江西省八所重点中学2021届高三数学（理）4月联考试题（Word版附答案）

江西省八所重点中学 2021 届高三联考 理科数学试卷 2021.4 考试时长：120 分钟 分值：150 分 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 已知复数 1 1 3 z i   ，则下列说法正确的是（ ） A. 复数 z 的实部为 1 2 B. 复数 z 的虚部为 3 4 i C. 复数 z 的共轭复数为 1 3 4 4 i D. 复数 z 的模为 1 4 2. 设集合   2 2 2021, 2020A x y x y      ，   , 2 xB x y y  ，则集合 A B 中元素的个数 为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. 若 0.212021a  ， 2021sin 5b  ， 2021log 0.21c  ，则（ ） A. c a b  B. b a c  C. b c a  D. c b a  4. 在区间 0,1 上随机取两个数 x 、 y ，则事件“ 2020y x ”发生的概率为（ ） A. 1 2020 B. 1 2021 C. 2019 2020 D. 2020 2021 5. 已知正项数列 na 满足， nS 是 na 的前 n 项和，且 2 1 142n n nS a a   ，则 nS  （ ） A. 2 15 4 4 n n B. 2 15 3 3 n n C. 23 5 2 2n n D. 2 3n n 6. 定义在 R 上的函数 ( )y f x 满足  6 ( )f x f x  ，   3 '( ) 0 3x f x x   ，若    0 1 0f f  ，则函数 ( )f x 在区间 5,6 内（ ） A. 没有零点 B. 有且仅有 1 个零点 C. 至少有 2 个零点 D. 可能有无数个零点 7. 在 nax x     的展开式中，只有第六项的二项式系数最大，且所有项的系数和为 0，则含 6x 的项系数为（ ） A. 45 B. -45 C. 120 D. -120 8. 已知点 1F ， 2F 分别是双曲线C ： 2 2 2 2 1( 0)16 x y aa a    的左、右焦点，点 M 是C 右支 上的一点.直线 1MF 与 y 轴交于点 P ， 2MPF△ 的内切圆在边 2PF 上的切点为Q ，若 2 3PQ  ，则C 的离心率为（ ） A. 5 3 3 B. 3 C. 3 3 2 D. 2 3 3 9. 在 ABC△ 中，内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c ，若角 A 、C 、 B 成等差数列， 角C 的角平分线交 AB 于点 D ，且 3CD  ， 3a b ，则 c 的值为（ ） A. 3 B. 7 2 C. 4 7 3 D. 2 3 10. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理 性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 0,1 均分为三段，去 掉中间的区间段 1 2,3 3      ，记为第一次操作：再将剩下的两个区间 10, 3      ， 2 ,13      分别均分为 三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作：…，如此这样，每次在上一次操作的基 础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行 下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于 1818 2021 ， 则操作的次数 n 的最大值为（ ）（参考数据： 42 0.19753      ， 52 0.13173      ， 62 0.08783      ， 72 0.05853      ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 11. 已知三棱锥 P ABC 的外接球的表面积为 64 ， 2AB  ， 2 3AC  ， AB AC ， 8PA  ，则三棱锥 P ABC 的体积为（ ） A. 8 B. 16 3 3 C. 8 3 3 D. 16 12. 已知函数   2 ( ) 0x xg x xe   ，则关于 x 的方程  2( ) 2 0 ( ) g x k k R g x     不可能有 （ ）个相异实根. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 用 1，2，3，4，5 五个数字组成无重复数字的五位数，其中偶数不在相邻数位上，则满足 条件的五位数共有____________个.（用数字作答） 14. 曲线 2 lny x x x   上任意一点 P 到直线 2 2 0x y   的最短距离为__________. 15. 