江苏省海安实中、高邮一中、吴江中学2020-2021学年高三下学期3月联考数学试卷（解析版）

2021 年江苏省海安实中、高邮一中、吴江中学、吴江高级中学 四校高考数学联考试卷（3 月份） 一、选择题（共 8 小题）. 1．已知集合 A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|3x﹣1＞0}，则 A∪B＝（ ） A． B． C．（0，+∞） D．R 2．复数 （i 为虚数单位），则|z|＝（ ） A．1 B．2 C． D． 3．在数列{an}中， 且 a2020＝ ，则 a2023 ＝（ ） A． B． C． D．3 4．设函数 f（x）＝x3log3（ ），则函数 f（x）的图像可能为（ ） A． B． C． D． 5．设 α ， β 为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 m⊥ α ，l∥ β ，则“l∥m”是“ α⊥ β ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知 O 为△ABC 的外心， ，则 cos∠ABC 的值为（ ） A． B． C． D． 7．学校举行羽毛球混合双打比赛，每队由一男一女两名运动员组成．某班级从 3 名男生 A1， A2，A3 和 4 名女生 B1，B2，B3，B4 中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行 羽毛球混合双打比赛，则 A1 和 B1 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A． B． C． D． 8．若 2a+ ＝3b+ ＝5c+ ，则（ ） A．cln5＞aln2＞bln3 B．aln2＞cln5＞bln3 C．bln3＞cln5＞aln2 D．aln2＞bln3＞cln5 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9．已知实数 a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列说法中，正确的是（ ） A． ≤4 B．2a+2b≥2 C．log2a•log2b≤1 D．存在 a，b，使得直线 ax+by＝1 与圆 x2+y2＝4 相切 10．正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，F 在侧面 CDD1C1 上运动，且满足 B1F ∥平面 A1BE．以下命题正确的有（ ） A．侧面 CDD1C1 上存在点 F，使得 B1F⊥CD1 B．直线 B1F 与直线 BC 所成角可能为 30° C．平面 A1BE 与平面 CDD1C1 所成锐二面角的正切值为 D．设正方体棱长为 1，则过点 E，F，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为 11．已知函数 f（x）＝sin（ ω x+ φ ）（ ω∈ N）在区间[﹣ ， ]和[ ]上单调递 增，下列说法中正确的是（ ） A． ω 的最大值为 3 B．方程 f（x）＝log2 π x 在[0，2 π ]上至多有 5 个根 C．存在 ω 和 φ 使 f（x）＝sin（ ω x+ φ ）为偶函数 D．存在 ω 和 φ 使 f（x）＝sin（ ω x+ φ ）为奇函数 12．在一张纸上有一圆 C：（x+2）2+y2＝r（r＞0）与点 M（m，0）（m≠﹣2），折叠纸片， 使圆 C 上某一点 M'恰好与点 M 重合，这样的每次折法都会留下一条直线折痕 PQ，设折 痕 PQ 与直线 M'C 的交点为 T，则下列说法正确的是（ ） A．当﹣2﹣r＜m＜﹣2+r 时，点 T 的轨迹为椭圆 B．