专题05 平面向量-【知识手册】2021年高考数学复习之考点

2021 年高考数学复习之专题突破训练《专题五：平面向量》 考点卡片 1．向量的概念与向量的模 【向量概念】 既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方 向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向 量的模，这是一个标量． 【向量的几何表示】 用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的 方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如 、 ，…字母表示，用小写字 母 、 ，…表示．有向向量的长度为模，表示为| |、| |，单位向量表示长度为一个单位 的向量；长度为 0 的向量为零向量． 【向量的模】 的大小，也就是 的长度（或称模），记作| |． 【零向量】 长度为零的向量叫做零向量，记作 ，零向量的长度为 0，方向不确定． 【单位向量】 长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 （与 共线的单位向量是 ）． 【相等向量】 长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性． 2．平行向量（共线） 【知识点的知识】 1、平行向量： 方向相同或相反的非零向量．如果 ， ， 是非零向量且方向相同或相反（向量所在 的直线平行或重合），则可即位 ∥ ∥ ，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此 平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平 行． 2、共线向量： 如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的 一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线． 说明： （1）向量有两个要素：大小和方向． （2）向量 与向量 共线的充要条件是：向量 a 与向量 b 的方向相同或相反，或者有一个是 零向量． 共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量． 【定理】 假设向量 ＝（1，2），向量 ＝（2，4），则 ＝2 ，那么向量 与向量 平行，且有 1×4﹣2×2＝0，即当向量 ＝（x1，y1）与向量 ＝（x2，y2）平行时，有 x1•y2﹣x2•y1＝0， 这也是两向量平行的充要条件． 【例题解析】 例：设 与 是两个不共线的向量，且向量 与 共线，则 λ ＝ ﹣0.5 ． 解；∵向量 与 共线，∴存在常数 k，使得 ＝k（ ） ∴2＝k．﹣1＝ λ k 解得， λ ＝﹣0.5 故答案为﹣0.5． 根据向量共线的充要条件，若向量 与 共线，就能得到含 λ 的等式，解出 λ即可． 3．向量的加法 【知识点的知识】 向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二： （1）三角形法则：设 与 不共线，在平面上任取一点 A（如图 1），依次作 ＝a， ＝b， 则向量 叫做 与 的和，记作 ，即 + ＝ + ＝ 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． （2）平行四边形法则：如图 2 所示，ABCD 为平行四边形，由于 ＝ ，根据三角形法则 得 + ＝ + ＝ ，这说明，在平行四边形 ABCD 中，所表示的向量就是 与 的 和． 特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角 线．（首尾相接，结果为首尾） （3）向量的加法性质 ① + ＝ + ＝ ； +（﹣ ）＝ ； ② + ＝ + ； ③ （ + ）+ ＝ +（ + ）． 4．向量的三角形法则 【知识点的知识】 三角形法则：设 与 不共线，在平面上任取一点 A（如图 1），依次作 ＝a， ＝b，则 向量 叫做 与 的和，记作 ，即 + ＝ + ＝ 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． 5．