专题七 三角函数的概念、图像和性质
一、多选题
1．（2021·恩施市第一中学高一月考）已知 sin sinf x x x ，下列说法正确的有（ ）
A． f x 为偶函数 B． f x 关于
2x 对称
C． f x 的值域为 0,2 D． f x 为周期函数
【答案】AC
【分析】
由函数奇偶性的定义和判定方法，可判定 A 正确；根据 3( ) ( )2 2f f ，可判定 B 不正确；由 0x 时，
函数 sin sinf x x x ，分类讨论，可判定 C 正确；由函数 siny x 为偶函数，且不是周期函数，可
判定 D 不正确.
【详解】
由题意，函数 sin sinf x x x 的定义域为 R 关于原点对称，
且满足 sin sin( ) sin sinf x x x x x f x ，即 f x f x ，
所以函数 f x 为偶函数，所以 A 正确；
对于 B 中， 3 3 3sin sin 0, sin sin 22 2 2 2 2 2f f
，
所以 3( ) ( )2 2f f ，所以函数 f x 不关于
2x 对称，所以 B 不正确；
对于 C 中，当 0x 时， 0 0f ，
当 0x 时，函数 sin sinf x x x
若sin 0x ，可得 2sin [0,2]f x x ，
若sin 0x ，可得 sin sin 0f x x x ，
所以函数 f x 的值域为[0,2] ，所以 C 正确；
对于 D 中，因为函数 siny x 为偶函数，且不是周期函数，
可得函数 sin sinf x x x 不是周期函数，所以 D 不正确.
故选：AC.
2．（2021·全国高三专题练习）已知函数 1 2 2f x sin x ，下列结论正确的是（ ）
A． f x 的最小正周期为
B．函数 y f x 的图象关于直线
4
πx 对称.
C．函数 f x 在 5,4 12
上单调递增
D．方程 1f x 在 , 上有 7 个不同的实根
【答案】ABD
【分析】
化简函数 ( )f x 的解析式，作出函数的图象，结合函数的图象，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，函数
11 2sin 2 ,sin 2 2( ) 1 2sin 2 12sin 2 1,sin 2 2
x x
f x x
x x
，
作出 f x 在 , 上的图象，
将 2sin 2y x 的图象向下平移1个单位可得到 2sin2 1y x 的图象，
将所得图象在 x 轴下方的部分沿 x 轴翻折，
如图所示，由图可知 f x 的最小正周期为 ，故 A 正确；
曲线 y f x 关于直线
4
πx 对称，故 B 正确；
函数 f x 在 5,4 12
上单调递减，则 C 错误；
方程 1f x 在 , 上有 7 个不同的实根，所以 D 正确.
故选：ABD.
3．（2020·湖南永州市·高三月考）已知函数 ( ) sin 3 cosf x x x ( 0 )相邻的最高点的距离为 2，
则下列结论正确的是（ ）
A．函数 ( )y f x 的图象关于点 2 ,03
中心对称
B．函数 ( )y f x 的图象关于直线
12x 对称
C．函数 ( )f x 在区间 ,6 3
上的值域为[1，2]
D．将函数 ( )y f x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1
2
，然后向左平移
4
个单位得
72sin 2 12y x
【答案】AC
【分析】
先化简函数的解析式为 ( ) 2sin( )3f x x ，结合题意求得 ( ) 2sin 3f x x
，结合三角函数的图象
与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
由题意，化简得 ( ) sin 3cos 2sin( )3f x x x x ，
由题意知周期 2 2T ，得 1 ，所以 ( ) 2sin 3f x x
，
当 2
3x 时，
3x ，故 A 项正确；
当
12x 时， 5
3 12x ，故 B 项错误；
当 ,6 3x
时， 2,3 6 3x
，故 ( ) [1,2]f x ，故 C 项正确；
将函数 ( )y f x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的 1
2
，得到 2sin 2 3y x
，再向左平移
4
个单
位，可得 52sin 2 6y x
，故 D 项错误.
故选：AC
【点睛】
解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为 sin( )y A wx 的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称
性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要
角的范围的判定，防止错解.
4．（2020·湖北黄石市·高三月考）设函数 2 sin sin 2cos2f x x x ，给出下列四个结论：则
正确结论的序号为（ ）
A． 2 0f B． f x 在 53 , 2
上单调递增
C． f x 的值域为 1 2cos2,3 2cos2 D． f x 在 0,2 上的所有零点之和为 4
【答案】ABD
【分析】
由 2 3sin 2 2cos2f ，结合 322 4
，可判定 A 正确；作出函数 2 sin siny x x 的图象，可得
函数 f x 的值域及单调性，可判定 B 正确，C 不正确；结合函数的图象，可得 f x 在 0,2 上的所有
零点之和，可判定 D 正确.
【详解】
由题意，函数 2 sin sin 2cos2f x x x ，
可得 2 2 sin 2 sin 2 2cos2 3sin 2 2cos2f
因为 322 4
，所以sin 2 cos2 0 ，所以 2 0f ，所以 A 正确；
由 3sin ,2 22 sin sin ,sin ,2 2 2
x k x ky x x k Zx k x k
，
作出函数 2 sin siny x x 的图象，如图所示，
可得函数 f x 是以 2 为周期的周期函数，
由函数 2 sin siny x x 的图象可知，函数 f x 在 3( , )2
上单调递增，
又由 f x 是以 2 为周期的周期函数，可得函数 f x 在 5( 3 , )2
上单调递增，
所以 B 是正确的；
由由函数 2 sin siny x x 的图象可知，函数 f x 的值域为[2cos2,3 2cos2] ，
所以 C 不正确；
又由 222 3
，所以 1 cos2 02
，则 0 2cos2 1 ，
令 0f x ，可得 2 sin sin 2cos2x x ，
由图象可知，函数 f x 在 0,2 上的所有零点之和为 4 ，所以 D 正确.
故选：ABD.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，
着重考查转化思想，以及数形结合思想的应用，以及推理与运算能力，属于中档试题.
5．（2020·重庆高一月考）已知函数 (sin cos ) sin cosf x x x x x ，下列说法正确的是（ ）
A． ( )f x 是周期函数
B．若 1 2 2f x f x ，则 1 2
k
2x x ( )k Z
C． ( )f x 在区间 ,2 2
上是增函数
D．函数 ( ) ( ) 1g x f x 在区间[0,2 ] 上有且仅有 1 个零点
【答案】AB
【分析】
先化简函数为 cos2 ,sin cos( ) cos2 ,sin cos
x x xf x x x x
，利用三角函数 sin( )y A x 的图象和性质，逐一分析每
一个选项即可.