当 r＝1，m＝2 时，点 T 的轨迹方程为 C．当 m＝2，1≤r≤2 时，点 T 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为[2，4] D．当 r＝2 ，m＝2 时，在 T 的轨迹上任取一点 S，过 S 作直线 y＝x 的垂线，垂足为 N， 则△SON（O 为坐标原点）的面积为定值 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13．已知 α 为锐角且 ，则 tan α ＝ ． 14．已知正整数 n≥7，若 的展开式中不含 x4 项，则 n 的值为 ． 15．已知函数 则 x ∈ [﹣1，e]时，f（x）的最小值为 ； 设 g（x）＝[f（x）]2﹣f（x）+a 若函数 g（x）有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 ． 16．如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，其由两个全等且平行的正 六边形作为基底，侧面由 12 个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若某个正 六角反棱柱各棱长均为 1，则其外接球的表面积为 ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{an}满足 a1＝3，an+1＝2an﹣n+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{cn}满足 cn＝ ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 18．在△ABC 中，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 B＝ ，b＝ ． （Ⅰ）若 cosAcosC＝ ，求△ABC 的面积； （Ⅱ）试问 ＝1 能否成立？若能成立，求此时△ABC 的周长；若不能成立，请说明 理由． 19．在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，BC∥AD， ∠ADC＝90°，BC＝CD＝1，PA＝PD＝AD＝2，E 为线段 AD 的中点，过 BE 的平面与 线段 PD，PC 分别交于点 G，F． （Ⅰ）求证：GF⊥PA； （Ⅱ）在棱 PD 上是否存在点 G，使得直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值为 ， 若存在，请确定 G 点的位置；若不存在，请说明理由． 20．已知椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的右焦点为 F（1，0），且过点 A（﹣2，0）． （1）求 C 的方程； （2）点 P、Q 分别在 C 和直线 x＝4 上，OQ∥AP，M 为 AP 的中点，求证：直线 OM 与 直线 QF 的交点在某定曲线上． 21．定向越野起源于欧洲，是一种借助地图，指南针，在一个划定的区域内，通过对地形地 貌的判断．设计合理路线到达各个目标点位，最后到达终点的运动，湖南青葵定向体育 发展有限公司为了推广定向活动，对学生群体进行定向越野的介绍和培训，并对初步了 解了定向活动的学生是否会参加定向越野活动进行调查．随机抽取了 200 位中小学生进 行调查、得到如下数据：准备参加定向越野的小学生有 80 人，不准备参加定向越野的小 学生有 40 人，准备参加定向越野的中学生有 40 人． （1）完成下列 2×2 列联表，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为这 200 位参与 调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关． 