向量加减混合运算 【知识点的知识】 1、向量的加法运算 求几个向量和的运算叫向量的加法运算，其运算法则有二： （1）三角形法则：设 与 不共线，在平面上任取一点 A（如图 1），依次作 ＝a， ＝b， 则向量 叫做 与 的和，记作 ，即 + ＝ + ＝ 特征：首尾相接的几个有向线段相加，其和向量等于从首向量的起点指向末向量的终点． （2）平行四边形法则：如图 2 所示，ABCD 为平行四边形，由于 ＝ ，根据三角形法则 得 + ＝ + ＝ ，这说明，在平行四边形 ABCD 中，所表示的向量就是 与 的 和． 特征：有共同起点的两个向量相加，其和向量等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角 线．（首尾相接，结果为首尾） （3）向量的加法性质 ① + ＝ + ＝ ； +（﹣ ）＝ ； ② + ＝ + ； ③ （ + ）+ ＝ +（ + ）． 2、向量的减法运算． 求两个向量差的运算叫向量的减法运算． 法则：以将向量 a 与向量 b 的负向量的和定义为 与 的差，即 ﹣ ＝ +（﹣ ）． 设 ＝ ， ＝ ，则．即＝ ＝ ．即 特征；有共同起点的两个向量 、 ，其差 仍然是一个向量，叫做 与 的差向量，其起 点是减向量 的终点，终点是被减向量 的终点．（减终指向被减终） 6．两向量的和或差的模的最值 【知识点的知识】 向量的虽然有大小和方向，但也还是可以进行加减．就像速度是可以加减的一样，向量 相加减之后还是向量．当两个向量相加时，有| + |≤| |+| |，当且仅当 与 方向相同时取 得到等号；也有| + |≥|| |﹣| ||，当且仅当 与 方向相反时取得到等号． 另外还有| ﹣ |≤| |+| |，当且仅当 与 方向相反时取得到等号．；| ﹣ |≥|| |﹣| ||， 当且仅当 与 方向相同时取得到等号． 【例题解析】 例：定义 * ＝| || |sin θ ， θ 是向量 和 的夹角，| |，| |是两向量的模，若点 A（﹣3，2）， B（2，3），O 为坐标原点，则 * ＝（ ） 解：∵A（﹣3，2），B（2，3）， ∴ ＝﹣3×2+2×3＝0， ∴sin θ ＝1． ∴ * ＝ ＝ ＝13． 点评：这个题拿来当例题主要是这个题很新颖，很适合高考求变的胃口．其实这个题求的就 是他们的最大值，只是多了一个确认的步奏． 【考点点评】 向量和差的模的极值也是一个比较重要的知识点，大家要引起重视，特别是新大纲还增 加了向量的知识点，体现了对向量这一块的重视，那么就更加要熟悉这一部分的考点． 7．向量数乘和线性运算 【知识点的知识】 （1）实数与向量 的积是一个向量，记作 λ ，它的大小为| λ |＝| λ || |，其方向与 λ 的正负有 关．若| λ |≠0，当 λ ＞0 时， λ 的方向与 的方向相同，当 λ ＜0 时， λ 的方向与 的方向相 反． 当 λ ＝0 时， λ 与 平行． 对于非零向量 a、b，当 λ ≠0 时，有 ∥ ⇔ ＝ λ（2）向量数乘运算的法则 ① 1 ＝ ；（﹣1） ＝ ； ② （ λμ ） ＝ λ （ μ ） ＝ μ （ λ ）； ③ （ λ + μ ） ＝ λ + μ ； ④λ （ + ）＝ λ + λ ． 一般地， λ + μ 叫做 ， 的一个线性组合（其中， λ 、 μ 均为系数）．如果 ＝ λ + μ ，则称 可以用 ， 线性表示． 8．平面向量的基本定理 【知识点的知识】 1、平面向量基本定理内容： 如果 e1、e2 是同一平面内两个不共线的向量，那么对这一平面内任一 ，有且仅有一对 实数 λ 1、 λ 2，使 ． 2、基底：不共线的 e1、e2 叫做平面内表示所有向量的一组基底． 3、说明： （1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共线就行． （2）由定理可将任一向量按基底方向分解且分解形成唯一． 9．平面向量的坐标运算 【知识点的知识】 平面向量除了可以用有向线段表示外，还可以用坐标表示，一般表示为 ＝（x，y）， 意思为以原点为起点，以（x，y）为终点的向量，它的模为 d＝ ．若 ＝（m，n）， 则 + ＝（x+m，y+n），则 ﹣ ＝（x﹣m，y﹣n）； • ＝（xm，ny）， λ ＝（ λ x， λ y）． 【典型例题分析】 例：已知平面向量 满足： ， ，且 ，则向量 的坐标为 （4， 2）或（﹣4，﹣2） ． 解：根据题意，设 ＝（x，y）， 若 ，有 ＝0，则﹣x+2y＝0， ① ， 若 ，x2+y2＝20， ② ， 联立 ①② ，可得 ， 解可得 或 ， 则 ＝（4，2）或（﹣4，﹣2）； 故答案为（4，2）或（﹣4，﹣2）． 这个题就是考察了向量的坐标运算，具体的可以先设 ＝（x，y），根据题意，由 ， 可得﹣x+2y＝0， ① ，由 ，可得 x2+y2＝20， ② ，联立 ①② 两式，解可得 x、y 的 值，即可得 的坐标．