考点卡片
1．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①
如果函数 f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有 f（﹣x）＝﹣f（x），
那么函数 f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
②
如果函数 f（x）的定
义域关于原点对称，且定义域内任意一个 x，都有 f（﹣x）＝f（x），那么函数 f（x）就叫做
偶函数，其图象特点是关于 y 轴对称．
【解题方法点拨】
①
奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用 f（0）＝0 解相关的未知量；
②
奇函数：若定义域不包括原点，那么运用 f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③
偶函数：在定义域内一般是用 f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④
对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数 y＝x|x|+px，x
∈
R 是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与 p 有关
解：由题设知 f（x）的定义域为 R，关于原点对称．
因为 f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以 f（x）是奇函数．
故选 B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分
析，确保答题的正确率．
2．函数零点的判定定理
【知识点的知识】
1、函数零点存在性定理：
一般地，如果函数 y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f（a）
•f（b）＜0，那么函数 y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在 c
∈
（a，b），使得 f（c）
＝O，这个 c 也就是 f（x）＝0 的根．
特别提醒：
（1）根据该定理，能确定 f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．
（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说
明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数 f（x）＝x2﹣3x+2 有 f（0）•f（3）＞0，但函数
f（x）在区间（0，3）上有两个零点．
（3）若 f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则 f（x）
在（a，b）上有唯一的零点．
2、函数零点个数的判断方法：
（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 y＝f（x）的图象联系起来，并
利用函数的性质找出零点．
特别提醒：
①
“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程 x2﹣2x+1＝0
在[0，2]上有两个等根，而函数 f（x）＝x2﹣2x+1 在[0，2]上只有一个零点；
②
函数的零点是实数而不是数轴上的点．
（2）代数法：求方程 f（x）＝0 的实数根．
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与 x 轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一
样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不
多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数 f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5）•（x+7）•（x+2）•（x+1）
∴函数 f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70 的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的
乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于 0
时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
4．函数与方程的综合运用
【知识点的知识】
函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题．方程思想，是
从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或
方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解．有时，还
实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的．笛卡尔的方程思想是：实际问题
→数学问题→代数问题→方程问题．宇宙世界，充斥着等式和不等式．
5．变化的快慢与变化率
【知识点的知识】
1、平均变化率：
我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿 y＝f（x）来说，当自变量 x 由 x1 变化
到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为 ．把
（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化 f（x2）﹣f（x1）叫做因变量的改
变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即
＝ ．
2、瞬时变化率：
变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平
均变化率为： ＝ ．当△x 趋于 0 时，平均变化率就趋于函数在 x1
点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．
3、导数的概念：
函数 f（x）在 x＝x0 处时的瞬时变化率是函数 y＝f（x）在 x＝x0 处的导数，记作 f′（x0）
或 y′|x＝x0，即
f′（x0）＝
【典例例题分析】
典例 1：一质点的运动方程是 s＝5﹣3t2，则在一段时间[1，1+△t]内相应的平均速度为（ ）
A．3△t+6 B．﹣3△t+6 C．3△t﹣6 D．﹣3△t﹣6
分析：分别求出经过 1 秒种的位移与经过 1+△t 秒种的位移，根据平均速度的求解公式平均
速度＝位移÷时间，建立等式关系即可．
解： ，
故选 D．
点评：本题考查函数的平均变化率公式： ．注意平均速度与瞬时速度的区
别．
典例 2：一质点运动的方程为 s＝8﹣3t2．
（1）求质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度；
（2）求质点在 t＝1 时的瞬时速度（用定义及求导两种方法）．
分析：本题考查的是变化率及变化快慢问题．在解答时：
（1）首先结合条件求的△s，然后利用平均速度为 进行计算即可获得问题的解答；
（2）定义法：即对平均速度为 当△t 趋向于 0 时求极限即可获得解答；求导法：t＝1