准备参加定向越野 不准备参加定向越野 合计 小学生 中学生 合计 （2）为了储备定向后备力量，备战全国赛，提高会员定向水平．俱乐部将小学生会员分 组进行比赛．两人一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张地图（跑一张地图 视为一次），达到教练设定的成绩标准的次数之和不少于 3 次称为“优秀小组”．小超 与小红同一小组，小超、小红达到教练设定的成绩标准的概率分别为 p1，p2，且 ，理论上至少要进行多少轮比赛，才能使得小超、小红小组在比赛中获得“优 秀小组”次数的期望值达到 16 次？并求此时 p1，p2 的值． 附： ． P（K2≥k0） 0.50 0.25 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 1.323 3.840 5.024 6.635 22．设 f（x）＝ln（x﹣1），g（x）＝ ，a 是常数． （1）当 x＞2 时，若 f（x）＞g（x）恒成立，求 a 的取值范围； （2）当 x＞0 时，证明不等式：exln（x+1）＞x2+ ． 参考答案 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x|log2x≤1}，B＝{x|3x﹣1＞0}，则 A∪B＝（ ） A． B． C．（0，+∞） D．R 解：∵ ， ∴A∪B＝（0，+∞）． 故选：C． 2．复数 （i 为虚数单位），则|z|＝（ ） A．1 B．2 C． D． 解：复数 z＝1﹣ ＝1﹣ ＝1﹣ ＝1+i， 所以|z|＝ ＝ ． 故选：C． 3．在数列{an}中， 且 a2020＝ ，则 a2023 ＝（ ） A． B． C． D．3 解：由条件数列{an}中 知， 数列 是等差数列，则其公差 ． 因此 ． 故选：C． 4．设函数 f（x）＝x3log3（ ），则函数 f（x）的图像可能为（ ） A． B． C． D． 解：由 ＞0，得（1+x）（1﹣x）＞0，得（1+x）（x﹣1）＜0，得﹣1＜x＜1，即函 数的定义域为（﹣1，1）， f（﹣x）＝﹣x3log3（ ）＝﹣x3log3（ ）﹣1＝x3log3（ ）＝f（x），即 f（x）是 偶函数，图象关于 y 轴对称，排除 A，C， 当 x＜1 且趋向 1 时， →+∞，则 f（x）→+∞，排除 C， 故选：B． 5．设 α ， β 为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且 m⊥ α ，l∥ β ，则“l∥m”是“ α⊥ β ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解：若 l∥m， ∵m⊥ α ，∴l⊥ α ， ∵l∥ β ，∴ α ⊥ β 成立，即充分性成立， 反之若 α ⊥ β ， ∵m⊥ α ，∴m∥ β 或 m ⊂ 平面 β ， ∵l∥ β ，∴l∥m 不一定成立，即必要性不成立， 即“l∥m”是“ α ⊥ β ”的充分不必要条件， 故选：A． 6．已知 O 为△ABC 的外心， ，则 cos∠ABC 的值为（ ） A． B． C． D． 解：根据题意，设∠ABC＝ θ ，则∠AOC＝2 θ ，若 O 为△ABC 的外心，则设| |＝| |＝ | |＝r， 若 ，则﹣4 ＝3 +5 ， 则有 16 2＝9 2+25 2+30 • ，即 16r2＝9r2+25r2+30r2cos2 θ ， 变形可得 cos2 θ ＝﹣ ， 由图可得：0＜2 θ ＜ π ，则 0＜ θ ＜ ， 则有 cos2 θ ＝2cos2 θ ﹣1＝﹣ ， 变形可得 cos θ ＝ ， 故选：A． 7．学校举行羽毛球混合双打比赛，每队由一男一女两名运动员组成．