专题 7.不等式
高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式、基本不等式及其
应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等
综合考查，六年六考；二是涉及简单线性规划问题，六年六次独立考查.对简单线性规划的考查角度有两种：
一种是求目标函数的最值或范围，但目标函数变化多样，有截距型、距离型、斜率型等；另一种是线性规
划逆向思维型，提供目标函数的最值，反求参数的范围等．题型为选择题或填空题，近两年主要考查截距
型目标函数的最值问题，且目标函数中自变量的系数均为正数，属于教科书中同类问题的最低要求．
预测 2021 年独立考查的内容将是线性规划问题或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等
其它知识点综合考查.
1．（2020·浙江省高考真题）若实数 x，y 满足约束条件 3 1 0
3 0
x y
x y
，则 z=x+2y 的取值范围是（ ）
A． ( ,4] B．[4, ) C．[5, ) D． ( , )
【答案】B
【解析】
绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
目标函数即： 1 1
2 2y x z ，
其中 z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最大，
z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在 y 轴上的截距最小，
据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点 A 处取得最小值，
联立直线方程： 3 1 0
3 0
x y
x y
，可得点 A 的坐标为： 2,1A ，
据此可知目标函数的最小值为： min 2 2 1 4z
且目标函数没有最大值.
故目标函数的取值范围是 4, .
故选：B.
【点睛】
求线性目标函数 z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当 b＞0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最大，
在 y 轴截距最小时，z 值最小；当 b＜0 时，直线过可行域且在 y 轴上截距最大时，z 值最小，在 y 轴上截
距最小时，z 值最大.
2．（2020·浙江省高考真题）已知 a，bR 且 ab≠0，对于任意 x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则
（ ）
A．a0 C．b0
【答案】C
【解析】
因为 0ab ，所以 0a 且 0b≠ ，设 ( ) ( )( )( 2 )f x x a x b x a b ，则 ( )f x 的零点
为 1 2 3, , 2x a x b x a b
当 0a 时，则 2 3x x ， 1 > 0x ，要使 ( ) 0f x ，必有 2a b a ，且 0b ，
即 b a ，且 0b ，所以 0b ；
当 0a 时，则 2 3x x ， 1 0x ，要使 ( ) 0f x ，必有 0b .
综上一定有 0b .
故选：C
3．（2020·山东海南省高考真题）已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则（ ）
A． 2 2 1
2a b B． 12 2
a b
C． 2 2log log 2a b D． 2a b
【答案】ABD
【解析】
对于 A， 22 2 2 21 2 2 1a b a a a a
21
2
1 12 2 2a
，
当且仅当 1
2a b 时，等号成立，故 A 正确；
对于 B， 2 1 1a b a ，所以 1 12 2 2
a b ，故 B 正确；
对于 C，
2
2 2 2 2 2
1log log log log log 22 4
a ba b ab
，
当且仅当 1
2a b 时，等号成立，故 C 不正确；
对于 D，因为 2
1 2 1 2a b ab a b ，
所以 2a b ，当且仅当 1
2a b 时，等号成立，故 D 正确；
故选：ABD
4．（2020·江苏省高考真题）已知 2 2 45 1( , )x y y x y R ，则 2 2x y 的最小值是_______．
【答案】 4
5
【解析】
∵ 2 2 45 1x y y
∴ 0y 且
4
2
2
1
5
yx y
∴
4 2 2
2 2 2
2 2 2
1 1 4 1 4 4+ 25 5 55 5 5
y y yx y yy y y
，当且仅当
2
2
1 4
55
y
y
，即 2 23 1,10 2x y 时取等号.
∴ 2 2x y 的最小值为 4
5
.
故答案为： 4
5
.
点睛：利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先
要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后
一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同
时成立）.
5．（2020·天津高考真题）已知 0, 0a b ，且 1ab ，则 1 1 8
2 2a b a b
的最小值为_________．
【答案】4
【解析】
0, 0, 0a b a b ， 1ab , 1 1 8 8
2 2 2 2
ab ab
a b a b a b a b
8 82 42 2
a b a b
a b a b
，当且仅当 a b =4 时取等号，
结合 1ab ,解得 2 3, 2 3a b ，或 2 3, 2 3a b 时，等号成立.
