专题07 不等式-【知识手册】2021年高考数学复习之考点

2021 年高考数学复习之专题突破训练《专题七：不等式》 考点卡片 1．二次函数的性质与图象 【二次函数】 二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量， 因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0） 【二次函数的性质】 二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或 是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判 定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移． 这里面略谈一下他的一些性质． ① 开口、对称轴、最值与 x 轴交点个数，当 a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称 轴 x＝﹣ ；最值为：f（﹣ ）；判别式△＝b2﹣4ac，当△＝0 时，函数与 x 轴只有一个 交点；△＞0 时，与 x 轴有两个交点；当△＜0 时无交点． ② 根与系数的关系．若△≥0，且 x1、x2 为方程 y＝ax2+bx+c 的两根，则有 x1+x2＝﹣ ，x1 •x2＝ ； ③ 二次函数其实也就是抛物线，所以 x2＝2py 的焦点为（0， ），准线方程为 y＝﹣ ，含 义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离． ④ 平移：当 y＝a（x+b）2+c 向右平移一个单位时，函数变成 y＝a（x﹣1+b）2+c； 【命题方向】 熟悉二次函数的性质，会画出抛物线的准确形状，特别是注意抛物线焦点和准线的关 系，抛物线最值得取得，这也是一个常考点． 2．指数函数的图象与性质 【知识点的认识】 1、指数函数 y＝ax（a＞0，且 a≠1）的图象和性质： y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 （0，+∞） 性质 过定点（0，1） 当 x＞0 时，y＞1； x＜0 时，0＜y＜1 当 x＞0 时，0＜y＜1； x＜0 时，y＞1 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 2、底数对指数函数的影响： ① 在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当 a＞l 时，底数越大，函数图象在第一象 限越靠近 y 轴；同样地，当 0＜a＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近 x 轴． ② 底数对函数值的影响如图． ③ 当 a＞0，且 a≠l 时，函数 y＝ax 与函数 y＝ 的图象关于 y 轴对称． 3、利用指数函数的性质比较大小： 若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较； 若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值． 3．函数的零点 【函数的零点】 一般地，对于函数 y＝f（x）（x ∈ R），我们把方程 f（x）＝0 的实数根 x 叫作函数 y＝f （x）（x ∈ D）的零点．即函数的零点就是使函数值为 0 的自变量的值．函数的零点不是一个 点，而是一个实数． 【解法﹣﹣二分法】 ① 确定区间[a，b]，验证 f（a）*f（b）＜0，给定精确度； ② 求区间（a，b）的中点 x1； ③ 计算 f（x1）； ④ 若 f（x1）＝0，则 x1 就是函数的零点； ⑤ 若 f（a）f（x1）＜0，则令 b＝x1（此时零 点 x0 ∈ （a，x1））； ⑥ 若 f（x1）f（b）＜0，则令 a＝x1．（此时零点 x0 ∈ （x1，b） ⑦ 判 断是否满足条件，否则重复（2）～（4） 【总结】 零点其实并没有多高深，简单的说，就是某个函数的零点其实就是这个函数与 x 轴的交 点的横坐标，另外如果在（a，b）连续的函数满足 f（a）•f（b）＜0，则（a，b）至少有一 个零点．这个考点属于了解性的，知道它的概念就行了． 4．分段函数的应用 【分段函数的应用】 分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不 是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同， 商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数． 【具体应用】 正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用 题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法． 例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年 A 型产品出厂价 为每件 60 元，年销售量为 11.8 万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为 p%（0＜ p＜100，即销售 100 元要征收 p 元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件 元， 预计年销售量将减少 p 万件． （Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收 y（万元）表示成 p 的函数，并指出这个函数的定 义域； （Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于 16 万元，则税率 p%的范围是多少？ （Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于 16 万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则 p 应 为多少？ 解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件， 年销售收入为 （11.8﹣p）万元， 政府对该商品征收的税收 y＝ （11.8﹣p）p%（万元） 故所求函数为 y＝ （11.8﹣p）p 由 11.8﹣p＞0 及 p＞0 得定义域为 0＜p＜11.8…（4 分） （II）由 y≥16 得 （11.8﹣p）p≥16 化简得 p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得 2≤p≤10． 