【详解】
由题意，函数 cos2 ,sin cos(sin cos ) sin cos cos2 ,sin cos
x x xf x x x x x x x x
，
对于 A 中，函数 ( 2 ) [sin( 2 ) cos(| 2 |)] sin( 2 ) cos( 2 ) ( )f x x x x x f x ，
可得 f x 是周期为 2 的函数，故 A 正确；
对于 B 中，因为 1 2 2f x f x ，可得 1 2 1f x f x ，则有 1 2 1f x f x ，
此时可得 1 12x k ， 2 22x k 1 2,k k Z ，可得 1 2
1 2 2
k kx x
，故 B 正确；
对于 C 中，由 (0) 12f f
，可得 f x 在 ,2 2
一定不是单调函数，所以 C 错误；
对于 D 中，可知 3( ) 12f f
，可得 x 和 3
2x 是函数 f x 的零点，
所以 D 错误.
故选：AB.
【点睛】
本题主要考查正弦､余弦函数的图象与性质，以及二倍角公式，其中解答中正确化简函数的解析式，结合三
角函数的图象与性质，逐项判定是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.
6．（2020·江苏省黄桥中学）关于函数 24cos 4sin cos 6f x x x x
，下列说法正确的是（ ）
A．若 1 2,x x 是函数 f x 的零点，则 1 2x x 是
2
的整数倍
B．函数 f x 的图象关于点 ,16
对称
C．函数 f x 的图象与函数 2 3cos 2 16y x
的图象相同
D．函数 f x 的图象可由 2 3sin2y x 的图象先向上平移1个单位长度，再向左平移
3
个单位长度得到
【答案】BC
【分析】
首先由三角恒等变换化简函数解析式，作出图象，数形结合判断 A 错误；由正弦函数的对称性可判断函数
f x 的对称性；利用三角函数诱导公式可判断 C 选项；根据三角函数图象变换规则可判断 D 选项.
【详解】
2 24cos 4sin cos 2 2cos2 2 3sin cos 2sin6f x x x x x x x x
1 3cos2 3sin 2 2 3sin 2 13x x x
，
画出函数的图象，如图所示：
f x 的图象与 x 轴相邻的两个交点的距离不相等，且不为
2
，故 A 错；
因为 sin[2 ] 06 3
，所以函数 2 3sin 2 3y x
的图象关于 ,06
对称，则函数 f x 的
图象关于点 ,16
对称，故 B 正确；
函数 2 3sin 2 1 2 3cos 2 13 6f x x x
，故 C 正确；
函数 f x 的图象可由 2 3sin2y x 先向上平移1个单位，再向左平移
6
个单位长度得到，故 D 错误.
故选：BC
【点睛】
本题考查三角恒等变换、正弦型函数的对称性、三角函数诱导公式及三角函数图象变换规则，属于中档题.
二、单选题
7．（2020·浙江高一期末）已知函数 ( ) cos(2 )f x x ( )R ，若 ( )3f x f x
且 ( ) 2f f
，
则函 ( )f x 数取得最大值时 x 的可能值为（ ）
A． 2
3
B．
6
C．
3
D．
2
【答案】B
【分析】
由 ( )3f x f x
得到对称轴为
6x ，求出 的取值集合，再由 ( ) 2f f
，可得
3 k ，
k Z ，代入函数 ( )f x 中可得 ( ) cos 2 3f x x
，进而求出函数取到最大值时 x 的集合，k 取适当的整
数可得 x 的取值选项.
【详解】
由题意，函数 ( ) cos(2 )f x x ，
因为 ( )3f x f x
可知函数的对称轴为
6x ，
所以 π cos 2 16 6f
，可得 2 6 k ， k Z ，得
3 k ， k Z ，
又因为 ( ) 2f f
，所以 cos(2 ) cos( ) ，即 cos cos ，可得 cos 0 ，
所以可得 23 k ， k Z ，所以 ( ) cos 2 2 cos 23 3f x x k x
，
所以 ( )f x 取到最大值时，则 2 23x k ， k Z ，即
6x k ， k Z ，
当 k 取适当的整数时，只有
6x 适合，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，逐项判定是解答
的关键，着重考查推理与运算能力，属于中档题.
8．（2020·四川攀枝花市·高三月考（文））关于函数 ( ) cos | | | sin |f x x x 的下述四个结论中，正确的是
（ ）
A． ( )f x 是奇函数
B． ( )f x 的最大值为 2
C． ( )f x 在[ , ] 有3个零点
D． ( )f x 在区间 π0, 4
单调递增
【答案】D
【分析】
分析函数的奇偶性、最值、零点、单调性，对各选项进行逐一判断即可.
【详解】
( ) cos | | | sin( ) | cos | | | sin | ( )f x x x x x f x ，
所以 ( )f x 是偶函数，不是奇函数，故 A 不正确.
cos | | 1y x ，且当 πx k k Z( )时取得等号；
| sin | 1y x ，且当 ππ+ 2x k k Z( )时取得等号，
所以 ( ) cos| | |sin | 2f x x x 但等号无法取得，
即 ( )f x 的最大值小于 2 ，故 B 不正确.
由 ( )f x 是偶函数且 (0) 1 0f ，
可得 ( )f x 在区间[ , ] 上的零点个数必为偶数，故 C 不正确.
当 π0, 4x
时， π( ) cos sin 2 sin 4f x x x x
单调递增，故 D 正确.
故选 D.
【点睛】
本题考查三角函数的性质，涉及奇偶性、最值、零点、单调性的.解选择题要善于利用排除法，如选项 B,可
不必求出具体的最大值，只需判断最大值是不是 2 即可.
9．（2020·云南师大附中高三月考（文））已知 2sin cosf x x x ，下列结论中错误的是（ ）
A． f x 即是奇函数也是周期函数 B． f x 的最大值为 3
3
C． f x 的图象关于直线
2x 对称 D． f x 的图象关于点 ,0 中心对称
【答案】B
【分析】
根据函数的奇偶性的定义及判定，可判定 A 是正确的；根据函数的对称性，可判定 C、D 是正确的；由
32sin 1 sin sin sinf x x x x x ，令 sin , [ 1,1]t x t ，利用求导方法求函数
3( ) , [ 1,1]g t t t t 的最值，即可判定 B 选项错误.