故答案为： 4
一、单选题
1．（2021·浙江绍兴市·高三一模）若实数 x，y 满足约束条件
1
2
3 0
x
x y
x y
，则 2x y 的最大值是（ ）
A． 7
3 B．3 C． 7
2 D．4
【答案】C
【解析】
画出可行域，然后取目标函数的一条等值线，然后进行平移找到取最大值的最优解，计算即可.
【详解】
如图
3
2 2
3 0 1
2
xx y
x y y
，所以点 3 1,2 2A
当目标函数的一条等值线 2 0x y 过点 A 时，目标函数会取最大值
所以 2x y 的最大值是 3 1 72 2 2 2
故选：C
2．（2021·浙江温州市·高三二模）在平面直角坐标系中，不等式组
1 0,
1 0,
1
x y
x y
x
所表示的平面区域的面积
是（ ）
A．4 B．2 C．1 D． 1
2
【答案】C
【解析】
先画出区域，求出顶点坐标，再求面积.
【详解】
作出可行域如图所示：
不等式所表示区域即为三角形 ABC，
由 1=0
1=0
x y
x y
，求得 C(0,1),
同理可求：A(1,2), B(1,0),
所以 1 1 2 1 12 2ABCS AB h △
即平面区域的面积是 1.
故选：C
3．（2021·浙江高三月考）若实数 x ， y 满足约束条件
2 0
4 0
2 0
x
x y
x y
，则 2z x y 取最小值时 x （ ）
A． 7 B． 5 C． 3 D． 1
【答案】C
【解析】
根据条件作出可行域，将目标函数 2z x y 化为 2y x z ，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代
入目标函数得答案．
【详解】
由实数 x ， y 满足约束条件
2 0
4 0
2 0
x
x y
x y
，作出可行域，如图
由 4 0
2 0
x y
x y
，解得 3, 1A
将目标函数 2z x y 化为 2y x z
z 表示直线 2y x z 在 y 轴上的截距，
由可行域可知，当直线 2y x z 过点 ( 3, 1)A 时，直线 2y x z 在 y 轴上的截距最小.
所以 2z x y 取最小值时 3x
故选：C
4．（2021·浙江高三月考）若实数 ,x y 满足约束条件
2 1 0,
2 1 0,
1 0,
y x
y x
x y
则 2z x y 的取值范围是（ ）
A．[ 3,2] B．[ 3,1] C．[2, ) D．[ 3, )
【答案】A
【解析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解．
【详解】
作出可行域如图所示：
解得 1, 1 , 0,1A B
把目标函数转化为 l ： 1
2 2
zy x
当l 过 1, 1A 时，z 有最小值， min 1 2 1 3z ；
当l 过 0,1B 时，z 有最大值， max 0 2 1 2z .
∴z 的范围是[ 3,2] .
故选：A
5．（2021·浙江丽水市·高三期末）若 x，y 满足约束条件
0
2 6
2
x y
x y
x y
，则直线 2 1y k x 斜率的最大值
是（ ）
A． 7
2 B．3 C．2 D． 3
2
【答案】D
【解析】
由数形结合可知点 1,1A 与 ( 1, 2) 连线的斜率最大.