故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于 16 万元． …（9 分） （III）第二年，当税收不少于 16 万元时， 厂家的销售收入为 g（p）＝ （11.8﹣p）（2≤p≤10） ∵ 在[2，10]是减函数 ∴g（p）max＝g（2）＝800（万元） 故当税率为 2%时，厂家销售金额最大． 这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能 力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的 定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数 某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论． 【考查预测】 修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答． 5．不等关系与不等式 【不等关系与不等式】 不等关系就是不相等的关系，如 2 和 3 不相等，是相对于相等关系来说的，比如 与 就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着 它是个式子，比方说 a＞b，a﹣b＞0 就是不等式． 【不等式定理】 ① 对任意的 a，b，有 a＞b ⇔ a﹣b＞0；a＝b ⇒ a﹣b＝0；a＜b ⇔ a﹣b＜0，这三条性质是做 差比较法的依据． ② 如果 a＞b，那么 b＜a；如果 a＜b，那么 b＞a． ③ 如果 a＞b，且 b＞c，那么 a＞c；如果 a＞b，那么 a+c＞b+c． 推论：如果 a＞b，且 c＞d，那么 a+c＞b+d． ④ 如果 a＞b，且 c＞0，那么 ac＞bc；如果 c＜0，那么 ac＜bc． 【例题讲解】 例 1：解不等式：sinx≥ ． 解：∵sinx≥ ， ∴2k π + ≤x≤2k π + （k ∈ Z）， ∴不等式 sinx≥ 的解集为{x|2k π + ≤x≤2k π + ，k ∈ Z}． 这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联 结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期 就是最后的解． 例 2：当 ab＞0 时，a＞b ⇔ ． 证明：由 ab＞0，知 ＞0． 又∵a＞b，∴a ＞b ，即 ； 若 ，则 ∴a＞b． 这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接 举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广． 6．不等式比较大小 【知识点的知识】 不等式大小比较的常用方法 （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； （2）作商（常用于分数指数幂的代数式）； （3）分析法； （4）平方法； （5）分子（或分母）有理化； （6）利用函数的单调性； （7）寻找中间量或放缩法； （8）图象法．其中比较法（作差、作商）是最基本的方法． 【典型例题分析】 方法一：作差法 典例 1：若 a＜0，b＜0，则 p＝ 与 q＝a+b 的大小关系为（ ） A．p＜q B．p≤q C．p＞q D．p≥q 解 ： p ﹣ q ＝ ﹣ a ﹣ b ＝ ＝ （ b2 ﹣ a2 ） ＝ ， ∵a＜0，b＜0，∴a+b＜0，ab＞0， 若 a＝b，则 p﹣q＝0，此时 p＝q， 若 a≠b，则 p﹣q＜0，此时 p＜q， 综上 p≤q， 故选：B 方法二：利用函数的单调性 典例 2：三个数 ， ， 的大小顺序是（ ） A． ＜ ＜ B． ＜ ＜ C． ＜ ＜ D． ＜ ＜ 解：由指数函数的单调性可知， ＞ ， 由幂函数的单调性可知， ＞ ， 则 ＞ ＞ ， 故 ＜ ＜ ， 故选：B． 7．一元二次不等式及其应用 【概念】 含有一个未知数且未知数的最高次数为 2 的不等式叫做一元二次不等式．它的一般形式 是 ax2+bx+c＞0 或 ax2+bx+c＜0（a 不等于 0）其中 ax2+bx+c 是实数域内的二次三项式． 【特征】 当△＝b2﹣4ac＞0 时， 一元二次方程 ax2+bx+c＝0 有两个实根，那么 ax2+bx+c 可写成 a（x﹣x1）（x﹣x2） 当△＝b2﹣4ac＝0 时， 一元二次方程 ax2+bx+c＝0 仅有一个实根，那么 ax2+bx+c 可写成 a（x﹣x1）2． 当△＝b2﹣4ac＜0 时． 一元二次方程 ax2+bx+c＝0 没有实根，那么 ax2+bx+c 与 x 轴没有交点． 【实例解析】 例 1：一元二次不等式 x2＜x+6 的解集为． 解：原不等式可变形为（x﹣3）（x+2）＜0 所以，﹣2＜x＜3 故答案为：（﹣2，3）． 这个题的特点是首先它把题干变了形，在这里我们必须要移项写成 ax2+bx+c＜0 的形式； 然后应用了特征当中的第一条，把它写成两个一元一次函数的乘积，所用的方法是十字相乘 法；最后结合其图象便可求解． 【一元二次不等式的常见应用类型】 ① 一元二次不等式恒成立问题： 一元二次不等式 ax2+bx+c＞0 的解集是 R 的等价条件是：a＞0 且△＜0；一元二次不等式 ax2+bx+c＜0 的解集是 R 的等价条件是：a＜0 且△＜0． ② 分式不等式问题： ＞0 ⇔ f（x）•g（x）＞0； ＜0 ⇔ f（x）•g（x）＜0； ≥0 ⇔ ； ≤0 ⇔ ． 8．简单线性规划 【概念】 线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一 种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可 以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行 域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值． 【例题解析】 例：若目标函数 z＝x+y 中变量 x，y 满足约束条件 ． （1）试确定可行域的面积； （2）求出该线性规划问题中所有的最优解． 