【详解】
由题意，函数 2sin cosf x x x 的定义域为 R 关于原点对称，
又由 2 2sin cos sin cosf x x x x x f x ，所以 f x 是奇函数；
且 2 22 sin 2 cos 2 sin cosf x x x x x f x ，
所以 f x 又是周期函数，所以 A 是正确的；
由 2 2sin cos sin cosf x x x x x f x ，即 f x f x ，
所以 f x 关于直线
2x 对称，所以 C 是正确的；
由 2 22 sin 2 cos 2 sin cosf x x x x x f x ，
所以 f x 关于点 ,0 对称，所以 D 是正确的；
由 32sin 1 sin sin sinf x x x x x ，
令 sin , [ 1,1]t x t ， 3 2( ) , ( ) 3 1g t t t g t t ，
令 1 1 1( ) 0, , ( 1, ) ( ,1), ( ) 03 3 3g t t x g t ，
1 1( , ), ( ) 03 3t g t ，
( )g t 的单调递减区间是 1 1( 1, ),( ,1)3 3
，
( )g t 的单调递增区间是 1 1( , )3 3
，
( )g t 的极大值为 1 1 1 1 2 3( ) , ( 1) 03 3 3 3 9g g ，
所以 ( )g t 的最大值为 2 3
9
，
即函数 ( )f x 的最大值为 2 3
9
，故 B 选项错误.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了三角函数的函数的基本性质的判定及应用，其中解答中熟记函数的周期性、对称性，以及
三角函数的基本关系式和应用导数求最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
10．（2020·全国高三其他模拟（文））已知函数 3sin 2 cos 2 2f x x x
图象关于直
线 0x 对称，由此条件给出 5 个结论：① f x 的值域为 2,2 ；② f x 图像关于点 3 ,04
对称；
③ f x 的图像向右平移
6
后可得到 2cos 2 3g x x
；④ f x 在区间 0, 2
上单调递减；⑤ 0
且 34f
．则上述所有结论中正确的编号是（ ）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．②③⑤ D．③④⑤
【答案】A
【分析】
先化简函数的解析式 2sin 2 6f x x
，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
因为
3sin 2 cos 2 2 sin 2 cos cos 2 sin6 6f x x x x x
2sin 2 2sin 26 6x x
，
又由 f x 图象关于直线 0x 对称，则有
6 2
，解得
3
，
即函数 2sin 2 2cos22f x x x
，
进而 f x 的值域为 2 2 , ，故序号①正确，而序号⑤错误；
令 2 2x k ， k Z ，得 2 4
kx k Z ，
显然函数 f x 关于点 ,02 4
k
对称，但 3 ,04
为其中一个对称点，故序号②正确；将函数
2cos2f x x 图像向右平移
6
后，
得 2cos2 2cos 26 6 3y f x x x
，于是序号③正确；
易知 2cos2f x x 在区间 0, 2
单调递减，即序号④正确，
综上可得，正确序号为①②③④.
故选：A．
【点睛】
本题以三角函数解析式为载体，考查考生对三角函数图象及性质的应用理解的情况，同时考查了等价转换
与化归思想，逻辑推理能力、运算求解能力以及综合运用所学知识、思想方法分析问题和解决问题的能力．
11．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数 sin ( , 06f x x x R
）的最小正周期为 ，将
f x 的图象向右平移 φ(φ 0) 个单位长度，所得图象关于 y 轴对称，则 φ 的一个值是
A． 2
3
B．
3
C．
4
D．
8
【答案】B
【分析】
首先求得 的值，然后结合三角函数的性质和图象确定 的值即可.
【详解】
由函数的最小正周期公式可得： 2 2 2T
，
则函数的解析式为 sin 2 6f x x
，
将 f x 的图象向右平移 个单位长度或所得的函数解析式为：
sin 2 sin 2 26 6g x x x
，
函数图象关于 y 轴对称，则函数 g x 为偶函数，即当 0x 时：
2 2 26 6 2x k k Z ，
则 2 6
k k Z ， ①
令 1k 可得：
3
，
其余选项明显不适合①式.
本题选择 B 选项.
【点睛】
本题主要考查三角函数解析式的求解，三角函数的平移变换，三角函数的性质及其应用等知识，意在考查
学生的转化能力和计算求解能力.
12．（2020·全国高三专题练习）已知函数 21 1( ) sin 2 sin cos cos sin( )2 2 2f x x x ( 0 )，
将函数 ( )f x 的图象向左平移
12
个单位后得到函数 ( )g x 的图象，且 1( )4 2g ，则 （ ）
A．
6
B．
4
C．
3
D． 2
3
【答案】D
【分析】
根据两角差的余弦公式化简 ( )f x 得到 1( ) cos(2 )2f x x ，再依据图象平移有 1( ) cos(2 )2 6g x x ，
结合已知条件即可求出 的值
【详解】
∵ 21 1 1 1 1( ) sin 2 sin cos (cos ) sin 2 sin cos2 cos cos(2 )2 2 2 2 2f x x x x x x
∴ 1( ) cos(2 )2 6g x x
∵ 1( )4 2g
∴ 2 24 6 k ( k Z )
即 2 23 k ( k Z )
∵ 0
∴ 2
3
故选：D
【点睛】
本题考查了两角差的余弦公式，函数图象平移求解析式，逆用两角差的余弦公式化简三角函数式，应用函
数图象平移得到新函数解析式，最后根据已知条件求参数值
13．（2020·江苏高一课时练习）已知函数 sin( )( 0, )2f x wx w 的最小正周期为 ，其图象关
于直线
6x 对称．给出下面四个结论：①将 f x 的图象向右平移
6
个单位长度后得到函数图象关于原点
对称；②点 5( ,0)12
为 f x 图象的一个对称中心；③ 1( )4 2f ；④ f x 在区间[0, ]6
上单调递增．其
中正确的结论为（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
【答案】C
【分析】
根据题设条件，结合三角函数的性质，求得函数的解析式 sin(2 )6f x x ，再结合三角函数的图象变
换和三角函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】
因为函数 sin( )f x wx 的最小正周期为 ，其图象关于直线
6x 对称，
所以
2
,6 2
w
w k k Z
，解得
2
,6
w
k k Z
，
因为
2
，所以
6
π ，因此 sin(2 )6f x x ，
①将 sin(2 )6f x x 的图象向右平移
6
个单位长度后函数解析式为 sin(2 )6f x x ，
由 2 ,6x k k Z ，得 ,12 2
kx k Z ，所以其对称中心为： ( ,0),12 2
k k Z ，故①错；
②由 2 ,6x k k Z ，解得
12 2
kx ，即函数 f x 的对称中心为 ( ,0),12 2
k k Z ；令
5
12 2 12
k ，则 1k ，故②正确；
③由 3( ) sin( ) cos4 2 6 6 2f ，故③错；
④由 2 2 2 ,2 6 2k x k k Z ，得 2 ,3 6k x k k Z ，
即函数 f x 的增区间为 2[ , ],3 6k k k Z ，因此 f x 在区间[0, ]6
上单调递增，故④正确.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，准确运算是
解答的关键，着重考查推理与运算能力.
14．（2020·全国高三其他模拟（文））设函数 22 cos 1 cos 1f x a x a x ，则下列结论正确的个数
是（ ）
①当 1a 时， f x 的最小正周期为
2
；
②当 1a 时， f x 的最大值为3 2a ；
③当 0 1a 时， f x 的最大值为
2 6 1
8
a a
a
．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】
对①，将 1a 代入化简，求得 f x 的最小正周期，判断是否正确；
对②，利用 1a 和三角函数的有界性，得到 f x 的最大值，判断是否正确；
对③，令 cost x ， 1,1t ，换元法转化为求二次函数最值问题：区间定对称轴动，分类讨论求最值，
判断是否正确.