【详解】
如图所示：
平面区域
0
2 6
2
x y
x y
x y
是由三角形 2,2A ， 1,1B ， 4, 2C 围成，
所以 2
1
y kx
的最大值是点 1,1A 与 ( 1, 2) 连线的斜率 3
2
，
故选：D
6．（2021·浙江宁波市·高三月考）若实数 x,y 满足约束条件
2 0
4 0
0
x y
x y
y
，则 2z x y 的最小值是（ ）
A． 7- B． 5 C． 2 D．4
【答案】B
【解析】
作出可行域，作出目标函数对应的直线，平移该直线可得最优解．
【详解】
作出可行域，如图 ABC 内部（含边界），作直线 : 2 0l x y ，由 2z x y 得 1 1
2 2y x z ，其中 1
2 z
是直线的纵截距，当直线向上平移时，纵截距增大． z 值减小，
所以当l 过点 B 时， z 取得最小值，由 4 0
2 0
x y
x y
．得 1
3
x
y
，即 ( )1,3B ，
所以 min 1 2 3 5z ．
故选：B．
7．（2021·全国高三专题练习（理））已知 ,a b 都大于零且不等于 1，则“ log 1a b ”是“ ( 1)( 1) 0a b ”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
log 1a b 等价于 1b a 或 0 1b a ，( 1)( 1) 0a b 等价于 1
1
a
b
或 0 1
0 1
a
b
，然后可判断出答
案.
【详解】
由 log 1a b 可得 log loga ab a ，所以可得 1a
b a
或 0 1a
b a
，即 1b a 或 0 1b a
( 1)( 1) 0a b 等价于 1
1
a
b
或 0 1
0 1
a
b
所以“ log 1a b ”是“ ( 1)( 1) 0a b ”的充分不必要条件
故选;：A
8．（2021·浙江省高三开学考试）若变量 x ， y 满足约束条件
8
2 4
0
0
x y
y x
x
y
，且 5z y x 的最
大值为 a ，最小值为b ，则 a b的值是
A． 48 B． 30
C． 24 D．16
【答案】C
【解析】
由 8 8 4 2 16 5 16 162 4 4 2 8
x y x y x y y x z y x ay x y x
＝ ， 由
8 8 0
2 4 0 84 00, 0 2
x y x
y x xx
x y
，当 8x 最大时， 0y 最小，此时 5 8z y x 最小，
8, 16 8 24b a b ，故选 C.
9．（2021·浙江高三期末）已知实 ,x y 满足约束条件
1
2 1 0
5 0
x
x y
x y
，则目标函数 2z x y 的最小值是
（ ）
A．-4 B．-1 C． 2 D．-5
【答案】A
【解析】
画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出.
【详解】
画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，
将 2z x y 化为 2y x z ，
观察图形可得，当直线 2y x z 过点C 时， z 最小，
联立方程 2 1 0
5 0
x y
x y
，可得 3,2C ，则 min 2 3 2 4z .
故选：A.
10．（2021·浙江高三月考）设 x 、 y 满足约束条件
3 6 0
3 0
3 0
x y
x y
y
，则 x y 的最大值为（ ）
A． 4 B． 3
2
C． 0 D． 6
【答案】D
【解析】
作出不等式组所表示的可行域，令 z x y ，平移直线 z x y ，找出使得该直线在 x 轴上截距最大时对
应的最优解，代入目标函数计算即可得解.
【详解】
作出不等式组
3 6 0
3 0
3 0
x y
x y
y
所表示的可行域如下图所示：
联立 3 0
3
x y
y
，解得 9
3
x
y
，即点 9,3A ，
令 z x y ，平移直线 z x y ，当该直线经过可行域的顶点 A 时，该直线在 x 轴上的截距最大，此时 z
取最大值，即 max 9 3 6z .
故选：D.
11．（2021·浙江高三期末）设变量 x ， y 满足约束条件
3 2 0
6 0
1 0
x y
x y
y
，则目标函数 2z x y 的最大值为
（ ）
A．0 B．1 C．9 D．10
【答案】C
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解
的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
画出
3 2 0
6 0
1 0
x y
x y
y
表示的可行域，如图，
由
1 0
6 0
y
x y
可得
5
1
x
y
，
将 2z x y 变形为 2y x z ，
平移直线 2y x z ，
由图可知当直 2y x z 经过点 5,1 时，
直线在 y 轴上的截距最小，
2z x y 最大，最大值为 2 5 1 9z ，
故选：C.
12．（2021·浙江丽水市·高三期末）设正数 m，n，
2
m nu ， 2 2 2v m n mn ，则
2u
v
的最大值是（ ）
A． 1
4 B． 1
3 C． 1
2 D．1
【答案】B
【解析】
化简 2
2 2
1 1( ) 4 4
u mn
v m n mn
，再结合基本不等式，即可求解.
