江西省八所重点中学2021届高三数学（文）4月联考试题（Word版附答案）

江西省八所重点中学 2021 届高三联考 文科数学试卷 2021.4 考试时间：120 分钟 分值：150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合 { 1 2}, { 2}A x x B x x    ‖ ∣ ∣ ，则 A B  （ ） A． (0,3) B． ( 1,4) C． (2,3) D． ( 1,3) 2．定义：若复数 z 与 z 满足 1zz  ，则称复数 z 与 z 互为倒数．已知复数 1 3 2 2z i  ，则 复数 z 的倒数 z  （ ） A． 1 3 2 2 i B． 1 3 2 2 i C． 1 3 2 2 i  D． 1 3 2 2 i  3．若 0.21 2021 20212021 , sin , log 0.215a b c   ，则（ ） A． c a b  B．b a c  C．b c a  D． c b a  4．已知向量 (3,4), ( , 5)a b x   ，若 (2 )a a b   ，则 x  （ ） A．0 B． 2 C． 10 D．6 5．已知角 终边经过点 ( 2, )P a ，若 3    ，则 a  （ ） A． 6 B． 6 3 C． 6 D． 6 3  6．执行如下图所示的程序框图，若输入的 x 为 9 ，则输出 y 的值为（ ） A．4 B．7 C．17 D．27 7．函数 1( ) cos 2f x x xx            的图象可能为（ ） A． B． C． D． 8．设地球表面某地正午太阳高度角为 ,  为此时太阳直射纬度， 为该地的纬度值，则有 90 | |     ．根据地理知识，某地区的纬度值约为北纬 27.95，当太阳直射南回归线 （此时的太阳直射纬度为 23.5  ）时物体的影子最长，如果在当地某高度为 0h 的楼房北边盖 一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两楼的距离应至少 约为 0h 的（ ）倍．（注意 tan38.55 0.80  ） A．0.5 倍 B．0.8 倍 C．1 倍 D．1.25 倍 9．在 ABC 中， 3, 5,AB BC D  为 BC 边上一点，且满足 3 2BD DC  ，此时 2 3ADC   ．则 AC 边长等于（ ） A． 7 B． 7 2 C．4 D． 19 10．已知正项数列 na 满足， nS 是 na 的前 n 项和，且 2 1 142n n nS a a   ，则 nS （ ） A． 2 15 4 4 n n B． 2 15 3 3 n n C． 23 5 2 2n n D． 2 3n n 11．已知 1 2,F F 是双曲线 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b     的左、右焦点， 2F 关于其渐近线的对称点 为 P ，并使得 1 14POF F PO   （O 为坐标原点），则双曲线的离心率 e  （ ） A．2 B． 3 C． 2 D． 2 3 3 12．已知函数 2ln 1( ) x mxf x x   有两个零点 a b、 ，且存在唯一的整数 0 ( , )x a b ，则实 数 m 的取值范围是（ ） A． 0, 2 e     B． ln 2 ,14 e    C． ln3 ,9 2 e e    D． ln 2e0, 4      二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．已知实数 ,x y 满足不等式组 3, 2 0, 4, x y x y x        则 2z x y  的最小值是_________． 14．如右图，根据已知的散点图得到 y 关于 x 的线性回归方程为 0.2y bx  ，则b  _______． 15．函数 7( ) cos sin 24f x x x      的最大值为_________． 16．在三棱锥 P ABC 中， 4, 8PA PB BC AC    ， AB BC ．平面 PAB  平面 ABC ，若球 Q 是三棱锥 P ABC 的外接球，则球O 的表面积为_____________． 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演箅步骤．第 17-21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共 60 分． 17．（本小题满分 12 分） 已知正项等比数列 na 的前 n 项和为 3 2 4, 7, 16nS S a a  ． （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 1 1b  ，当 2n  时， 2 2 1 1 log logn n n b a a   ，求数列 nb 的前 n 项和 nT ． 18．（本小题满分 12 分） 江西全面推进城市生活垃圾分类，在 2021 年底实现“零”填埋．据统计，截止 2020 年 4 月，全 省 11 个设区市有 1596 个党政机关、2008 个事业单位、369 个公共场所、373 个相关企业、51 个示范片区 1752 个居民小区开展了垃圾分类工作，覆盖人口 248.1 万人．