2021年新高考数学 高三冲刺模拟卷04（江苏专用）（解析版）

第 1 页 共 16 页 绝密★启用前 2021 年新高考数学 高三冲刺模拟卷 04（江苏专用）数学 （考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦 干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1．已知集合 A＝{x|x＞2}，B＝{0，1，2，3，4}，则 BACR )( （ ） A．{3，4} B．{2，3，4} C．{0，1} D．{0，1，2} 【答案】D 【解析】∵A＝{x|x＞2}，B＝{0，1，2，3，4}，∴∁ RA＝{x|x≤2}，（∁ RA）∩B＝{0，1，2}． 故选：D． 2．已知复数 bii ai  42 ，a，b∈R，则 a+b＝（ ） A．2 B．﹣2 C．4 D．6 【答案】D 【解析】∵ bii ai  42 ，∴2+ai＝i（4﹣bi）＝b+4i，则 a＝4，b＝2，故 a+b＝6． 故选：D． 3.命题 :p 关于 x 的不等式 2 1 0ax ax x   ＜ 的解集为   1, 1 ,a       的一个充分不必要条件是（ ） A. 1a ≤ B. 0a＞ C. 2 0a ＜ ＜ D. 2a ＜ 【答案】D 【解析】由题意知命题 p 即  1 1 0ax x   的解集为  1, 1 , ,a         其充要条件为 0, 11 , a a  „ 得 1.a „ 因为 , 2   , 1  第 2 页 共 16 页 所以 2a   是 1a „ 的一个充分不必要条件. 4． 4)2 1()1(  xxx 的展开式中 x 的系数是（ ） A．10 B．2 C．﹣14 D．34 【答案】C 【解析】∵ ＝（1﹣x）• ＝（1﹣x）•（ •x4+ •x3+ •x2+••+ • ）， 故展开式中 x 的系数是 ﹣ ＝﹣14，故选：C． 5．《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深 奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源．河图的排列结构如图所示，一与六 共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈数为阳数， 黑点数为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值大于 5 的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为阳数为：1，3，5，7，9，阴数为：2，4，6，8，10， 所以从阴数和阳数中各取一数的所有组合共有：5×5＝25 个， 满足差的绝对值大于 5 的有：（1，8），（3，10），（7，1），（9，2），共 4 个，则 P＝ ． 故选：A． 6．函数 2 ( )( ) 1 x xx e ef x x   的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 第 3 页 共 16 页 【解析】     2 2 e e e e ( ) ( )1 1 x x x xx x f x f xx x          ， ( )f x 是偶函数，排除 A， 0x  时， e ex x ，即 e e 0x x  ，当 1x  时， 又有 2 1 0x   ，因此 ( ) 0f x  ，排除 B，C，故选 D． 7．点 M 为抛物线 21 4y x 上任意一点，点 N 为圆 2 2 32 04x y y    上任意一点，若函数      log 2 2 1af x x a    的图象恒过定点 P ，则 MP MN 的最小值为（ ） A． 5 2 B．11 4 C．3 D．13 4 【答案】A 【分析】计算  1,2P  ，则 1 1 2 2MP MN MP MF PD      ，计算得到答案. 【解析】函数      log 2 2 1af x x a    的图象恒过定点 1,2 ，故  1,2P  . 21 4y x ，即 2 4x y ，焦点为  0,1F ，准线为 1y   ， 2 2 32 04x y y    ，即  22 11 4x y   . 1 1 1 532 2 2 2MP MN MP MF PD         ，当 PMD 共线时等号成立. 故选： A . 8．已知函数 0( ) 0 x x x e xf x x e x       ， ， ，如果关于 x 的方程 2[ ( )] ( ) 1 0f x t f x    (t R )有四个不等的实 数根，则 t 的取值范围（ ） A． 1( )e e   ， B． 1( 2)e e   ， C． 1(2 )e e ， D． 