【详解】
由题意，正数 m，n，
2
m nu ， 2 2 2v m n mn ，
则
2
2 2
2
2 2 2 2 2 2
( ) 1 2 1 12( ) 4 4 4
m n
u m n mn mn
v m n mn m n mn m n mn
2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
4 4 4 4 4 4 2 1 3( ) 1 1
m
n
m m m n
n n n m
，
当且仅当 m n
n m
时，即 m n 时，等号成立,所以
2u
v
的最大值是为 1
3 .
故选：B.
13．（2021·浙江绍兴市·高三一模）已知 2 2 2 20, 0, 3, 3a b a b ab a b ，则 a b的最小值是（ ）
A． 2 2 B．3 C． 2 3 D．4
【答案】B
【解析】
将 2 2 3a b ab ，变形为
2 23 32 4
b ba
，令
3 cos2
3 3sin2
ba
b
，根据 0, 0a b 确定 20 3
，
得到 2 2a b 2 3sin 2 3
，然后由 2 2 3a b ，，进一步确定
6 2
，然后由
3 cos 3sin 2 3sin 6a b
，利用三角函数性质求解.
【详解】
因为
2 2
2 2 2 2 3
4 4
b ba b ab a b ab ，
2 23 32 4
b ba
，
令
3 cos2
3 3sin2
ba
b
，
则 3 cos sin 2sin 3
2sin
a
b
，
因为 0, 0a b ，
所以 sin 03
sin 0
，即 0 3
0
，
解得 20 3
，
所以 2 22 2 3 cos sin 2sina b ，
2 2 23cos 2 3sin cos sin 4sin ，
2 23 cos sin 2 3sin cos
3cos2 3sin 2 ，
2 3sin 2 3
，
因为 20 3
，
所以 523 3 3
，
因为 2 2 3a b ，
所以 3 3sin 22 3 2
，
解得 2 423 3 3
，
所以
6 2
，则 2
3 6 3
，
所以 3 cos 3sin 2 3sin 3,2 36a b
，
所以 a b的最小值是 3，
故选：B
【点睛】
关键点点睛：本题关键是将 2 2 3a b ab ，变形为
2 23 32 4
b ba
，利用三角换元，转化为三角函
数求解.
14．（2021·浙江高三期末）已知实数 ,x y 满足 2 2 1,0 1,0 1x y x y ，当 4 1
x y
取最小值时， x
y
的
值为（ ）
A． 3 4 B． 3 3 C． 3 D．1
【答案】A
【解析】
先设 ( 0)x m my
，即 x my ，结合题的条件，得到 2
2
1
1y m
，将题中式子进行变形
2 2
2
4 1 4 1 4 (4 ) ( 1)m m m
x y my y my m
，之后构造函数并化简得到
2
2
8 16( ) 8 17f m m m m m
，利用导数研究函数的最值即可得结果.
【详解】
设 ( 0)x m my
，即 x my ，因为 2 2 1,0 1,0 1x y x y ，
所以 2 2 2 1m y y ，所以 2
2
1
1y m
，
所以
2 2
2
4 1 4 1 4 (4 ) ( 1)m m m
x y my y my m
，
令
2 2 2 2
2
2 2 2
(4 ) ( 1) ( 8 16)( 1) 8 16( ) 8 17m m m m mf m m mm m m m
，
2 3 3 3
8 32 8( 4) 8'( ) 2 8 2( 4) (2 )( 4)mf m m m mm m m m
，
因为 0m ，所以当 30 4m 时， '( ) 0f m ，当 3 4m 时， '( ) 0f m
( )f m 在 3(0, 4) 上单调递减，在 3( 4, ) 上单调递增，
所以当 3 4m 时， ( )f m 取得最小值，
故选：A.