解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形 ABC， 其中 B（4，3），A（2，3），C（4，2）， 则可行域的面积 S＝ ＝ ． （2）由 z＝x+y，得 y＝﹣x+z，则平移直线 y＝﹣x+z， 则由图象可知当直线经过点 A（2，3）时，直线 y＝﹣x+z 得截距最小， 此时 z 最小为 z＝2+3＝5， 当直线经过点 B（4，3）时，直线 y＝﹣x+z 得截距最大， 此时 z 最大为 z＝4+3＝7， 故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3） 这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一 个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找 到它的最值． 【典型例题分析】 题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域 典例 1：若不等式组所表示的平面区域被直线 y＝kx+分为面积相等的两部分，则 k 的值是 （ ） A． B． C． D． 分析：画出平面区域，显然点（0， ）在已知的平面区域内，直线系过定点（0， ），结 合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可． 解答：不等式组表示的平面区域如图所示． 由于直线 y＝kx+ 过定点（0， ）．因此只有直线过 AB 中点时，直线 y＝kx+ 能平分平面 区域． 因为 A（1，1），B（0，4），所以 AB 中点 D（ ， ）． 当 y＝kx+ 过点（ ， ）时， ＝ + ，所以 k＝ ． 答案：A． 点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域． 注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可 以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点． 题型二：求线性目标函数的最值 典例 2：设 x，y 满足约束条件： ，求 z＝x+y 的最大值与最小值． 分析：作可行域后，通过平移直线 l0：x+y＝0 来寻找最优解，求出目标函数的最值． 解答：先作可行域，如图所示中△ABC 的区域，且求得 A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作 出直线 l0：x+y＝0，再将直线 l0 平移，当 l0 的平行线 l1 过点 B 时，可使 z＝x+y 达到最小值； 当 l0 的平行线 l2 过点 A 时，可使 z＝x+y 达到最大值．故 zmin＝2，zmax＝7． 点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得． （2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线 的纵截距的关系． 题型三：实际生活中的线性规划问题 典例 3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过 50 亩，投入资金不超过 54 万元，假 设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表： 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣ 总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的 种植面积（单位：亩）分别为（ ） A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50 分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件， 设出目标函数，转化为线性规划问题． 解析 设种植黄瓜 x 亩，韭菜 y 亩，则由题意可知 求目标函数 z＝x+0.9y 的最大值， 根据题意画可行域如图阴影所示． 当目标函数线 l 向右平移，移至点 A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植 30 亩，韭菜种植 20 亩时，种植总利润最大．故答案为：B 点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列 成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如 下步骤完成： （1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的 那一条 l； （2）平移﹣﹣将 l 平行移动，以确定最优解的对应点 A 的位置； （3）求值﹣﹣解方程组求出 A 点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值． 题型四：求非线性目标函数的最值 典例 4：（1）设实数 x，y 满足 ，则 的最大值为 ． （2）已知 O 是坐标原点，点 A（1，0），若点 M（x，y）为平面区域上 的一个 动点，则| + |的最小值是 ． 分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一 般要结合给定代数式的几何意义来完成． 解答：（1） 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1， ）处取到最大值． （2）依题意得， + ＝（x+1，y），| + |＝ 可视为点（x，y）与点（﹣ 1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该 平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线 x+y＝2 引垂线的垂足位于该平面区域内，且与 点（﹣1，0）的距离最小，因此| + |的最小值是 ＝ ． 故答案为：（1） （2） ． 点评：常见代数式的几何意义有 （1） 表示点（x，y）与原点（0，0）的距离； （2） 表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离； （3） 表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率； （4） 表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率． 