1( )e e   ， 【答案】A 【解析】构造新的函数 ( ) xg x x e  ， ( )g x 的定义域为 R ， ( ) ( 1) xg x x e    ， 第 4 页 共 16 页 令 ( ) 0g x  得 1x   ，当 1x   时， ( ) 0g x  ，则 ( )g x 在 ( 1 )  ， 上单调递增， 当 1x   时， ( ) 0g x  ，则 ( )g x 在 ( 1) ， 上单调递减， ∴ ( )g x 在 1x   处取得极小值也是最小值，又 1( 1)g e - = - ， (0) 0g  ， 当 x   时 ( )f x   ，当 x   时 ( ) 0f x  恒成立，则做 ( )g x 的图像如图， 又 0( ) 0 x x x e xf x x e x       ， ， ，则当 0x  时， ( )f x 的图像为 ( )g x 的图像向上翻折所得到，则 ( )y f x 的图 像如图， 令 ( )m f x ，则原方程化为 2 1 0m tm   ，设 2( ) 1h m m tm   由 ( )f x 图象知当 10 m e   时 y m 与 ( )y f x 有 3 个交点， 当 1m e  或 0m  时 y m 与 ( )y f x 有1个交点， ∴又当 0m  时 ( ) 0h m  ，∴ 2[ ( )] ( ) 1 0f x t f x    有四个不等的实数根等价于： 2 1 0m tm   有两个不相等实数根 1m ､ 2m ，且 1 1(0 )m e  ， ､ 2 1( )m e   ， ， 则 2 (0) 1 0 1 1 1 0 h th e e e                  ，解得 1t e e    .故选：A. 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全 部选对的得 5 分。部分选对的特 2 分，有选错的得 0 分。 9. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图. 图中 A 点表示十月的平均最高气温约为15℃， B 点表示四月的平均最低气温约为5℃.下面叙述正确的有 （ ） 第 5 页 共 16 页 A. 各月的平均最低气温都在 0℃以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大 C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于 20℃的月份有 5 个 【答案】ABC 【解析】对于选项 A，由图易知各月的平均最低气温都在 0℃以上，A 正确； 对于选项 B，七月的平均最高气温点与平均最低气温点间的距离大于一月的平均最高气温点与平均最低气 温点间的距离，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确； 对于选项 C，三月和十一月的平均最高气温均为10℃，所以 C 正确； 对于选项 D，平均最高气温高于 20℃的月份有七月､八月，共 2 个月份，故 D 错误. 故选：ABC. 10．下列命题为真命题的是（ ） A．若 a＞b，则 2 2ac bc B．若 a＜b＜0，则 2 2a ab b  C．若 c＞a＞b＞0，则 a b c a c b   D．若 a＞b＞c＞0，则 a a c b b c   【答案】CD 【解析】当 c＝0 时，A 不成立；不等式两边同时乘以一个负数，不等号方向要改变，故 B 错误；易得 a b b c a c a c b     ，故 C 正确；因为 ac bc ，则 ab ac ab bc   ， 即 ( ) ( )a b c b a c   ，所以 a a c b b c   ，D 正确．综上，选 CD． 11．已知函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，0＜φ＜π）图象的两条相邻的对称轴之间的距离 ， 下列结论正确的是（ ） A． 第 6 页 共 16 页 B．将函数 y＝f（x）的图象向右平移 个单位后得到函数 y＝sin2x 的图象 C．当 时，f（x）有且只有一个零点 D．f（x）在 上单调递增 【答案】ACD 【解析】函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（其中ω＞0，0＜φ＜π）图象的两条相邻的对称轴之间的距离 ， 所以 T＝π， 对于 A：根据周期公式，解得ω＝2．故 φ）＝1，解得φ＝ ． 故函数的关系式为 ，故 A 正确； 对于 B：函数的图象向右平移 个单位得到 g（x）＝sin（2x﹣ ）＝sin（2x﹣ ）的图象， 故 B 错误； 对于 C：由于 ，所以 ，当 x＝ 时，函数 f（ ）＝0，故 C 正确； 对于 D：当 x∈ 时， ，故函数在该区间上单调递增，故 D 正确； 故选：ACD． 12．已知函数 ( ) (e 1)xf x x  ， ( ) ( 1)lng x x x  ，则（ ） A．函数 ( )f x 在 R 上无极值点 B．函数 ( )g x 在(0， ) 上存在唯一极值点 C．若对任意 x＞0，不等式 2( ) (ln )f ax f x 恒成立，则实数 a 的最大值为 2 e D．