【详解】
①当 1a 时， 22cos 1 cos2f x x x ， f x 的最小正周期为
2
，故①正确；
②因为 cos2 1 cos 1 2 1 3 2f x a x a x a a a ，故②正确；
③当 0 1a 时，设 cost x ， 1,1t ，
令 22 1 1g t at a t ， 1g a ， 1 3 2g a ，
且当 1
4
at a
时， g t 取得极小值，
极小值为 2 211 6 114 8 8
aa a ag a a a
．
令 11 14
a
a
，解得 1
5a ．
（ⅰ）当 10 5a 时， g t 在 1,1 内无极值点，
1g a ， 1 2 3g a ， 1 1g g ，所以 f x 的最大值为 2 3a ．
（ⅱ）当 1 15 a 时，由 1 1 2 1 0g g a ，
知 11 1 4
ag g g a
．又 1 1 71 1 04 8
a aag ga a
，
所以 f x 的最大值为
21 6 1
4 8
a a ag a a
，故③错误．
故选：C.
【点睛】
本题考查了三角函数式化简，三角函数的周期，有界性，换元法的应用，分类讨论求区间定，对称轴动的
二次函数的最值，难底较大.
15．（2020·全国高三专题练习）已知函数 sin cos sin cosf x x x x x ，下列结论正确的是（ ）
A．函数图像关于
4x 对称
B．函数在 ,4 4
上单调递增
C．若 1 2 4f x f x ，则 1 2 22x x k k Z
D．函数 f x 的最小值为 2
【答案】A
【分析】
本题首先可以去绝对值，将函数 f x 变成分段函数，然后根据函数解析式绘出函数图像，最后结合函数图
像即可得出答案.
【详解】
由题意可得：
2cos ,sin cossin cos sin cos 2sin ,sin cos
x x xf x x x x x x x x
3 12cos , 2 , 24 4
1 52sin , 2 , 24 4
x x k k
k Z
x x k k
，
即可绘出函数图像，如下所示：
故对称轴为 4x k k Z ，A 正确；
由图像易知，函数在 ,04
上单调递增， 0, 4
上单调递减，B 错误；
要使 1 2 4f x f x ，则 1 2 2f x f x ，
由图象可得 1 12 πx k= 或 1 122x k 、 2 22x k 或 ( )2 2 1 2
π 2 π ,2x k k k Z= + Î ，
故 1 2 2x x k 或 1 2 22x x k 或 1 2 2x x k k Z ，C 错误；
当 5 24x k k Z 时，函数取最小值，最小值 min 2f x ，D 错误，
故选：A．
【点睛】
本题考查三角函数的相关性质，主要考查三角函数的对称轴、三角函数的单调性以及三角函数的最值，考
查分段函数，考查数形结合思想，是难题.
16．（2020·湖南长沙市·高三月考（理））已知函数 ( ) 2sin( )( 0)f x x 满足 23f
，
( ) 0f ，且 ( )f x 在区间 5,3 12
单调，则 的取值个数为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】B
【分析】
根据题设条件，求得 2 , ,3 2 k k k Z k Z ，两式相减得，解得 3(2 +1)
4
m ，
结合 ( )f x 在区间 5,3 12
单调，求得 1 15
2 2m ，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ( ) 2sin( )( 0)f x x 满足 23f
， ( ) 0f ，
可得 2 , ,3 2 k k k Z k Z ，
两式相减得 2 ( )3 2 m m Z ，解得 3(2 +1)
4
m ，
又由 5 1 2
3 12 2
，可得 12 ，即 3(2 1)0 124
m ，解得 1 15
2 2m ，
所以 {0,1,2,3,4,5,6,7}m .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，根据题设条
件列出方程和不等式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
17．（2020·应城市第一高级中学高二期中）已知函数 ( ) 2sin( ) 0,| | 2f x x
图象的相邻两条
对称轴之间的距离为
2
，将函数 ( )f x 的图象向左平移
3
个单位长度后，得到函数 ( )g x 的图象．若函数 ( )g x
为偶函数，则函数 ( )f x 在区间 0, 4
上的值域是（ ）．
A． ( 1,2] B． ( 1, 3) C． (0,2] D． 1 ,12
【答案】B
【分析】
由函数 ( ) 2sin( ) 0,| | 2f x x
图象的相邻两条对称轴之间的距离为
2
，求得 ，表示出
( )g x 的解析式，根据函数 ( )g x 为偶函数确定 ，再求 ( )f x 在区间 0, 4
上的值域
【详解】
解：函数 ( ) 2sin( ) 0,| | 2f x x
图象的相邻两条对称轴之间的距离为
2
所以 2 1 , 22 2
( )f x 的图象向左平移
3
个单位长度后，所以 2( ) sin 2 sin 23 3g x x x
函数 ( )g x 为偶函数，所以 2 ,3 2 6
( ) 2sin(2 ) 0,| |6 2f x x
0, ,2 ,4 6 6 3x x
，
( ) 2sin(2 ) 1, 36f x x
故选：B
【点睛】
考查正、余弦函数的图象变换及其值域求法，基础题.
18．（2020·江西赣州市·高三月考（理））已知曲线 sin cosf x x m x ， m R 相邻对称轴之间的
距离为
2
，且函数 f x 在 0x x 处取得最大值，则下列命题正确的是
①当 0 ,12 6x
时， m 的取值范围是 3 , 33
；
②将 f x 的图象向左平移 04 x 个单位后所对应的函数为偶函数；
③函数 y f x f x 的最小正周期为 ；
④函数 y f x f x 在区间 0 0, 3x x
上有且仅有一个零点.
A．①② B．①③ C．①③④ D．②④
【答案】B
【分析】
根据函数 f x 相邻对称轴之间的距离为
2
，求得函数的最小正周期，从而求得 ，再利用辅助角公式，
求得函数的解析式，逐项分析，即可求解.
【详解】
由题意，函数 2sin cos 1 sin( )f x x m x m x ，其中 tan m ，
因为函数 f x 相邻对称轴之间的距离为
2
，可得最小值周期为T ，
又由 2 2T
，所以 2 ，
当 2 时，则 21 sin(2 )f x m x ，
对于①中，由函数 f x 在 0x x 出取得最大值，可得 02 2 ,2x k k Z ，
解得 02 2 ,2 k x k Z ，所以 0
0
1tan( 2 2 )2 tan 2m k x x
，
又由 0 ,12 6x
，所以
0
1 3[ , 3]tan 2 3x
，即
0
1 3[ , 3]tan 2 3m x
，所以是正确的；
对于②中，不妨令 3m ，则 2sin(2 )3f x x ，可解得一个 0 12x ，那么 f x 的图象向左平移 04 x
个单位后得到函数 2sin[2( ) ] 2sin 23 3y x x ，此时函数为奇函数，所以是不正确的；
对于③中，由于 f x 的周期为 ，可得函数 f x 的周期为
2
，即函数 y f x f x 的最小正周期
应满足 max{ , }2T ，所以是正确的；
对于④中， 2 21 sin(2 ) 1 sin(2 )y f x f x m x m x
22 1 sin(2 ),sin(2 ) 0
0, sin(2 ) 0
m x x
x
，
由③可知函数的最小正周期为 ，由函数 f x 在 0x x 处取得最大值可知，在其后 1
4T 上满足
sin(2 ) 0x ，而当超过这区间的时候，存在 sin(2 ) 0x 的情况，
即当 0 0,4 3x x x
时，函数值一直为 0，显然不止一个零点，所以是错误的.