这也是常用的一种方法． 【考点点评】 这是一个很重要的考点，也是一个比较容易的考点，大家在学习的时候关键是掌握公式 的应用，常用的解法一般就是上面例题中的先设未知数，再求未知数． 10．平面向量共线（平行）的坐标表示 【知识点的知识】 平面向量共线（平行）的坐标表示： 设 ＝（x1，y1）， ＝（x2，y2），则 ∥ （ ≠ ） ⇔ x1y2﹣x2y1＝0． 11．平面向量数量积的含义与物理意义 【知识点的知识】 1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量 ， 如果以 O 为起点，作 ＝ ， ＝ ，那么射线 OA，OB 的夹 角 θ 叫做向量 与向量 的夹角，其中 0≤ θ ≤ π ． 2、向量的数量积概念及其运算： （1）定义：如果两个非零向量 ， 的夹角为 θ ，那么我们把| || |cos θ 叫做 与 的数量积， 记做 即： ＝| || |cos θ ．规定：零向量与任意向量的数量积为 0，即： • ＝0． 注意： ① 表示数量而不表示向量，符号由 cos θ 决定； ② 符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替； ③ 在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤ θ ≤ π ． （2）投影： 在 上的投影是一个数量| |cos θ ，它可以为正，可以为负，也可以为 0 （3）坐标计算公式：若 ＝（x1，y1）， ＝（x2，y2），则 ＝x1x2+y1y2， 3、向量的夹角公式： 4、向量的模长： 5、平面向量数量积的几何意义： 与 的数量积 等于 的长度| |与 在 的方向上的投 影| |cos θ 的积． 12．平面向量数量积的性质及其运算 【知识点的知识】 1、平面向量数量积的重要性质： 设 ， 都是非零向量， 是与 方向相同的单位向量， 与 和夹角为 θ ，则： （1） ＝ ＝| |cos θ ； （2） ⇔ ＝0；（判定两向量垂直的充要条件） （3）当 ， 方向相同时， ＝| || |；当 ， 方向相反时， ＝﹣| || |； 特别地： ＝| |2 或| |＝ （用于计算向量的模） （4）cos θ ＝ （用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状） （5）| |≤| || | 2、平面向量数量积的运算律 （1）交换律： ； （2）数乘向量的结合律：（ λ ）• ＝ λ （ ）＝ •（ ）； （3）分配律：（ ）• ≠ •（ ） 【平面向量数量积的运算】 平面向量数量积运算的一般定理为 ① （ ± ）2＝ 2±2 • + 2． ② （ ﹣ ）（ + ）＝ 2 ﹣ 2． ③ •（ • ）≠（ • ）• ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是 相同的，有些不一样． 【例题解析】 例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ① “mn＝nm”类比得到“ ” ② “（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”； ③ “t≠0，mt＝nt ⇒ m＝n”类比得到“ ⇒ ”； ④ “|m•n|＝|m|•|n|”类比得到“| |＝| |•| |”； ⑤ “（m•n）t＝m（n•t）”类比得到“（ ）• ＝ ”； ⑥ “ ”类比得到 ．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ． 解：∵向量的数量积满足交换律， ∴“mn＝nm”类比得到“ ”， 即 ① 正确； ∵向量的数量积满足分配律， ∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”， 即 ② 正确； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴“t≠0，mt＝nt ⇒ m＝n”不能类比得到“ ⇒ ”， 即 ③ 错误； ∵| |≠| |•| |， ∴“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”； 即 ④ 错误； ∵向量的数量积不满足结合律， ∴“（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（ ）• ＝ ”， 即 ⑤ 错误； ∵向量的数量积不满足消元律， ∴ ”不能类比得到 ， 即 ⑥ 错误． 