时的瞬时速度即 s＝8﹣3t2 在 t＝1 处的导数值，故只需求 t＝1 时函数 s＝8﹣3t2 的导函数值
即可获得问题的解答．
解答：由题意可知：
（1）∵s＝8﹣3t2
∴△s＝8﹣3（1+△t）2﹣（8﹣3×12）＝﹣6△t﹣3（△t）2，
∴质点在[1，1+△t]这段时间内的平均速度为： ．
（2）定义法：质点在 t＝1 时的瞬时速度为 ．
求导法：质点在 t 时刻的瞬时速度 v＝s′（t）＝（8﹣3t2）′＝﹣6t，
∴当 t＝1 时，v＝﹣6×1＝﹣6．
点评：导数的物理意义建立了导数与物体运动的瞬时速度之间的关系．对位移 s 与时间 t 的
关系式求导可得瞬时速度与时间 t 的关系．根据导数的定义求导数是求导数的基本方法，诮
按照“一差、二比、三极限”的求导步骤来求．值得同学们体会和反思．
【解题方法点拨】
瞬时速度特别提醒：
①
瞬时速度实质是平均速度当△t→0 时的极限值．
②
瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，
函数 y＝f（x）在 x＝x0 处的导数特别提醒：
①
当△x→0 时，比值 的极限存在，则 f（x）在点 x0 处可导；若 的极限不存在，则
f（x）在点 x0 处不可导或无导数．
②
自变量的增量△x＝x﹣x0 可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的
增量△y 可正可负，也可以为 0．
③
在点 x＝x0 处的导数的定义可变形为：
f′（x0）＝ 或 f′（x0）＝
导函数的特点：
①
导数的定义可变形为：f′（x）＝ ；
②
可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；
③
可导的周期函数其导函数仍为周期函数；
④
并不是所有函数都有导函数．
⑤
导函数 f′（x）与原来的函数 f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数 f′（x）在 x0
处的函数值即为函数 f（x）在点 x0 处的导数值．
⑥
区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．
6．导数及其几何意义
【知识点的知识】
1、导数的定义
如果函数 f（x）在（a，b）中每一点处都可导，则称 f（x）在（a，b）上可导，则可建立
f（x）的导函数，简称导数，记为 f′（x）；
如果 f（x）在（a，b）内可导，且在区间端点 a 处的右导数和端点 b 处的左导数都存在，
则称 f（x）在闭区间[a，b]上可导，f′（x）为区间[a，b]上的导函数，简称导数．
2、导数的几何意义
函数 f（x）在 x＝x0 处的导数就是切线的斜率 k．例如：函数 f（x）在 x0 处的导数的几何
意义：k 切线＝f′（x0）＝ ．
【典型例题分析】
题型一：根据切线方程求斜率
典例 1：已知曲线 的一条切线的斜率为 ，则切点的横坐标为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
解：设切点的横坐标为（x0，y0）
∵曲线 的一条切线的斜率为 ，
∴y′＝ ﹣ ＝ ，解得 x0＝3 或 x0＝﹣2（舍去，不符合题意），即切点的横坐标为 3
故选 A．
题型二：求切线方程
典例 2：已知函数 其图象在点（1，f（1））处的切线方程为 y
＝2x+1，则它在点（﹣3，f（﹣3））处的切线方程为（ ）
A．y＝﹣2x﹣3 B．y＝﹣2x+3 C．y＝2x﹣3 D．y＝2x+3
解：∵图象在点（1，f（1））处的切线方程为 y＝2x+1
∴f（1）＝2+1＝3
∵f（﹣3）＝f（3﹣2）＝f（1）＝3
∴（﹣3，f（﹣3））即为（﹣3，3）
∴在点（﹣3，f（﹣3））处的切线过（﹣3，3）
将（﹣3，3）代入选项通过排除法得到点（﹣3，3）只满足 A
故选 A．
【解题方法点拨】
（1）利用导数求曲线的切线方程．求出 y＝f（x）在 x0 处的导数 f′（x）；利用直线方程的
点斜式写出切线方程为 y﹣y0＝f′（x0）（x﹣x0）．
（2）若函数在 x＝x0 处可导，则图象在（x0，f（x0））处一定有切线，但若函数在 x＝x0 处
不可导，则图象在（x0，f（x0））处也可能有切线，即若曲线 y＝f（x）在点（x0，f（x0））
处的导数不存在，但有切线，则切线与 x 轴垂直．
（3）注意区分曲线在 P 点处的切线和曲线过 P 点的切线，前者 P 点为切点；后者 P 点不一
定为切点，P 点可以是切点也可以不是，一般曲线的切线与曲线可以有两个以上的公共点，
（4）显然 f′（x0）＞0，切线与 x 轴正向的夹角为锐角；f′（x0）＜0，切线与 x 轴正向的
夹角为钝角；f（x0）＝0，切线与 x 轴平行；f′（x0）不存在，切线与 y 轴平行．
7．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①
C′＝0（C 为常数）
②
（xn）′＝nxn﹣1 （n
∈
R）
③
（sinx）′＝cosx
④
（cosx）′＝﹣sinx
⑤
（ex）′＝ex
⑥
（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且 a≠1）
⑦
[logax）]′＝ *（logae）＝ （a＞0 且 a
≠1）
⑧
[lnx]′＝ ．
2、和差积商的导数
①
[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②
[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③
[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④
[ ]′＝ ．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例 1：已知函数 f（x）＝asinx+bx3+4（a
∈
R，b
∈
R），f′（x）为 f（x）的导函数，则 f（2014）
+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选 D．
题型二：复合函数的导数
典例 2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（ ）′＝
解：由复合函数的求导法则
对于选项 A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx 成立，故 A 正确；
对于选项 B， 成立，故 B 正确；
对于选项 C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故 C 不正确；
对于选项 D， 成立，故 D 正确．
故选 C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导
法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则
的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等
价性，避免不必要的运算失误．
8．导数的加法与减法法则
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①
C′＝0（C 为常数）
②
（xn）′＝nxn﹣1 （n
∈
R）
③
（sinx）′＝cosx
④
（cosx）′＝﹣sinx
⑤
（ex）′＝ex
⑥
（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且 a≠1）
⑦
[logax）]′＝ *（logae）（a＞0 且 a≠1）
⑧
[lnx]′
＝ ．
2、和差积商的导数