当 2 时，同理可验证得到以上结论，
综上可得正确的是①③.
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，三角恒等变换的化简，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着
重考查了推理与运算能力，属于难题.
19．（2020·高一月考（理））已知函数 sin , cos
cos ,sin cos
x sinx xf x x x x
，则下列说法正确的是（）
A． ( )f x 的值域为[-1，1].
B． ( )f x 是以 为周期的周期函数.
C．当且仅当 22x k k Z 时， ( )f x 取最大值.
D．当且仅当 32 2 2k x k k Z 时， ( )f x ，
故 m 的取值范围是 1, .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质及其应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及不等式恒
成立的求解方法，合理应用分类参数求解方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
29．（2020·安徽高二月考）若函数 πcos 0, 2f x x
的一个零点和与之相邻的对称轴之
间的距离为 π
4
，且当 2π
3x 时， f x 取得最小值.
（1）求 f x 的解析式；
（2）若 π 5π,4 6x
，求 f x 的值域.
【答案】（1） πcos 2 3f x x
；（2） 31, 2
.
【分析】
（1）由题设条件，求得 f x 的周期 πT ，得到 2 ，再由 2π
3x 时， f x 取得最小值，求得 π
3
，
即可得到函数的解析式；
（2）因为 π 5π,4 6x
，可得 π π 4π26 3 3x ，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数 f x 的一个零点和与之相邻的对称轴之间的距离为 π
4
，
可得 f x 的周期 πT ，即 2π π ，解得 2 ，
又因为当 2π
3x 时， f x 取得最小值，
所以 2π 4πcos 13 3f
，
所以 4π 2 π π3 k k Z ，解得 π2 π 3k k Z ，
因为 π
2
，所以 π
3
，所以 πcos 2 3f x x .
（2）因为 π 5π,4 6x
，可得 π π 4π26 3 3x ，
所以当 π2 π3x 时， f x 取得最小值 1 ，
当 π π2 3 6x 时， f x 取得最大值 3
2
，
所以函数 f x 的值域是 31, 2
.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，以及三角函
数在区间上的性质的求法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.
30．（2020·全国高三专题练习（理））已知 0a ，函数 2 sin(2 ) 26f x a x a b ，当 [0, ]2x 时，
5 1f x .
（1）求常数 ,a b 的值；
（2）设 ( )2g x f x 且 lg 0g x ，求 g x 的单调区间.
【答案】（1） 2, 5a b ；
（2）递增区间为 ( , ),6k k k Z ；递减区间为 ( , ),6 3k k k Z .
【分析】
（1）由 [0, ]2x ，得到 2 sin(2 ) [ 2 , ]6a x a a ，得出 [ ,3 ]f x b a b ，根据 5 1f x ，列出
方程组，即可求解；
（2）由（1）得 4sin(2 ) 16f x x ，得到 4sin(2 ) 16g x x ，由 lg 0g x ，得到 1g x ，
结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由 [0, ]2x ，所以 72 [ , ]6 6 6x ，则 1sin(2 ) [ ,1]6 2x ，
所以 2 sin(2 ) [ 2 , ]6a x a a ，所以 [ ,3 ]f x b a b ，
又因为 5 1f x ，可得 5
3 1
b
a b
，解得 2, 5a b .
（2）由（1）得 4sin(2 ) 16f x x ，
则 7( ) 4sin(2 ) 1 4sin(2 ) 12 6 6g x f x x x ，
又由 lg 0g x ，可得 1g x ，
所以 4sin(2 ) 1 16x ，即 1sin(2 )6 2x ，
所以 52 2 2 ,6 6 6k x k k Z ，
当 2 2 2 ,6 6 2k x k k Z 时，解得 ,6k x k k Z ，
此时函数 g x 单调递增，即 g x 的递增区间为 ( , ),6k k k Z
当 52 2 2 ,2 6 6k x k k Z 时，解得 ,6 3k x k k Z ，
此时函数 g x 单调递减，即 g x 的递减区间为 ( , ),6 3k k k Z .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中根据三角函数的性质，求得函数的解析式，
熟练应用三角函数的性质是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
31．（2016·湖南高一期末）在平面直角坐标系内有两点 2(2cos ,1)2
xM ， (1, 3sin( ) 1)N x ，
其中 0 ，0 2
，设函数 ( )f x OM ON ，其中 O 为坐标原点，若 ( )f x 的图象相邻两最高点的距
离为 ，且有一个对称中心为 ( , 0)3
，设 ( ) ( )g x af x ( 0)a ．
（1）求 和 的值；
（2）求 ( )g x 的单调递增区间；
（3）当 0a 时，方程 ( )g x k 在[0, ]a 上有解，求 k 的取值范围．
【答案】（1） 2 ，
6
π ；（2）当 0a 时，增区间为 5 , ,12 12k k k Z
，
当 0a 时，增区间为 7, ,12 12k k k Z
；（3）答案见解析
【分析】
（1）由向量的数量积的运算和三角恒等变换的公式，化简 2sin( )6f x x ，再结合三角函数的
性质，即可求解；
（2）由（1）得 2 sin 2 3( ) ag x x
，分 0a 和 0a 两种情况讨论，结合三角函数的性质，即可求解；
（3）由（2）知 2 sin 2 3g x af x a x
，分 0 12a 、
612 a 、
26
7
1a 和 7
12a
四种情况讨论，分别求得函数的最值，即可求解.
【详解】
（1）由题意，向量 22cos ,1 , (1, 3 sin( ) 1)2
xOM ON x
可得 2( ) 2cos 3 sin( ) 12
xf x OM ON x
3 sin( ) cos( ) 2sin( )6x x x
因为 ( )f x 的图象相邻两最高点的距离为 ，所以 2 ，解得 2 ，
又其图象的一个对称中心为 ,03
，故 2 3 6 k ， k Z ，
所以 5
6k ， k Z ， 由 0 2
，可得
6
π
（2）由（1）知 2 n 2) 3( sif x x
， 可得 2 sin( ) 2( 3) a xg x af x
，
当 0a 时，由 2 2 22 3 2k x k ，解得 5 ,12 12k x k k Z ，
得 g x 单调增区间为 5 , ,12 12k k k Z
，
当 0a 时，由 32 2 22 3 2k x k ，解得 7 ,12 12
k x k k Z ，
得 g x 单调增区间为 7, ,12 12k k k Z .