15．（2021·高三月考）若实数 x ， y 满足约束条件
2 2 0
2 1 0
3 4 0
x y
x y
x y
，则 2z x y 的取值
范围是（ ）
A． 81, 3
B． 81, 3
C． 1,2 D． 1,2
【答案】A
【解析】
将目标函数分类讨论：当 0y≥ 时，目标函数 2z x y ，作出可行域，将目标函数转化为斜截式 2y x z ，
作出直线 2y x ，上下平移直线找到目标函数取得最大、最小值位置，代入点的坐标即可；当 0y 时，
目标函数 2z x y ，同理求出目标函数的最值，再利用并集思想求出 2z x y 的取值范围.
【详解】
当 0y≥ 时，目标函数 2z x y ，作出可行域，如图所示：
将目标函数转化为斜截式 2y x z ，作出直线 2y x ，上下平移直线，当直线 2y x z 过 (0,1)A 时，
目标函数 2z x y 取得最小值 1 ；当直线 2y x z 过 4( ,0)3B 时，目标函数 2z x y 取得最大值 8
3
，
即 81 3z ；
当 0y 时，目标函数 2z x y ，作出可行域，如图所示：
将目标函数转化为斜截式 2y x z ，作出直线 2y x ，上下平移直线，当直线 2y x z 与直线
2 1 0x y 平行时，目标函数 2z x y 取得最小值1；当直线 2y x z 过 4( ,0)3C 时，目标函数
2z x y 取得最大值 8
3
，但取不到该值，即 81 3z
综上可知： 2z x y 的取值范围是 81 3z
故选：A
二、填空题
16．（2021·浙江温州市·高三二模）已知 ,a b 是正数，且 ( 1)( 1) 9a b ，则 a b的最小值是_______．
【答案】8
【解析】
由 ( 1)( 1) 9a b 可得 1 9ab a b ，然后
2
8 2
a bab a b
，解出即可.
【详解】
因为 ( 1)( 1) 1 9a b ab a b
所以
2
8 2
a bab a b
所以 2 4 32 0a b a b ，解得 8a b 或 4a b （舍）
所以 a b的最小值是 8，当且仅当 4a b 时等号成立
故答案为：8
17．（2021·高三月考）已知实数 x ， y 满足条件
2 2
3
x y
x y x y
，则 2z x y 的取值范
围是___________.
【答案】 6,4
【解析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解
的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.
【详解】
由 3x y x y ，即 3 3x y x y x y ，所以 0
0
x y
y
由实数 x ， y 满足的条件，作出可行域，如图.
由 0
2 2
x y
x y
，解得 2,2B , 由图可知 2,0A
目标函数 2z x y 化为 2y x z ，
z 表示直线 2y x z 在 y 轴上的截距的相反数
如图，可知当直线 2y x z 过点 B 时在 y 轴上的截距最大，，此时 z 最小，为 2 2 2 6z
直线 2y x z 过点 A 时在 y 轴上的截距最小，，此时 z 最大，为 2 2 0 4z
故 2z x y 的取值范围是 6,4
故答案为： 6,4
18．（2021·浙江高三月考）若 a ，b 是正实数，且 1a b ，则 1 2
a b
的最小值为_________.
【答案】 3 2 2
【解析】
利用“1”的代换，将 1 2
a b
转化为 1 2 2 3b a
a b a b
，再利用基本不等式求解.
【详解】
因为 1a b ，
所以 1 2 1 2 2 23 2 3 3 2 2b a b aa ba b a b a b a b
，
当且仅当
1
2
a b
b a
a b
，即 2 1, 2 2a b 时，等号成立，
故答案为：3 2 2
19．（2021·浙江丽水市·高三期末）已知 1log 1 log 0 1a aa a a ，则 a 的取值范围是__________.
【答案】 1 5 ,12
【解析】
通过作差将 1log 1 log 0 1a aa a a 转化为 ( 1)log ( 1) log 0 a aa a ，利用换底公式计算可得
( 1)
lg( 1) lg lg( 1) lglog ( 1) log lg lg( 1)
a a
a a a aa a a a
，分别判断每个因式的正负，最终转化为
21 1( ) 12 4
a 成立，结合二次函数图像，即可求得 a 的取值范围.