①
[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②
[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③
[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④
[ ]′＝ ．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例 1：已知函数 f（x）＝asinx+bx3+4（a
∈
R，b
∈
R），f′（x）为 f（x）的导函数，则 f（2014）
+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选 D．
题型二：复合函数的导数
典例 2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（ ）′＝
解：由复合函数的求导法则
对于选项 A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx 成立，故 A 正确；
对于选项 B， 成立，故 B 正确；
对于选项 C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故 C 不正确；
对于选项 D， 成立，故 D 正确．
故选 C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导
法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则
的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等
价性，避免不必要的运算失误．
9．简单复合函数的导数
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①
C′＝0（C 为常数）
②
（xn）′＝nxn﹣1 （n
∈
R）
③
（sinx）′＝cosx
④
（cosx）′＝﹣sinx
⑤
（ex）′＝e x
⑥
（ax）′＝（ax）*lna（a＞0 且 a≠1）
⑦
[logax）]′＝ *（logae）（a＞0 且 a≠1）
⑧
[lnx]′
＝ ．
2、和差积商的导数
①
[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②
[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③
[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④
[ ]′＝ ．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例 1：已知函数 f（x）＝asinx+bx3+4（a
∈
R，b
∈
R），f′（x）为 f（x）的导函数，则 f（2014）
+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b•20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选 D．
题型二：复合函数的导数
典例 2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′＝ ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（ ）′＝
解：由复合函数的求导法则
对于选项 A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx 成立，故 A 正确；
对于选项 B， 成立，故 B 正确；
对于选项 C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故 C 不正确；
对于选项 D， 成立，故 D 正确．
故选 C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导
法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则
的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等
价性，避免不必要的运算失误．
10．定积分、微积分基本定理
【定积分】
定积分就是求函数 f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由 y＝0，x＝a，x＝b，
y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个
面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，
这里以例题为例．
【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积
分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物
运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是 ，其中 F′（x）＝f
（x），而 f（x）必须在区间（a，b）内连续．
例 1：定积分 ＝
解：
∫
12|3﹣2x|dx
＝ +
＝（3x﹣x2）| +（x2﹣3x）|
＝
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有 dx；第二，每一段
对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例 2：用定积分的几何意义，则 ．
解：根据定积分的几何意义，则 表示圆心在原点，半径为 3 的圆的上半
圆的面积，
故 ＝ ＝ ．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，
所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，
知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．
11．定积分的应用
【应用概述】
正如前面定积分的概念哪里所说，定积分表示的是一个面积，是一个大于零的数．那
么它在实际当中的应用也就和求面积相关．
例 1：定积分 |sinx|dx 的值是．
解： |sinx|dx＝
＝﹣cosx +cosx
＝1+1+0﹣（﹣1）
＝3．
这个题如果这样子出，|sinx|在区间（0， ）上与 x 轴所围成的面积，那么就成了一个
应用题．如何解这类应用题呢？其实就是构建一个定积分，找到区间和要积分的函数即可．
【定积分在求面积中的应用】
1、直角坐标系下平面图形的面积
2、极坐标系下平面图形的面积
由连续曲线 r＝r（
θ
）及射线
θ
＝
α
，
θ
＝
β
所围成的平面图形的面积（图 6）为
3、用定积分求平面图形的面积的步骤
a）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；
b）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；
c）具体计算定积分，求出图形的面积．
12．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若 f′（x）＞0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0