给出下列命题 ： ①垂直于同一个平面的两个平面平行；②“ 0a b   ”是“ a  与b  夹角为钝角”的充分不必要 条件；③边长为 2 的正方形的直观图的面积为 2 ；④函数 2 2 4( ) sinsinf x xx   的最小值为 4；⑤已知 4tan 3   ，   1tan 3     ，则 tan 3  . 其中正确的有____________（填上你认为正确命题的序号） 16. 平面向量OA  、OB  、OC  ，满足 2 4OA OB   ，   2 0OC OA OC OB       ， 0OA OB   ，则对任意  0,2  ， 1 1cos sin4 2OC OA OB      的最大值为__________. 三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答，第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. 已知函数  ( ) sin 0, 06f x m x m        只能同时满足下列三个条件中的两个：① 函数 ( )f x 的最大值为 2；②函数 ( )f x 的图象可由 2 sin 2 4y x      的图像平移得到；③ 函数 ( )f x 图像的相邻两条对称轴之间的距离为 . （1）请写出这两个条件的序号，并求出 ( )f x 的解析式； （2）锐角 ABC△ 中，内角 A 、B 、C 所对的边分别为 a 、b 、c . 3A  ，  a f A ，求 ABC△ 周长的取值范围. 注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 如图所示，在三棱锥 P ABC 中，PC  平面 ABC ， 2PC  ， 2ACB   ，D ，E 分 别为线段 AB ， BC 上的点，且 2CD DE  ， 2 2CE EB  . （1）证明：平面 PDE  平面 PCD； （2）求锐二面角 A PD C  的余弦值. 19. 已知椭圆 E ：   2 2 2 2 1 0x y a ba b     .左焦点  1,0F  ，点  0,2M 在椭圆 E 外部，点 N 为椭圆 E 上一动点，且 NMF△ 的周长最大值为 2 5 4 . （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）点 B 、C 为椭圆 E 上关于原点对称的两个点， A 为左顶点，若直线 AB 、AC 分别与 y 轴交于 P 、Q 两点，试判断以 PQ 为直径的圆是否过定点.如果是请求出定点坐标，如果不过 定点，请说明理由. 20. 4 月 30 日是全国交通安全反思日，学校将举行交通安全知识竞赛，第一轮选拔共设有 A ， B ，C ， D 四个问题，规则如下： ①每位参加者计分器的初始分均为 10 分，答对问题 A ，B ，C ，D 分别加 1 分，2 分，3 分， 6 分，答错任一题减 2 分； ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于 8 分时，答题结束，淘汰出局；当累 计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，若累计分数仍不足 14 分 时，答题结束，淘汰出局，若累计分数大于或等于 14 分时，答题结束，进入下一轮； ③每位参加者按问题 A ，B ，C ，D 顺序作答，直至答题结束.假设甲同学对问题 A ，B ，C ， D 回答正确的概率依次为 3 5 ， 1 2 ， 1 3 ， 1 4 ，且各题回答正确与否相互之间没有影响. （1）求甲同学能进入下一轮的概率； （2）用 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求 的分布列和数学期望  E  . 21. 已知函数 ( ) lnf x x a x  ， ( ) ln 2xg x e x x   . （1）讨论函数 ( )f x 的单调性； （2）若  0 0g x  ，求 0 0lnx x 的值； （3）证明： 2ln xx x x e x   . （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. 22. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 3cos sin x y      （ 为参数）， 以坐标原点O 为极 点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 cos 13       . （1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （2）若直线l 与曲线 C 交于 M ， N 两点，设  2,0P ，求 1 1 PM PN  的值. 23. [选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 ( ) 2 4f x x x    . （1）求不等式 ( ) 8f x  的解集； （2）若 a ，b ，c 为正实数，函数 ( )f x 的最小值为t ，且满足 2 2a b c t   ，求 2 2 2a b c  的最小值. 