若 1 2( ) ( ) ( 0)f x g x t t   ，则  1 2 ln 1 t x x  的最大值为 1 e 【答案】AD 【解析】 2( ) e ( 1) 1 1 0xf x x x x        ，所以函数 ( )f x 在 R 上单调递增，无极值，A 正确； 1( ) ln 1g x x x     ， 2 1( ) xg x x   ， ( ) (1) 2 0g x g    ，所以函数 ( )g x 在(0，  )上单调递增，无 极值点，B 错误； 因为函数 ( )f x 在(0， )上单调递增，所以原不等式可转化为 2lnax x 恒成立，求得实数 a 的最小 值为 2 e ，故 C 错误； 第 7 页 共 16 页 1 2 1 2( ) ( ) ( 0) ( ) (ln )f x g x t t f x f x     ，因为函数 ( )f x 在(0，)上单调递增，所以 1 2lnx x ，故 1 2 2 2 ln ln ln ( 1) ( 1)ln t t t x x x x t    ，( lnt t )max＝ 1 e ，D 正确． 综上选 AD． 三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13．已知函数 3( ) (2 1) 2 xf x m x e   ，若曲线 ( )y f x 在 (0, (0))f 处的切线与直线 4 2 0x y   平 行，则 m  _________． 【答案】 1 3  【解析】依题意， 2( ) 6 (2 1) 2 xf x m x e    ， (0) 6 2f m   ，则 6 2 4m    ，解得 1 3m   ． 14．如图，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，PD⊥底面 ABCD，O 为对角线 AC 与 BD 的交点， 若 PD＝2，∠APD＝∠BAD＝ 3  ，则三棱锥 P—AOD 的外接球表面积为 ． 【答案】16π 【解析】由题意知三棱锥 P—AOD 的外接球是以 AP 的中点为球心，以 2 为半径的球，故 S＝4πR2＝16π． 15．湖北省 2021 年的新高考按照“ ”的模式设置，“ ”为全国统一高考的语文、数学、外语 门必 考科目；“”由考生在物理、历史 门中选考门科目；“ ”由考生在思想政治、地理、化学、生物学 门中 选考 门科目．则甲，乙两名考生在 门选考科目中恰有两门科目相同的条件下，均选择物理的概率为 ________． 【答案】 【解析】分类：（1）物理（历史）大类中有两门相同的方法： ，共 48 种； （2）物理和历史两大类间有两门相同的方法： ；所以在 门选考科目恰有两门科目共 种；所以均选择物理的概率为 16.已知抛物线 2 2 ( 0) (1,0),y px p F F  的焦点为 过点 的直线交抛物线于 A，B 两点，且 2 3 ,AB FA   则 抛 物线的准线方程为 ；| |BF 的值为 .（本题第一空 2 分，第二空 3 分） 第 8 页 共 16 页 【答案】 1 3 2x   【解析】抛物线 2 2 ( 0) (1,0), 1, 2,2 py px p F p    的焦点为 则 所以抛物线方程为 2 4 ,y x 准线为 1.x   如图，取 AF 的中点为 C，分别过点 A，C，F，B 作准线的垂线，垂足分别为 M，Q，P，N.由 2 3 | | 2| |, | | 2| |AB FA AF FB AM BN     ＝ 可知 从而有 .设| | , | | 2 .BN t AM t 则 又| | 2, | | 4 . | | | | 2| |, 2 2 2(4 )PF CQ t PF AM CQ t t       所以 又 即 ,解得 3 ,2t  所以| |BF  3.2 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本题满分 10 分） 在①2a-b=2ccosB,②S= 3 4 (a2+b2-c2),③ 3 sin(A+B)=1+2 2sin 2 C 这三个条件中任选一个，补充在下面的横 线处，然后解答问题。 在ΔABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,设ΔABC 的面积为 S,已知 . （1)求角 C 的值； （2)若 b=4,点 D 在边 AB 上，CD 为ΔACB 的平分线，ΔCDB 的面积为 2 3 3 ,求 a 的值。 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 【答案】（见解析） 【解析】（1）若选①： 2 cos 2c B b a  ，则由正弦定理得 2sin cos 2sin( ) sinC B B C B   ， 即 2sin cos sin 0B C B  ， ∵sin 0B  ，∴ 1cos 2C  ，则 3C  ． …………………（4 分） 若选②：  2 2 24 3S b a c   ，则 14 sin 3 2 cos2 ba C ba C   ， 化简得 tan 3C  ，∴ 3C  ． …………………（4 分） 若选③： 23sin( ) 2sin 12 CA B   ，则有 3sin 1 cos 1C C   ， 第 9 页 共 16 页 化简得 π2sin 26C     ，所以 π π 6 2C   ，故 π 3C  . …………………（4 分） （2）在 ABC 中， ABC ACD BCDS S S    ， 所以， 1 1 1sin30 sin30 sin602 2 2CB CD CA CD CA CB          1 34 a CD CD a    . ① 又 1 2 3 4 3CDBS a CD    . ② 由①②， 2 2 24 3 a aa    或 4 3  （舍）. 