的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若 f′（x）＜0 在（a，b）上恒成立，则 f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0
的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定 f（x）的定义域；
（2）计算导数 f′（x）；
（3）求出 f′（x）＝0 的根；
（4）用 f′（x）＝0 的根将 f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内 f
′（x）的符号，进而确定 f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则 f（x）在对应区间上是增函
数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则 f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区
间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例 1：已知函数 f（x）的定义域为 R，f（﹣1）＝2，对任意 x
∈
R，f′（x）＞2，则 f（x）
＞2x+4 的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即 f（x）﹣2x﹣4＞0，
设 g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则 g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意 x
∈
R，f′（x）＞2，
∴对任意 x
∈
R，g′（x）＞0，
即函数 g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由 g（x）＞g（﹣1）＝0 得
x＞﹣1，
即 f（x）＞2x+4 的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例 2：已知函数 f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a
∈
R）．
（Ⅰ）求函数 f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数 y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为 45°，对于任意的 t
∈
[1，
2]，函数 在区间（t，3）上总不是单调函数，求 m 的取值范围；
（Ⅲ）求证： ．
解：（Ⅰ） （2 分）
当 a＞0 时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当 a＜0 时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当 a＝0 时，f（x）不是单调函数（4 分）
（Ⅱ） 得 a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴ ，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6 分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且 g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的 t
∈
[1，2]，g′（t）＜0 恒成立，
所以有： ，∴ （10 分）
（Ⅲ）令 a＝﹣1 此时 f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以 f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知 f（x）＝﹣lnx+x﹣3 在（1，+∞）上单调递增，
∴当 x
∈
（1，+∞）时 f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1 对一切 x
∈
（1，+∞）成立，（12 分）
∵n≥2，n
∈
N*，则有 0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使 f′（x）＝0，在其余的点恒有 f′（x）＞0，则 f（x）仍为增函
数（减函数的情形完全类似）．即在区间内 f′（x）＞0 是 f（x）在此区间上为增函数的充
分条件，而不是必要条件．
13．函数在某点取得极值的条件
【知识点的知识】
极值的判断首先要求：1、该处函数值有意义，2、该处函数连续．求极值的时候 F'（X）
＝0 是首先考虑的，但是对于 F'（X）无意义的点也要讨论，只要该点有函数值且函数连续、
两边导函数值异号，就可以确定该点是极值点．具备了这些条件，我们进一步判定极大值和
极小值：当这个点左边的导函数大于 0 时，即左边单调递增，右边的导函数小于 0 时，即右
边单调递减，此时这个点就是极大值，你可以把他理解成波峰的那个点；那么波谷的那个点
就是极小值，情况相反．
【典型例题分析】
例 1：求函数 f（x）＝3x5﹣5x3﹣9 的极值点的个数．
解：∵函数 f（x）＝3x5﹣5x3﹣9
∴f'（x）＝15x4﹣15x2
令 f'（x）＝0
则 x＝﹣1，x＝0 或 x＝1
又∵当 x
∈
（﹣∞，﹣1）时，f'（x）＞0；
当 x
∈
（﹣1，0）时，f'（x）＜0；
当 x
∈
（0，1）时，f'（x）＜0；
当 x
∈
（1，+∞）时，f'（x）＞0
故函数 f（x）＝3x5﹣5x3﹣9 的极值点的个数有 2 个．
这个例题中首先判断的是其是否连续，然后在求导函数为 0 的点有几个，即它的极值点
有几个．
例 2：已知实数 a，b，c，d 成等比数列，且曲线 y＝3x﹣x3 的极大值点的坐标为（b，c），
则 ad 等于 ．
解：已知实数 a，b，c，d 成等比数列，∴ad＝bc，
∵y′＝3﹣3x2＝0，则 x＝±1，
经检验，x＝1 是极大值点．极大值为 2．
∴b＝1，c＝2
由等比数列的性质可得：ad＝bc＝2．
这个有两个极值点，但要求的是极大值，这个时候我们可以联想到波峰，即在这个点的
左边必须要大于 0，要是单调递增的，右边必须小于 0，既是单调递减的，这样这个点才处
于波峰的位置，这个时候就是极大值，这里的验证其实就是做这个工作．
【考点动向】
这也是导数里面很重要的一个点，可以单独出题，也可以作为大题的一个小问，还可
以隐含在条件中作为隐含信息，大家务必理解，并灵活运用．
14．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数 f（x）在点 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有
f（x）＜f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极大值，记作 y 极大值＝f（x0），x0 是极大值
点；
（2）极小值：一般地，设函数 f（x）在 x0 附近有定义，如果对 x0 附近的所有的点，都有 f
（x）＞f（x0），就说 f（x0）是函数 f（x）的一个极小值，记作 y 极小值＝f（x0），x0 是极小值
点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比
较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止
一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最