【解题方法点拨】 1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化． 2．在通过求直线的截距 的最值间接求出 z 的最值时，要注意：当 b＞0 时，截距 取最大 值时，z 也取最大值；截距 取最小值时，z 也取最小值；当 b＜0 时，截距 取最大值时， z 取最小值；截距 取最小值时，z 取最大值． 9．其他不等式的解法 【知识点的知识】 不等式的解法 （1）整式不等式的解法（根轴法）． 步骤：正化，求根，标轴，穿线（偶重根打结），定解． 特例： ① 一元一次不等式 ax＞b 解的讨论； ② 一元二次不等式 ax2+bx+c＞0（a≠0）解的讨论． （2）分式不等式的解法：先移项通分标准化，则 ． （3）无理不等式：转化为有理不等式求解． （4）指数不等式：转化为代数不等式 （5）对数不等式：转化为代数不等式 （6）含绝对值不等式 ① 应用分类讨论思想去绝对值； ② 应用数形思想； ③ 应用化归思想等价转化． 注：常用不等式的解法举例（x 为正数）： 10．基本不等式及其应用 【概述】 基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几 何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为： ≥ （a≥0，b≥0），变形为 ab ≤（ ）2 或者 a+b≥2 ．常常用于求最值和值域． 【实例解析】 例 1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是． A：a，b 均为负数，则 ． B： ． C： ． D： ． 解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知 A、B、D 均 满足条件． 对于 C 选项中 sinx≠±2， 不满足“相等”的条件， 再者 sinx 可以取到负值． 故选：C． A 选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B 分 子其实可以写成 x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个 式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便． 例 2：利用基本不等式求 的最值？当 0＜x＜1 时，如何求 的最大值． 解：当 x＝0 时，y＝0， 当 x≠0 时， ＝ ， 用基本不等式 若 x＞0 时，0＜y≤ ， 若 x＜0 时，﹣ ≤y＜0， 综上得，可以得出﹣ ≤y≤ ， ∴ 的最值是﹣ 与 ． 这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于 0，没有明确表 示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加， 而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果． 【基本不等式的应用】 1、求最值 例 1：求下列函数的值域． 2、利用基本不等式证明不等式 3、基本不等式与恒成立问题 4、均值定理在比较大小中的应用 【解题方法点拨】 技巧一：凑项 点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值． 技巧二：凑系数 例 2：当 0＜x＜4 时，求 y＝x（8﹣2x）的最大值． 解析：由 0＜x＜4 知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题 为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到 2x+（8﹣2x）＝8 为定值，故只需将 y＝x （8﹣2x）凑上一个系数即可． y＝x（8﹣2x）＝ [2x•（8﹣2x）]≤ （ ）2＝8 当 2x＝8﹣2x，即 x＝2 时取等号，当 x＝2 时，y＝x（8﹣x2）的最大值为 8． 评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不 等式求最大值． 技巧三：分离 例 3：求 y＝ 的值域． 解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离． y＝ ＝ ＝（x+1）+ +5， 当 x＞﹣1，即 x+1＞0 时，y≥2 +5＝9（当且仅当 x＝1 时取“＝”号） 技巧四：换元 对于上面例 3，可先换元，令 t＝x+1，化简原式在分离求最值． 技巧五：结合函数 f（x）＝x+ 的单调性． 技巧六：整体代换 点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错． 技巧七：取平方 点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件． 总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些 变形技巧，积极创造条件利用基本不等式． 11．指、对数不等式的解法 【概述】 指、对数不等式的解法其实最主要的就是两点，第一点是判断指、对数的单调性，第二 点就是学会指数和指数，对数和对数之间的运算，下面以例题为讲解． 【例题解析】 例 1：已知函数 f（x）＝ex﹣1（e 是自然对数的底数）．证明：对任意的实数 x，不等式 f（x） ≥x 恒成立． 解：（I）设 h（x）＝f（x）﹣x＝ex﹣1﹣x ∴h'（x）＝ex﹣1﹣1， 当 x＞1 时，h'（x）＞0，h（x）为增， 当 x＜1 时，h'（x）＜0，h（x）为减， 当 x＝1 时，h（x）取最小值 h（1）＝0． ∴h（x）≥h（1）＝0，即 f（x）≥x． 这里面是一个综合题，解题的思路主要还是判断函数的单调性，尤其是指数函数的单 调性，考查的重点其实是大家的计算能力． 例 2：已知函数 f（x）＝loga（x﹣1），g（x）＝loga（3﹣x）（a＞0 且 a≠1），利用对数函数 的单调性，讨论不等式 f（x）≥g（x）中 x 的取值范围． 解：∵不等式 f（x）≥g（x），即 loga（x﹣1）≥loga（3﹣x）， ∴当 a＞1 时，有 ，解得 2＜x＜3． 当 1＞a＞0 时，有 ，解得 1＜x＜2． 