2a  . …………………（10 分） 18．（本题满分 12 分） 在①点（an，Sn）在直线 2x﹣y﹣1＝0 上，②a1＝2，Sn+1＝2Sn+2，③an＞0，a1＝1，2an+12+3anan+1﹣2an2＝0 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并求解． 问题：已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，____． （1）求{an}的通项公式； （2）求 Sn，并判断﹣S1，Sn，Sn+1 是否成等差数列，并说明理由． 【答案】（见解析） 【解析】选条件①： （1）由题设可得：2an﹣Sn﹣1＝0，即 Sn＝2an﹣1， 当 n≥2 时，有 Sn﹣1＝2an﹣1﹣1， 两式相减得：an＝2an﹣2an﹣1，即 an＝2an﹣1，n≥2， 又当 n＝1 时，S1＝2a1﹣1，即 a1＝1， ∴数列{an}是首项为 1，公比为 2 的等比数列， ∴an＝2n﹣1； （2）由（1）可得：Sn＝ ＝2n﹣1， ∴Sn+1﹣S1＝2n+1﹣1﹣1＝2（2n﹣1）＝2Sn， ∴﹣S1，Sn，Sn+1 成等差数列． 选条件②： 第 10 页 共 16 页 （1）∵a1＝2，Sn+1＝2Sn+2， ∴Sn＝2Sn﹣1+2，n≥2， 两式相减得：an+1＝2an，n≥2， 又当 n＝1 时，有 S2＝2S1+2＝a1+a2，可解得：a2＝4，∴a2＝2a1， ∴数列{an}是首项、公比均为 2 的等比数列， ∴an＝2n； （2）由（1）可得：Sn＝ ＝2n+1﹣2， ∴Sn+1﹣S1＝2n+2﹣2﹣2＝2（2n+1﹣2）＝2Sn， ∴﹣S1，Sn，Sn+1 成等差数列． 选条件③： （1）∵2an+12+3anan+1﹣2an2＝0， ∴（2an+1﹣an）（an+1+2an）＝0， ∵an＞0，∴2an+1﹣an＝0，即 an+1＝ an， 又 a1＝1，∴数列{an}是首项为 1，公比为 的等比数列，∴an＝ ； （2）由（1）可得：Sn＝ ＝2﹣ ，∵Sn+1﹣S1＝2﹣ ﹣1＝1﹣ ≠2Sn， ∴﹣S1，Sn，Sn+1 不成等差数列． 19.（本题满分 12 分） 如图，在四边形 ABCD 中， AB BC ，PB AB ，CD AC ，以 AC 为折痕把 ACD△ 折起，使点 D 到达点 P 的位置，且 PB AB . （1）证明： PC  平面 ABC ； （2）若 M 为 PA 的中点，二面角 P AB C  等于 60°，求直线 PB 与平面 MBC 所成角的正弦值. 第 11 页 共 16 页 【答案】（见解析） 【解析】（1）因为 AB BC ， AB PB ， PB BC B  ， 所以 AB 平面 PBC ， 又因为 PC  平面 PBC ，所以 AB PC 又因为 PC AC ， AC AB A  ， 所以 PC  平面 ABC （2）因为 PB AB ， BC AB ， 所以 PBC 是二面角 P AB C  的平面角，即 60PBC   ， 在 Rt PCB△ 中， tan 60 3PC BC BC   ， 取 AC 的中点О，连接 OM，OB，因为 BC AB ， BC AB ， 所以 OB AC ，由（1）知， PC  平面 ABC ， OM 为 PAC△ 的中位线， 所以 OM AC ，OM OB ，即OM ，OB ， AC 两两垂直， 如图以О为原点建立空间直角坐标系O xyz ，设 1OB  ，则  0,1, 6P ，  1,0,0B ，  0,1,0C ， 60,0, 2M       ，  1, 1, 6PB    ，  1,1,0BC   ， 61,0, 2BM        设平面 MBC 的一个法向量为  , ,n x y z 第 12 页 共 16 页 则由 0,0, 6 0,0, 2 x yn BC x zn BM                得令 2z  ，得  3, 3, 2n  所以 3cos , 4 n PBn PB n PB          ， 所以直线 PB 与平面 MBC 所成角的正弦值为 3 4 . 20.（本题满分 12 分） 从 2021 年 1 月 1 日起某商业银行推出四种存款产品，包括协定存款、七天通知存款、结构性存款及大额 存单．协定存款年利率为 1.68%，有效期一年，服务期间客户账户余额须不少于 50 万元，多出的资金 可随时支取；七天通知存款年利率为 1.8%，存期须超过 7 天，支取需要提前七天建立通知；结构性存 款存期一年，年利率为 3.6%；大额存单，年利率为 3.84%，起点金额 1000 万元．