江西省八所重点中学 2021 届高三联考理科数学答案 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C D D A B A D C B A D 二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13．72 14． 5 52 15．③⑤ 16． 122  三、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题，每 个试题考生都必须作答,第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分 17．（本小题满分 12 分） （1）函数   sin 6f x m x      同时满足的条件为①③ ………2 分 由题意可知条件①②互相矛盾，故③为函数   sin 6f x m x      满足的条件之一.由③可 知， 2T  ，所以 1  ，与②中 2  矛盾，所以函数   sin 6f x m x      同时满足的条件 ①③.又由①可知 2m  ，所以   2sin 6f x x     . ………5 分 =2 sin( ) 2,3 6 2 4 3,sin sin sin 3sin 3 4 43 sin , 3 sin ,3 3 4 42 3 sin 3 sin3 3 4 42 3 sin 3 sin( ) 4 sin( ) 23 3 3 6 0 22 2 6 2 3 6 30 3 2 a b c a B C A b B c C ABC L a b c B C B B B B B B C B ABC                                                  由 （ 1） 由 正 弦 定 理 得 ， 则 设 周 长 为 L, 由 得 ， 所 以 2 3 +2 6]周 长 范 围 为 （ ， 18．（本小题满分 12 分） ………12 分 ………10 分 ………8 分 （2） （1） 证明： 222 422 CECDDE  DECD  又 PC 平面 ABC ,且 ABCDE 平面 , DEPC  , 又 CCDPC 于点交 , PCDDE 平面 , PDEDE 平面 , PCDPDE 平面平面  ………4 分 （2） 以点C 为坐标原点CA为 x 轴，CB为 y 轴，CP为 z 轴建立空间直角坐标系， 过点 D 做 AC 的平行线交CE于点 H ， H 为CE中点，由三角形相似可得 2 3AC ， )2,0,2 3(),0,1,2 1()2,0,0(),0,1,1(),0,0,2 3(  APADPDA ………6 分 设平面 PAD 的法向量为  zyxn ,, ,02 1  yx 3 2 0,2 x z   ,解得      2 3,1,2n 又 PCDDE 平面 平面 PCD的法向量与 DE 共线 平面 PCD的法向量为 DE = )0,1,1( ， ………8 分 29 58 24 941 1,cos    DEn ………11 分 锐二面角 CPDA  的余弦值为 29 58 ． ………12 分 19. （本小题满分 12 分） 解： (1) 134 22  yx ……… 4 分 (2) 由对称性可知,如果存在定点满足题设条件,则该定点必在 x 轴上 可设定点: ),0,(tT BC 两点关于 x 轴对称,可设 ),(),,( 0000 yxCyxB  )2( 0 x ),2()2(: 00  xyxylAB ),2 2,0( 0 0  x yP 同理可得 )2 2,0( 0 0   x yQ ……… 6 分 PQT在以点 为直径的圆上, QTPT  ,代入可得: 0 4 4 )2)(2( 4 2 0 2 0 00 2 02     x ytxx yt , 又 因 为 点 CB、 在 椭 圆 上, 4 33 2 0 0 xy  ……… 10 分 代 入 0 4 4 2 0 2 0    x yt 可 得 32 t  圆 过 定 点 ）（ 0,3 或 ）（ 0,3- ………12 分 20.（本小题满分 12 分） 解:设 A，B，C，D 分别为第一，二，三，四个问题．用 iM (i ＝1，2，3，4)表示甲同学第 i 个问题回答正确，用 iN (i ＝1，2，3，4)表示甲同学第i 个问题回答错误，则 iM 与 iN 是对立 事件(i ＝1，2，3，4)．由题意得，P(M1)＝ 3 5 ，P(M2)＝ 1 2 ，P(M3)＝ 1 3 ，P(M4)＝ 1 4 ， 所以 P(N1)＝ 2 5 ，P(N2)＝ 1 2 ，P(N3)＝ 2 3 ，P(N4)＝ 3 4 . （1）记“甲同学能进入下一轮”为事件 Q， Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋ N1M2N3M4， ……… 2 分 P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4) ＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4) ＝ 3 5 × 1 2 × 1 3 ＋ 2 5 × 1 2 × 1 3 × 1 4 ＋ 3 5 × 1 2 × 1 3 × 1 4 ＋ 3 5 × 1 2 × 2 3 × 1 4 ＋ 2 5 × 1 2 × 2 3 × 1 4 ＝ 9 40 . ………6 分 （2）由题意，随机变量ξ的可能取值为 2，3，4.