某校为了宣传垃圾 分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，每位学生仅有一次参与机会， 通过抽样，得到 100 人的得分情况，将样本数据分成 [50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组，并整理得到如下频率分布直方图： 已知测试成绩的中位数为 75． （1）求 ,x y 的值，并求出测试成绩的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间中点值代替）； （2）现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出 6 人进行垃圾分类知识竟答活动，再从 中选出人进行一对一 PK，求抽出的两人恰好来自同一组的概率． 19．（本小题满分 12 分） 如图，四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形且 60ABC   ，平面 ABCD  平面 , , , 2, 1BDE AF BE AB BE AB BE AF   ∥ ． （1）求证： BE  平面 ABCD ； （2）求三棱锥 A DEF 的体积． 20．（本小题满分 12 分） 已知函数 2( ) ( 2) lnf x x a x a x    ． （1）当 2a  时，求函数 ( )f x 的单调区间； （2）若存在 [1, )x  ，使 ( )f x a 成立，求实数 a 的取值范围． 21．（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ，其上顶点与左右焦点 1 2F F、 围成的是面积为 3 的正三 角形． （1）求椭圆C 的方程； （2）过椭圆C 的右焦点 2F 的直线 l （ l 的斜率存在）交椭圆C 于 ,M N 两点，弦 MN 的垂直 平分线交 x 抽于点 P ，问： 2 | |MN PF 是否是定值？若是，求出定值：若不是，说明理由． （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答．如果多做，则 按所做的第一题计分． 22．（本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 2 2 4 4 42 x t t y t t        （t 为参数，且 0t  ），以 坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 cos 13       ． （1）写出曲线C 和直线 l 的直角坐标方程； （2）若极坐标方程为 ( )3 R   的直线与曲线C 交于异于原点的点 A ，与直线 l 交于点 B ，且直线 l 交 x 轴于点 M ，求 ABM 的面积． 23．（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 已知函数 ( ) | 2 2| | 1|f x x x    （1）解不等式 ( ) 5f x  ； （2）若 a b、 为正实数，函数 ( )f x 的最小值为 t ，已知 2 2a b t  ，求 1b a b  的最小值． 江西省重点中学协作体 2021 届高三第二次联考 数学（文）试卷参考答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C A D C C B A D D A D B 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13．5 14．1.6 15．2 16．80 三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17-21 题 为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． 17．【解析】 （1）∵数列 na 正项等比数列，设公比为 q ，且 2 2 4 30, 16q a a a    ， 即 2 3 1 4a a q  ， 2 分 又     3 2 1 2 3 1 2 1 1 71 71 4 a q q qS a q qq q          ， ，解得 2q  或 2 3  （舍） 5 分 又 1 1 1, 2n na a    ． 6 分 （2） 2 2 1 1 1 1 12, log log ( 1) 1n n n n b a a n n n n       ， 8 分 1 2 1 1 1 1 11 1 2 2 3 1n nT b b b n n              12 n   ． 11 分 当 1n  时也适合此式，所以 12nT n   12 分 18．【解析】 （1）∵中位数为 75 0.005 10 10 0.04(75 70) 0.5y      ， 0.025y  2 分 又 0.05 0.25 0.4 10 0.1 1, 0.02x x        4 分 平均数 55 0.05 65 0.25 75 0.4 85 0.2 95 0.1 75.5x            ． 6 分 （2）第四与第五组比例为 2:1，∴第四组抽选 4 人，记为 1、2、3、4，第五组抽选 2 人，记 为 a b、 ，所有基本事件为 (12) (13) (14) (1 ) (1 ) (23) (24),(2 ) (2 ),(34),(3 ),(3 ),(4 ),(4 ),( )a b a b a b a b ab、 、 、 、 、 、 、 共 15 种， 8 分 来自同一组的有： (12) (13) (14) (23),(24) (34) ( )ab、 、 、 、 、 共 7 种情况 10 分 故恰好来自同一组的概率 7 15P  ． 