【详解】
∵ ( 1)
lg( 1) lglog ( 1) log lg lg( 1)a a
a aa a a a
2 2lg ( 1) lg
lg ( 1)
a a
alg a
lg( 1) lg lg( 1) lg
lg lg( 1)
a a a a
a a
而当 0 1a 时， lg 0a ， g( 0)l 1a ，
1lg( 1) lg lg lg1 0aa a a
21 1lg( 1) lg lg ( 1) lg ( )2 4a a a a a
，所以 1log 1 log 0 1a aa a a 即为
21 1lg ( ) 02 4
a ，由于 lgu 单调递增，所以 21 1( ) 12 4
a .
21 1( )2 4u a 的图象如图，当 1u 时， 0
1 5
2a ，
∴当 1 5 12 a 时，1 2u ，lg 0u ，
可得 log 1 log 1 0a aa a a .
故答案为： 1 5 ,12
20．（2021·浙江宁波市·高三月考）若正数 ,a b 满足 2a b ab ，则 3 7
1 1a b
的最小值是________．
【答案】 2 7
【解析】
由 2a b ab 可得 2 01
ba b
可求出b 的范围，由 2a b ab 可得 31 1b a
代入所求式子，利
用基本不等式即可求最值.
【详解】
由 2a b ab 可得 1 1 3a b ，
所以 31 1b a
，
3 7 711 1 1ba b b
由 2a b ab 得 2 01
ba b
可得 1b ，
所以 1 0b ，
所以 3 7 7 71 2 1 2 71 1 1 1b ba b b b
，
当且仅当 71 1b b
即 7 1b ， 7 3 7
7a 时等号成立，
所以 3 7
1 1a b
的最小值是 2 7 ，
故答案为： 2 7 .
21．（2021·浙江高三月考）已知实数 ,x y 满足 2 2 3x y xy ，则 2 2 4S x y xy 的最大值为___________.
【答案】5
【解析】
利用基本不等式求得 xy 的取值范围，注意 2 2 2x y xy ，分类 0xy 和 0xy 讨论可得，然后由二次函
数知识得S 的最大值．
【详解】
2 2 3 2x y xy xy xy ，
当 0xy 时， 2 3xy xy xy ，当 0xy 时， 2 3xy xy ， 1xy ，
所以 1 3xy ， 3x y 时， 3xy ， 1x y 时， 1xy ，
2 2 24 ( 2) 4S x y xy xy ，所以 1xy 时， max 5S ．
故答案为：5．
【点睛】
关键点点睛：本题考查求函数的最大值问题，解题关键是用基本不等式确定 xy 的范围时， 2 2 2x y xy ，
需要分类讨论才能得出 xy 的范围，否则易出错： 2 2 2x y xy xy xy xy ，得 3xy ，当然这样做无
法求得最大值．
22．（2021·浙江高三月考）设实数 a，b 满足 0a ， 1a b ，则
2 22
1 2
a b
a b
的最大值是________.
【答案】 6 2 7
【解析】
根据 1a b ，转化为关于 a 的式子，利用均值不等式求解.
【详解】
1a b Q , 0a
2 ( 1)b a , 1b a ,
2 2 2 2 22 2(1 ) 4 2 7( 1 6) (2 7 6) 6 2 71 2 1 1 1 1
a b a a a a aa b a a a a
当且仅当 71 1a a
，即 7 1a 时等号成立，
故答案为： 6 2 7
23．（2021·浙江高三期末）若正实数 ,x y 满足 1 1 4x
x y y
，则 1 1x x y
的最小值为___________.
【答案】 2 5 1
【解析】
由已知等量关系得 ( 1)
4 1
x xy x
，代入目标式化简得 1 1 51 11x x y x x
，应用基本不等式求最小值
即可.
【详解】
由 1 1 4x
x y y
且 , 0x y 知： ( 1)
4 1
x xy x
，
∴
24 1 5 5 51 1 2 ( 1) 1 2 5 1( 1) 1 1 1
1 1 1 x x x x xx x xy xx xx x x
当且仅当
51 1x x
时等号成立，即 5 1x 时等号成立.