（3）由（2）知 2 sin 2 3g x af x a x
，
当 0 12a 时，由 [0, ]x a ，可得 max( ) ( ) 2 sin 2 3g x g a a a
，
min 0 3g x g a ；
当
612 a 时，由 [0, ]x a ，可得得 max 212g x g a
， min 0 3g x g a ；
当
26
7
1a 时，由 0,x a ，可得 max 212g x g a
， min 2 sin 2 3g x g a a a
；
当 7
12a 时，由 0,x a ，可得 max 212g x g a
， min
7 212g x g a
综上所述：要使方程 g x k 在 0,a 上有解，则有
当 0 12a 时， 3 2 sin 2 3a k a a
；
当
612 a 时， 3 2a k a ；
当
26
7
1a 时， 2 sin 2 23a a k a
；
当 7
12a 时， 2 2a k a .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经
典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，能较好的考查考生的基本运算
求解能力及复杂式子的变形能力等．
32．（2020·陕西高一期末）已知函数 ( ) 2sin 2 13f x x
．
（1）求 f x 的单调递增区间；
（2）当 7 13,12 12x
时，关于 x 的方程 2 2[ ( )] (2 1) ( ) 0f x m f x m m 恰有三个不同的实数根，
求 m 的取值范围．
【答案】（1） 5, ( )12 12k k k Z ；（2）[ 1,0] .
【分析】
（1）本题可根据正弦函数的单调性得出 2 2 2 ( )2 3 2k x k k Z ，然后通过计算即可得出结果；
（2）首先可通过 2 2[ ( )] (2 1) ( ) 0f x m f x m m 解得 1f x m 或 f x m ，然后绘出函数
f x 在区间 7 13,12 12
上的图像，再然后将“有三个不同的实数根”转化为 ( ) 1f x m 有一个实数解且
f x m 有两个不同的实数解或 1f x m 有两个不同的实数解且 f x m 有一个实数解，最后分为
1m 或 2m 、 1m 、 1 0m 、 0 2m 四种情况进行讨论，即可得出结果.
【详解】
（1）令 2 2 2 ( )2 3 2k x k k Z ，
解得 5 ( )12 12k x k k Z ，
故 f x 的单调递增区间为 5, ( )12 12k k k Z ，
（2） 2 2[ ( )] (2 1) ( ) 0f x m f x m m 等价于[ ( ) ( 1)][ ( ) ] 0f x m f x m ，
解得 1f x m 或 f x m ，
因为 7 13,12 12x
，所以 5 112 ,3 6 6x
， ( ) [ 1,2]f x ，
如图，绘出函数 f x 的图像，
方程 2 2[ ( )] (2 1) ( ) 0f x m f x m m 有三个不同的实数根等价于 ( ) 1f x m 有一个实数解且
f x m 有两个不同的实数解或 1f x m 有两个不同的实数解且 f x m 有一个实数解，
①当 1m 或 2m 时， f x m 无解，不符合题意；
②当 1m 时，则 1 0m ， f x m 有一个实数解， 1f x m 有两个不同的实数解，符合题意；
③当 1 0m 时，则 0 1 2m ， f x m 有两个不同的实数解， 1f x m 有一个实数解，符
合题意；
④当 0 2m 时，则1 1 3m ， f x m 有一个实数解， 1f x m 至多有一个实数解，不符合
题意，
综上，m 的取值范围为[ 1,0] ．
【点睛】
本题考查三角函数单调区间的求解以及三角函数图像的综合应用，可借助正弦函数、余弦函数以及正切函
数的单调性来求解三角函数的单调区间，考查数形结合思想以及分类讨论思想，考查推理能力，是难题.
33．（2020·江苏高三二模）已知函数 sinf x A x x R （其中 0A ， 0 ， 0 2
）
的图象与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为
2
，且图象上一个最低点为 2 , 23M .
（1）求 f x 的解析式；
（2）当 ,12 2x
时，求 f x 的最大值及相应的 x 的值.
【答案】（1） 2sin 2 6f x x
（2） f x 的最大值为 2，此时
6x
【分析】
（1）由题意，求得 2A ， 2 ，得到 2sin 2f x x ，将 2 , 23M
代入求得
6
π ，即可得
到函数的解析式；
（2）由 ,12 2x
，得到 723 6 6x ，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
（1）由题意，函数 f x 图象上一个最低点为 2( , 2)3M ，可得 2A ，
又由函数 f x 图象与 x 轴的相邻两个交点之间的距离为
2
，即 2T ，可得 2 ，
此时函数 2sin 2f x x ，
将 2 , 23M
代入上式，得 42 2sin 3
，即 4sin 13
，
因为 0 2
，可得
6
π ，所以 2sin 2 6f x x .
（2）因为 ,12 2x
，则 723 6 6x ，
所以当且仅当 2 6 2x ，即
6x 时，sin 2 16x
，则 2sin 2 26x
，
即
6x 时，函数 f x 的最大值为 2.
【点睛】
本题主要考查了三角函数解析式的求解，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函
数的图象与性质，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
34．（2017·黑龙江哈尔滨市·高三期中（理））已知函数 22 14 6 8
x xf x sin cos .
（1）求 f x 的最小正周期；
（2）求当 0 4x 时， f x 的值域.
【答案】 1 8 32 , 32
【分析】
（1）利用和与差的三角函数的公式和二倍角公式，以及辅助角公式，化简函数 f x 的解析式，即可求解
函数 f x 的最小正周期；
（2）当 0 4x 时，求解内层函数的范围，即可求得函数 f x 的值域.
【详解】
由题意，函数 2 si2 14 6 8 n cos cos sin cos4 6 4 6 4
x xf x sin co xs x x
3 3sin cos2 4 2 4x x 3sin( )4 6x ，
（1）所以函数 f x 的最小正周期为
2 8
4
T
.
（2）当 0 4x 时，可得 5
6 4 6 6x ，则 1 sin( ) 12 4 6x ，
所以 3 3sin( ) 32 4 6x ，
所以函数 f x 的值域为 3 , 32
.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解答中熟练应用三角函数
恒等变换的公式求得函数的解析式，熟记三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能
力.
35．（2020·江苏高一课时练习）已知函数 2( ) 2sin cos 2cos ( )f x x x x x R ．
（1）求 ( )f x 的最小正周期，并求 ( )f x 的最小值及取得最小值时 x 的集合；
（2）令 ( ) 18g x f x
，若 ( ) 2g x a 对于 ,6 3x
恒成立，求实数 a 的取值范围．
【答案】（1）最小正周期是 ，最小值为1 2 ． x 的集合为 3| ( )8x x k k Z ；
（2） (2 2, ) .