（注：月利率为年利 率的十二分之一） 已知某公司现有 2020 年底结余资金 1050 万元． （1）若该公司有 5 个股东，他们将通过投票的方式确定投资一种存款产品，每个股东只能选择一种产 品且不能弃权，求恰有 3 个股东选择同一种产品的概率； （2）公司决定将 550 万元作协定存款，于 20211 月 1 日存入该银行账户，规定从 2 月份起，每月首日 支取 50 万元作为公司的日常开销．将余下 500 万元中的 x 万元作七天通知存款，准备投资高新项目， 剩余（500﹣x）万元作结构性存款． ①求 2021 年全年该公司从协定存款中所得的利息； ②假设该公司于 2021 年 7 月 1 日将七天通知存款全部取出，本金 x 万元用于投资高新项目，据专业机 构评估，该笔投资到 2021 年底将有 60%的概率获得（﹣ +0.02x2+0.135x）万元的收益，有 20% 的概率亏损 0.27x 万元，有 20%的概率保本．问：x 为何值时，该公司 2021 年存款利息和投资高新项目 所得的总收益的期望最大，并求最大值． 【答案】（见解析） 【解析】（1）设恰有 3 个股东选择同一种产品的事件为 A， 由题意可知，5 个股东共有 45 种选择， 第 13 页 共 16 页 而恰好由 3 个股东同时选择同一种产品的可能情况为 种， 所以 ＝ ； （2）①2021 年全年该公司从协定存款中所得的利息为： ＝ ＝4.69（万元）； ②由条件可知，高新项目投资可得收益频率分布表为： 投资收益 t 0 ﹣0.27x P 0.6 0.2 0.2 所以高新项目投资所得收益的期望为： ＝﹣0.00002x3+0.012x2+0.027x， 所以存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望为： ＝﹣0.00002x3+0.012x2+22.69（0≤x≤500）， 所以 L'（x）＝﹣0.00006（x2﹣400x）， 令 L'（x）＝0，解得 x＝400 或 x＝0， 由 L'（x）＞0，可得 0＜x＜400，由 L'（x）＜0，可得 400＜x＜500， 所以当 x＝400 时，L（x）取得最大值为 L（400）＝662.69， 所以当 x＝400 时，该公司 2021 年存款利息和投资高新项目所得的总收益的期望最大为 662.69 万元． 21.（本题满分 12 分） 已知椭圆 C： + ＝1 的左、右顶点分别为 A，B，右焦点为 F，折线|x﹣1|＝my（m≠0）与 C 交于 M， N 两点． （1）当 m＝2 时，求|MF|+|NF|的值； （2）直线 AM 与 BN 交于点 P，证明：点 P 在定直线上． 【答案】（见解析） 第 14 页 共 16 页 【解析】折线为 my＝|x﹣1|， 设 M（x1，y1），N（x2，y2），则 M′（x1，﹣y1），N′（x2，﹣y2）， 联立 ，得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0， 所以 y1+y2＝ ，y1y2＝ ， |y1﹣y2|＝ ， （1）|MF|+|NF|＝|MF|+|N′F|＝|MN′|＝ |y1﹣y2|＝ • ＝ ， 当 m＝2 时，|MF|+|NF|＝ ＝ ． （2）由题意知 A（﹣2，0），M（x1，y1）， 则直线 AM 的方程为 ＝ ， 又因为 my1＝x1﹣1， 所以直线 AM 的方程为 ＝ ①， 由题知 B（2，0），N（x2，﹣y2），则直线 BN 的方程为 ＝ ， 又因为 x2＝my2+1， 所以直线 BN 的方程为 ＝ ②， 得， ＝ • ③， 所以， ＝ ， 所以， ＝ 第 15 页 共 16 页 所以 ＝ ， 所以 ＝﹣ ， 解得 x＝1， 所以定点 P 在直线 x＝1 上． 22．（本题满分 12 分） 已知函数 （1）讨论 的单调性； （2）若 是 的两个零点． 证明：（ⅰ） ； （ⅱ） ． 【答案】（见解析） 【解析】（1） 定义域 ， 则当 时 在 为增函数；······························································ 2 分 当 时 在 为增函数，在 为减函数·······································4 分 （2）证 明 ：（ⅰ ）原 不等式 等价于 ，因 为 ① ②由 ②-① 得， 则 ， 第 16 页 共 16 页 则 等价于 因为 所以 即证 ③ 等价于 设 ， 设 ， ③等价于 ， 在 上为增函． ，即 ·········································································8 分 （ⅱ）设 ，则 所以 在 上递增，在 上递减 因为 有两个不相等的实根，则 且 易知 对 恒成立，则 对 恒成立 ，因为 ，所以 又因为 ， ，所以 或 因为 且 ，所以 因为 ，所以 即 ······················································································· 12 分