综上可得，当 a＞1 时，不等式 f（x）≥g（x）中 x 的取值范围为（2，3）； 当 1＞a＞0 时，不等式 f（x）≥g（x）中 x 的取值范围为（1，2）． 这个题考查的就是对数函数不等式的求解，可以看出主要还是求单调性，当然也可以右 边移到左边，然后变成一个对数函数来求解也可以． 【考点点评】 本考点其实主要是学会判断各函数的单调性，然后重点考察学生的运算能力，也是一 个比较重要的考点，希望大家好好学习． 12．余弦定理 【知识点的知识】 1．正弦定理和余弦定理 定 理 正弦定理 余弦定理 内 容 ＝2R （ R 是△ABC 外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C 变 形 形 式 ① a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ② sin A＝ ，sin B＝ ，sin C＝ ； ③ a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④ asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝ csin A cos A＝ ， cos B＝ ， cos C＝ 解 决 三 角 形 的 ① 已知两角和任一边，求另一角和其他两条 边； ②② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 和其他两角 ① 已知三边，求各角； ② 已知两边和它们的夹角，求第三边和其 他两角 问 题 【正余弦定理的应用】 1、解直角三角形的基本元素． 2、判断三角形的形状． 3、解决与面积有关的问题． 4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方 面都要用到解三角形的知识 （1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理 就可解决． 解题关键在于明确： ① 测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形 两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决； ② 测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应 用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可 到达的一点之间的距离问题． （2）测量高度问题： 解题思路： ① 测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三 角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离， 然后转化为解直角三角形的问题． ② 对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁， 然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余 弦定理求解即可． 点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与 水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角． 13．点到直线的距离公式 【知识点的知识】 从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任 何点到直线中最短的距离．设直线方程为 Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那 么这点到这直线的距离就为：d＝ ． 【例题解析】 例：过点 P（1，1）引直线使 A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程． 解：当直线平行于直线 AB 时，或过 AB 的中点时满足题意， 当直线平行于直线 AB 时，所求直线的斜率为 k＝ ＝1， 故直线方程为 y﹣1＝（x﹣1），即 x﹣y＝0； 当直线过 AB 的中点（3，4）时，斜率为 k＝ ＝ ， 故直线方程为 y﹣1＝ （x﹣1），即 3x﹣2y﹣1＝0； 故答案为：x﹣y＝0 或 3x﹣2y﹣1＝0． 这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两 点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线 的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是 一个好题． 【考点分析】 正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解 析几何中可能会涉及到点到直线的距离． 14．直线与圆相交的性质 【知识点的知识】 直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径 谁大谁小： ① 当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交； ② 当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切； ③ 当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离． 【例题解析】 例：写出直线 y＝x+m 与圆 x2+y2＝1 相交的一个必要不充分条件： 解：直线 x﹣y+m＝0 若与圆 x2+y2＝1 相交， 则圆心（0，0）到直线的距离 d＜1， 即 d＝ ， ∴|m| ， 即 ， ∴满足 的必要不充分条件均可． 故答案为：满足 的必要不充分条件均可． 这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结 合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系 求出满足要求的 m 的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题． 【考点解析】 本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点 到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．