某班级从 3 名男生 A1， A2，A3 和 4 名女生 B1，B2，B3，B4 中各随机选出两名，把选出的 4 人随机分成两队进行 羽毛球混合双打比赛，则 A1 和 B1 两人组成一队参加比赛的概率为（ ） A． B． C． D． 解：设分为甲乙两队； 则甲队的人任选的话有： ＝12 种情况，乙队去选时有： ＝6 种情况； 故共有 12×6＝72 种情况； 若 A1 和 B1 两人组成一队，在甲队时，乙队有： ＝6 种情况； 在乙队时，甲队有： ＝6 种情况． 故共有 6+6＝12 种情况； 所以：A1 和 B1 两人组成一队参加比赛的概率为：P＝ ＝ ． 故选：C． 8．若 2a+ ＝3b+ ＝5c+ ，则（ ） A．cln5＞aln2＞bln3 B．aln2＞cln5＞bln3 C．bln3＞cln5＞aln2 D．aln2＞bln3＞cln5 解：由函数 ， ， 可知，x ∈ （0，e），f'（x）＞0，x ∈ （e，+∞），f'（x）＜0， 又 ， ， 所以 ． 故选：A． 二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分． 9．已知实数 a＞0，b＞0，a+b＝1，则下列说法中，正确的是（ ） A． ≤4 B．2a+2b≥2 C．log2a•log2b≤1 D．存在 a，b，使得直线 ax+by＝1 与圆 x2+y2＝4 相切 解：实数 a＞0，b＞0，a+b＝1， 对于 A： ，故 A 错误； 对于 B： ，当且仅当 a＝b＝ 时，等号成立，故 B 正确； 对 于 C ： ，故 C 正确； 对于 D：圆心（0，0）到直线 ax+by﹣1＝0 的距离 d＝ ， （ ），故 D 错误； 故选：BC． 10．正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中，E 是棱 DD1 的中点，F 在侧面 CDD1C1 上运动，且满足 B1F ∥平面 A1BE．以下命题正确的有（ ） A．侧面 CDD1C1 上存在点 F，使得 B1F⊥CD1 B．直线 B1F 与直线 BC 所成角可能为 30° C．平面 A1BE 与平面 CDD1C1 所成锐二面角的正切值为 D．设正方体棱长为 1，则过点 E，F，A 的平面截正方体所得的截面面积最大为 解：作辅助线，I、J、N，分别为所在棱中点，P 点为 A1E 与 AD 延长线交点， BP 连线交 CD 于 G，则 G 为 CD 中点，K 为 IJ 中点，L 为 A1B 与 A1B 交点； 对于 A，当 F 取 IJ 中点 K 时，B1K⊥IJ，IJ∥CD1 所以 B1K⊥CD1，B1K∥LM，LM ⊂ 平面 A1BE，B1K∥平面 A1BE，所以 A 对； 对于 B，因为 B1C1∥BC，所以 B1F 与直线 B1C1 所成角即为 B1F 与直线 BC 所成角， 设成角为 θ ，在侧面 CDD1C1 上存在点 F，使 C1F＝ ， 所以 tan θ ＝ ，于是 θ ＝30°，所以 B 对； 对于 C，平面 AA1B1B∥平面 CDD1C1，所以平面 A1BE 与平面 CDD1C1 所锐二面角， 即为平面 A1BE 与平面 AA1B1B 所成锐二面角，二面角的平面角即为∠PLA， 其正切值为 ，所以 C 对； 对于 D，因为过点 E，F，A 的平面截正方体所得的截面面积最大的截面为菱形 AEC1N， 其面积为 ，所以 D 对． 故选：ABCD． 11．已知函数 f（x）＝sin（ ω x+ φ ）（ ω∈ N）在区间[﹣ ， ]和[ ]上单调递 增，下列说法中正确的是（ ） A． ω 的最大值为 3 B．方程 f（x）＝log2 π x 在[0，2 π ]上至多有 5 个根 C．存在 ω 和 φ 使 f（x）＝sin（ ω x+ φ ）为偶函数 D．