【分析】
（1）化简函数 ( ) 2 sin(2 ) 14f x x ，结合三角函数的图象与性质，即可求解；
（2）化简 ( ) 2 cos2g x x ，根据 ,6 3x
，求得 ( )g x 的最大值为 2 ，再根据题意，得到 2 2a ，
即可求解．
【详解】
（1）由题意，函数 ( ) sin 2 cos2 1 2 sin 2 14f x x x x
，
可得其最小正周期是 2
2T ，
当sin 2 14x
，可得 2 2 ,( )4 2x k k Z ，即 3 ( )8x k k Z 时，
函数 ( )f x 的最小值为1 2 ．
此时 x 的集合为 3| ( )8x x k k Z ．
（2）由 ( ) 1 2 sin 2 2 cos28 4 4g x f x x x
因为 ,6 3x
，得 22 ,3 3x
，则 1cos2 ,12x
，
所以 2( ) 2 cos2 , 22g x x
，
若 ( ) 2g x a 对于 ,6 3x
恒成立，则 max2 ( ) 2a g x ，
所以 2 2a ，即求实数 a 的取值范围 (2 2, ) ．
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质综合应用，其中解答中利用三角恒等变换的公
式，求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属
于中档试题．
36．（2019·上海市实验学校高一期末）已知函数 2 3 3( ) cos cos( ) 3sin6 4f x x x x ， xR .
（1）将 ( )f x 化为 sin( )A x B 的形式（ 0A ， 0 ，| | 2
）并求 ( )f x 的最小正周期T ；
（2）设 ( ) ( )g x af x b ，若 ( )g x 在[ , ]4 4
上的值域为[0,3] ，求实数 a 、b 的值；
（3）若 ( ) 1 ( 1) 0nf x m 对任意的 [ , ]4 4x 和 *nN 恒成立，求实数 m 取值范围.
【答案】（1） 1( ) sin(2 )2 3f x x ，T ；（2） 4a ， 2b ，或 4a ， 1b ；（3） 1 1( , )2 2
.
【分析】
(1)由三角函数的恒等变换公式和正弦函数的周期的公式，即可求解；
(2)由正弦函数的图象与性质，讨论 a 的范围，得到 ,a b 的方程组，即可求得 ,a b 的值；
（3）对 n 讨论奇数和偶数，由参数分离和函数的最值，即可求得 m 的范围.
【详解】
(1)由题意，函数 2 3 3( ) cos cos( ) 3sin6 4f x x x x
3 1 3 3 3cos ( cos sin ) (1 cos2 )2 2 2 4x x x x
1 3 1sin 2 ) cos2 sin(2 )4 4 2 3x x x
所以函数 f x 的最小正周期为 2
2T .
（2）由（1）知 1 sin(2 )2 3f x x ，
当 [ , ]4 4x 时，则 52 [ , ]3 6 6x ，所以 1 1 1sin(2 )2 2 3 4x ，
即 1 1
2 4f x ，令 t f x ，则 1 1[ , ]2 4t ，
函数 g x af x b ，即 g x at b ， 1 1[ , ]2 4t ，
当 0a 时， g x 在 1 1[ , ]2 4t 为单调递增函数，
可得 1( ) 02g 且 1( ) 34g ，即
1 02
1 34
a b
a b
，解得 4, 2a b ；
当 0a 时， g x 在 1 1[ , ]2 4t 为单调递减函数，
可得 1( ) 32g 且 1( ) 04g ，即
1 32
1 04
a b
a b
，解得 4, 1a b ；
综上可得 4a ， 2b 或 4a ， 1b ；
（3）由（2）可知，当 [ , ]4 4x 时， 1 1
2 4f x ，
当 n 为奇数时， ( ) 1 ( 1) 0nf x m ，即为 ( ) 1 0f x m ，即 ( ) 1m f x 恒成立，
又由 min
1 1[ ( ) 1] 12 2f x ，即 1
2m ；
当 n 为偶数时， ( ) 1 ( 1) 0nf x m ，即为 ( ) 1 0f x m ，即 ( ) 1m f x 恒成立，
又由 max
1 1[ ( ) 1] 12 2f x ，即 1
2m ；
综上可得，实数 m 满足 1 1
2 2m ，即实数 m 取值范围 1 1( , )2 2
.
【点睛】
本题主要考查了三角恒等变换，以及三角函数的图象与性质的应用，其中解中熟练化简函数的解析式，合
理应用三角函数的图象与性质，以及利用分类讨论和分离参数求解是解答的关键，着重考查了分类讨论思
想，分离参数，以及推理与运算能力，属于中档试题.
37．（2019·四川遂宁市·高一期末）函数 ( ) 2sin( )( 0, π 0)f x x ，若函数 ( )y f x 的图象
与 x 轴的两个相邻交点间的距离为 π
2
，且图象的一条对称轴是直线 π
8x ．
（1）求函数 ( )f x 的解析式；
（2）设集合 3 , 2 24 4A x x B x f x m
, 若 A B ，求实数 m 的取值范围.
【答案】（1） 3( ) 2sin 2 4f x x
； （2） (0,2 2)m .
【分析】
（1）由函数 ( )y f x 的图象与 x 轴的两个相邻交点间的距离为 π
2
，求得函数的周期，得到 2 ，再由图
象的一条对称轴是直线 π
8x ，求得 3
4
，即可得到函数的解析式；
（2）由 A B ，把不等式 2 2f x m f x 恒成立，转化为 max min[ ( ) 2] [ ( ) 2]f x m f x ，结合三角
函数的性质，求得函数的最值，即可求解.
【详解】
（1）由题意知，函数 ( )y f x 的图象与 x 轴的两个相邻交点间的距离为 π
2
，
可得
2 2
T , 解得T ，又由 2 ，所以 2 ，
又由图象的一条对称轴是直线 π
8x ，可得 2 ,8 2k k Z ，
且 0 ，解得 3
4
，
所以 3( ) 2sin 2 4f x x
（2）由集合 3 , 2 24 4A x x B x f x m
，
因为若 A B ，即当 3
4 4
x 时，不等式 2 2f x m f x 恒成立，
所以 max min[ ( ) 2] [ ( ) 2]f x m f x ，
因为 3
4 4
x ，则 3 32 [ , ]4 4 4x ，
当 32 4 4x ，即
4x ，函数取得最小值，最小值为 min( ) ( ) 24f x f ；
当 32 4 2x ，即 5
8x ，函数取得最大值，最大值为 max
5( ) ( ) 28f x f ，
所以 (0,2 2)m .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象与性质，合理转化是
解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.
四、填空题
38．（2020·全国高三专题练习）已知函数 2sin 3y x ( 0 )在区间 ,3
上有且仅有一个零点，
则 的取值范围为______.
【答案】 1 4 7,1 ,3 3 3
【分析】
因为 ,3x
，可得 ,3 3 3 3
wx w
，根据函数在区间 ,3
上有且仅有一个零点，得
到
( 1) 3 3
( 1)3
k k
k k
，且 2
3w
，可得 3w ，验证 0k ， 1k ，即可求解.