故答案为： ①② ． 向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“ ”；向量的数量积满足分配 律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消 元律，故“t≠0，mt＝nt ⇒ m＝n”不能类比得到“ ⇒ ”；| |≠| | •| |，故“|m•n|＝|m|•|n|”不能类比得到“| |＝| |•| |”；向量的数量积不满足结合律，故 “（m•n）t＝m（n•t）”不能类比得到“（ ）• ＝ ”；向量的数量积不满足消 元律，故 ”不能类比得到 ． 【考点分析】 本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题 目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握． 13．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 【知识点的知识】 1、向量的夹角概念： 对于两个非零向量 ， 如果以 O 为起点，作 ＝ ， ＝ ，那么射线 OA，OB 的夹 角 θ 叫做向量 与向量 的夹角，其中 0≤ θ ≤ π ． 2、向量的数量积概念及其运算： （1）定义：如果两个非零向量 ， 的夹角为 θ ，那么我们把| || |cos θ 叫做 与 的数量积， 记做 即： ＝| || |cos θ ．规定：零向量与任意向量的数量积为 0，即： • ＝0． 注意： ① 表示数量而不表示向量，符号由 cos θ 决定； ② 符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替； ③ 在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤ θ ≤ π ． （2）投影： 在 上的投影是一个数量| |cos θ ，它可以为正，可以为负，也可以为 0 （3）坐标计算公式：若 ＝（x1，y1）， ＝（x2，y2），则 ＝x1x2+y1y2， 3、向量的夹角公式： 4、向量的模长： 5、平面向量数量积的几何意义： 与 的数量积 等于 的长度| |与 在 的方向上的投 影| |cos θ 的积． 14．数量积表示两个向量的夹角 【知识点的知识】 我们知道向量是有方向的，也知道向量是可以平行的或者共线的，那么，当两条向量 与 不平行时，那么它们就会有一个夹角 θ ，并且还有这样的公式：cos θ ＝ ．通 过这公式，我们就可以求出两向量之间的夹角了． 【典型例题分析】 例：复数 z＝ +i 与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为 60° ． 解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝cos60°+isin60°． ∴复数 z＝ +i 与它的共轭复数 对应的两个向量的夹角为 60°． 故答案为：60°． 点评：这是个向量与复数相结合的题，本题其实可以换成是用向量（ ，1）与向量（ ， ﹣1）的夹角． 【考点点评】 这是向量里面非常重要的一个公式，也是一个常考点，出题方式一般喜欢与其他的考点 结合起来，比方说复数、三角函数等，希望大家认真掌握． 15．数量积判断两个平面向量的垂直关系 【概念】 向量是有方向的，那么在一个空间内，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可 能是相交．当两条向量的方向互相垂直的时候，我们就说这两条向量垂直．假如 ＝（1，0， 1）， ＝（2，0，﹣2），那么 与 垂直，有 • ＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向 量它们的乘积为 0． 【例题解析】 例：与向量 ， 垂直的向量可能为（ ） A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3） 解：对于 A：∵ ， •（3，﹣4）＝﹣ ＝﹣5，∴A 不成立； 对于 B：∵ ， •（﹣4，3）＝ ，∴B 不成立； 对于 C：∵ ， •（4，3）＝ ，∴C 成立； 对于 D：∵ ， •（4，﹣3）＝ ，∴D 不成立； 故选：C． 点评：分别求出向量 ， 和 A，B，C，D 四个备选向量的乘积，如果乘积等于 0， 则这两个向量垂直，否则不垂直． 【考点分析】 向量垂直是比较喜欢考的一个点，主要性质就是垂直的向量积为 0，希望大家熟记这个 关系并灵活运用．