存在 ω 和 φ 使 f（x）＝sin（ ω x+ φ ）为奇函数 解：由函数 f（x）＝sin（ ω x+ φ ） （ ω∈ N）在区间[﹣ ， ] 和[ ]上单调递增， 可得当周期 T 最小时， ω 最大， 应有 ＝ ＝ ﹣ ＝ ， 求得 ω ＝3，故 ω 的最大值为 3． 故 A 正确； 若方程 f（x）＝log2 π x 在[0，2 π ]上的根最多，则函数 f（x）＝sin（ ω x+ φ ）的周期最小， 即 ω ＝3， 画出两个函数的图象，由图中可知至多有五个交点，故选项 B 正确； 因为函数 f（x）＝sin（ ω x+ φ ）（ ω∈ N）在区间[﹣ ， ]上单调递增，故不可能存在 ω 和 φ 使 f（x）为偶函数， 故选项 C 错误； 当 ω ＝2 和 φ ＝0 时，f（x）＝sin2x 为奇函数，满足题意，故选项 D 正确， 故选：ABD． 12．在一张纸上有一圆 C：（x+2）2+y2＝r（r＞0）与点 M（m，0）（m≠﹣2），折叠纸片， 使圆 C 上某一点 M'恰好与点 M 重合，这样的每次折法都会留下一条直线折痕 PQ，设折 痕 PQ 与直线 M'C 的交点为 T，则下列说法正确的是（ ） A．当﹣2﹣r＜m＜﹣2+r 时，点 T 的轨迹为椭圆 B．当 r＝1，m＝2 时，点 T 的轨迹方程为 C．当 m＝2，1≤r≤2 时，点 T 的轨迹对应曲线的离心率取值范围为[2，4] D．当 r＝2 ，m＝2 时，在 T 的轨迹上任取一点 S，过 S 作直线 y＝x 的垂线，垂足为 N， 则△SON（O 为坐标原点）的面积为定值 解：对于 A：当﹣2﹣r＜m＜﹣2+r，点 M 在圆 C 内， 此时有|TM|+|TC|＝|CM′|＝r＞|CM|， 故点 T 的轨迹是以 C，M 为焦点的椭圆，故 A 正确； 对于 B：当 r＝1，m＝2 时，点 M 在圆 C 外， 此时有|TM|﹣|TC|＝|CM′|＝r＜|CM|， 故 T 的轨迹为以点 C，M 为焦点的双曲线， 其中 2a＝r＝1，2c＝CM＝4， 故双曲线的方程为 ﹣ ＝1，故 B 错误； 对于 C：当 m＝2，1≤r≤2 时，T 的轨迹是以 C，M 为焦点的双曲线， 方程为 ﹣ ＝1， 所以离心率 e＝ ＝ ＝ ， 当 1≤r≤2 时，2≤e≤4，故 C 正确； 对于 D：当 r＝2 ，m＝2 时，T 的轨迹方程为 x2﹣y2＝2， 设 S（p，q），则 p2﹣q2＝2， 直线 SN 的方程为 y﹣q＝﹣（x﹣p），它与 y＝x 的交点 N 的坐标为（ ， ）， 所以|ON|＝ |p+q|，|SN|＝ ， 所以 S△SNO＝ ×|ON|×|SN|＝ ＝ 为定值，故 D 正确． 故选：ACD． 三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共计 20 分．请把答案填写在答题卡相应位置 上） 13．已知 α 为锐角且 ，则 tan α ＝ ． 解：因为 α 为锐角且 ，可得 cos α ﹣ sin α ＝ ， 则 cos α ﹣sin α ＝ ， ①两边平方，可得 1﹣2sin α cos α ＝ ，可得 2sin α cos α ＝ ， 所以 cos α +sin α ＝ ＝ ＝ ＝ ， ②由 ①② ，可得 cos α ＝ ，sin α ＝ ， 可得 tan α ＝ ＝ ． 故答案为： ． 14．已知正整数 n≥7，若 的展开式中不含 x4 项，则 n 的值为 8 ． 解：若展开式中不含 x4 项， 即（1﹣x）n 展开式中 x3 项和 x5 项的系数和为 0， 即﹣ +C ＝0， 即 ＝C ，则 n＝3+5＝8， 故答案为：8． 15．已知函数 则 x ∈ [﹣1，e]时，f（x）的最小值为 ﹣4 ； 设 g（x）＝[f（x）]2﹣f（x）+a 若函数 g（x）有 6 个零点，则实数 a 的取值范围是 （0， ） ． 