大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别 f（x0）是极大、极小值的方法：
若 x0 满足 f′（x0）＝0，且在 x0 的两侧 f（x）的导数异号，则 x0 是 f（x）的极值点，f（x0）
是极值，并且如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左正右负”，则 x0 是 f（x）的极大值点，f（x0）
是极大值；如果 f′（x）在 x0 两侧满足“左负右正”，则 x0 是 f（x）的极小值点，f（x0）是
极小值．
4、求函数 f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数 f′（x）；
（2）求方程 f′（x）＝0 的根；
（3）用函数的导数为 0 的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检
查 f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么 f（x）在这个根处取得极大值；
如果左负右正，那么 f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，
则 f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点 x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点 a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的
连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能
大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比
极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若 f（x）在（a，b）内有极值，那么 f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间
上单调的函数没有极值．
（4）若函数 f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个
极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，
当函数 f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数 f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点，不可导的
点也可能是极值点，也可能不是极值点．
15．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数 f（x）的图象．图中 f（x1）与 f（x3）是极小值，
f（x2）是极大值．函数 f（x）在[a，b]上的最大值是 f（b），最小值是 f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数 f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数 f（x）不一定有最大值与最小值．如函数 f（x）
＝ 在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数
值得出的．
（3）函数 f（x）在闭区间[a，b]上连续，是 f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充
分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，
也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数 f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进
行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数 f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求 f（x）在[a，b]上的最大值与最小
值的步骤如下：
（1）求 f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将 f（x）的各极值与 f（a）、f（b）比较得出函数 f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点 x0 是区间[a，b]内部的点，不会是端点 a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的
连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能
大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比
极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若 f（x）在（a，b）内有极值，那么 f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间
上单调的函数没有极值．
（4）若函数 f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个
极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，
当函数 f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数 f（x）在[a，b]内的极大值点、极
小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为 0 的点，但导数为 0 的点不一定是极值点，不可导的
点也可能是极值点，也可能不是极值点．
16．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能
力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的
基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切
线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式
把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数 y＝xlnx，求这个函数的图象在点 x＝1 处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当 x＝1 时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为 y﹣0＝1×（x﹣1），
即 y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三
步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
17．直线的点斜式方程
【知识点的认识】
设 P（x，y）是直线 l 上不同于 P0 的任意一点．
方程 y﹣y0＝k（x﹣x0）是由直线上一点和直线的斜率确定的，所以叫做直线的点斜式方程．
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