由于每题答题结果相互独立， ……… 7 分 所以 P(ξ＝2)＝ 1 5 ， ………8 分 P(ξ＝3)＝ 3 5 × 1 2 × 1 3 ＋ 3 5 × 1 2 × 2 3 ＝ 3 10 ， ………9 分 P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝ 1 2 . ………10 分 随机变量ξ的分布列为 ξ 2 3 4 P 1 5 3 10 1 2 所以 E(ξ)＝ 10 33 2 1410 335 12  . ……… 12 分 21．（本小题满分 12 分） .,0)(0 R)(0)(0 )0(1)()1( ）单调递增）单调递减，在（，在（时，当 上单调递增，在恒成立，则时，当    aaxfa xfxfa xx ax x axf （2）法一： 若 0 0ln 0x x  时， 0 0 0 0 0 0ln 0x xx x x e e x         所以 0 0 xe x   0 0ln 0x x  与 0 0 02 ln 0xe x x    矛盾； 若 0 0ln 0x x  时， 0 0 0 0 0 0ln 0x xx x x e e x         所以 0 0 xe x   0 0ln 0x x  与 0 0 02 ln 0xe x x    矛盾； 当 0 0ln 0x x  时， 0 0 0 0 0 0ln 0x xx x x e e x         得 0 0 02 ln 0xe x x    ，故 0 0ln 0x x  成立， ……… 3 分 法二: 00 ln20 xxe x  000 ln0 xxxe x   00 lnln 00 xxee xx     xxxf ln 是增函数，    0 0 xfef x  ， 0 0 xe x   即 0ln 000 0  xxxe x ……… 7 分 （3）证明：要证 2ln xx x x e x   ，即证 2 ln 0xe x x x x     ， 设   2 lnxh x e x x x x    ， 0x  ．   2 lnxh x e x x    ，令    g x h x    12 0xg x e x     ，所以函数   2 lnxh x e x x    单调递增， 又 11 2 1 0eh ee e          ，   11 2 0h e      ， 故   2 lnxh x e x x    在 1 ,1e      上存在唯一零点 0x ，即 0 0 02 ln 0xe x x    ． ……… 9 分 所以当  00,x x ，   0h x  ， 当  0,x x  时，   0h x  ， 所以函数  h x 在  00,x x 上单调递减，函数  h x 在  0,x x  上单调递增， 故     0 2 0 0 0 0 0lnxh x h x e x x x x     ， ……… 11 分 由 0 0 02 ln 0xe x x    ，得 得     0 0 0 01 ln 0h x x x x    ，所以   0h x  ，即   2xf x e x  ． ……… 12 分 （二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题 计分. 22．[选修 4—4：坐标系与参数方程] （1）由曲线 C 的参数方程得      y x   sin 3cos ， 两式平方再相加可得曲线 C 的普通方程为 19 2 2  yx ； 直线 l 的极坐标方程可化为 ,2sin3cos   ∴ 直 线 l 的 直 角 坐 标 方 程 为 023  yx ………4 分 （2）由（1）知：直线 l 的参数方程为 ，为参数 )( 2 1 2 32 t ty tx        代入 19 2 2  yx 整理得： 05323 2  tt ，而 P（2，0），直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，设 1PM t ， 2PN t ， 即有 .3 5,3 32 2121  tttt 所以 21 21 21 2111 tt tt tt tt PNPM PNPM PNPM    5 26 3 5 )3 5(4)3 32(4)( 2 21 21 2 21    tt tttt …… …10 分 23．[选修 4—5：不等式选讲] 可化为：      842 4 xx x 或      842 24 xx x 或      842 2 xx x ， 解得： 45  x 或 24  x 或 32  x ， 所以，不等式的解集为 3,5 . ………5 分 （2）因为 .6)4()2(42)(  xxxxxf . ………6 分 所以 ( )f x 的最小值为 6t ，即 622  cba ， 由柯西不等式得： .366)22()122)(( 22222222  cbacba ， 当且仅当 ,22 cba  ，即 3 2,3 4  cba 时，等号成立， 所以 2 2 2a b c  的最小值为 4. ………10 分