解：当 x ∈ [1，e]时，f（x）＝lnx，此时函数在区间上单调递增，故此时函数最小值为 f （1）＝ln1＝0， 当 x ∈ [﹣1，1）时，f（x）＝2x3﹣3x2+1，则 f'（x）＝6x2﹣6x＝0 时，x＝1（舍）或 0， 且有 f（x）在（﹣1，0）上单调递增，在（0，1）上单调递减， 因为 f（﹣1）＝﹣2﹣3+1＝﹣4＜f（1）， 故函数 f（x）在[﹣1，e]上的最小值为﹣4； 令 t＝f（x），g（x）＝0 即 t2﹣t＝﹣a， 作出函数 y＝f（x）的图象，如图所示： 直线 y＝t 与函数 y＝f（x）的图象最多只有三个交点，所以 0＜t＜1， 即说明方程 t2﹣t＝﹣a 有两个（0，1）内的不等根， 亦即函数 y＝t2﹣t 在（0，1）内的图象与直线 y＝﹣a 有两个交点， 因为 y＝t2﹣t＝（t﹣ ）2﹣ ，根据 y＝t2﹣t 的图象可知，﹣ ＜a＜0， 即实数 a 的取值范围为 0＜a＜ ． 故答案为：﹣4；（0， ）． 16．如图，该图展现的是一种被称为“正六角反棱柱”的多面体，其由两个全等且平行的正 六边形作为基底，侧面由 12 个全等的以正六边形的边为底的等腰三角形组成．若某个正 六角反棱柱各棱长均为 1，则其外接球的表面积为 ． 解：作出该几何体在下底面的投影图如图， ∵正六角反棱柱各棱长均为 1，∴OA＝1，OB＝ ，则 AB＝1﹣ ， 过侧面任意一三角形上顶点作底面垂线，设垂足为 A，d 为上下两底面距离， 则 ， 设球的半径为 R，则有 ， ∴其外接球的表面积为 S＝4 π × ＝（ ） π ． 故答案为： ． 四、解答题（本大题共 6 小题，共计 70 分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤） 17．已知数列{an}满足 a1＝3，an+1＝2an﹣n+1． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若数列{cn}满足 cn＝ ，求数列{cn}的前 n 项和 Tn． 解：（1）数列{an}中， ∵an+1＝2an﹣n+1， ∴an+1﹣（n+1）＝2（an﹣n），又 a1＝3，a1﹣1＝2， ∴数列{an﹣n}是首项与公比均为 2 的等比数列， ∴an﹣n＝2n， ∴an＝2n+n； （2）∵an＝2n+n， ∴cn＝ ＝ ＝ ﹣ ， ∴Tn＝c1+c2+…+cn＝[（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）]＝ ﹣ ． 即数列{cn}的前 n 项和 Tn＝ ﹣ ． 18．在△ABC 中，它的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 B＝ ，b＝ ． （Ⅰ）若 cosAcosC＝ ，求△ABC 的面积； （Ⅱ）试问 ＝1 能否成立？若能成立，求此时△ABC 的周长；若不能成立，请说明 理由． 解：（Ⅰ）由 B＝ ，可得 A+C＝ ， 所以 cos（A+C）＝cosAcosC﹣sinAsinC，即 ， 又因为 cosAcosC＝ ，所以 sinAsinC＝ ， 因为 ， 所以 ， 所以 ＝ ； （Ⅱ）假设 能成立，所以 a+c＝ac， 由余弦定理，b2＝a2+c2﹣2accosB， 所以 6＝a2+c2+ac，所以（a+c）2﹣ac＝6， 故（ac）2﹣ac﹣6＝0，解得 ac＝3 或 ac＝﹣2（舍）， 此时 a+c＝ac＝3，不满足 ， 所以假设不成立，故 不成立． 19．在四棱锥 P﹣ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，BC∥AD， ∠ADC＝90°，BC＝CD＝1，PA＝PD＝AD＝2，E 为线段 AD 的中点，过 BE 的平面与 线段 PD，PC 分别交于点 G，F． （Ⅰ）求证：GF⊥PA； （Ⅱ）在棱 PD 上是否存在点 G，使得直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值为 ， 若存在，请确定 G 点的位置；若不存在，请说明理由． 