12 分 19．（1）∵四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形， AC BD  ， 又平面 ABCD  平面 BDE 且平面 ABCD 平面 ,BDE BD AC  平面 BDE ， AC BE  ，又 AB BE  ， ,AC AB A BE    平面 ABCD 6 分 （2） / /AF BE ， AF  平面 , A DEF E ADF B ADFABCD V V V    （ / /BE 面 ADF ）， 又 1 1 3 3 31 4 ,3 3 4 3 3B ADF F ABD ABD A DEFV V AF S V            ． 12 分 20．【解析】 （1） 22 ( 2)0, ( ) 2 ( 2) a x a x ax f x x a x x          (2 )( 1)x a x x   2 分 又 1, ( ) 02 a f x   时， 0 1x  或 , ( ) 0,12 2 a ax f x x    ， 4 分 ( )f x 在 (0,1), ,2 a    单调递增，在 1, 2 a     单调递减． 5 分 （2）∵存在 [1, )x  使 ( )f x a 成立， min( )a f x  由（1）可得， ①当 2a  时， 2 min( ) ln2 4 2 a a af x f a a a         即 ln 22 4 a a  ，令 1 1 2, ( ) ln ( 1), ( ) ( 1)2 2 2 2 a t tt t t t t tt t           ， ( )t 在 (1,2) 单调递增，在 (2, ) 单调递减， max( ) (2) ln 2 1 2t      恒成立， 即当 2a  时，不等式恒成立； 8 分 （另解：当 2a  时， ( )f x 在 1, 2 a     单调递减， ,2 a    单调递增， min( ) (1) 12 af x f f a a          ． 8 分） ②当 2a  时， ( )f x 在 [1, )x  单调递增， min 1( ) (1) 1 , 2f x f a a a       ， 1 22 a   ， 10 分 综合①②得 1 2a   ． 12 分 21．【解析】 （1） 1 2PF F 为正三角形， 1 2 23 (2 ) 3 14PF FS c c     且 1 , 22 c aa    ，∴椭圆C 的方程为 2 2 14 3 x y  ． 4 分 （2）依题意分析得 ①当直线 l 斜率不为 0 时，设其方程为 1x my  ，且    1 1 2 2, , ,M x y N x y ， 联立 2 2 1 14 3 x my x y     ，消去 x 得 2 23 4 6 9 0m y my    ，则 7 2 2 1 2 2 0 6 3 4 9 3 4 my y m y y m              ，且  1 2 1 2 2 82 3 4x x m y y m       ， 6 分 ∴弦 MN 的中点Q 的坐标为 2 2 4 3,3 4 3 4 m m m       ，则弦 MN 的垂直平分线为 2 2 4 3 3 4 3 4 my m x m m         ，令 0y  得 2 1 3 4px m   ，  2 2 2 3 11| | 1 3 4 3 4 m PF m m       ， 8 分 又  22 2 1 2 1 2 1 2| | 1 1 4MN m y y m y y y y          22 2 2 2 22 12 136 361 3 4 3 43 4 mmm m mm       ， | | 12 4| | 3 MN PF    ； 10 分 ②当直线 l 斜率为 0 时，易得 | || | 4,| | 1 4| | MNMN PF PF     ； 11 分 综合①②得 | | MN PF ∣ ∣是定值且为 4． 12 分 22．【解析】 （1）曲线C 的参数方程为 2 2 4 4 42 x t t y t t        （ t 为参数，且 0t  ）， 2 2 2 2 2 16 44 16 4 4 4y t t xt t           ，故其直角坐标方程为 2 4y x ； 3 分 直线 l 的极坐标方程为 cos 1, cos cos sin sin 13 3 3                    故其直角坐标方 程为 3 2 0x y   ． 5 分 （2） 对于曲线 C 的极坐标为 2 4cos sin   ， 6 分 A 的极径 2 4cos 83 3sin 3 A     ，即 8| | 3OA  ， 7 分 B 的极径 1 22cos 3 B    ，即| | 2OB  ， 8 分 1 8 3 4 3 1 32 , 2 2 32 3 2 3 2 2AOM BOMS S            9 分 故 4 3 7 333 3ABMS    ． 10 分 23．【解析】 （1） 1 3 ( 1) | 2 2| | 1| 3 ( 1 1) 3 1( 1) x x x x x x x x                3 分 | 2 2| | 1| 5x x     的解集为 4 ,23     ． 5 分 （2）由（1）可知 ( )f x 的最小值为 (1) 2f  ， 7 分 则 1a b  ，又 1 1 3b b a b b a a b a b a b        ， 9 分 当且仅当 1 2a b  时取等，所以最小值为 3． 10 分