故答案为： 2 5 1
24．（2021·浙江高三月考）已知函数 2 22 4f x x x a x x a ＝ ，若对任意的 1,x a 不等式
1f x a x 恒成立，则实数 a 的最大值为______．
【答案】 25
【解析】
由条件对任意的 1,x a 可得 2x x ，不等式 1f x a x 恒成立，即
2 22 2 2 4 1x x a x x a a x 在 1,x a 上恒成立，整理可得
2 24 2 1 2x x a x a x a 在 1,x a 上恒成立，，再打开绝对值分别讨论即可得到答案.
【详解】
当 1,x a 时，则 21,a x x ，
2 2 2 22 4 2 2 2 4f x x x a x x a x x a x x a ＝
不等式 1f x a x 恒成立，即 2 22 2 2 4 1x x a x x a a x
即 2 24 2 1 2x x a x a x a
所以 2 24 2 1 2x x a x a x a 或 2 24 2 1 2x x a x a x a 在 1,x a 恒成立.
若 2 24 2 1 2x x a x a x a 在 1,x a 恒成立.
即 23 5 3 0x a x a ，设 23 5 3 0g x x a x a ， 1,x a
由1 x a ，所以 51 6
a a ，则 5 06
ag
所以 24 3 3 +55 06 4 3
a aag
，解得1 25a
所以1 25a
若 2 24 2 1 2x x a x a x a 在 1,x a 恒成立.
即 2 3 0x a x a ，设 2 3x ax xh a ， 1,x a
由1 x a ，所以
3 12
1 0
a
g
，或
3 12
3 02
a
ag
解得1 5a 或 5
1 9
a
a
，所以1 9a
综上可得实数 a 的的取值范围是 1,25 ，则实数 a 的最大值为 25 ．
故答案为： 25
【点睛】
关键点睛：本题考查绝对值不等式的恒成立问题，解答本题的关键是由条件可得 2x x ，即
2 24 2 1 2x x a x a x a ，然后打开绝对值再分别讨论即可，属于中档题.
25．（2021·浙江宁波市·高三月考）已知 0a ，b R ，若 3 2 4 2| | 2ax bx ax bx a b x b 对任意
1 22x
， 都成立，则 b
a
的取值范围是______．
【答案】 2 ,5
【解析】
不等式化为 2
2
1 1 2 1b b b bx xa x a a x a
，令 1t x x
， 52, 2t
，可得 2 1b bt ta a
，分别讨
论 0b
a
， 0b
a
，和 0b
a
时，求最值可得出.
【详解】
不等式两边同时除以 2ax 得 2
2
1 1 2 1b b b bx xa x a a x a
，
整理得
21 11b bx xa x x a
，
令 1t x x
， 1 22x
， ，则 52, 2t
，则 2 1b bt ta a
，
由于对任意 1 22x
， 都成立，则有 2 1b bt ta a
对任意 52, 2t
恒成立，
（1）当 0b
a
时，1 t 不成立，不符合题意；
（2）当 0b
a
时，则当 5
2t 时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意，
则 25 514 2
b b
a a
，解得 6
29
b
a
，与 0b
a
矛盾，不符合；
（3）当 0b
a
时，
①当 5
2
b
a
时，则当 2t 时，不等式左边取到最小，右边取到最大，满足题意，
则 4 1 2b b
a a
，解得 1b
a
， 5
2
b
a
；
②当 0 2b
a
时，有 2 1b bt ta a
，即 2
1
11
b t
a t t t
，则当 2t 时，
1
1t t
取得最大值为 2
5
，则
2
5
b
a
， 2 25
b
a
；
③当 52 2
b
a
时， 2 1 1b bt ta a
恒成立，满足题意，
综上所述， b
a
的取值范围是 2 ,5
.
故答案为： 2 ,5
.
【点睛】
关键点睛：本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是将不等式转化为 2 1b bt ta a
在 52, 2t
恒成
立，再讨论 b
a
的范围即可.
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