【解答】（Ⅰ）证明：因为 ，且 E 为线段 AD 的中点，所以 BC＝DE． 又 BC∥AD，所以四边形 BCDE 为平行四边形，所以 BE∥CD． 又 CD ⫋ 平面 PCD，BE ⊄ 平面 PCD，所以 BE∥平面 PCD． 又 BE ⫋ 平面 BEGF，平面 BEGF∩平面 PCD＝GF，所以 BE∥GF． 又平面 PAD⊥平面 ABCD，BE ⫋ 平面 BEGF，BE⊥AD， 平面 PAD∩平面 ABCD＝AD， 所以 BE⊥平面 PAD，又因为 BE∥GF， 所以 GF⊥平面 PAD，又 PA ⫋ 平面 PAD， 所以 GF⊥PA． （Ⅱ）解：存在，G 为棱 PD 上靠近 D 点的三等分点． 因为 PA＝PD，E 为线段 AD 的中点，所以 PE⊥AD，又平面 PAD⊥平面 ABCD，所以 PE ⊥平面 ABCD． 如图，以 E 为坐标原点， 、 、 的方向为 x，y，z 轴正方向，建立如图所示的空间 直角坐标系 E﹣xyz， 则 ，B（0，1，0），E（0，0，0），D（﹣1，0，0）， 所以 ， ， ， 设 ，得 ，所以 ， 设平面 BEGF 的法向量为 ，则 ，即 ， 令 ，可得 为平面 BEGF 的一个法向量， 设直线 PB 与平面 BEGF 所成角为 α ， 于是有 ； 解得 或 λ ＝﹣1（舍去）， 所以存在点 ，使得直线 PB 与平面 BEGF 所成角的正弦值为 ， 故 G 为棱 PD 上靠近 D 点的三等分点． 20．已知椭圆 C： ＝1（a＞b＞0）的右焦点为 F（1，0），且过点 A（﹣2，0）． （1）求 C 的方程； （2）点 P、Q 分别在 C 和直线 x＝4 上，OQ∥AP，M 为 AP 的中点，求证：直线 OM 与 直线 QF 的交点在某定曲线上． 解：（1）由题意可知：A（﹣2，0）为椭圆的左顶点，故 a＝2， 又 F（1，0）为 C 的右焦点，所以 a2﹣b2＝1，于是 b2＝3， 故椭圆 C 的方程为： ； （2）证明：设 P（x0，y0）（x0≠±2），则 M（ ）， 直线 AP 的斜率 k＝ ， 又 OQ∥AP，所以直线 OQ 的方程为 y＝ x， 令 x＝4 得 Q（4， ）， ， ， 所以 ＝ （*）， 又 P 在椭圆 C 上，所以 ，代入（*）得： ，所以 OM⊥FQ， 故直线 OM 与 FQ 的交点在以 OF 为直径的圆上，且该圆的方程为：（x﹣ ） ， 即直线 OM 与直线 FQ 的交点在某定曲线（x﹣ ） 上． 21．定向越野起源于欧洲，是一种借助地图，指南针，在一个划定的区域内，通过对地形地 貌的判断．设计合理路线到达各个目标点位，最后到达终点的运动，湖南青葵定向体育 发展有限公司为了推广定向活动，对学生群体进行定向越野的介绍和培训，并对初步了 解了定向活动的学生是否会参加定向越野活动进行调查．随机抽取了 200 位中小学生进 行调查、得到如下数据：准备参加定向越野的小学生有 80 人，不准备参加定向越野的小 学生有 40 人，准备参加定向越野的中学生有 40 人． （1）完成下列 2×2 列联表，并根据列联表判断是否有 97.5%的把握认为这 200 位参与 调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生年龄有关． 准备参加定向越野 不准备参加定向越野 合计 小学生 中学生 合计 （2）为了储备定向后备力量，备战全国赛，提高会员定向水平．俱乐部将小学生会员分 组进行比赛．两人一组，每周进行一轮比赛，每小组两人每人跑两张地图（跑一张地图 视为一次），达到教练设定的成绩标准的次数之和不少于 3 次称为“优秀小组”．