【详解】
由题意，函数 2sin 3y x
（ 0 ），可得函数的周期为 2T w
，
因为 ,3x
，可得 ,3 3 3 3
wx w
又由函数 2sin 3y x ( 0 )在区间 ,3
上有且仅有一个零点，
且满足
( 1) 3 3
( 1)3
k k
k k
，且 2
3w
，可得 3w ，
即
11 3 3
1 13
k k
k k
，且 3w ，
当 0k 时，
11 03 3
10 13
，解得
2 13
1 4
3 3
w
w
，所以 1 13 w ；
当 1k 时，
10 13 3
11 23
，解得
1 4
4 7
3 3
w
w
，所以 4 7
3 3w ；
当 2k 时，
11 23 3
12 33
，解得
4 7
7 10
3 3
w
w
，此时解集为空集，
综上可得，实数 的取值范围为 1 4 7,1 ,3 3 3
.
故答案为： 1 4 7,1 ,3 3 3
.
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟练应用三角函数的图象与性质，列出相
应的不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
39．（2020·全国高三专题练习）函数 1 3sin cos cos 22 2f x x x x
的最小值为
___________________．
【答案】-1
【分析】
利用诱导公式和二倍角公式化简函数为 sin cos sin cosf x x x x x ，令sin cosx x t ，
2, 2t ，可将函数化为二次函数的形式，根据二次函数性质可求得最小值.
【详解】
1sin cos sin 2 sin cos sin cos2f x x x x x x x x
令sin cosx x t ，则 2 sin 2, 24t x
2 1sin cos 2
tx x
2
21 1 1
2 2 2
tf t t t t ， 2, 2t
当 1t 时， min
1 11 12 2f t ，即 f x 的最小值为 1
本题正确结果： 1
【点睛】
本题考查换元法求解三角函数的最值问题，涉及到利用诱导公式、二倍角公式化简三角函数、二次函数最
值的求解等知识；易错点是在进行换元时，忽略新的自变量的取值范围，造成求解错误.
40．（2021·上海高一单元测试）函数 sin 2 3y x
的图象向右平移
3
个单位后与函数 f x 的图象重
合，则下列结论正确的是______.
① f x 的一个周期为 2 ； ② f x 的图象关于 7
12x 对称；
③ 7
6x 是 f x 的一个零点； ④ f x 在 5,12 12
单调递减；
【答案】①②③
【分析】
先由图像的平移变换推导出 f x 的解析式，再分析函数的周期、零点、对称性、单调性，判断是否正确．
【详解】
解： 函数 sin 2 3y x
的图象向右平移 π
3
个单位后与函数 f x 的图象重合，
sin 2 sin 23 3 3f x x x
，
f x 的一个周期为 2π ，故①正确；
y f x 的对称轴满足： 2 3 2x k ， k Z ，
当 2k 时， y f x 的图象关于 7πx 12
对称，故②正确；
由 sin 2 03f x x
， 2 3x k 得
2 6
kx ，
7
6x 是 f x 的一个零点，故③正确；
当 5,12 12x
时， 2 ,3 2 2x
，
f x 在 5,12 12
上单调递增，故④错误．
故答案为：①②③．
【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，
考查化归与转化思想，是中档题．
41．（2020·渭南市尚德中学高一月考）下列命题中，正确命题的序号是______．
①函数 4 4sin cosy x x 的最小正周期是 π；
②终边在 y 轴上的角的集合是 π ,2
k k Z
；
③在同一坐标系中，函数 siny x 的图像与函数 cosy x 图像在 0,2π 内有 1 个公共点；
④把函数 π3sin 2 3y x
的图像的对称轴是 π π ,12 2
kx k Z ．
【答案】①④
【分析】
利用平方差公式及二倍角公式化简函数解析式，求出周期可判断①正确；终边在 y 轴上的角的集合是
π ,2 k k Z
，②错误；根据正弦、余弦函数在 0,2π 上的图象可判断③错误；由正弦函数的对
称性可求出此函数的对称轴，④正确.
【详解】
① 4 4 2 2 2 2sin cos sin cos sin cos cos2y x x x x x x x ，此函数的最小正周期为 2 =2
，
①正确；
②终边在 y 轴上的角的集合是 π ,2 k k Z
，②错误；
③根据正弦、余弦函数在 0,2π 上的图象知在同一坐标系中，函数 siny x 的图像与函数 cosy x 图像在
0,2π 内有 2 个公共点，③错误；
④令 π2 ( )3 2x k k Z ，解得 ( )12 2
kx k Z ，所以函数 π3sin 2 3y x
的图像的对称轴是
π π ,12 2
kx k Z ，④正确.
故答案为：①④
【点睛】
本题考查正弦、余弦函数的图象与性质、终边在特殊位置上的角的集合、二倍角公式，属于中档题.
42．（2020·安徽省太和第一中学高二月考（理））若将函数
1 3sin 2 cos 2 02 2f x x x 的图象向左平移
4
个单位长度，平移后的图象关于点
,02
对称，则函数 3sin 2g x x 在 ,2 6
上的最小值为______.
【答案】 3
【分析】
根据三角函数的图象变换，求得 cos 2 3y x
，再结合三角函数的性质，得到函数 g x 的解析式，
进而求得其最小值，得到答案.
【详解】
由题意，函数 1 3( ) sin(2 ) cos(2 ) sin 22 2 3f x x x x
，
将函数 f x 的图象向左移
4
个单位，可得 sin 2 cos 22 3 3y x x
，
因为 cos 2 3y x
关于点 ,02
对称，
所以 cos 2 2 3
cos cos 03 3
，
又因为 0 ，可得
6
π ，故 3( ) sin 6 2g x x
，
又由 ,2 6x
，可得 ,6 3 3x
，所以 3 ( ) 0g x ，
所以函数 g x 的最小值为 3 .
故答案为： 3 .
【点睛】
本题主要考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数
的图象变换，熟练应用三角函数的图象与性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
五、双空题
43．（2020·全国高三专题练习）在△ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 tan( +4 A
)＝2，
则 sinA 的值为______，若 B＝
4
，a＝4，则△ABC 的面积等于___．
【答案】 10
10
16
【分析】
利用正切的和与差化简 tan( +4 A
)＝2．可得 tanA 的值，根据同角三角函数基本关系式可求得 sinA 的值，
由正弦定理可求得 b 的值，同角三角函数基本关系式求 cosA 的值，两角和的正弦函数公式求 sinC 的值，根
据三角形的面积公式即可计算得解．
【详解】
∵由 tan( +4 A
)＝2，可得：1 tan 21 tan
A
A
∴tanA＝ 1
3
，即 sin 1
cos 3
A
A
又∵cos2A+sin2A＝1
∴解得：sinA＝ 10
10
∵B＝
4
，a＝4，sinA＝ 10
10
∴由正弦定理：
sin sin
a b
A B
，可得：
24sin 2 4 5sin 10
10
a Bb A
∵tanA＝ 1
3
，sinA＝ 10
10
，即 sin 3 10cos tan 10
AA A
∴sinC＝sin(A+B)＝sinAcosB+cosAsinB＝ 10 2 3 10 2 2 5
10 2 10 2 5
∴△ABC 的面积 S＝ 1
2 absinC＝ 1
2 ×4×4 5 × 2 5
5
＝16．
故答案为： 10
10
，16
【点睛】
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三
角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题
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