小题满分 12 分)
图 1 是由正方形 ABCD，Rt△ABE，Rt△CDF 组成的一个平面图形，其中 AB＝AE＝DF＝1，
将其沿 AB、CD 折起使得点 E 与点 F 重合，如图 2。
(1)证明：图 2 中的平面 ABE 与平面 ECD 的交线平行于底面 ABCD；
(2)求二面角 B－EC－D 的余弦值。
20.(本小题满分 12 分)
在平面直角坐标系中，已知椭圆 C：
2
3
x ＋y2＝1。如图所示，斜率为 k(k>0)且过点(－1，0)的
直线 l 交椭圆 C 于 A，B 两点，线段 AB 的中点为 E，射线 OE 交椭圆 C 于点 G，交直线 x＝
－3 于点 D(－3，m)。
(1)求证：mk＝1；
(2)若 F 在射线 OE 上，且|OG|2＝|OE|·|OF|，求证：点 F 在定直线上。
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f(x)＝ 3 x－2sinx＋ 3 －1(x>0)，g(x)＝( 3 －1)· 3xe ＋( 3 －1)x＋( 3 －
2)sinx。
(1)求 f(x)在[0，π]上的最小值；
(2)证明：f(x)>g(x)。
(二)选考题：共 10 分。请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计
分。
22.(本小题满分 10 分)[选修 4－4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x 2 3cos
y 2 3 2 3sin
(α为参数且α∈[－
2
，
2
]，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为ρ＝
4cosθ。
(1)说明 C1 是哪种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程；
(2)设点 A 的极坐标为(4 3 ，
2
)，射线θ＝γ(0
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