小超 与小红同一小组，小超、小红达到教练设定的成绩标准的概率分别为 p1，p2，且 ，理论上至少要进行多少轮比赛，才能使得小超、小红小组在比赛中获得“优 秀小组”次数的期望值达到 16 次？并求此时 p1，p2 的值． 附： ． P（K2≥k0） 0.50 0.25 0.05 0.025 0.010 k0 0.455 1.323 3.840 5.024 6.635 解：（1）由题意得 2×2 列联表如下图： 准备参加定向越野 不准备参加定向越野 合计 小学生 80 40 120 中学生 40 40 80 合计 120 80 200 ∵K2＝ ≈5.556＞5.024， ∴有 97.5%的把握认为这 200 位参与调查的中小学生是否准备参加定向越野与中小学生 年龄有关． （2）他们在一轮游戏中获“优秀小组”的概率为： P＝ + + ＝2 ， ∵ ， ∴P＝ ， ∵0≤p2≤1， ， ∴0≤ ≤1， 又∵0≤p1≤1，∴ ， ∴ 可看成关于 p1 的二次函数，当 时，（p1p2）max＝ ， 当 p1＝ 或 p1＝1 时， ， ∴ ， 令 t＝p1p2，∴ ， ∴P＝h（t）＝ ， 当 t＝ 时，Pmax＝ ， 他们小组在 n 轮游戏中获“优秀小组”次数 ξ 满足 ξ ～B（n，p）， 由（np）max＝16，则 n＝27， ∴理论上至少要进行 27 轮比赛，才能使得小超、小红小组在比赛中获得“优秀小组”次 数的期望值达到 16 次， 此时 p1+p2＝ ，p1p2＝ ，p1＝p2＝ ． 22．设 f（x）＝ln（x﹣1），g（x）＝ ，a 是常数． （1）当 x＞2 时，若 f（x）＞g（x）恒成立，求 a 的取值范围； （2）当 x＞0 时，证明不等式：exln（x+1）＞x2+ ． 解：（1）由于 f（x）＝ln（x﹣1），g（x）＝ ， 若当 x＞2 时，f（x）＞g（x）恒成立， 则当 x＞2 时，ln（x﹣1）＞ 恒成立， 即当 x＞2 时，xln（x﹣1）﹣a（x﹣2）＞0 恒成立， 令 G（x）＝xln（x﹣1）﹣a（x﹣2）， G′（x）＝ln（x﹣1）+ ﹣a（x＞2）， 令 M（x）＝ln（x﹣1）+ ﹣a（x＞2）， 所以 M′（x）＝ ﹣ ＝ ＞0， 故 G′（x）在（2，+∞）上单调递增，且 G′（2）＝2﹣a， ① 当 2﹣a＜0 时，由于 G′（2）＜0，且 G′（x）在（2，+∞）上单调递增， x→+∞时，G′（x）→+∞， 所以存在 x0 ∈ （2，+∞），使得 G′（x）＝0， 所以 x ∈ （2，x0）时，G′（x）＜0，G（x）单调递减， 在 x ∈ （x0，+∞）时，G′（x）＞0，G（x）单调递增， 所以 x＝x0 时，G（x）取得最小值 G（x0）＝x0ln（x0﹣1）﹣a（x0﹣2）， 因为 G（2）＝2ln1﹣a（2﹣2）＝0，且 G（2）＞G（x0）， 所以 G（x0）＜0，不符合题意， ② 当 2﹣a≥0 时，由于 G′（2）＞0，G′（x）＞G′（2）＞0， 所以 G（x）在（2，+∞）上单调递增， 所以 G（x）最小值为 G（2）＝0， 所以 G（x）＞G（2）＝0， 综上所述，a 的取值范围为 a≤2． （2）证明：由（1）可知当 a＝2 时，当 x＞2 时，f（x）＞g（x）恒成立，即 ln（x﹣1） ＞ ， 当 x＞0 时，x+2＞2，所以 ln（x+1）＞ ， 所以 exln（x+1）＞ ， 令 h（x）＝ ﹣[x2+ ]＝ ， 令 g（x）＝2ex﹣x2﹣2x﹣2， 则 g′（x）＝2ex﹣2x﹣2， 令 h（x）＝2ex﹣2x﹣2， h′（x）＝ex﹣1， 当 x＞0 时，h′（x）＞0，h（x）单调递增， 所以 h（x）＞h（0）＝0，即 g′（x）＞0，g（x）单调递增， 所以 g（x）＞g（0）＝0，h（x）＞h（0）， 所以 ＞x2+ ， 所以 exln（x+1）＞ ＞x2+ ， 所以 exln（x+1）＞x2+ ，得证．